第二章 第2讲 函数的单调性与最大(小)值-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

回高考一轮总复习·数学·RUA 考点业 分段函数（多维探究） 角度1求分段函数值 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值 2-1,x≤0， 例41 (1)已知函数f(x)= 则 或范围时，应根据每一段的解析式分别求解， l0g(2x十3)，x>0, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符 f[1f(-1)1门= ( 合相应段的自变量的取值范围。 A.2 B.1 c D.0 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应 〔2，x≥4， 分类讨论. (2)已知函数f(x)= 侧f(2+ f(x+1),x<4, ◆变式训练” 1og23)的值为 ( ) 1og2(x2+1),x≤2， A.24 B.16 C.12 D.8 1.已知函数f(x) 则 f(x-3),x>2, 角度2解分段函数方程或不等式 f(f(4)= ( x2-1,x≥0， A.1 B.2 C.3 D.4 [例5] (1)已知函数f(x)= 1 若 <0, 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)一 f(f(a)=-1,则a= ( 1og2(2-x),x≤0， 则f(2026)等于() A.1或-1 B.1或0 f(x-3),x>0, C.1或-1或0 D.-1或0 A.0 B.1 C.2 D.3 x2+2x,x≥0， x+2,x<1, (2)已知函数f(x)= 若f(-a) x2-2x,x<0. 3.(多选)已知函数f(x)= 则 -x2+3,x≥1， +f(a)≤2f(1),则a的取值范围是 A.[-1,0) B.[0,1] A.f(f(W3))=3 C.[-1,1] D.[-2,2] B.若f(x)=一1，则x=2或x=-3 感悟方法必 C.f(x)<2的解集为(-oo,0)U(1,+∞) 1,根据分段函数解析式求函数值，首先确定自 D.若Hx∈R,a>f(x),则a≥3 变量的位属于哪个区间，其次选定相应的解 析式代入求解。 请完成《课时检测训练6》 第2讲 函数的单调性与最大（小）值 课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2,会运用基本初等函数的图象分析函数的性质， ⑧22 第二章函数的概念与基本初等函数 必备知识 夯实四基 [对应答案P361] 知识梳理 诊断自测 1.函数的单调性 思考辨析 (1)单调函数的定义 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 增函数 减面数 “X”) 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I二D,如 (1)若函数f(x)满足f(一3)<f(2),则f(x)在 果x∈1 [一3,2]上单调递增。 () 当工<x时，都有回 当工<时，都有 ,那么就称函数 ☒ ,那么就称 (2)若函数f(x)在（一2,3）上单调递增，则函数 定义 f(x)在区间1上单调递 函数f(x)在区间1上 f(x)的单调递增区间为（一2,3）. () 增，特别地，当函数f(x) 单调递减，特别地，当 (3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在 在它的定义城上单调递 函数f(x)在它的定义 区间[a,b]上一定有最值 () 增时，我们就称它是增 域上单调递诚时，我们 函数 就称它是减函数 (4)函数y=上的单调递诚区间是(-0,0)U y=f) =) (0,+∞). () 图象 x):x) 教材衍化 描述 2.(人A必修第一册P81练习T3改编)设函数f(x) 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 = x一2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 (2)单调区间的定义 M,m,则M+m= () 如果函数y=f(x)在区间1上☒ 或 ④ ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 A.4 B.6 C.10 D.24 具有（严格的）单调性，固 叫做y=f(x)的 3.(多选)（人A必修第一册P86习题T3改编）下 单调区间. 列说法正确的是 () 2.函数的最值 A.f(x)=一2x十1是减函数 前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 B.f(z)=- (1)Vx∈D,都有回 (1)Vx∈D,都有图 十在0，十∞)止单调递摊 条件 (2)3x∈D,使得回 (2)3x∈D,使得回 Cf)=x+是在[3，十o∞)止单调递增 D.f(x)=x2-2x在[-2,4幻上的最小值为0 结论 M为最大值 M为最小值 易错自纠 第用结论 4.(息视函数的定义域效错)函数y=f(x)为定义 1.有关单调性的常用结论 在(-2,2)上的增函数，且f(2m)>f(-m十1)， 在公共定义城内，增函数十增函数=增函数；减 则实数m的取值范围是 函数十减函数=减函数：增函数一减函数=增画 5,(混清西数的单调区间和在某区间上单调)若函 数；减西数一增函数一减函数， 2.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定 数f(x)=一x2-2(a十1)x+3在区间(-∞，3] 上是增函数，则实数a的取值范围是 义城内与y=一f代)=石的单调性相反. 23® 回高考一轮总复习·数学·RUA 提升能力 [对应客案P381] 考点剖析。 