第二章 第1讲 函数的概念及其表示-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

当m>0时，不等式解集为((-3,m); 成立”的充要条件为a>1, 所以一个必要不充分条件是a>0. 当m<0时，不等式解集为((m,m). [例5]B 解析 f(x)=4ax2+4x-1<0, 即4ax2<-4x+1. [变式训练] 解 将不等式 x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)(x-a2) 当x=0时，不等式恒成立，a∈R; >0. 4a<(-4+),当x≠0时，x2>0,则 当a<0时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当a=0时，a=a2=0,∴原不等式的解集为{x|x≠0}; 当0<a<1时，a>a2,∴原不等式的解集为{x|x<a2或 x>a}; 令t=1e(-,-1U(1,+∞), 则y=-4t+t2=(t-2)2-4∈[-4,+∞], 即4a<-4,解得a<-1. 当a=1时，a=a2=1,∴原不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>1时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x >a2}; [例6](-∞,1)U(3,+∞)解析 把不等式的左端看成关于 a的函数，记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对 于任意的a∈[-1,1]恒成立，得f(-1)=x2-5x+6>0, 当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}; 且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组{2-32+2>0, 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 得x<1或x>3. [变式训练] 考点2 [例3]ABC 解析 根据二次函数开口与二次不等式之间的关 1.D 解析 由于不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒 成立， 系可知a<0,A正确； ax2+bx+c=0的根为-1,3,则 即 ∴a+b+c=-4a>0,B正确； 当a=0时，不等式为2x<0,此时x<0,不符合题意， 当a≠0时，ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立，则 {a=4-4a2<0,解得a<-1,所以实数a的取值范围为 (-0,-1). e[喜，2],2.C 解析 ∵x∈[2,3],y∈[3,6],则- c=-3a>0,C正确； ∴∈[1,3], cx2-bx+a<0,即-3ax2+2ax+a<0,则3x2-2x-1< 0,解得-3<x<1, 又∵mx2-xy+y2≥0,且x∈[2,3],x2>0, 可得m≥*-()2, {z-3<a<1},D错误.故∴cx2-bx+a<0的解集为 选ABC. [变式训练] 令t=∈[1,3],则原题意等价于对一切t∈[1,3],m≥t- t2恒成立， AB 解析 由题意，不等式 ax2-bx+c>0的解集 t=2,∵y=t-t2的开口向下，对称轴为 是(-1,2), 可得-1,2 是方程 ax2-bx+c=0的两个根，所以 且a<0,所以A正确； 则当t=1时，y=t-t2取到最大值ymx=1-I2=0, 故实数m的取值范围是m≥0. 第二章 函数的概念与基本初等函数 第1讲 函数的概念及其表示 [必备知识 夯实四基] 又由b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以B正确； 当x=-1时，此时a+b+c=0,所以C不正确； 知识梳理 1对应关系 2解析法 3图象法 4列表法 5并集 把b=a,c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0,可得ax2+2ax+ 诊断自测 a<0, 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 因为a<0,所以x2+2x+1>0,即(x+1)2>0,此时不等式的 解集为{x|x≠-1},所以D不正确. 2.B 解析 A中，f(x)的定义域为{x|x≠-1},g(x)的定义 域为R,故A错误； 考点3 B中，g(x)=√4x2=2|x|=f(x),B正确； x<去，不[例4]A 解析 当a=0时，则有-2x+1>0,解得 合题意； C中，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(0,+∞),故C 错误； {d=4-4a<0,当a≠0时，则 解得a>1. 综上所述，“关于x的不等式ax2-2x+1>0对Vx∈R恒 D中，y=√x+1√x-1的定义域为(1,+∞),由x2-1≥0 可得y=√x2-1的定义域为(-∞,-1)U[1,+∞),D 错误. ·359· 高考一轮总复习·数学·RJA 3.[-4,-π]U(一π,π)U(π,4] 解析 由题意可得，1+cos x [变式训练] ≠0且16-x2≥0,可得x≠π+2kπ且-4≤x≤4,即定义域 >0,即(1-f(x)=1g+有意义，则1.B 解析 要使 为[-4,一π]U(一π,π)U(π,4]. 4.BC 解析 A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图 象，由函数的定义可知，选项B,C正确. x)(1+x)>0,解得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为 (-1,1);要使g(x)=f(x-1)+√2x-1有意义，则 5.x2-2(x≥0)解析 令t=√x+1≥0,则x=t2-1, ∴f(t)=t2-1-1=t2-2,∴函数f(x)的解析式为f(x)= {2-{≥-01<1解得一2≤x<2,,所以函数g(x)的定义域 x2-2(x≥0). [提升能力 考点剖析] 为{z2<a<2}. 考点1 [例1](1)B 解析 A中1<x≤2中的x没有对应的象，不符 合；B符合函数定义，C也符合函数定义，D中对于0<x≤2 的x有两个象与之对应，不符合.所以有2个满足. t)-1>解得-1<x2.(-1,0)解析 由已知可得 <0.因此，函数f(x)的定义域为(-1,0). 