第八章 第6讲 双曲线-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第八章平面解析几何回 第6讲 双曲线 课标要求！ 1,了解双曲线的定义、几何图形和标准方程， 2.掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）. 3.了解双曲线的简单应用. 必备知识 夯实四基⑦ [对应客案P440] 知识梳理 常用结论 1.双曲线的定义 (1)双曲线的焦，点到其渐近线的距离为b. 把平面内与两个定点F,F。的距离的差的回 (2)若P是双曲线右支上一点，F,F2分别为双 等于非零常数（☑ |FF:|)的点的 曲线的左、右焦点，则|PF|=a十c,|PF:| =c-a. 轨迹叫做双曲线.两个定点F,F2叫做双曲线的 (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂 3 ,两焦点间的距离叫做双曲线的④ 直子实轴的孩)，其长为登 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意 一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则 标准方程 =1(a>0,6>0) =1(a>0,b>0) .= ,其中0为∠EPF. tan 2 图形 (5)与双曲线号 a =1(a>0,b>0)有共同渐近 b 线的方程可表示为气一京=1（≠0）. 焦点 固 焦距 四 诊断自测 范围 成回回 ,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 思考辨析 对称性 对称轴：国 :对称中心：国 1.判斯（在括号内打“√”或“×”） 顶点 國 (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的 轨迹是双曲线. () 实轴：线段☑ ,长：国；虚轴：线段 轴 BB,长：国 ,实半轴长：回，虚半轴长： (2)方程亡-兰-1(mm>0)表示焦点在工轴上 m n 國 的双曲线。 () 离心率 (3)双曲线 _y m一京=1(m>0,n>0)的渐近线方 渐近线 y=±分 程是二士义=0. () m n a.b.c (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等 e2=@ (c>a>0,c>b>0) 的关系 于2. () 171® 回高考一轮总复习·数学·RUA 教材衍化 易错自纠 2.(人A选择性必修第一滑P121T3改编)已知曲 t'y (电视双曲线的定义惑误)已知双曲线C,号一兰 线C的方程为十十一 =1(k∈R),若曲线C =1的左、右焦点分别是F,Fg,点P在双曲线C 是焦点在y轴上的双曲线，则实数的取值范围 是 上，且PF|=7,则1PF2|= () ( A.-1<k<5 B.k>5 A.13 B.16 C.k<-1 D.k≠-1或5 C.1或13 D.3或16 3.(人A选择生必修第一册P127T1改编)设P是 5.(忽视焦点的位置致娱)若双曲线的渐近线方程 双自线6一斋-1上一点，R,R,分别是双商线 为y=士3x,它的焦距为2√10，则该双曲线的标 的左、右焦点，若|PF|=9,则|PF2| 准方程为 [对应客案P440] 提升能力 考点剖析⊙ 考点 双曲线的定义及应用（师生共研） [例1](1)与圆(x十2)2+y2=2外切，且与圆x 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条 十y2一4x=0内切的圆的圆心在 件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一 A.抛物线上 B.圆上 支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支， C.双曲线的一支上 D.椭圆上 多变式训练 (2)已知F1,F2为双曲线C:x2一y2=2的左、右 1.(2024·河南洛阳·模拟)设F(-2,0),F2(2, 焦点，点P在C上，∠FPF,=60°，则△FPF 0),M(x,y)满足IMF,|-MF2|=2,且x2+y 的面积为 =4,则△FF,M的面积为 () 【发散探究】 A.3 在本例(2)中，若将“∠FPF2=60”改为“PF B名 ·PF,=0”,则△FPF:的面积为 C.9 D号 感悟方法2 2.(2023·江西禁州·统考一模)已知点A(0,3√7)， 双曲线定义的应用 双曲线E号-苦-1的左焦点为F,点P在双 (1)判定满足莱条件的平面内动点的轨迹是否 曲线E的右支上运动.当△APF的周长最小时， 为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程. API+PFI= () (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦 A.62 B.7√2 定理，经常结合|川PF,|一|PF2|=2a,运用平 C.8v2 D.9w2 方的方法，建立|PF|与|PF2|的关系. ®172 第八章平面解析几何回 考点2 双曲线的标准方程（师生共研） y 例2](1)(2024·新高专天请卷)双曲线号万 (2)待定系效法：“先定型，再定量”，如果焦点位 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F.P 置不好确定，可将双曲线方程设为 y =入 是双曲线右支上一点，且直线PF,的斜率为2. △PF,Fg是面积为8的直角三角形，则双曲线 (入≠0)，再根据条件求入的值. 