第二章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJA 2.(2023·新高考全四I卷)设函数f(.x)=2-… 3.已知函数f(x)=1ogx+2,若f(3x-2)<5,则 在区间(0,1)上单调递减，则4的取值范围是 实数，x的取值范围是 () A(得引 (层) A.(-∞，-2] B.[-2,0) c(, D.(-o,) C.(0,2] D.[2,+oo) 请完成《课时检测训练7》 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标多求！ 1.理解函数奇偶性的含义。 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题 必备知识 夯实四基可 [对应答案P362] 知识梳理 常用结论 1.函数的奇偶性 1.西数周期性的常用结论 对f(x)定义城内任一自变量的值x: 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). 骰地，设函数f《x)的定义域 fr则T=2a(a>0). 1 (2)若f(x+a) 为D,如果Hx∈D,都有一x∈ 关于回对称 偶函数 D,且D ,那么函数 (3)若f(x+a)=-),期T=2a(a>0). 「《x)就叫做偶函数 2.对称性的四个常用结论 般地，设函数(x)的定义域 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y= 为D,如果VxED,都有一r∈ 奇函数 关于四对称 f(x)的图象关于直线x-a对称. D,且☒ ,那么函数 (2)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= 「《x)就叫做奇函数 f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 2.函数的周期性 (3)若函数y=f(x)满是f(a十x)=f(b-x),则y (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个 =)的图泉关子直线=空对称：特别地，自。 非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时， =b时，即fa十x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-,x) 都有f(.x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x) 时，则y=f八x)的图象关于直线x=a对称. 为周期函数，称T为这个函数的周期. (4)若函数y=f(x)满足f(x)十f(2a-x)=2b 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地，当 (2)最小正周期：如果在周期函数「(x)的所有周 b=0时，即f(a十x)+f(a-x)=0或f(x)+ 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 f(2a-x)=0时，则y=f(x)的图象关于点(a, 叫做f(x)的固 正周期. 0)对称. ③26 第二章函数的概念与基本初等函数回 诊断自测 3.(人A必修第一册P203练习T4改编)若函数 思考辨析 f(x)满足f(x+3)=f(x-1),且当x∈ [-2.0]时，f(x)=3+1,则f(2022)= 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 “X”) (1)函数y=x,x∈(0，+○)是偶函数.() B.10 (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象 C.4 D.2 一定过原点。 () 易错自纠 (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y= 4.(判定函数奇偶性息视定义域致误)函数(x)一 f(x)的图象关于直线x=a对称. 函数.（填“奇”“偶”“非 (4)若函数∫(x)在定义域上满足f(x十a)= 料是 一f(x)(a>0),则f(x)是周期为2a的周期函 奇非偶”) 数. 5.(不能灵活利用函数性质致误)已知函数f(x)对 教材衍化 任意实数x都有f(1一x)=f(1十x).当x>1 2.(人A必修第一册P85练习T1改编)设奇函数 时x)=点则-D f(x)的定义域为[-5,5]，当x∈[0,5]时，f(x)的 图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是 提升能力 考点剖析⑦ [对应答案P363 考点 函数的奇偶性（多雏探究） 角度1函数奇偶性的判断 感悟方法2 例1门判断下列函数的奇偶性， 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： a=2-是(2 1g(4-x2) (1)定义战关于原，点对称，这是函数具有奇偶性 1x-2+x+4 的必要不充分条件，所以首先考虑定义战： (2)判断f(x)与f(一x)是否县有等量关系，在 (3)fx)=x-1+√/1-x: 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性 -x2+2.x+1,x>0. (4)f(x)= 的等价等量关系式(f(x)十f(一x)=0(奇西 x2+2x-1,x<0. 数)或f(x)一f(-x)=0(偶函数)是否成立. 角度2函数奇偶性的应用 [例2](1)(2023·新高考金国Ⅱ卷)若f(x)=(.x 十a加为偶函数，则a () A.