考点3 (2)D 解析 A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对 应，故A选项不正确； [例3]解(1)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x= 1-t. B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不 正确； ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t -t2,t∈[0,2]. C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故 C选项不正确； 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D 选项正确.故选D. (2)(配凑法)∵f(x+1)=x2+1=(x+1)2-2, ∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)U[2,+一). [变式训练] (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+ 1.ACD 解析 在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个 因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交 点，故选项B中的图象不是函数图象. f(x)= 的定义域为(-∞,0)2.BC 解析 对于A,函数 b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. {o=2,即az+(5a+b)=2z+17:{5a-+6=17.解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. g(z)={-1,<oU0,+∞),函数： 的定义域为R,两函数 的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B,由 题意，在f(x)=√z+1-1中，≠0.解得x≥-1且 (4)(方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用—x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. [变式训练] 1.x2-4 解析 因为f(x-1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,所 x≠0,故B正确；对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2 -2t+1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个 函数，故C正确；对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得 以f(x)=x2-4. 2.2x2-x+1 解析 设二次函数f(x)=ax2+bx+ c(a≠0), f(2)=0,所以f(f(去))=f(0)=1,故D错误。 已知二次函数f(x)满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2- 4x+6, 考点2 [例2](1)A 解析 由题得< 解得-2<x≤1且x≠ -1. 即a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c =16x2-4x+6, 1,r)-2z-+1解得<可得< [125,0]u[1,1±25](2) 解析 因为函数y=f(x)的定 [-,], [例4](1)A 解析,所以在函数y=f(x2-x-2))中，义域为 1?≤x≤0或1≤x-2≤&2-x-2≤县，解得 ≤1+215 (2)A 解析因为3<2+ log?3<4,f(x)= 考点4 ∵f(x)={1os.(2+3,z>0.f(-1) =21-1=-,∴f[If(-1)I]=f(2)= log?(2×_+3)=2.故选A. 故函数 y=f(x2-x-2) 的 定 义 域 为 15,0]u[1,1±25]. (a2+1),a?所以f(2+log?3)=f(3+log23)= 23+1og3=8×2hg3=8×3=24. 高考一轮总复习·数学·RJA ·360· [例5](1)C 解析 当x≥0时，若f(x)=x2-1=-1,则x= 0,要使f(f(a))=-1,即f(a)=0,显然a≥0,即a2-1= f()=1=-1,则x=-1,要0,可得a=1;当x<0时，若 使f(f(a))=-1,即f(a)=-1,此时，若a≥0,则a2-1= =-1,可得a=-1.综上，a=-1,可得a=0,若a<0,则- ±1或0. (2)C 解析 通过作图可发现f(x)为偶函数， 所以f(-a)=f(a),则f(a)≤f(1), 由图象可得只需|a|≤1,即-1≤a≤1,所以a的取值范围 是[-1,1]. [变式训练] 1.A 解析 由题意得，f(4)=f(1)=log?(I2+1)=1,所以 f(f(4))=f(1)=log?(I2+1)=1. 2.C 解析 由题设，当x>0时，f(x)=f(x-3), 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2026)=f(3×675+1)=f(1) =f(-2)=log?[2-(-2)] =log24=2. 3.BCD 解析 对于A,因为f(√3)=-(3)2+3=0,所以 f(f(√3))=f(0)=2,所以A错误；对于B,当x<1时，由 f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3,当x≥1时，由f(x) =-1,得-x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍 去),综上，x=2或x=-3,所以B正确；对于C,当x<1时， 由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,当x≥1时，由f(x)< 2,得-x2+3<2,解得x>1,综上，f(x)<2的解集为(-0, 0)U(1,+∞),所以C正确；对于D,当x<1时，x+2<3,当 x≥1时，-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-0,3),因为 Vx∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确. 