第八章 第5讲 椭圆-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第八章平面解析几何回 第5讲椭圆 课标多求！ 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程。 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）， 3.掌握椭圆的简单应用。 必备知识 夯实四基。 对应咨案P437 知识梳理 丝常用结论 1.椭圆的定义 椭國的焦点三角形 把平面内与两个定点F,F。的距离的和等于 椭圆上的点P(x。,y)与两焦点构成的△PFF 回（大于|F,F,)的点的轨迹叫做椭圆.两 m叫做焦点三角形.如图所示，设∠F,PF=0. 个定点F,F,叫做椭圆的回 ,两焦点间的 距离|FF,叫做椭圆的 2.椭圆的简单几何性质 0 焦点的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (1)当P为短轴瑞点时，0最大，S△Fm最大. 位置 发” A: (2)Sm-号PF.IIPE:.sn0-an号 图形 =clyl. B.olFin B AT (3)PFImm=a+e,PFImin=a-c. 标准 工+ =1(a>b>0) 方程 + (1PF,·PR,1≤(PE+PF=a =1(a>b>0) (5)4=PF+PF.-21PFPF.lcos 0. 范围 国 诊断自测 回 顶点 Q 四 思考辨析 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/“或 轴长 短轴长为回 ,长轴长为团 “X”) 焦点 国 (1)设F,(-4,0),F(4,0)为定点，动点M满足 |MF,|+1MF,1=8,则动点M的轨迹是椭圆. 焦距 F,F|= () 对称性 对称轴：圆 对称中心：国 (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.()》 离心率 e=S(0<e<) (3)+ =1(m≠n)表示焦点在y轴上的 a.b.c 椭圆。 的关系 (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.() 167® 国高考一轮总复习·数学，RJA 教材衍化 易错自纠 2.(人A选择性必修第一册P115习题3.1T1改 4.(椭圆方程形式不明致误)若中心在坐标原点，对 编)如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系 称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为 式√+(y+3)+√x+(y-3)=43.那么 点M的轨迹是 ( ) 3 ,则椭圆的标准方程为 A.不存在B.椭圆C.线段 D.双曲线 3.(人A选择性必修第一册P116T12改编)若椭圆 5,(急视椭圆上点满兄条件政娱)若点O和点F分 c听+ 一=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最 别为椭圆听+号1的中心和左：点，点P为椭 大值为 圆上任意一点，则O户·F户的取值范围为 A.3 B.2+3 C.2 D.3+1 .(答案用区间形式表示) [对应答案P438] 提升能力 考点剖析。 考点个 椭圆的定义及其应用（师生共研） 例1们(1)如图，圆O的半径为定长r,A是圆O (2)通常将定义和余定理结合使用求解关于 内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂 焦点三角形的周长和面积问题 直平分线1和半径OP相交于点Q,当点P在 多变式训练必 圆上运动时，点Q的轨迹是 1.(2023·河北沧州·统考三模)某广场的一个椭 球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面 圆心的纵截面为椭圆，F,F:分别为该椭圆的两 个焦点，PQ为该椭圆过点F:的一条弦，且 △PQF,的周长为3FFL,若该椭球横截面的 A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆 最大直径为2米，则该椭球的高为() （2(2023·金回甲卷程料)已知椭圆号+号 1,F,F:为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一 3 点，eos∠FPF,=3,则PO= r A号 B.30 2 c D.V35 2 感悟方法 A2米B65米C号米n号米 椭圆定义的应用技巧 2.2023·金四甲卷文科)设R,R为椭圆C:号十 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方 y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF·PF。 