-1B.0 c D.1 (2)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x) x-2x+2:则f(x)= 2 = 27® 国高考一轮总复习·数学，RJA 感悟方法 1+x A.g(r)-lg 1.利用品数的奇偶性可求函数值或求参数的取 B.g(.x)=3-3 值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已 知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用 C.g()=1+1 2T2+1 方程思想求参数的值. D.g(z)=In(+1+) 2.画盛数图象：利用函数的奇偶性可画出函数 2.(2023·全国乙卷理科)已知f(x)= e*一7是偶 re 在其对称区间上的图象，结合几何直观求解 相关问题. 函数，则a () ◆变式训练必 A.-2 B.-1 1.(多选)(2023·山东临折·统考一模)已知f(x) C.1 D.2 =xg(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x) 的解析式可以为 () 考点2 函数的周期性（师生共研） 例3](2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义 2.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质 域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) 得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要 f1)=1,则2fk)= ( 注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z A.-3 B.-2 C.0 D.1 且k≠0)也是函数的周期. 感悟方法 冬变式训练 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对 1.判断西数的周期性只需证明f(x十T)一 称，且周期为3，又f(-1)=1,f(0)=一2，则f(1) f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且 +f(2)+f(3)+…+f(2025)的值是 () 周期为T,函数的周期性常与函数的其他性 A.2024 B.2023 C.1 D.0 质综合命题 考点3 函数的对称性（师生共研） [例4](2022·全回乙卷)已知函数f(x),g(x)的 (2)若函数f(x)满足f(a+x)=一f(h-x),则 定义域均为R,且f(x)十g(2-x)=5,g(x)一 f(x一4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2 y=)的图象关于点（空中0）对称。 对称，g(2)=4,则三f(k)= ( (3)若函数f(x)满足f(a十x)十f(b-x)=c, A.-21B.-22 C.-23 D.-24 则画数)的因象关于点生兰，)对称。 感悟方法 冬变式训练 对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a十x)=f(b一x),则y 1.(2025·南检测)已知函数f(x)=一x2十bx十 =fx)的图象关于直线工=a中对称。 c,且f(x+1)是偶函数，.则f(一1)，f(1),f(2) 2 的大小关系是 ®28 第二章函数的概念与基本初等函数回 A.f(-1)<f(1)<f(2) B.函数f(x)满足f(2.x一1)为奇函数，则函数 B.f(1)<f(2)<f(-1) f(x)关于点（一1,0）中心对称 C.f(2)<f(-1)<f1) C.若函数y=f(x)过定点(0,1)，则函数y=f(x D.f(-1)<f(2)<f(1) 一1)+1过定点(1,2) 2.(多选)下列说法中，正确的是 D函数y一二的图象关于点(8，e)中心对称. A函数f)=-号的图象关于点（一2,2）中 则b十c=2 心对称 考点4 函数性质的综合应用（多维探究） 角度1单调性与奇偶性 角度2奇偶性与周期性 [例5](1)(2024·山东日照·模拟)已知奇函数 [例6](2023·江西磨潭·二模)已知f(x)是定 fx)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a= g(-log5.1),b=g(2.),c=g(3),则a,b,c的 义在R上的奇函数，若(+多)为偶函数且 大小关系为 ( f(1)=2,则f(2020)+f(2021)+f(2022) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a A.-2 B.4 C.-4 D.6 (2)(2023·陕西·线考一换)函数f(x)是定义 在R上的奇函数，且在(0，十∞)上单调递增， 感悟方法 f(1)=0,则不等式xf(.x-1)<0的解集为 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题， 常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数 A.(-∞，0)U[2,+∞) 值的自变量转化到已知解析式的函数定义城内 B.(0,1) C.(-o∞，0)U(2,+6∞) 求解。 D.(1,2) 角度3对称性与周期性 [例7刀]（多选）已知定义域为R的函数f(x)满足 感悟方法 f(x)不恒为零，且f(x+6)=f(x),f(3+x)+ 1,比较函数值的大小问题，可以利用奇偏性，把 不在同一单调区间上的两个或多个自变量的 f(3-x)=0,f(2)=0,则下列结论正确的是 函数值转化到同一单调区间上，再利用函数 () 的单调性比较大小： A.f(0)=0 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1) B.f(r)是奇函数 >f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变 C.f(x)的图象关于直线x=12对称 成常规不等式，转化为x<工（或工1>工） D.f(x)在[0,10]上有6个零点 求解。 