第八章 第7讲 直线和椭圆、双曲线-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJA (2)在双曲线的几何性质中重，点是渐近线方程 冬变式训练 和离心率、在双曲线。一 =1(a>0.b>0)中. 1.（2024·新特会四I多)设双曲线C后-若 离心率·与双曲线的渐近线的斜率k=士 ,满 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F:,过F, a 作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|FA 足关系式=1十 =13,AB=10,则C的离心率为 角度2离心率 [例4幻(2023·新高考全国【卷)已知双曲线C: 2双值线C号若=1a>0,6>0)的左，右焦点 若芳=10>0,6>0)的左：右焦点分别为 分别为F,(一c,0),F(c,0),过F2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A,若△AF,F:的 F,F·点A在C上，点B在y轴上，F,A⊥ F,F,=-号F店，则C的离心率为 面积为2c,则双曲线C的渐近线方程为 感悟方法 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何 关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或 不等式，利用c2=a+b和e=￡转化为关于e a 的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求 请完成《课时检测训练51》 得离心率的值（或范国） 第7讲 直线和椭圆、双曲线 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P442 考点1 直线与椭圆、双曲线的位置关系（师生共研） 例1门 已知直线：y=2r+m,椭圆C:号+号 1.试问当m取何值时，直线！与椭圆C: (1)有两个不重合的公共点： (2)有且只有一个公共点： (3)没有公共点. 174 第八章平面解析几何回 感悟方法 2.对于过定点的直钱，也可以通过定点在椭圆 1.判断直线1与圆雏曲线C的位置关系时，通 内部或椭國上判定直线和椭圆有交，点 常将直线I的方程Ax十By十C=0(A,B不 冬变式训练” 同时为O)代入圆锥曲线C的方程F(x,y) 0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的 1.若直线y=缸十1与椭圆号+=1总有公共 方程a.x2+bx+c=0(或ay+by十c=0). 点，则m的取值范围是 () (1)当a≠0时，则△>0时，直线1与曲线C A.m>1 B.m>0 相交：△=0时，直线1与曲线C相切：△<0 C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5 时，直线I与曲线C相离. 2.若直线y=k.x+2与双曲线x一y2=6的右支交 (2)当Q=0时，即得到一个一元一次方程，则 于不同的两点，则k的取值范围是 () 【与C相变，且只有一个交点，此时，若C为 V15V15 双曲线，则直线【与双曲线的渐近线平行：若 A.（-3,3 C为抛物线，则直线！与抛物线的对称轴平 行或重合 n(- 考点2 中点弦及弦长问题（多维探究） 角度1中点弦问题 (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线！与 [例2](2023·全国乙卷理科)设A,B为双曲线 椭圆或双曲线相交于A(,为)，B(y)两个 x2 9 =1上两点，下列四个点中，可为线段 不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： AB中点的是 ①1AB=√1+kIx-x A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1.-4) =√十k)[(x1十x2)一41x2J: 感悟方法☑ 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 @1AB=1+1y一￥ 根与系数的关系法：联立线和四箍出线 思骆一的方程得列方程消元列元二次方程 √1+泰)[0y+y产-4y]≠0. 后川秋山茶数的关系及中点坐杯公式求保 。。。。。。。。。。。。。。。。 《鉴法：没直线与圆优曲线的交点依的瑞 》变式训练 点坐标为心.B以，将这两点坐标代入 思路三问镰曲线的疗程并对所得两式什老得到 1.(2023·云南曲靖·二模)设直线1与双曲线C: 个与或AB的巾点和直线A斜有关的式子 可以大大减少川算量 a? =1(a>0,b>0)交于A,B两点，若M是 角度2 弦长问题 斜率为1的直线1与椭圆吃+了=1相交 线段AB的中点，直线1与直线OM(O是坐标原 [例3] 点)的斜率的乘积等于2，则双曲线C的离心率 于A,B两点，则|AB引的最大值为 ( 为 () A.2 B23 C.26 D43 3 3 3 A.2 B.3 C.2 D.3 感悟方法 2.过椭圆写十y=1的左焦点作倾斜角为60的直 弦长的求解方法 (1)当弦的两瑞，点坐标易求时，可直接利用两点 线，直线与椭圆交于A,B两点，则|AB| 间的距离公式求解. 175® 回高考一轮总复习·数学·RUA 考点3 直线与椭圆、双曲线的综合问题（师生共研） [例4们 设双曲线C:写-=1，其右熊点为卫，过 冬变式训练多 (2024·新课标全回I卷)已知A(0,3)和 F的直线/与双曲线C的右支交于A,B两点. (1)求直线1倾斜角0的取值范围： P,)为椭图c+ =1(a>b>0)上两点. (2)直线AO(O为坐标原点)与曲线C的另一个 (1)求C的离心率： 交点为D,求△ABD面积的最小值，并求此时( (2)若过P的直线I交C于另一点B,且△ABP 的方程， 的面积为9，求1的方程. 感悟方法 1.求解直线与椭圆、双曲线的综合问题的基本 思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方 程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在 代数运算中经常运用设而不求的方法， 2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜 率不存在的情况，则设直线方程为x=1y十m 避免讨论：若所研究的直线的斜率存在，则可 设直线方程为y=kx十b的形式：若包含平行 请完成《课时检测训练52》 于坐标轴的直线，则不要忘记对斜率不存在 的情况进行讨论 第8讲 抛物线 课标要求」 1.掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心名） 3.了解抛物线的简单应用。 ®176则IFAI=+=6, 所以|OA|=√IOF?I2-|F?A|2=√c2-b2=a, 所以S△mr,=2ab, 2bc,SAmrp=2Sm,因为△AF?F?的面积为- 2bc=2×2ab,即c=2a,所以- =3,故岳=3,所以a2+b2=4a2,即 所以双曲线C的渐近线方程为y=±√3x. 第7讲 直线和椭圆、双曲线 [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1]解 将直线L的方程与椭圆C的方程联立，得方程 组< 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③根的判别式△=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2 +144. (1)当△>0,即-3√2<m<3√2时，方程③有两个不同的实 数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭 圆C有两个不重合的公共点. (2)当△=0,即m=±3√2时，方程③有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线L与椭圆C有且只有一 个公共点. (3)当△<0,即m<-3√2或m>3√2时，方程③没有实数根，可 知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点. [变式训练] 1.D 解析 方法一：由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， ≤1故 且m≠5,即m≥1且m≠5. {ma+51-5m=o,方法二：由 消去y整理得 (5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0. 由题意知△=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R 恒成立， 即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5, 所以m≥1-5k2恒成立， 所以m≥1且m≠5. 2.D 解析 由-=26, 得(1-k2)x2-4kx-10=0. 设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x?,y?),B(x2,y?), 则 解得一3?<k<-1, (-35,-1).即k的取值范围是 考点2 [例2]D 解析 设A(x?,y?),B(x?,y?),则AB的中点 M(2z,y2), 可得k一 因为A,B在双曲线上，则 两式相减得(x2- )22=0, 所以Am·k==9. 对于选项A,可得k=1,kA?=9,则直线AB:y=9x-8, -1消去y得72x2-2×72x+73=0,联立方程组 此时△=(-2×72)2-4×72×73=-288<0, 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； k=-2,k?=-2,对于选项B,可得 则直线AB:y=-2x-5, 消去y得45x2+2×45x+61联立方程组 =0, 此时△=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0, 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C,可得k=3,kAB=3,则直线AB:y=3x. 由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲 线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D,k=4,km=4,则直线AB:y=4x-4, 消去y得63x2+126x-193联立方程组 =0, 此时△=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两 个交点，故D正确.故选D. [例3]D 解析 设A,B两点的坐标分别为(x?,y?),(x?,y?), 直线L的方程为y=x+m, +-消去y得3x2+4mx+2(m2-1)=0,则x?+ z=-3,x;?=2m3-1), ∴|AB|=√1+k2|x?-x?I =√1+k2·√(x?+x?)2-4x?T? =√z·√(-4m)2-8(m3-1 =232·√6-2m2, 433∴当m=0时，|AB|取得最大值 .故选D. 高考一轮总复习·数学·RJA ·442· [变式训练] 1.D 解析 设A(x?,y?),B(x?,y?),易知x?≠x?,x?≠-x?, +,则2-则直线AB的斜率为 ,直线OM的斜率为 +学·离=2 因为点A,B在双曲线C上， 当u=-3,即m=0时，等号成立，此时△ABD面积的最 33,直线L的方程为x=2.小值为- [变式训练] =1,一=1,所以有 解(1)由题意得 解得a2=12, =√1-=√1-9-2.-+·二，所以有=2,,所以(两式相减并整理可得 =√1+=3离心率为 8/Z2. +y2=1,∴焦点分别为解析 ∵椭圆方程为 (2)法一A-,则直线AP的方程为y=-2 +3,即x+2y-6=0, F?(-1,0),F?(1,0). ∵直线AB过左焦点F?,倾斜角为60°,∴直线AB的方程为 IAPl=√0-3)2+(3会)-35 +9,由(1)知C: =1,y=√3(x+1),将直线AB方程与椭圆方程联立消去y,得 7x2+12x+4=0.设A(x?,y?),B(x2,y2),可得x?+x?= -号，xx?=4∴|x?-x?I=√(x;+x?)2-4x,x?=4-2, 因此|AB|=√1+(√3)2·|x?