的方程为 多变式训练》 1,已知双曲线号一胃 =1(a>0,b>0)的虚轴长为 (②)与椭圆C若+后-1共焦点且过点1w5) 2,离心率为5 ,则其方程是 () 的双曲线的标准方程为 A￥1 A.2-号=1 3 B.y2-2x2=1 c号-营-1 n号-=1 c苦-y-l nr-等- 2.在平面直角坐标系中，已知圆M:(x十2)2十y2= 感悟方法 求双曲线的标准方程的方法 12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点，线段NQ (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲 的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的 线，确定2a,2b或2c,从而求出a2,b 轨迹为曲线E,则曲线E的方程为 考点3 双曲线的几何性质（多维探究） 角度1渐近线 F2,点A为虚轴上的端点，若△AFF2是顶角 [例3】D已知双曲线C,之-x2=1(m>0)的离 为120°的等腰三角形，则C的渐近线方程为 m () 心率e= ?,则双曲线C的渐近线方程为 Ay= 2 B.y=土√2x ( C.y=士2x D.y=士2W2x A.y=±2x B=士 感悟方法2 C.y=土√2x Dy= 22 1)渐近线的求法：求双曲线后一京=1(a>0,6 （2)(2023·山西运城·携拟)已知双曲线C:乙 >0)的渐近线的方法是令三-兰 a? =0，即得两浙 -芳=1a>0,6>0)的左右焦点分别为F, 近线方程土义=0(y=士x】 Q 173® 回高考一轮总复习·数学·RUA (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程 ◆变式训练 布离心率，在双曲线号 6 =1(a>0,b>0)中， 1.(2024,新操标全图1长)设双周线C号-若 离心率e与双曲线的渐近线的斜率危=士 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F,过F2 ,满 a 作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|FA| 足关系式e2=1十k -13,AB引=10，则C的离心率为 角度2离心率 x y [例4](2023·新高考全国I卷)已知双曲线C: 2.双曲线C:看一言=1(a>0,b>0)的左、右焦点 若-苦-1(@>0,6>0)的左有焦点分别为 分别为F(-c,0),F2(C,0),过F2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A,若△AFF2的 F,F点A在C上，点B在y轴上，FA⊥ F应，R有=-号R立，则C的离心率为 面积为c,则双曲线C的渐近线方程为 感悟方法 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何 关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或 不等式，利用c2=a+b和e=二转化为关于e a 的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求 请完成《课时检测训练51》 得离心率的值（或范围）. 第7讲 直线和椭圆、双曲线 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P442] 考点1 直线与椭圆、双曲线的位置关系（师生共研） [例1们 已知直线1ay=2z十m,椭圆C:号+苦 1.试问当m取何值时，直线1与椭圆C: (1)有两个不重合的公共点： (2)有且只有一个公共点： (3)没有公共点. ®174方法二：由题意知A(-4,0),F(2,0), 设M(x?,y。),取线段AF的中点N, [提升能力 考点剖析] 考点1 则N(-1,0),连接MN,如图， [例1](1)C 解析 由题设，(x+2)2+y2=2的圆心为A(-2, y M 0),半径为√2;x2+y2-4x=0的圆心为B(2,0),半径为2, A N oF A o B X 则MA·MP=(Ma+Mb)2-Ma-MFD2_4M- =MN2-9=(x?+1)2+y:-9=a2+2x?+1+12-42-9 =4x+2x?+4=4(x?+4)2, (+2P+y2=2 (x-2)2+y2=4 ∴若所求圆的圆心为C,半径为r,由图及已知条件易得 r>2, ∴|AC|=r+√2,|BC|=r-2, 则|AC|-|BC|=√2+2, +=1,所以=1-≤1,因为 所以-4≤x?≤4,所以0≤MA·MF≤16. 由双曲线定义知，圆心C在以A,B为焦点的双曲线的右 支上. 第6讲 双曲线 [必备知识 夯实四基] (2)2√3 解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF?I- |PF?|=2a=2√2, 知识梳理 口绝对值 2小于 3焦点 ④焦距 5F?(-c,0),F?(c,0) 6F?(0,-c),F?(0,c)7|F?F?|=2c 8x≤-a 9x≥a 0坐标轴 四原点 2A?(-a,0),A?(a,0) 3A?(0,-a),A?(0,a)4A?A?52a 62b 17a 8b 在△F?PF?中，由余弦定理，得 cos ∠F?PF,= PF2PP.IPFFFP=2, ∴|PF?I·|PF?I=8, ∴SAFm.