29® 国高考一轮总复习·数学，RJA 感悟方法☑ 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数 函数f(x)满足的关系f(a十x)=f(b-x)表明 的图象一定关于点（一1,0）成中心对称的是 的是函数图象的对称性，西数(x)满足的关系 f(a十x)=f(h十x)(a≠b)表明的是函效的周 A.y=(x-1)f(x-1) 期性，在使用这两个关系时不要混淆 B.y=(x+1)f(x+1) 多变式训练多 C.y=xf(x)+1 1.(2025·石家庄模拟)奇函数f(x)的定义域为 D.y=.xf(x)-l R,若f(x十1)为偶函数，且f(1)=2,则 f(2023)+f(2024)的值为 ( 请完成《课时检测训练8》 A.2 B.1 C.-1 D.-2 自主培优3函数奇偶性的拓广性质及应用 >对应客率P365 函数的奇偶性是高考的重，点内容之一，特别 性质二 若函数∫(r)为偶函数，则f(x) 是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问 =f(x) 题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若 [典例2] (1)函数f(x)=2十x,则不等式 能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难 f(2x-1)<f(x一2)的解集为 为易、事半功倍的效果，以下归钠出奇、偶函数的 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当 一组性质及其应用， x<0时，f(x)单调递增.若实数a满足 性质一 若函数f(x)是奇函数，且g(x)三 f(3+)>f /3 ,则a的取值范围是 f(x)+c.g(-x)+g(x)=2c [典例1)1)设函数(x)=1)'十in工的最 x2+1 感悟方法 大值为a,最小值为b,则a十b= 利用偶函数f(x)的性质f(x)=f(|x)可以避 A.-1 B.0 C.1 D.2 免繁杂的讨论，减少计算量，在解函数不等式中 (2)设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的 经常用到. x1x∈D,且1+x2=2a,恒有f(x,)+f(x2) =2b,则称函数f(x)具有对称性，其中点(a,b) 性质三 函数f(x+a)是偶函数可得函数 为函数y=/(x)的对称中心.研究函数f(x)= f(x)的图象关于直线x=a对称：函 x+1+ x与十tan(r-1)的对称中心，则 数f(x+a)是奇函数，可得函数f(x) 的图象关于点(a,0)对称 fe2)+f(22)+f(2z) [典例3](1)已知定义在R上的函数y=f(x)满 传 足f(一x)=一f(x),函数y=f(x+1)为偶函 数，且当x∈[0,1]时，f(x)=log(x+a),则 A.2022 B.4043 C.4044 D.8086 f(2022)+f(2023)= () 感悟方法 A.-1 B.1 解决这类问题的关键在于仔细观察，洞彻西数 C.504 D.无法确定 的结构，然后对函数进行变形，构造出一个奇函 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对 数，利用函数值的特征求值 称的充要条件是函数y=f(x十)一b为奇函 30 第二章函数的概念与基本初等函数可 数.由此结论可求f(x)=工 x千十士2十… 感悟方法 8的对称中心为 函数的奇偶性是特殊的对称性，利用f(x十a) ( 是奇函数或偶函数可以得到函数f(x)图象的 A.(1011,1011) B.(-1011,2021) 对称性，进而可以结合图象求解问题. c(10n2o2 1 D.（-20221011） 第4讲 幂函数与二次函数 课标多求！ 1了解幂函数的概念，结合函数y=xy=小y=y=xy=的图象，了解它们的变化情况。 2,理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程，不等式之间的关系解决简单问题. 必备知识 夯实四基⑦ [对应答案P365 知识梳理 顶点式：f(x)=a(x一m)十n(a≠0)，顶点坐标 为图 L.幂函数 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1x (1)幂函数的定义 为f(x)的零点. 一般地，函数回 叫做幂函数，其中x是自 (2)二次函数的图象和性质 变量，a是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y=ar +bz+e y=ar+br+c 函数 (a>0) (a<0) 图象 (抛物 线) 定义域 值域 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义： 对称轴 x=回 ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0， 顶点 固 坐标 0),且在(0，十∞)上单调递增： 奇偶性 当6=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 ③当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在 在（-，- (0,十∞)上单调递减， 会]上在(-，-会]上 2.