第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第八章平面解析几何回 多变式训练多 2x一8y+1=0上，则n十的取值范假为() 1.设P(x,y)是圆(x-2)2十y=1上的任意一点， 则(x一5)+(y+4)的最大值是 A[,] a[o,9] A.6 B.25 C.26 D.36 C.[0,4] 2.(2025·大庆模拟)若点A(m,n)在圆C:x十y一 考点3 与圆有关的轨迹问题（师生共研） [例4](1)已知圆O:(.x+3)+y=1,圆O2: (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程。 (x-1)+y=-1,过动点P分别作圆O1,圆O (3)几何法：利用圆的几何性质列方程。 的切线PA,PB(A,B为切点)，使得|PA|= (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关 √2IPB引，则动点P的轨迹方程为 系，代入已知点满足的关系式 A+号= B.x=4y 多变式训练。 已知定点M1,0),N(2,0),动点P满足PN c号-=1 D.(.x-5)2+y2=33 2PM. (2)已知A,B为圆C:x2十y-2x-4y+3=0 (1)求动点P的轨迹C的方程： 上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB= (2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动，求线 90°，则点P的轨迹方程为 段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. ( A.x-1+y-2y=号 B.(x-1)2+(y-2)2=1 Cx+1+6+2=号 D.(x+1)+(y+2)2=1 感悟方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不 同常采用以下方法： 请完成《课时检测训练48 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 课标要求！ 1,能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系， 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 163盈 国高考一轮总复习·数学，RJA 必备知识 对应答案P436们 夯实四基。 知识梳理 方程，消去y,得关于x的一元二次方程，则|MN 1.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为d, =1十k☑√（xM十xw)-4xxv 圆的半径为r) 常用结论 相离 相切 相交 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x+y=r上一点P(x%)的图的切 图形 线方程为x。x十yy=r (2)过圆x十y=产外一点M(x。,y,)作圆的两条 方程观点 4①0 4②0 0 量化 切线，则两切点所在直线方程为工x十y■r. 几何观点 dr d固r dr 2.圈与圈的位置关系的常用结论 2.圆与圆的位置关系（⊙O,⊙O,的半径分别为 (1)两國相交时，其公共弦所在的直线方程由两 r1r2,d=|O,O21) 圆方程相减得到. 图形 量的关系 (2)两个圈系方程 ①过直线Ax十By+C=0与圃x2+y2+Dx+ 外离 四 Ey十F=0交点的圆系方程为x十y+Dx十Ey +F+(Ax+By-C)=0(ER): ②过圈C1:x2+y2+Dx+Ey+F,=0和间C: 0, 外切 x十y十D,x十E2y十F:=0交点的圆系方程为 r+y+D r+Ey+F+i(x+y+Dx+Ey 十F,)=0(A≠一1)（其中不含圆C,,所以注意检 相交 验C是否满足题意，以防丢解) 诊断自测 内切 0 思考辨析 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 内含 “X”) (口)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.() 3.直线被圆截得的弦长 (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB引的一半 圆相交 () 构成直角三角形，弦长AB1=2√？一」 (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且 (2)代数法：设直线y=x十m与圆x2十y十Dx 只有一组实数解，则直线与圆相切，() 十Ey+F=0相交于点M,N,把直线方程代入圆 (4)在圆中最长的弦是直径. 164 第八章平面解析几何回 教材衍化 易错自纠 2.(人A选择住必修第一册P93T1改编)直线4x 4.(息视两圆内切与外切两种情形致误)已知圆 -3y+11=0与圆(x+1)2+(y+1)=4的位置 C1:x2+y2-6.x十4y+12=0与圆C2:x+y2 关系是 ( 14x-2y+a=0,若圆C与圆C,有且仅有一个 A.相离 B.相切C.相交 D.不确定 公共点，则实数a的值为 3.(人A选择性必修第一册P98习题2.5T3改编) 5.(忽视直线斜率不存在的情形效误)已知圆C:x 过点(0,1)且倾斜角为的直线1交圆x+y 十y=9,过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方 6y=0于A,B两点，则弦AB的长为 程为 对应客案P436 提升能力 考点剖析 考点小 直线与圆的位置关系（多雏探究） 角度1直线与圆位置关系的判断 A.3.x-4y+6=0 B.3.x-4y-6=0 [例1](2021·新高考Ⅱ卷)已知直线1：a.x+by C.4.x-3y+8=0 D.4x+3y-8=0 r=0与圆C:x2+y=r,点A(a,b),则下列说 感悟方法 法错误的是 弦长的两种求法 A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根 B.若点A在圆C内，则直线（与圆C相离 据弦长公式求弦长 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 (2)几何法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则 D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切 弦长1=2√r-. 