考点 确定函数的单调性（单调区间）（师生共研） [例1](1)(2023·北章卷)下列函数中，在区间 感悟方法 (0,十∞)上单调递增的是 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域 A.f(z)=-Inx B.f(x)= 1 2 内求单调区间， 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法：②@图 C.fx)=-1 D.f(x)=3- 象法：③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)讨论函数f(x)=气(a≠0)在区间(-1， (2)函数y=f(g(x)的单调性应根据外层函 数y=∫()和内层函数t=g(x)的单调性判 1)上的单调性， 断，遵循“同增异减”的原则， 易错警示函数在两个不同的区问上单调性相 同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“U” 变式训练 1.已知函数f(x)=一xx+2x,则下列结论正确 的是 () A.递增区间是(0，十∞) B.递减区间是（一∞，一1） C.递增区间是（一，一1） D.递增区间是（一1,1） 2.(多选)下列函数∫(x)中，满足对任意x1,x:∈ 1,十∞)，有f)-)<0的是（) Tz A.f(x)=-2(x-1)2-2 B.f(x)=1 3 cf)=1+是 D.f(x)=x-4 考点2 求函数的最值（师生共研） [例2](1)函数∫(x)=x+√2x-1的值域为 (2)对于任意实数a,b,定义min{a,b}= a,a≤b, 设函数f(x)=一x十3，g(x)=logx, b;a>b. 则函数h(x)=min{f(x),g(x)》的最大值是 ®24 第二章函数的概念与基本初等函数 感悟方法 ◆变式训练冬 1,求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单 1.(2025·包头模拟)函数f(x) 3 -log (x+ 调性求最值 4)在[一2,2]上的最大值为 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最 高点、最低点，求出最值 2.(2023·山东枣庄·高三期末)若函数f(x)= (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具 2+m在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m= 备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 x+1 求出最值 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区 间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点3 函数单调性的应用（多维探究） 角度1 比较函数值的大小 感悟方法 [例3] (2023·全四甲卷文科)已知函数f(x) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用， 利用函数的单调性将“”特号脱去，转化为关于 。“”.记a=f(慢）6=f》c=f() 自变量的不等式求解，应注意函数的定义域。 则 角度3求参数的取值范围 A.b>c>a B.b>a>c [例5](2024·新课标全国I卷)已知函数f(x) C.c>b>a D.c>a>b -x2-2ax-a,x<0, 在R上单调递增，则a e+ln(x+1),x≥0 感悟方法 取值的范围是 () B.[-1,0] 利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断 A.(-∞，0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 函数的单调性，其次应将自变量转化到同一个 感悟方法 单调区间内，然后利用单调性比较大小： 利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根 角度2解函数不等式 据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不 [例4]定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足Vx1, 等式（组）)或先得到其图象的升降，再结合图象 求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值。 x∈(0，十∞)且x1≠x,有[(x1)一f(x2)] ◆变式训练冬 (1-x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y),f(4)= 1.(2025·吉林模拟)定义在R上的偶函数f(x)满 号，则不等式f2)-x-3)>1的解集为 足：对任意的x1,x2∈（一∞，0](x1≠x2),有 f红)-fx)<0,则 () ( x1一x2 A.f(-2)<f(3)<f(4) A.(0,4) B.(0,十∞) B.f(-2)>f(3)>f(4) C.(3,4) D.(2,3) C.f(3)<f(4)<f(-2) D.f(4)<f(-2)<f(3) 25® 回高考一轮总复习·数学·RUA 2.(2023·新高考全国I卷)设函数f(x)=2- 3.已知函数f(x)=log:x十2，若f(3x-2)<5,则 在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 实数x的取值范围是 () ( A(停) R(学，) A.(-0∞，-2] B.[-2,0) c（o,) D.(-o,号) C.(0,2] D.[2,+∞) 请完成《课时检测训练7》 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标要求 1.理解函数奇偶性的含义， 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P362] 知识梳理 化常用结论 1.函数的奇偶性 1.函数周期性的常用结论 对f(x)定义城内任一自变量的值x: 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 般地，设函数f(x)的定义域 (2)若f(x+a)= 为D,如果Yx∈D,都有一x∈关于回对称 fa,则T=2a(a>0). 1 偶函数 D,且D ,那么函数 8若fz+a）=-石，则T=2aa>0. f(x)就叫做偶函数 2.