二次函数 是团函数： 是回函数： 单调性 (1)二次函数解析式的三种形式 [云+)上在[云+ 一般式：f(x)=回 是图函数 是回函数 31对于B,f(x)=-x,根据幂函数的性质，函数在区间(1, +∞)上为增函数，故B不可选； 对于C,f(x)=1+,,函数在区间(1,+∞)上为减函数，故 C可选； (1-图)=G+/3-去>0,即-1>1-竖.由二次函 8()<g(),因为2-1-(1-Z)=数性质知 G+/2-4,而(√6+√2)2-42=8+4√3-16=4√3-8= 对于D,f(z)=la-41={4-4,z<4,显然函数在区间(1, ,所以g(粤)>s(号).综4(3-2)<0,即6-1<1-2, 十∞)上不是单调函数，故D不可选.故选AC. 考点2 上，8(2)<8()<8(),又y=e2为增函数，故a<c [例2](1[县，+) 函数解析 由2x-1≥0,得. [县，+].又函数f(x)=x+√2x-1在的定义域为 x=2[_,+]上单调递增，∴当 时，函数取最小值 <b,即b>c>a. [例4]C 解析 由f(xy)=f(x)+f(y),可知f(4)=f(2)+ f(2)=3,得到f(2)=3,从而f(8)=1,因此f(2x)- f(x-3)>1可变为f(2x)>f(8)+f(x-3),即f(2x)> f(2)=县∴函数f(x)的值域为[_,+○]. (2)1 解析 法一 在同一坐标系中， f(8(x-3)),又函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以 解得3<x<4,所以该不等式的解集为(3, 作函数f(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示 的实线部分. 4). 3 [例5]B 解析 因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x) =e2+ln(x+1)单调递增， A y=h(x) 0 23 X m则需满足 解得-1≤a≤0, 易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为 即a的范围是[-1,0]. h(2)=1. [变式训练] h(a)={-8+3.z>22,法二 依题意， 1.A 解析 因为对任意的x?,x?∈[-∞,0](x?≠x2),有 当0<x≤2时，h(x)=log?x是增函数； 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. f)-Cz)<0,所以f(z)在[-,0]上单调递减， 又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4), [变式训练] 又f(-2)=f(2),所以f(-2)<f(3)<f(4). 2.D 解析 函数y=2°在R上单调递增，而函数f(x)= 1.8 解析 因为函数： 上都单调递减， y=(3),y=-log?(z+4)在[-2,2] 2a-a在区间(0,1)上单调递减，则有函数y=x(x-a)= (z-2)2-4 2≥1,解得a在区间(0,1)上单调递减，因此 f(x)=(3)-log?(x+4)在[-2,2]上单调所以函数) 递减， ≥2,所以a的取值范围是[2,+∞].故选D. 3.B 解析 f(x)=log?x+22的定义域为(0,+∞),且 f(-2)=(3)2-log?(-2+4)所以函数f(x)的最大值为 f(2)=5,所以不等式f(3x-2)<5即f(3x-2)<f(2).又 因为f(x)=log?x+22在(0,+∞)上单调递增，所以0<3x =9-1=8. xe(3,告).-2<2,解得。 f(x)=2x+"=2+m-22.3 解析 因为函数f ,由复合函数 f(x)=2x+m在[0,1]上单调递的单调性知，当m>2时， ,f(x)=2x+1在[0,减，最大值为f(O)=m=3;当m<2时， 1]上单调递增，最大值为f(1)=22m=3,即m=4,显然m =4不合题意，故实数m=3. 考点3 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 必备知识 夯实四基」 知识梳理 1f(-x)=f(x)2y轴 3f(-x)=-f(x)④原点 5最小 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(-2,0)U(2,5) 解析 由图象知，当0<x<2时，f(x) >0; [例3]A 解析 令g(x)=-(x-1)2,则g(x)开口向下，对称 2-1-(1-②)=G+/3-4,而(V6+轴为x=1.因为 当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以当-2<x< 0时，f(x)<0;当-5≤x<-2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(-2,0)U[2,5]. 3.B 解析 由f(x+3)=f(x-1),得f(x+4)=f(x),—1—√3)2-42=9+6√2-16=6√2-7>0,所以 ∴函数f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.又当x∈ ·362·高考一轮总复习·数学·RJA [-2,0]时，f(x)=32+1,∴f(2022)=f(4×506-2) =f(-2)=9+1=10,故选B. +3>-30,4.奇 解析 由 得-1<x<0或0<x<1,即 f(x)的定义域为(-1,0)U(0,1), f(z)=Ig(I-2,所以f(-x)=g(1-2=-f(x),所以 所以f(x)是奇函数. 5.2 解析 f(1-x)=f(1+x),取x=2得到f(-1)= f(3)=3-1=2. [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1]解(1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称，并 且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)°- =-(x3-)=-f(x),从而函数f(x)为奇函数. 4-2>+1z+41≠0,得-2<x<2,即函数f(x)的(2)由 定义域是{x|-2<x<2},关于原点对称. 