程、求焦点三角形的周长、面积及求孩长，最值 0,则|PF|·|PF= () 和离心率等 A.1 B.2 C.4 D.5 ®168 第八章平面解析几何回 考点2 椭圆的标准方程（多维探究）》 角度1定义法 (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定黼圆 例2] 已知F,F:分别是椭圆C, 中的a,h.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一 般可设所求椭圆的方程为mx十y=1(m> b>0)的左、右焦点，点A(0,b),点B在椭圆C 0,n>0,n≠n),不必考虑焦点位置，用待定系 上，AF,=2F,B,D,E分别是AF,BF:的中 数法求出m,n的值即可. 点，且△DEF,的周长为4.则椭圆C的方程为 ( 必变式训练令 +- 1,阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数 学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积公式，设 C-1 n+￥ 椭圆的长半轴长、短半轴长分别为4，b,则椭圆的 角度2待定系数法 面积公式为S=b.若椭圆的离心率为分：面积 [例3] 、(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:号十 为2π，则椭圆的标准方程为 () -1(a>6>0)的离心率为子AA:分别为C A号+y=1或+r=1 的左，右顶点，B为C的上顶点.若BA,·BA +-1 =一1，则C的方程为 ,x2 A+若= + c+ =1或 63=1 c号+号- n号+=1 后+号1+-1 2.如图，已知椭圆C的中心为原 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点(-号)，(3v5),则循圆方 点O,F(-25,0)为C的左 焦点，P为C上一点，满足 程为 OP|=|OF1,且|PF|=4, 感悟方法 则椭圆C的标准方程为 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动，点的轨迹 A+号= 满足椭圆的定义 c+- 考点3 椭圆的几何性质（多维探究） 角度1离心率 关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 [例4](1)(2022·全国甲卷)椭圆C:大之 b62 =1 ,则C的离心率为 1 () (a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且 A. 2 B号 c号 n号 169⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJA (2)(2023·山东潍坊·模拟)已知椭圆号 感悟方法 b 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,半焦 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的 距为C,在椭圆上存在点P使得 sin∠PF,F, 性质： sn∠PF,E,则椭圆离心率的取值范围是 (2)利用函数，尤其是二次函数： (3)利用不等式，尤其是基本不等式， 令变式训练 A.[v2-1,1) B.(2-1,1) C.(0,2-1) D.(0w2-1] 1设FF分别是椭圆E:子十、 =1(a>b>0)的 感悟方法 左，右焦点，过点且斜率为停的直线交椭圆 求椭圆离心率或其范围的方法 于点P,若2∠PFF=∠PFF,则椭圆E的离 心率为 (1)直接求出a,c,利用离心率公式e=二求解。 a A.2-√3 B.√3-1 (2)由4与b的关系求离心率，利用变形公式e C③ 3 n号 2(多选)已知桶圆后+学-1，P,R分别为左，右 (3)构造a,c的齐次式，可以不求出a,c的具体 值，而是得出a与c的关系，从而求得. 焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则() 角度2与椭圆有关的最值和范围问题 A.S△件E的最大值为43 [例5](1)(2023·河南开封·二模)已知(2,1)是 B.|PF,的取值范围是[4-23,4+23] 椭圆C, C.不存在点P使PF,⊥PF 6 =1(a>b>0)上一点，则连接椭 a D.PB的最大值为2√5 圆C的四个顶点构成的四边形的面积( A.有最小值4 B.有最小值8 3已知箱圆后+益=1的左顶点为A右焦点为 C,有最大值8 D.有最大值16 F,M是椭圆上任意一点，则MA·MF的取值范 (2②)在椭圆片+y=1上有两个动点P,Q,E1, 围为 A.