第2讲 函数的单调性与最大(小)值 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1f(x?)<f(x?)2f(x?)>f(x?)3单调递增 ④单调递减 5区间I 6f(x)≤M 7f(x?)=M 8f(x)≥M 9f(x?)=M 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)× f(x)=2x-2+?=2+,所以f(x)在2.C 解析 因为 [3,4]上是减函数. 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M+m=6+4=10. 3.AC 解析 因为k=-2<0,所以函数f(x)=-2x+1是 减函数，故A正确；函数y=x2+1在(0,+)上单调递增， f(x)=x2+1根据复合函数的单调性可知 在(0,+0)上单 f(x)=x+9在调递减，故B错误；由对勾函数的性质可知 [3,+∞]上单调递增，故C正确；函数f(x)=x2-2x的图 象的对称轴为直线x=1且1∈[-2,4],又函数f(x)=x2- 2x的图象开口向上，所以f(x)=x2-2x在[-2,4]上的最 小值为f(1)=1-2=-1,故D错误.故选AC. +2年3<4.(3,1) 解析 由题意得 (3,1).m<1.所以实数m的取值范围是( 5.(-∞,-4) 解析 ∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的开口 向下， 对称轴方程为x=-(a+1),要使f(x)在(-0,3)上是增 函数， 只需-(a+1)≥3,即a≤-4,∴实数a的取值范围为(-∞, -4]. 提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)C 解析 对于A,因为y=Inx在(0,+∞)上单调递 增，y=-x在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)=-Inx在 (0,+∞)上单调递减，故A错误；对于B,因为y=2在(0, ,y=十○)上单调递增， 在(0,+∞)上单调递减，所以 f(x)=在(0,+一)上单调递减，故B错误；对于C,因为 y=1在(0,+一)上单调递减，y=-x在(0,+∞)上单调 f(x)=-递减，所以 -在(0,+一)上单调递增，故C正确； f(2)=3I+-1l=3+=√3,f(1)=3-=3对于D,因为 =1,f(2)=312-1=3, 显然f(x)=3lz-1l在(0,+∞)上不单调，D错误. (2)解 任取x,x?∈(-1,1),且x;<x?,f(x)=aca-1+1) =a(1+1),则 f(z?)-f(x?)=a(1+-1)-a(1+-1) =(z?-12(z?-1, 当a>0时，f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x?)-f(x?)<0,即f(x?)<f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递增. [变式训练] 1.D 解析 因为函数f(x)=-x |x|+2x= 222,>0作出函数f(x)的图象， 如图所示： y 2 1 -2-1 01 2\ 3x -1 -2 由图可知，递增区间是(-1,1),递减区间是(-○,-1) 和(1,+○). 2.AC 解析 对任意x?,x?∈(1,+∞),有fcz)-fC< 0,则函数在区间(1,+0)上为减函数， 对于A,f(x)=-2(x-1)2-2,由二次函数的图象与性质 可知满足题意，故A可选； ·361· 高考一轮总复习·数学·RJA 第二章函数的概念与基本初等函数可 第日章 函数的概念与基本初等函数 第1讲函数的概念及其表示 课标要求！ 1,了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用」 必备知识 夯实四基⑦ 对拉答案P359 知识梳理 (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合 (3)f(x)为对数式时，函数的定义城是真数为正 1.函数的有关概念 数、底数为正且不为1的实数集合。 前提杀件箭定两个集合4乃为非堂的必数率 (4)若f(x)=x°，则定义域为{xx≠0}. 如果对丁集个A中的仁意一个数 定义对成关系” 安照某种论定的对成关系，在袋合 (5)正切函数y=tanx的定义域为 中部唯一确的数和它对应 x≠m+受，k∈Z, 结论 称：A→书为从集个A到华介的 个函数，L作：xxEA 粉关宠义减的暇伯范佩☑ 诊断自测 K念 值城☐H函数伯的朱合xkEA! 思考辨析 2.函数的三要素：定义域、值域、四 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 3.函数的表示法 “X”) 表示函数的常用方法有：☑ ☒ (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个 回 函数是同一个函数 () 4.分段函数 (2)任何一个函数都可以用图象法表示.() (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关 (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多 () 系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 个交点 数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数 x-1,x≥0， (4)函数f(x)= 的定义域为R x2,x<0 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集，其值域等于各段函数的值域的固 教材衍化 常用结论 2.(人A必修第一册P66倒3改编)下列各组函数 1.直线x=u(a是常数)与函数y=f(x)的图象至 中，表示同一个函数的是 () 多有1个交点 2.注意以下几个特殊函数的定义城： A)-者与a=一 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合 B.f(x)=2x与g(x)=√4x 19⑧ 国高考一轮总复习·数学，RJA C.f(x)=与g(x)=(x) y≤1}为值域的函数的图象是 D.y=x+Ix-I与y=√/x-1 3.(人A必修第一册P72习题T1改编)函数f(x) 2x一十/16-7的定义域是 1十cosx 5.