因此f(x)=(2-g(4-x+4)=Hlg(4-x2),所以f(-x) =f(x),因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点 对称的特征知函数f(x)为奇函数. 2 1 -I o T -2 [例2](1)B 解析 因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1), 所以(1+a)ln3=(-1+a)ln3,解得a=0. 当a=0时，f(x)=zhn2x+1,(2x-1)(2x+1)>0,解得x >贵或z<, {zz>云或x<-贵}则其定义域为 ,关于原点对称. f(-x)=(-x)n2(-x)+1=(-z)n2+1 =(-x)ln(+1)?1=aln22+1=f(x), 故此时f(x)为偶函数.故选B. 解析 由函数f(x)是R上的奇函 数，得f(0)=0, 而当x<0时，-x>0,所以有f(x)=-f(-x)= -(x)2-2×(-x)+2=-+2x+2 综上所述， [变式训练] 1.BD 解析 因为f(x)=x3g(x)是偶函数，所以f(-x)= f(x),即g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数. 对于A,定义域为(-1,1),所以不满足题意； 对于B,定义域为R,g(-x)=3-3?=-g(x),符合题意； 对于C,定义域为R,g(-x)=2+2-+1=2+1+2=2 -1+2≠-g(x),不符合题意； 对于D,定义域为R,g(-x)=In(√x2+1-x),而g(-x) +g(x)=In(√x2+1-x)+In(√x2+1+x)=0,符合 题意. f(x)=e-12.D 解析 因为 为偶函数，则f(x)一 f(-x)=---)c=le---=0..又因为x 不恒为0,可得e2-ea-1)2=0,即e2=ea-1),则x=(a-1)x, 即1=a-1,解得a=2. 考点2 [例3]A 解析 因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令 x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2;令x =0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y), 所以函数f(x)为偶函数；令y=1,得f(x+1)+f(x-1) =f(x)f(1)=f(x), 即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)= -f(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)= f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周 期为6. 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2) f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5) =f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2, 所以一个周期内的f(1)+f(2)+⋯+f(6)=0.由于22 除以6余4, 所以Af(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1 =-3. [变式训练] D 解析 因为f(x)的周期为3, f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1, 又f(0)=-2,则f(3)=f(0+3)=f(O)=-2, 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)=f(-1)=1, 则f(1)+f(2)+f(3)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2 025)=675×0=0. 考点3 [例4]D 解析 因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所 以g(2-x)=g(x+2). 因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即 g(x+2)=7+f(x-2). 因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5, 代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)= ·363· 高考一轮总复习·数学·RJA -2, 所以f(3)+f(5)+⋯+f(21)=(-2)×5=-10, f(4)+f(6)+⋯+f(22)=(-2)×5=-10. 因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)= 1,所以f(2)=-2-f(O)=-3. 因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7. 又f(x)+g(2-x)=5, 联立，得g(2-x)+g(x+4)=12, 所以y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称. 因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6. 