[-16,0] B.[-8,0] 0)为定点，EP⊥EQ,则E户，Q驴的最小值为 C.[0,8] D.[0,16] 请完成《课时检测训练50》 A c号 D.1 ®170[例4](1)A 解析 直线y=2x+1上任取一点P(x?,y。)作圆[变式训练] C:x2+y2-4.x+3=0的切线，设切点为A, 1.C 解析 圆C?的圆心为(1,0),r?=1, 由圆C:x2+y2-4.x+3=0,得(x-2)2+y2=1,圆心C(2, 圆C?的圆心为(3,1),r?=2, 0),r=1, 所以切线长为√PC2-r2=√PC2-1. Pc-√2×2-√5,因为 所以r?-r?<IC?C?I=√(3-12+(1-0)2=√5<r?+r?, 所以C?与C?的位置关系是相交. 2.解 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x- 5)2+(y-6)2=61-m, 所以切线长的最小值为√W5)2-1=2. (2)2 解析 直线MN的方程可化为m(x+y-2)+x-1= -1=0-°得{v=1,0,由 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61-m. ①当两圆外切时， √5-12+(6-3)2=√11+√61-m, 所以直线MN过定点A(1,1),因为12+12<3,即点A在 圆x2+y2=3内， 解得m=25+10√11. ②(方法一：作差法)由 圆x2+y2=3的圆心为原点O,半径为√3, 当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值， 此时|MN|取最小值，故|MN|=2√3-|0A|2=2. [变式训练] 两式相减得8x+6y-1-m=0. 又两圆内切， 所以√61-m-√11=√5-12+(6-3)2=5, 1.B 解析 直线答+号=1可化为bx+ay-ab=0, 解得m=25-10√11. 所以所求公切线方程为4x+3y+5√11-13=0. 因为直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=1相交， (方法二：直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆 a+b<1,可得- 半径之差的绝对值. 故有|√61-m-√11|=5,解得m=25-10√11. +1>1.整理得a2+b2>a2b2,所以 因为k=号-3=4,所以两圆公切线的斜率是- 2.A 解析 由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆 上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个，所以圆 d=-a<3心到直线L的距离d<r+1=3,即， 3,解得-3√2 y=-4x+b,设公切线方程为 <a<3√2. 则有-j,解得b=3±3√I1. 3.C 解析 圆C:x2+y2=4的圆心C0,0),半径为2, 由直线L:2tx-y-2t+1=0(t∈R)可化为y-1=2t(x-1), ∴直线L过定点P(1,1), 容易验证，当 b=3+3√II时，直线与圆x2+y2-10x- 又I2+I2=2<4, 12y+m=0相交，舍去. ∴点P在圆C内部，当直线L与线段CP垂直时，弦长|AB| 最小， y=-3x+3-3√II,故所求公切线方程为 ∵ICP|=√0-1)2+(0-1)2=√2, ∴弦长|AB|的最小值为2√4-2=2√2. 即4x+3y+5√11-13=0. ③两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)- 4.-1 1 解析 由圆C:(x-1)2+y2=25关于直线l:mx+ y+m+2=0对称，得圆心C(1,0)在直线l:mx+y+m+2= 0上，故有m+0+m+2=0,解得m=-1. (x2+y2-10x-12y+45)=0,化简得4x+3y-23=0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为2× 因为直线l:mx+y+m+2=0,即m(x+1)+y+2=0,直线 √VI)2-(1449-3)2=2√7. l经过定点M(-1,-2),且M在圆C内， 第5讲 椭 圆 所以当CM和直线l垂直时，圆C被直线l截得的弦长最短， 此时-m·kcx=-1,即-m·二2-9=-1,解得m=1. 考点2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1常数 2焦点 3焦距 4-a≤x≤a且-b≤y≤b 5-b≤x≤b且-a≤y≤a 6A?(-a,0),A?(a,0) [例5](1A 解析 IC?C?I=√9+(a+1)2,因为圆C?:(x- 7B?(0,-b),B?