(急略函数的定义域致错)若函数f(√x十1) 易错自纠 x-1,则f(x)= 4.(多选)（函数的概念理解效错）下列图形中可以 表示以M={x0≤x≤1}为定义域，V={y0≤ 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P360 考点 函数的概念（师生共研） [例1](1)设集合M={x0≤x≤2)，N= (2)构成西数的三要素中，定义域和对应关系相 {y0≤y≤3}.下列四个图象中能表示从集合 同，则值城一定相同. M到集合N的函数关系的有 冬变式训练 1.(多选)(2025·南宁质检)下列图象中，是函数图 象的是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 (2)下列可以作为集合A到集合B的一个函数 的是 2.(多选)下列说法中正确的有 A.A=R,B={yy≥0}，f:x→y=√a A.f(x)=与g(x)= 1,x≥0， 表示同一个 B.A=R,B=(yly>0),f:ry=lx -1,x<0 C.A={xx≥01，B=R.f:x+y=x 函数 D.A=R,B={1},f:x→y=1 B函数f()=2中-的定义城是[-一1,0) 感悟方法 U(0,+∞) (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个 C.f(x)=x2-2.x+1与g(0)=-21+1是同- 元素在非空数集B中有且只有一个元素与之 个函数 对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中 D.若fx)=1x-11-x,则f(f()=0 有可能存在与A中元素不对应的元素， ⑧20 第二章函数的概念与基本初等函数回 考点2 函数的定义域（师生共研） 例2] （1)函数f八x)=1gx十2)十V2=2x的定 2.求抽象西数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义城为[a,b们，则复 义域为 合函数f(g(x)的定义域可由不等式a≤ A.(-2,-1)U(-1,1] g(x)≤b求出. B.(-2.1D (2)若已知函数f(g(x)的定义战为[a,b们 C.[-2,-1)U(-1,1) 则f(x)的定义拔为g(x)在x∈[a,b]上的 D.(-2.1] 值战 (2已知函数x)的定文城为[-·号】，则函 冬变式训练多 数y=f(x-x一2)的定义域为 1h.已知函数x)=lg卡则函数x)=x 1)+√2x-1的定义域是 () 感悟方法2 A.{xx>2或x<0} 1.求给定解析式的函数定义城的方法 {<<2 求给定解析式的函数的定义城，其实质就是 C.(x.x>2 n≥ 以函西数解析式中所含式子（运算）有意义为准 则，列出不等式或不等式组求解：对于实际问 2.函数f(x)= 2+g[(得广-]的定义城为 题，定义域应使实际问题有意义 考点3 求函数的解析式（师生共研） [例3]求下列函数的解析式： 感悟方法 (1)已知f(1-sinx)=cosx,求f(x)的解 函致解析式的求法 析式： (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 2)已知f儿+）=+号，求f)的解 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代 g(x),便得f(x)的表达式. 析式： (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x 数、二次函数)可用待定系数法 一1)=2x+17,求f(x)的解析式： (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式， (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3.x,求 可用换元法，此时耍注意新元的取值范围。 f(x)的解析式. (4)方程思想：已知关于∫(x)与∫()或 f(一x)等的表达式，可根据已知条件再构造出 另外一个等式组成方程红，通过解方程组求出 f(x). 冬变式训练 1.已知fx-1)=x2-2x-3,则f(x)= 2.已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2.x十1)十 f(2.x-1)=16x2-4.x+6,则f(x)= 21® 国高考一轮总复习·数学，RJA 考点业 分段函数（多维探究） 角度1求分段函数值 2,已知函数值或函数的取值范围求自变量的值 2-1,x≤0， [例4](1)已知函数f(x)= 则 或范围时，应根据每一段的解析式分别求解， log(2.x+3),x>0, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符 /1f(-1)1门= ( 合相应段的自变量的取值范国。 A.2 B.1 1 C. D.0 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应 2,x≥4， 分类讨论 (2)已知函数f(x)= 则f(2+ f(x+1),.x4, 冬变式训练 1og3)的值为 ( log(x+1),x≤2， A.24 B.16 C.12 D.8 1.已知函数f(x)= 则 f(x-3),x>2, 角度2解分段函数方程或不等式 f(f(4)= x-1,x≥0， A.1 B.2 C.3 D.4 例5] (1)已知函数f(x)= 若 <0, 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(f(a)=-1.则a= l0g2(2-x).x0, 则f(2026)等于() A.1或-1 B.1或0 f(.x-3),.x>0, C.1或-1或0 D.-1或0 A.0 B.1 C.2 D.3 x2十2x,x≥0 x+2,x<1, (2)已知函数f(x)= 若f(-a) x2-2x,x<0. 3.(多选)已知函数f(x)= 则 -x2+3,x≥1， 十f(a)≤2f(1),则a的取值范围是 A.[-1,0) B.[0,1] A.f(f(3)=3 C.[-1,1] D.[-2,2] B.若f(.x)=一1，则x=2或x=-3 感悟方法 C.f(x)<2的解集为(-o,0)U(1,十o∞) 1,根据分段函数解析式求函数值，首先确定自 D.若Hx∈R,a>f(x),则a≥3 变量的值属于娜个区间，其次选定相应的解 析式代入求解 请完成《课时检测训练6 第2讲 函数的单调性与最大（小）值 课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质， ®22