=去|PF?I·PF?I·sin 60°=2√3. 9(1,+一)20a2+b2 诊断自测 [发散探究] 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2 解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF?I-|PF?I 2.C 解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， =2a=2√2, 5-A>0则{ 解得k<-1. ∵PF?·PF?=0,∴PF?⊥PF?, 3.17 解析 根据双曲线的定义得||PF?I-|PF?I|=8, 因为|PF?I=9,所以|PF?|=1或17. 又|PF?I≥c-a=2,故|PF?I=17. -Y6=14.A 解析 由双曲线C: 1可得a=3,c=5. ∴在△F?PF?中，有|PF?I2+|PF?I2=|F?F?I2, 即|PF?I2+|PF?I2=16,∴|PF?I·|PF?I=4, ∴SAFRm.=2|PF?I·|PF?I=2 [变式训练] 因为|PF?I=7<a+c, 所以点P在双曲线C的左支上， 所以|PF?|-|PF?|=2a, 则|PF?I=|PF?I+2a=7+6=13. 1.A 解析 依题意|OM|=2=|OF?I=|OF?|,所以 ∠F?MF?=90°,|F?F?I=4,所以|MF?I2+|MF?I2= |F?F?I2=16. 又(|MF?I-|MF?I)2=4,即|MF?I2+|MF?I2-2|MF?I· |MF?|=4, 5.x2-g=±1解析 双曲线的焦距为2√10,所以c=√10. 所以IMF?I·|MF?I=6,所以SAFEM=2IMF?I·IMF?I= 当双曲线的焦点在横轴时，因为双曲线的渐近线方程为y= 3,故选A. =3>b=3a.±3x,所以 2-÷=1得到a=√2,b=√7,c=2.C 解析 由双曲线E: 又因为c2=a2+b2,所以解得a2=1,b2=9, x2一9=1;所以双曲线方程为 3,则左焦点F(-3,0). 当双曲线的焦点在纵轴时，因为双曲线的渐近线方程为y= 设右焦点 F?(3,0).当△APF的周长最小时，则 |AP|+|PF|取到最小值，所以只需求出|AP|+|PF|的最 小值即可. ±3x,所以G=3>a=3b. |AP|+|PF|=|AP|+|PF?I+2a≥|AF?I+2a= 又因为c2=a2+b2,所以解得a2=9,b2=1, √(0-3)2+(3√7-0)2+2√2=8√2.故选C. -x2=1,所以双曲线方程为 考点2 x2-9=±1.因此该双曲线的标准方程为 [例2](1)C 解析 如下图：由题可知，点P必落在第四象限， ∠F?PF?=90°,设|PF?|=m, ·440·高考一轮总复习·数学·RJA ∠PF?F?=θ?,∠PF?F?=O?,由kp=tan θ?=2,求得sin θ? 一考 y √1+1-,解得m=4,所以a=2,b=1. y=±“x=±2x.所以双曲线C的渐近线方程为 F F? lo X (2)A 解析 设原点为O,由△AF?F?是顶角为120°的等腰 ORI-=tan 30°=3,三角形，可得 P .c=√3b,a=√e-b2=√2b,∴鲁-√2=2,故C的渐 y=±x.近线方程为：因为∠F?PF?=90°,所以kp·kpr,=-1, 求得km,=-—,即tane?=2, sine.-方,由正弦定理可得：|PF?I:|PF?I:|F?F?|= sin θ?:sinθ?:sin 90°=2:1:√5, 3y5 解析 依题意，设|AF?|=2m,则|BF?|=3m=[例4 |BF?I,|AF?I=2a+2m, 在Rt△ABF?中，9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a- m)=0,故a=m或a=-3m(舍去), 则由|PF?I=m得|PF?I=2m,|F?F?I=2c=√5m, 由S△m,e=2IPF?I·|PF?I=2m·2m=8得m=2√2, 则|PF?I=2√2,|PF?I=4√2,|F?F?I=2c=2√10,c 所以|AF?I=4a,|AF?|=2a,|BF?I=|BF?I=3a,则|AB =5a, =√10, 故coS∠F?AF?=ABI-5-专， 所以在△AF?F?中， 由双曲线第一定义可得：|PF?I-|PF?I=2a=2√2,a= √2,b=√c2-a2=√8, 所以双曲线的方程为g=1. (2)C 解析 椭圆C的焦点坐标为(0,±2), cos∠F?AF?=6224242=号， 整理得5c2=9a2, 故=-355 =1a>0,b>0),设双曲线的标准方程为 yB 由双曲线的定义可得 2a=|√12+(3+2)2- √I2+(√3-2)2 =(√6+√2)-(√6-√2)=2√2, F 0 F? ∴a=√2,∵c=2,∴b=√c2-a2=√2, A -=1.因此双曲线的标准方程为= [变式训练] [变式训练] -=11.C 解析 由题意，双曲线： 的虚轴长为2,离心率 , c=5a,,可得b=1,e=-5,即(为 ,因为c2=a2+b2,解 1.2 解析 由题可知A,B,F?三点横坐标相等，设A在第 =1一象限，将x=c代入 得a=2. 得y=±鲁，即A(c,a),B(c,-B),故|AB|=2=10, -y2=1.所以双曲线的方程为： IAF?I==5, 2.3-y2=1解析 因为P在线段NQ的垂直平分线上，所 以|PQ|=|PN|, 又|AF?I-|AF?I=2a,得|AF?I=|AF?