(0,b)8A?(0,-a),A?(0,a) 1)2+(y-a)2=4与圆C?:(x+2)2+(y+1)2=a2相交，所 以|a-2|<√9+(a+12<a+2,解得a>3. 9B?(-b,0),B?(b,0)102b 12a 2F?(-c,0),F?(c,0) (2)D 解析 将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2 -2ax-2by=0,即2ax+2by-a2-b2=0. 3F?(0,-c),F?(0,c)42c 5x轴和y轴 国6原点 17a2=b2+c2 诊断自测 因为圆C?的圆心为(0,0),半径为1,且公共弦 AB的长 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 为1, ,则C?(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为 ++-,解得a2+b2=3,所以- 所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0.故选D. 2.B 解析 √x2+(y+3)2+√x2+(y-3)2=4√3表示平面 由点M(x,y)到点(0,-3),(0,3)的距离之和为4√3,而3- (-3)=6<4√3,所以点M的轨迹是椭圆，故选B. 3.A 解析 由题意知a=2,b=√3,所以c=1,则椭圆上的点 到焦点距离的最大值为a+c=3. · 437· +y-102-1-+-m=。 高考一轮总复习·数学·RJA 4.+d=1或+4=1 解析 因为椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且椭圆 经过点(4,0),离心率为 +=1,当焦点在x轴时，设方程为 ,则< 所厢国方在为+4=1;解得 +=1,则当焦点在y轴时，设方程为 ,解 得 16+64=1,所以椭圆方程为 16+64=1或6+4=1.所以椭圆的方程为： 4+3=1上的任意一点，设5.[2,6]解析 ∵点P为椭圆 P(x,y)(-2≤x≤2,-√3≤y≤√3). 依题意得左焦点F(-1,0), ∴OP=(x,y),FP=(x+1,y), :p·FP=z(x+1)+y2=x2+x+12-3x2 =42+x+3=(贵x+1)2+2. ∵-2≤x≤2,∴o≤2x+1≤2,∴o≤(2x+1)≤4, ∴2≤(÷x+1)2+2≤6.即2≤0P·FP≤6. [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)A 解析 连接 QA(图略).由已知得|QA|=|QP|. 所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r. 又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|, 根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为长 轴长的椭圆. (2)B 解析 因为|PF?I+|PF?I=2a=6①,|PF?I2+|PF?I2 -2|PF?I|PF?|cos∠F?PF?=|F?F?I2, 即|PF?I2+|PF?I2-5|PF?IIPF?I=12②,联立①②, 解得|PF?IIPF?I=5,|PF?I2+|PF?I2=21. 而PO=2(PF?+PF2), 所以|OPl=|Pò=2IPF?+PF?|, 即|Pol=2IPF?+PF?I =2√PF?I2+2PF·PF?+|PF?I2 =2√21+2×3×1=30 [变式训练] 1.B 解析 根据题意，画出该椭球过横截面圆心的纵截面如 下图所示， y IA? Q Pk F? B o B? F? A? 根据椭圆的定义△PQF?的周长为|PQI+|PF?I+|QF?I= 4a=3×2c,即2a=3c①. 由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b=2,得b=1. 又因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1②. c=2-5,a=3y5,①②联立可得( 2a-6-5米所以该椭球的高为： 2.B 解析 因为PF?·PF?=0,所以∠F?PF?=90°,由椭圆 方程可知，c2=5-1=4→c=2, 所以|PF?I2+|PF?I2=|F?F?I2=42=16.又|PF?I+|PF?I =2a=2√5,平方得 |PF?I2+|PF?I2+2|PF?I|PF?I=16+ 2|PF?I|PF?I=20,所以|PF?I·|PF?I=2. 考点2 [例2]B 解析 因为AF=2 F?B,所以A,F?,B三点共线，且 |AF?|=2|F?B|. 因为D,E分别为AF?和BF?的中点， 所以4a=|AB|+|AF?I+|BF?