对称性的四个常用结论 般地，设函数f(x)的定义域 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y= 为D,如果Vx∈D,都有一xE 奇函数 关于国对称 f(x)的图象关于直线x=a对称. D,且☒ ,那么函数 (2)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= f(x)就叫做奇函数 f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 2.函数的周期性 (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个 =)的图象关于直线x=空宁对称：特别地，当@ 非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时， =b时，即f(a十x)=f(a-x)或f(z)=f2a-x) 都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x) 时，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 为周期函数，称T为这个函数的周期。 (4)若函数y=f(x)满足f(x)十f(2a-x)=2b, 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地，当 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 b=0时，即f(a+x)+f(a-x)-0或f(x)十 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 f(2a-x)=0时，则y=f(x)的图象关于点(a, 叫做f(x)的固 正周期. 0)对称. ®26[例5](1)C 解析 当x≥0时，若f(x)=x2-1=-1,则x= 0,要使f(f(a))=-1,即f(a)=0,显然a≥0,即a2-1= f()=1=-1,则x=-1,要0,可得a=1;当x<0时，若 使f(f(a))=-1,即f(a)=-1,此时，若a≥0,则a2-1= =-1,可得a=-1.综上，a=-1,可得a=0,若a<0,则- ±1或0. (2)C 解析 通过作图可发现f(x)为偶函数， 所以f(-a)=f(a),则f(a)≤f(1), 由图象可得只需|a|≤1,即-1≤a≤1,所以a的取值范围 是[-1,1]. [变式训练] 1.A 解析 由题意得，f(4)=f(1)=log?(I2+1)=1,所以 f(f(4))=f(1)=log?(I2+1)=1. 2.C 解析 由题设，当x>0时，f(x)=f(x-3), 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2026)=f(3×675+1)=f(1) =f(-2)=log?[2-(-2)] =log24=2. 3.BCD 解析 对于A,因为f(√3)=-(3)2+3=0,所以 f(f(√3))=f(0)=2,所以A错误；对于B,当x<1时，由 f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3,当x≥1时，由f(x) =-1,得-x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍 去),综上，x=2或x=-3,所以B正确；对于C,当x<1时， 由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,当x≥1时，由f(x)< 2,得-x2+3<2,解得x>1,综上，f(x)<2的解集为(-0, 0)U(1,+∞),所以C正确；对于D,当x<1时，x+2<3,当 x≥1时，-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-0,3),因为 Vx∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确. 第2讲 函数的单调性与最大(小)值 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1f(x?)<f(x?)2f(x?)>f(x?)3单调递增 ④单调递减 5区间I 6f(x)≤M 7f(x?)=M 8f(x)≥M 9f(x?)=M 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)× f(x)=2x-2+?=2+,所以f(x)在2.C 解析 因为 [3,4]上是减函数. 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M+m=6+4=10. 3.AC 解析 因为k=-2<0,所以函数f(x)=-2x+1是 减函数，故A正确；函数y=x2+1在(0,+)上单调递增， f(x)=x2+1根据复合函数的单调性可知 在(0,+0)上单 f(x)=x+9在调递减，故B错误；由对勾函数的性质可知 [3,+∞]上单调递增，故C正确；函数f(x)=x2-2x的图 象的对称轴为直线x=1且1∈[-2,4],又函数f(x)=x2- 2x的图象开口向上，所以f(x)=x2-2x在[-2,4]上的最 小值为f(1)=1-2=-1,故D错误.故选AC. +2年3<4.(3,1) 解析 由题意得 (3,1).m<1.所以实数m的取值范围是( 5.(-∞,-4) 解析 ∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的开口 向下， 对称轴方程为x=-(a+1),要使f(x)在(-0,3)上是增 函数， 只需-(a+1)≥3,即a≤-4,∴实数a的取值范围为(-∞, -4]. 提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)C 解析 对于A,因为y=Inx在(0,+∞)上单调递 增，y=-x在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)=-Inx在 (0,+∞)上单调递减，故A错误；对于B,因为y=2在(0, ,y=十○)上单调递增， 在(0,+∞)上单调递减，所以 f(x)=在(0,+一)上单调递减，故B错误；对于C,因为 y=1在(0,+一)上单调递减，y=-x在(0,+∞)上单调 f(x)=-递减，所以 -在(0,+一)上单调递增，故C正确； f(2)=3I+-1l=3+=√3,f(1)=3-=3对于D,因为 =1,f(2)=312-1=3, 显然f(x)=3lz-1l在(0,+∞)上不单调，D错误. (2)解 任取x,x?