因为f(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1. 所以_f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+⋯+f(21)]+ [f(4)+f(6)+⋯+f(22)]=-1-3-10-10=-24. [变式训练] 1.D 解析 因为f(x+1)是偶函数，所以其对称轴为直线x =0, 所以f(x)的对称轴为直线x=1, 又二次函数f(x)=-x2+bx+c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f(-1)<f(2)<f(1). 2.ABC 解析 对于A,f(x)=2x+-2=2cz+22-?=2- 2+2 y=-5,其图象可以由 的图象向左平移2个单位长 y=-5度，再向上平移2个单位长度得到，且： 的图象关于 f(x)=2+2原点对称，故 的图象关于点(-2,2)中心对称， A正确； 对于B,因为f(2x-1)为奇函数， 所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1), 所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中 心对称，B正确； 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向 上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于 y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1, 2),C正确； 对于D,函数y=a-b=-b)+b-1=1+-的图象关 于点(3,c)中心对称， {s=1-°,所以 解得b=3,c=1, 所以b+c=4,D不正确. 考点4 [例5](1)C 解析 因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所 以当x>0时，f(x)>0, 从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞]上是增 函数. a=g(-log25.1)=g(log25.1), 2°.?<2,又4<5.1<8,则2<log?5.1<3,所以0<2°.?< log?5.1<3, 所以g(2°.?)<g(log?5.1)<g(3),所以b<a<c. (2)D 解析 因为函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调 递增，所以函数f(x)在(一∞,0)上也单调递增.又因为 f(1)=0,所以f(-1)=0.不等式 xf(x-1)<0等价于 a-1D<o或({a-1D>0, {o<a-1<1或{-<<z-I<0,即 得到1<x<2. [例6]C 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x+2)为偶函数， f(-x+2)=所以f(-x)=-f(x),f(0)=0且J f(x+2), 则f[-(x+2)+2]=f[(x+2)+2],即-f(x) =f(x+3), 所以f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x), 即f(x)是以6为周期的周期函数. 又f(1)=2,f(4)=-f(1)=-2, 所以f(2020)=f(6×336+4)=f(4)=-2, f(2 021)=f(6×337-1)=f(-1)=-f(1)=-2, f(2022)=f(6×337+0)=f(O)=0, 所以f(2 020)+f(2021)+f(2022)=-4.故选C. [例7]AB 解析 选项A,对于f(x+6)=f(x),令x=0,得 f(6)=f(O),对于f(3+x)+f(3-x)=0,令x=3,得 f(6)=-f(0),所以f(O)=-f(O),则f(0)=0,A正确； 选项B,由f(x+6)=f(x),得f(6-x)=f(-x),由f(3+ x)+f(3-x)=0,得f(6-x)=-f(x),所以f(-x)= 一f(x),则f(x)是奇函数，B正确； 选项C,由f(x+6)=f(x),得f(x+12)=f(x+6)= f(x),所以12是f(x)的一个周期.又f(x)是奇函数，所以 f(x)的图象关于点(12,0)对称.因为f(x)不恒为零，所以 f(x)的图象不关于直线x=12对称，C错误； 选项D,由A知f(6)=f(O)=0,对于f(3+x)+f(3-x) =0,令x=0,得f(3)=0,所以f(9)=f(3)=0.由f(2)= 0,得f(8)=f(2)=0,f(-2)=-f(2)=0,所以f(4)= f(10)=0,所以f(x)在[0,10]上的零点为0,2,3,4,6,8,9, 10,共8个，D错误. [变式训练] 1.D 解析 ∵f(x+1)为偶函数， ∴f(x+1)=f(-x+1), 令t=x+1,则-x+1=2-t,即f(t)=f(2-t), ∵f(x)为奇函数，∴f(t)=-f(-t), ∴f(2-t)=-f(-t), 令m=-t,得f(2+m)=-f(m), ∴f(4+m)=-f(2+m)=f(m), ∴f(4+x)=f(x), 即函数f(x)是周期为4的周期函数， 又 f(1)=2,f(0)=0, 则f(2023)+f(2024)=f(506×4-1)+f(506×4)= f(-1)+f(O)=-f(1)+f(0)=-2. 2.B 解析 构造函数g(x)=xf(x), 该函数的定义域为R, 所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x), 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标 原点. 