|=2(|DE|+|DF?I+ |EF?I)=8,所以a=2. 设B(xo,y。),F?(-c,0),A(0,b), 由AF?=2F?B,可得(-c,-b)=2(x?+c,y。), ,所以B(-3,一贵)x=-3,xo=-2求得 6+4=1,求得C=4,b2因为点B在椭圆C上，所以 =8, +3g=1.所以椭圆C的方程为 + A D o F B E 下? [例3](1)B 解析 因为离心率==√1-=,解得 -哥，b3=8a2 A?,A2分别为C的左右顶点，则A?(-a,0),A?(a,0),B为 上顶点，所以B(0,b). 所以BA=(-a,-b),BA?=(a,-b). 因为BA·BA?=-1, 所以-a2+b2=-1,将b2=9a22代入，解得a2=9,b2=8, 9+g=1.故椭圆的方程为 高考一轮总复习·数学·RJA ·438· (2)+=1 解析 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n), e-(-2,5),(3,/5),则椭圆经过两点 解得 1o+=1.所以所求椭圆方程为 [变式训练] 2,则有(e=a=2,所以a=2c.1.B 解析 因为离心率为- 又椭圆的面积为S=πab=2√3π, 所以ab=2√3. 又a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3, +学=1或安+考=1.故椭圆的方程为： 2.C 解析 由题意可得c=2√5,设右焦点为F',由|OP|= |OF|=|OF'|, 知∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF', 所以∠PFF′+∠OF'P=∠FPO+∠OPF′=90°,即PF ⊥PF'. 在Rt△PFF'中，由勾股定理，得|PF'|=√FF'I2-|PFl2 =√(4√5)2-42=8. 由椭圆的定义，得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,从而a= 6,得a2=36, 于是b2=a2-c2=36-(2√5)2=16, 36+16=1.所以椭圆C的标准方程为 考点3 [例4](1)A 解析 A(-a,0),设P(x?,y?),则Q(-x?,y?), 则k=x?+a,k==x?+a' +.又故k·k=x+a·=x+a=+=4 vi=&-)=1,则： 一,所以椭圆C的离心率e=所以- S=√1-- =(2)B 解析 由sin∠PF?F?sin∠PF?F?,得 ∠PFF-PF=2aPPF,得IPF?I=2tc, a-c<a2ac<a+c,又|PF?I∈(a-c,a+c),则 ∴a2-c2<2ac<(a+c)2,即e2+2e-1>0,又e∈(0,1), ∴e∈(√2-1,1). +=1(a>b>0)[例5](1)B 解析 因为(2,1)是椭圆C: 上一点， 4+=1所以- ,即a2b2=4b2+a2,所以a2b2=4b2+a2≥ 2√4b2×a2=4ab,所以ab≥4,当且仅当a=2b,即a= 2√2,b=√2时，等号成立. s=2所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为， ×2a×2b=2ab≥2×4=8. 即面积有最小值8. (2)C 解析 由题意得EP·QP=EP·(EP-EQ)=EP2- EP·EQ=EP2. 设椭圆上一点P(x,y),则EP=(x-1,y), :EP2=(x-1)2+y2=(x-12+1-=3(x-4)2+ 3.又-2≤x≤2, x=3时，EP2取得最小值∴当 [变式训练] √31.B 解析 因为过点F?且斜率为 的直线交椭圆于点P, 且2∠PF?F2=∠PF?F?,则有∠PF?F?=30°,∠PF?F? =60°, 因此，在△PF?F?中，∠F?PF?=90°,令椭圆半焦距为c,于 是得|PF?I=|F?F?|cos 30°=√3c,|PF?I=|F?F?|sin 30° =c, e=a=由椭圆定义得2a=|PF?|+|PF?|=(√3+1)c,则 3+1-√3-1, 所以椭圆E的离心率为√3-1. 2.AB 解析 依题意知，a=4,b=2,c=2√3,当P为短轴顶点 时，(S△m,R)=2×2c×b=4√3,故A正确；由椭圆的性 质知|PF?I的取值范围是[a-c,a+c],即[4-2√3,4+ 2√3],故B正确；对于C,sin∠F?BO=-2,所以∠F?BO 23=3,所以∠F?BF?=3,即∠F?PF?的最大值为 ,最小值 为0,所以存在点P使PF?⊥PF?,故C错误；对于D,设 16+4=1,P(r?,yo),所以|PB|=√x3+(y。-2)2,又 ,所以 x2=16-4y所以|PB|=√16-4y°+(y?-2)2= √-3v8-4y?+20=√-3(vo+3)2+6,又-2≤v.≤2, 故当y。