∈(-1,1),且x;<x?,f(x)=aca-1+1) =a(1+1),则 f(z?)-f(x?)=a(1+-1)-a(1+-1) =(z?-12(z?-1, 当a>0时，f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x?)-f(x?)<0,即f(x?)<f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递增. [变式训练] 1.D 解析 因为函数f(x)=-x |x|+2x= 222,>0作出函数f(x)的图象， 如图所示： y 2 1 -2-1 01 2\ 3x -1 -2 由图可知，递增区间是(-1,1),递减区间是(-○,-1) 和(1,+○). 2.AC 解析 对任意x?,x?∈(1,+∞),有fcz)-fC< 0,则函数在区间(1,+0)上为减函数， 对于A,f(x)=-2(x-1)2-2,由二次函数的图象与性质 可知满足题意，故A可选； ·361· 高考一轮总复习·数学·RJA 对于B,f(x)=-x,根据幂函数的性质，函数在区间(1, +∞)上为增函数，故B不可选； 对于C,f(x)=1+,,函数在区间(1,+∞)上为减函数，故 C可选； (1-图)=G+/3-去>0,即-1>1-竖.由二次函 8()<g(),因为2-1-(1-Z)=数性质知 G+/2-4,而(√6+√2)2-42=8+4√3-16=4√3-8= 对于D,f(z)=la-41={4-4,z<4,显然函数在区间(1, ,所以g(粤)>s(号).综4(3-2)<0,即6-1<1-2, 十∞)上不是单调函数，故D不可选.故选AC. 考点2 上，8(2)<8()<8(),又y=e2为增函数，故a<c [例2](1[县，+) 函数解析 由2x-1≥0,得. [县，+].又函数f(x)=x+√2x-1在的定义域为 x=2[_,+]上单调递增，∴当 时，函数取最小值 <b,即b>c>a. [例4]C 解析 由f(xy)=f(x)+f(y),可知f(4)=f(2)+ f(2)=3,得到f(2)=3,从而f(8)=1,因此f(2x)- f(x-3)>1可变为f(2x)>f(8)+f(x-3),即f(2x)> f(2)=县∴函数f(x)的值域为[_,+○]. (2)1 解析 法一 在同一坐标系中， f(8(x-3)),又函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以 解得3<x<4,所以该不等式的解集为(3, 作函数f(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示 的实线部分. 4). 3 [例5]B 解析 因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x) =e2+ln(x+1)单调递增， A y=h(x) 0 23 X m则需满足 解得-1≤a≤0, 易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为 即a的范围是[-1,0]. h(2)=1. [变式训练] h(a)={-8+3.z>22,法二 依题意， 1.A 解析 因为对任意的x?,x?∈[-∞,0](x?≠x2),有 当0<x≤2时，h(x)=log?x是增函数； 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. f)-Cz)<0,所以f(z)在[-,0]上单调递减， 又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4), [变式训练] 又f(-2)=f(2),所以f(-2)<f(3)<f(4). 2.D 解析 函数y=2°在R上单调递增，而函数f(x)= 1.8 解析 因为函数： 上都单调递减， y=(3),y=-log?(z+4)在[-2,2] 2a-a在区间(0,1)上单调递减，则有函数y=x(x-a)= (z-2)2-4 2≥1,解得a在区间(0,1)上单调递减，因此 f(x)=(3)-log?(x+4)在[-2,2]上单调所以函数) 递减， ≥2,所以a的取值范围是[2,+∞].故选D. 3.B 解析 f(x)=log?x+22的定义域为(0,+∞),且 f(-2)=(3)2-log?(-2+4)所以函数f(x)的最大值为 f(2)=5,所以不等式f(3x-2)<5即f(3x-2)<f(2).又 因为f(x)=log?x+22在(0,+∞)上单调递增，所以0<3x =9-1=8. xe(3,告).-2<2,解得。 f(x)=2x+"=2+m-22.3 解析 因为函数f ,由复合函数 f(x)=2x+m在[0,1]上单调递的单调性知，当m>2时， ,f(x)=2x+1在[0,减，最大值为f(O)=m=3;当m<2时， 1]上单调递增，最大值为f(1)=22m=3,即m=4,显然m =4不合题意，故实数m=3. 考点3 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 必备知识 夯实四基」 知识梳理 1f(-x)=f(x)2y轴 3f(-x)=-f(x)④原点 5最小 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(-2,0)U(2,5) 解析 由图象知，当0<x<2时，f(x) >0; [例3]A 解析 令g(x)=-(x-1)2,则g(x)开口向下，对称 2-1-(1-②)=G+/3-4,而(V6+轴为x=1.因为 当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以当-2<x< 0时，f(x)<0;当-5≤x<-2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(-2,0)U[2,5]. 3.B 解析 由f(x+3)=f(x-1),得f(x+4)=f(x),—1—√3)2-42=9+6√2-16=6√2-7>0,所以 ∴函数f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.又当x∈ ·362·高考一轮总复习·数学·RJA