感悟方法 角度3切线问题 判断直线与圆的位置关系的常见方法 [例3](2023·新高考全国1卷)过点(0，-2)与 (1)几何法：利用圆心到直线距离d与r的关系， 圆x2+y2一4x一1=0相切的两条直线的夹角 (2)代数法：联立直线与圆的方程之后利用△ 为a,则sina 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定 A.1 6.V5 4 C.0 4 D. 4 点在圆内，可判断直线与圆相交 角度2弦长问题 感悟方法2 例2](1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知直线1：x 当切线方程斜率存在时，圈的切线方程的求法 -my+1=0与⊙C:(x-1)十y=4交于A,B (1)几何法：设切线方程为y一%一k(x一工，)， 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的 两点，写出满足~△ABC面积为”的m的一个 距离d,然后令d=r,进而求出k. 值 (2)代数法：设切线方程为y一%=k(x一T), (2)过点(2,3)的直线1与圆C:x+y+4x+3 与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元 =0交于A,B两点，当弦|AB引取最大值时，直 二次方程，然后令判别式△=0进而求得k 线1的方程为 () 斜率不存在的情况单独验证求解， 165型 国高考一轮总复习·数学，RJA 角度4直线与圆位置关系中的最值、范围问题 例4](1)经过直线y=2x十1上的点作圆C:x C.a2+6<1 D.a+>1 +y一4x十3=0的切线，则切线长的最小值为 2.已知圆O:x+y=4上到直线l:x十y=a的距 离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为 A.2 B.3 C.1 D.5 () (2)若直线(m+1)x+my-2m-1=0与圆x A.(-3w2,3w2) +y=3交于M,N两点，则弦长|MN1的最小 B.(-©，-3√2)U(3√2，+∞) 值为 C.(-22,22) 感悟方法 D.(-∞，-2v2)U(2√2，+∞) 涉及与圆的切线有关的线段长度范围（或最值） 3.直线l:21x-y-2t+1=0(1∈R)与圆C:.x2+y 问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关 =4相交于A,B两点，则|AB的最小值为 于圆心与直线上的，点的距离的函数的形式，利 用求函数值域的方法求得结果， A.② B.2 C.2w2 D.4 冬变式训练 4.已知圆C:(x-1)+y2=25与直线l:mx+y十 m十2=0.若圆C关于直线1对称，则m= 1k若直线若+名=1与圆+了-1相交，则（ :当m 时，圆C被直线！截得的弦 长最短 考点2 圆与圆的位置关系（师生共研） [例5](1)若圆C:(x一1)2+(y一a)=4与圆 必变式训练 C:(x+2)+(y+1)2=a相交，则正实数：的 1.(2025·齐齐哈尔模拟)已知圆C1:x2十y-2.x 取值范围为 ( =0.圆C2:(x-3)+(y-1)=4,则C与C2的 A.(3,+co) B.(2,十c∞) 位置关系是 C(+) D.(3,4) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 (2)(2023·河南·统考二模)若圆C:x+y= 2.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x+y2 1与圆C:(x-a)+(y一b)=1的公共弦AB 10x-12y+m=0. 的长为1，则直线AB的方程为 () ①取何值时两圆外切？ A.2ax+by-1=0 B.2a.x+by-3=0 ②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是 C.2a.x+2by-1=0 D.2a.x+2by-3=0 什么？ ③当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方 感悟方法2 程和公共弦的长， (1)判断两國的位置关系时常用几何法，即利用 两同圆心之间的距离与两圆半径和与差之间的 关系，一般不采用代数法 (2)若两國相交，则两圆公共弦所在直线的方程 可由两圆的方程作差消去x,y项得到. 请完成《课时检测训练49 ③166A-3-12解得 又点A在轨迹C上运动， 则由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2, 化简得(x-4)2+y2=9. 故点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=9. 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1< 2= 3> 4> 5= 6< 7d>r?+r? 8d=r?+r?9|r?-r?I<d<r?+r?1d=|r?-r?I Wd<|r?-r?|2· 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.B 解析 圆心坐标为(-1,-1),半径为2,圆心到直线的 距离为3-4+111=2, 所以直线4x-3y+11=0与圆(x+1)2+(y+1)2=4相切. 33.4√2 解析 过点(0,1)且倾斜角为 的直线L的方程为y -1=√3x,即√3x-y+1=0. 由圆x2+y2-6y=0得x2+(y-3)2=9, ∴圆心坐标为(0,3),半径r=3,圆心到直线l的距离d= 1-3+11=1, ∴直线被圆截得的弦长|AB|=2×√32-I2=4√2. 4.34或14 解析 设圆C?,圆C?的半径分别为r?,r?. 圆C?的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C?的方程可 化为(x-7)2+(y-1)2=50-a. 由两圆相切，得|C?C?I=r?+r?或|C?C?I=|r?-r?l. 因为r?=1,IC?C?I=√42+32=5,所以r?