=-3时，IPBl=√s=83,,故D错误. 3.D 解析 方法一：由题意知A(-4,0),F(2,0),设M(x?, y。), 则MA·ME=(-4-x?,-yo)·(2-x?,-y。)=(x?- 2)(z?+4)+y8=a?+2x?-8+12-42=4+2z?+4= 4(r?+4)2, +-1,所以-1-≤1.因为 所以-4≤x?≤4,所以0≤MA·MF≤16. ·439· 高考一轮总复习·数学·RJA 方法二：由题意知A(-4,0),F(2,0), 设M(x?,y。),取线段AF的中点N, [提升能力 考点剖析] 考点1 则N(-1,0),连接MN,如图， [例1](1)C 解析 由题设，(x+2)2+y2=2的圆心为A(-2, y M 0),半径为√2;x2+y2-4x=0的圆心为B(2,0),半径为2, A N oF A o B X 则MA·MP=(Ma+Mb)2-Ma-MFD2_4M- =MN2-9=(x?+1)2+y:-9=a2+2x?+1+12-42-9 =4x+2x?+4=4(x?+4)2, (+2P+y2=2 (x-2)2+y2=4 ∴若所求圆的圆心为C,半径为r,由图及已知条件易得 r>2, ∴|AC|=r+√2,|BC|=r-2, 则|AC|-|BC|=√2+2, +=1,所以=1-≤1,因为 所以-4≤x?≤4,所以0≤MA·MF≤16. 由双曲线定义知，圆心C在以A,B为焦点的双曲线的右 支上. 第6讲 双曲线 [必备知识 夯实四基] (2)2√3 解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF?I- |PF?|=2a=2√2, 知识梳理 口绝对值 2小于 3焦点 ④焦距 5F?(-c,0),F?(c,0) 6F?(0,-c),F?(0,c)7|F?F?|=2c 8x≤-a 9x≥a 0坐标轴 四原点 2A?(-a,0),A?(a,0) 3A?(0,-a),A?(0,a)4A?A?52a 62b 17a 8b 在△F?PF?中，由余弦定理，得 cos ∠F?PF,= PF2PP.IPFFFP=2, ∴|PF?I·|PF?I=8, ∴SAFm.=去|PF?I·PF?I·sin 60°=2√3. 9(1,+一)20a2+b2 诊断自测 [发散探究] 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2 解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF?I-|PF?I 2.C 解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， =2a=2√2, 5-A>0则{ 解得k<-1. ∵PF?·PF?=0,∴PF?⊥PF?, 3.17 解析 根据双曲线的定义得||PF?I-|PF?I|=8, 因为|PF?I=9,所以|PF?|=1或17. 又|PF?I≥c-a=2,故|PF?I=17. -Y6=14.A 解析 由双曲线C: 1可得a=3,c=5. ∴在△F?PF?中，有|PF?I2+|PF?I2=|F?F?I2, 即|PF?I2+|PF?I2=16,∴|PF?I·|PF?I=4, ∴SAFRm.=2|PF?I·|PF?I=2 [变式训练] 因为|PF?I=7<a+c, 所以点P在双曲线C的左支上， 所以|PF?|-|PF?|=2a, 则|PF?I=|PF?I+2a=7+6=13. 1.A 解析 依题意|OM|=2=|OF?I=|OF?|,所以 ∠F?MF?=90°,|F?F?I=4,所以|MF?I2+|MF?I2= |F?F?I2=16. 又(|MF?I-|MF?I)2=4,即|MF?I2+|MF?I2-2|MF?I· |MF?|=4, 5.x2-g=±1解析 双曲线的焦距为2√10,所以c=√10. 所以IMF?I·|MF?I=6,所以SAFEM=2IMF?I·IMF?I= 当双曲线的焦点在横轴时，因为双曲线的渐近线方程为y= 3,故选A. =3>b=3a.±3x,所以 2-÷=1得到a=√2,b=√7,c=2.C 解析 由双曲线E: 又因为c2=a2+b2,所以解得a2=1,b2=9, x2一9=1;所以双曲线方程为 3,则左焦点F(-3,0). 当双曲线的焦点在纵轴时，因为双曲线的渐近线方程为y= 设右焦点 F?(3,0).当△APF的周长最小时，则 |AP|+|PF|取到最小值，所以只需求出|AP|+|PF|的最 小值即可. ±3x,所以G=3>a=3b. |AP|+|PF|=|AP|+|PF?I+2a≥|AF?I+2a= 又因为c2=a2+b2,所以解得a2=9,b2=1, √(0-3)2+(3√7-0)2+2√2=8√2.故选C. -x2=1,所以双曲线方程为 考点2 x2-9=±1.因此该双曲线的标准方程为 [例2](1)C 解析 如下图：由题可知，点P必落在第四象限， ∠F?PF?=90°,设|PF?|=m, ·440·高考一轮总复习·数学·RJA