对于A选项，函数y=(x-1)f(x-1)的图象由函数g(x)的 图象向右平移1个单位长度得到， 故函数y=(x-1)f(x-1)图象的对称中心为(1,0); 对于B选项，函数y=(x+1)f(x+1)的图象由函数g(x)的 图象向左平移1个单位长度得到， 高考一轮总复习·数学·RJA ·364· 故函数y=(x+1)f(x+1)图象的对称中心为(-1,0); 对于C选项，函数y=xf(x)+1的图象由函数g(x)的图象 向上平移1个单位长度得到， [典例3](1)A 解析 因为函数y=f(x)的定义域为R,且 f(-x)=-f(x), 所以函数y=f(x)是定义在R上的奇函数， 故函数y=xf(x)+1图象的对称中心为(0,1); 所以f(0)=log?a=0,解得a=1, 即f(x)=log?(x+1),f(1)=log22=1.对于D选项，函数y=xf(x)-1的图象由函数g(x)的图象 向下平移1个单位长度得到， 故函数y=xf(x)-1图象的对称中心为(0,-1). 自主培优3 因为y=f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1), 即y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=f(x)满足f(-x)=-f(x), 所以f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x),f(x+ ∵f(x)=-2x+1+sinx=[典例1](1)D 解析 1+=2a+in, u(x)==2x+s1n函数 为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称， ∴u(x)max+u(x)mi=0, 4)=-f(x+2)=f(x), 即函数y=f(x)是周期函数，周期为4,则f(2022)十 f(2023)=f(2)+f(3)=-f(O)-f(1)=-1. (2)B 解析 由题知，设f(x)的对称中心为(a,b),则y=f(x +a)-b为奇函数. 即[f(-x+a)-b]+[f(x+a)-b]=0,即f(x+a)+ f(-x+a)-2b=0. 从而f(x)mx+f(x)mm=a+b=[u(x)mx+1]+ [u(x)m+1]=2,故选D. 又f(x)=+1++2+⋯++2021=2021 -(+1+⋯++2021), (2)C 解析 令函数g(t)=t+÷+tan t,则g(-t)=-t- 1+tan(-t)=-(t+-+tant)=-g(t), 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f(x)=x-1+-+tan(x-1)+2的图象关于点 (1,2)中心对称， 所以f(x+a)=2021-(+a+1+⋯+z+a+2021), f(-x+a)=2021-(=x+a+1+⋯+=x+a+2021)= 2 021-(=x+a+2021+⋯+x+a+1), 则f(x+a)+f(-x+a)-2b 即当x?+x?=2时，可得f(x?)+f(x?)=4. 设M=f(2022)+f(2022)+f(2022)+⋯+ =4042-[z+a+2±222+2021]+⋯+ (x+a+)z+a+2021)]-2b=0恒成立， f(2022), 则a=-1011,b=2021. 第4讲 幂函数与二次函数 M=r(2022)+f(2022)+f(2029)+⋯+f(2022), 2M=[f(2022)+f(402)]+[f(2822)+所以2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 f(202)]+⋯+[f(2022)+f(2022)] f(2022)+f(2022)+=2 022×4=8 088,所以 5-2a1y=x" 2ax2+bx+c(a≠0) 3(m,n)4R[ ⑥(一，4aC) 7减 8增 9增 0减 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)× f(2022)+⋯+f(2022)=4044. 2.C 解析 由f(x)=kx°为幂函数，知k=1.又函数图象过 [典例2](1)(-1,1)解析 显然f(-x)=21-1+(-x)2= 2+x2=f(x),f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)=22+x2是增函数， 点(3,9),则9=(3)>a=-2,故k+a=-1. 3.C 解析 f(z)=2-ax+1=(x-2)2+1-4,要使函 所以不等式 f(2x-1)<f(x-2)?f(|2x-1|)<f(|x- f(x)=1-4<0,数有负值，则其最小值 ,解得a<-2或 21),即|2x-1|<|x-2|, (2x-1)2<(x-2)2,3x2-3<0,解得-1<x<1. a>2. (2)(-,-2)u(-2,+○)解析 由题意可知，f(x) 4.D 解析 当a=0时，函数f(x)=-x+1是实数集上的减 函数，不符合题意； 为偶函数，且在(-0,0)上单调递增， 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为f(3-la+1)> f(-3)=r(3), =1,当a≠0时，二次函数f(x)=ax2-x+1的对称轴为直线： 解得a≥2由题意有 所以O<3-+1<,化简整理，得3-1a+1I<3-, 5.A 解析 由题意，函数y=ax2+bx+c, 因为a+b+c=0,令x=1,可得y=a+b+c=0,即函数图象 a<-是或a>-2,所以-la+11<-2,解得4 过点(1,0). (-~,-2)u(-2,+○).故a的取值范围为( 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排 除D项， 令x=0,可得y=c<0,可排除B、C项.故选A. · 365· 高考一轮总复习·数学·RJA