-a?I=8,2 考点3 设点B到直线AP的距离为d,则5 125则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, [例4]解(1)由双曲线C:3-y2=1,,得c2=3+1=4,c=2, 设该平行线的方程为x+2y+C=0, 则右焦点F(2,0),显然直线L的斜率不为0. -2设直线L的方程为x=my+2,由 则LC?6-2.5,解得C=6或C=-18, 当C=6时，联立+)+- {=3或解得 得(m2-3)y2+4my+1=0. 因为直线l与双曲线C的右支交于A,B两点， 设A(x?,y?),B(x?,y2), 即 B(0,-3)或 (-3,-2). △=16m2-4(m2-3)>0,y,+y?=m2-3,yx?=m2-3 则< 解得—√3<m<√3. k?=2当B(0,-3)时，此时 ,直线L的方程为y=2x-3,即 3x-2y-6=0, 当B(-3,-2)时，此时k?=2,直线l的方程为y=2x,即 x-2y=0. +)-8得2y2-27y+117=0,当C=-18时，联立< △=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上，直线L的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 当m=0时，直线L的倾斜角0=2; 法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, k>或k<-3当m≠0时，直线L的斜率 d=12、5,点B到直线AP的距离( (6,6).综上，直线L倾斜角θ的取值范围为( (2)因为O是AD的中点，所以 Sm-2Sm=2×÷10Fllv-xI=2√+x)2-4xx 设B(x?,yo),则 =2√(=4)-43=2√m231 解得 令t=m2-3,则t∈(-3,0), Sam=4/3/4?=4/3√4+1=4√3√4u2+u, u=1,且ue(-,-3)其中z 又y=4u2+u在[-,-3].上单调递减， 所以S△3 (-3,2)即B(O,-3)或( ,以下同法一. 法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, a=1255,点B到直线AP的距离( 设 B(2√3 cos θ,3sin θ),其中θ∈(0,2π),则有 12√3cs?sine-6=2J5, · 443· 高考一轮总复习·数学·RJA 或{--1,联立 cos2θ+sin2θ=1,解得 =2x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 法六：当l的斜率不存在时，l:x=3,B(3,-2),|PB|=3,A (-3,-2),即B(0,-3)或( ,以下同法一； 到PB的距离d=3, 法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B(0,-3), SAPM=2×6×3=9,符合题意，此时k,=2,直线L的方程为 y=2x-3,,即3x-2y-6=0. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3, ++-1.则(4k2+3)x2+24kx=0,其中k联立椭圆方程有 此时SAP=2×3×3=2≠9不满足条件。 当直线L的斜率存在时，设l:y=k(x-3)+2, 设1与y轴的交点为Q,令x=0,则Q(0,-3k+会), +--+则有(3+4k2)x2-8k(3k-2)x+36k联立 -36k-27=0, k≠-2,≠kAp,即 x=4-243,k≠0,k≠-2,解得x=0或a 其中△=8k2(3k-2)2-4(3+4kR)(36k2-36k-27)>0,且k ≠-2 y=-42++9,则B(-2+3,=42k+39),令x=4K2+3,则 同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, d=125,点B到直线AP的距离( 则3x=36k3+4k-27,xa=123+12k-9, 则s=2AQllco-al=23k+3|3+18=9,,解得k =2或k=,经代入判别式验证均满足题意。 +2x6125,解得k=2,则 则直线L为y=2x或y=2x-3,即3x-2y-6=0或x-2y k=2此时B(-3,-2) ,直线L的方程为y=),则得到此时 2x,,即x-2y=0. =0. y A P 综上，直线L的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法五：当L的斜率不存在时，l:x=3,B(3,-2),|PB|=3,A o X Q 到PB的距离d=3, B 此时S△p=2×3×3=2≠9不满足条件。 第8讲 抛物线 [必备知识 夯实四基] B(x2,y?), 消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+ 36k2-36k-27=0, 当L的斜率存在时，设PB:y-2=k(x-3),令P(x?,y),知识梳理 1相等 2焦点 3准线 4x轴 5y轴 6(0,0)71 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A 解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 (0,6),准线方程为y=-16y轴正半轴上，焦点坐标为 △=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP, 即k≠-, IMF|=xm+号，则3+2=4,即p=3.B 解析 由题意可得 -AFA+ 45Js++ 2,故抛物线方程为y2=4x. x2=4 (0,36),4.C 解析 由题意，抛物线： 的焦点坐标为 故选C. 5.A 解析 因为抛物线x2=my过点M(x?,-3),所以m< 0,抛物线x2=my的焦点为F(0,4),由抛物线的定义可知 |MFI=ly?I+2=3+2=3-4=5,解得m=-8. [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)D 解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线 l:x=-1, 由于|AF|=4,根据抛物线的定义可知，A点的横坐标为3, 由y2=4×3=12>y=±2√3,不妨设A(3,2√3), A关于L的对称点为A?(-5,2√3),|PA|=|PA?I, s-A到直线 PB的距 离( 5CJAx+ 2,∴k=2或 ,代入判别式验证均满足题意，∴L:y=2x或y 高考一轮总复习·数学·RJA ·444·