|+2a=2a+5=13, a=5得b2=20,解得a=4,代入 所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ|l=r=2√3<|MN| =4, 故c=a2+b2=36,即c=6,所以e==4=2. 由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点，2√3为实 轴长的双曲线，则c=2,a=√3,得b=1,所以曲线E的方程 为3-y2=1. 2.y=±√3x 解析 由题意知双曲线C的渐近线方程为y= ±鲁x, 考点3 y=ax,即bx-ay=0,如图，由双曲线的对称性，不妨取 m-x2=1(m>0),可[例3](1)A 解析 由题意，双曲线C: 得a2=m,b2=1, y A F e=耍，可得S=√1+(鲁)=因为双曲线C的离心率， O F? X ·441· 高考一轮总复习·数学·RJA 则IFAI=+=6, 所以|OA|=√IOF?I2-|F?A|2=√c2-b2=a, 所以S△mr,=2ab, 2bc,SAmrp=2Sm,因为△AF?F?的面积为- 2bc=2×2ab,即c=2a,所以- =3,故岳=3,所以a2+b2=4a2,即 所以双曲线C的渐近线方程为y=±√3x. 第7讲 直线和椭圆、双曲线 [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1]解 将直线L的方程与椭圆C的方程联立，得方程 组< 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③根的判别式△=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2 +144. (1)当△>0,即-3√2<m<3√2时，方程③有两个不同的实 数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭 圆C有两个不重合的公共点. (2)当△=0,即m=±3√2时，方程③有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线L与椭圆C有且只有一 个公共点. (3)当△<0,即m<-3√2或m>3√2时，方程③没有实数根，可 知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点. [变式训练] 1.D 解析 方法一：由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， ≤1故 且m≠5,即m≥1且m≠5. {ma+51-5m=o,方法二：由 消去y整理得 (5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0. 由题意知△=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R 恒成立， 即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5, 所以m≥1-5k2恒成立， 所以m≥1且m≠5. 2.D 解析 由-=26, 得(1-k2)x2-4kx-10=0. 设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x?,y?),B(x2,y?), 则 解得一3?<k<-1, (-35,-1).即k的取值范围是 考点2 [例2]D 解析 设A(x?,y?),B(x?,y?),则AB的中点 M(2z,y2), 可得k一 因为A,B在双曲线上，则 两式相减得(x2- )22=0, 所以Am·k==9. 对于选项A,可得k=1,kA?=9,则直线AB:y=9x-8, -1消去y得72x2-2×72x+73=0,联立方程组 此时△=(-2×72)2-4×72×73=-288<0, 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； k=-2,k?=-2,对于选项B,可得 则直线AB:y=-2x-5, 消去y得45x2+2×45x+61联立方程组 =0, 此时△=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0, 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C,可得k=3,kAB=3,则直线AB:y=3x. 由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲 线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D,k=4,km=4,则直线AB:y=4x-4, 消去y得63x2+126x-193联立方程组 =0, 此时△=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两 个交点，故D正确.故选D. [例3]D 解析 设A,B两点的坐标分别为(x?,y?),(x?,y?), 直线L的方程为y=x+m, +-消去y得3x2+4mx+2(m2-1)=0,则x?+ z=-3,x;?=2m3-1), ∴|AB|=√1+k2|x?-x?I =√1+k2·√(x?+x?)2-4x?T? =√z·√(-4m)2-8(m3-1 =232·√6-2m2, 433∴当m=0时，|AB|取得最大值 .故选D. 高考一轮总复习·数学·RJA ·442·