+1=5或|1-r?I =5,可得r?=4或r?=6或r?=-4(舍去),因此50-a=16 或50-a=36,解得a=34或a=14. 5.x=3或4x+3y-15=0 解析 由题意知P在圆外，当切 线斜率不存在时，切线方程为x=3,满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为k,所以切线方程为y-1=k(x k×k++-1-3=3,-3),所以kx-y+1-3k=0,所以- k=-3所以 ,所以切线方程为4x+3y-15=0. 综上，切线方程为x=3或4x+3y-15=0. [提升能力 考点剖析] 考点1 d=d+6[例1]C 解析 圆心C0,0)到直线L的距离c a=+若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2,所以c Ir|,则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2,所以d=+b> Ir|,则直线L与圆C相离，故B正确； d=+<若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2,所以 Ir|,则直线L与圆C相交，故C错误； 若点A(a,b)在直线L上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2, 所以(d=+=Ir,直线l与圆C相切，故D正确。 高考一轮总复习·数学·RJA ·436· [例2]1)2(2,-2,,-中任意一个皆可以)解析 设点 C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|= 2√4-d2, 所以S△mc=2×a×2√4-d=号，解得d=4y5或d =25 a=-,所以2=4或因为 1--5, m=±2解得m=±2或 (2)A 解析 圆C:x2+y2+4x+3=0化为(x+2)2+y2=1, 所以圆心坐标(-2,0), 要使过点(2,3)的直线L被圆C所截得的弦|AB|取最大值 时，则直线过圆心， s=o-2+2由直线方程的两点式得 ,即3x-4y+6=0. [例3]B 解析 方法一：因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2 +y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=√5,过点P(0,-2)作 圆C的切线，切点为A,B. 因为|PC|=√22+(-2)2=2√2,则|PA|=√PCI2-r2 可得sin∠APc=5-4,cos∠APc=3=,则 sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APC cos∠APC=2× ×-45, cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC= ()-(4)=-4<0 即∠APB为钝角，所以 sin a= sin(π-∠APB)= sin∠APB=45 方法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5, 过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB,可得 |PC|=√22+(-2)2=2√2,则|PA|=|PB|= √PC|2-r3=√3. 因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2 +|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB, 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6cos ∠APB=5+5- 10cos(π-∠APB), 即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB, 解得cos∠APB=-4<0,即∠APB为钝角，则cos a= cos(Gπ-∠APB)=-cos∠APB=4, 且a为锐角，所以sina=√1-cosa=45 y o C XA =√3, Pk B [例4](1)A 解析 直线y=2x+1上任取一点P(x?,y。)作圆[变式训练] C:x2+y2-4.x+3=0的切线，设切点为A, 1.C 解析 圆C?的圆心为(1,0),r?=1, 由圆C:x2+y2-4.x+3=0,得(x-2)2+y2=1,圆心C(2, 圆C?的圆心为(3,1),r?=2, 0),r=1, 所以切线长为√PC2-r2=√PC2-1. Pc-√2×2-√5,因为 所以r?-r?<IC?C?I=√(3-12+(1-0)2=√5<r?+r?, 所以C?与C?的位置关系是相交. 2.解 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x- 5)2+(y-6)2=61-m, 所以切线长的最小值为√W5)2-1=2. (2)2 解析 直线MN的方程可化为m(x+y-2)+x-1= -1=0-°得{v=1,0,由 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61-m. ①当两圆外切时， √5-12+(6-3)2=√11+√61-m, 所以直线MN过定点A(1,1),因为12+12<3,即点A在 圆x2+y2=3内， 解得m=25+10√11. ②(方法一：作差法)由 圆x2+y2=3的圆心为原点O,半径为√3, 当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值， 此时|MN|取最小值，故|MN|=2√3-|0A|2=2. [变式训练] 两式相减得8x+6y-1-m=0. 又两圆内切， 所以√61-m-√11=√5-12+(6-3)2=5, 1.B 解析 直线答+号=1可化为bx+ay-ab=0, 解得m=25-10√11. 所以所求公切线方程为4x+3y+5√11-13=0. 因为直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=1相交， (方法二：直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆 a+b<1,可得- 半径之差的绝对值. 故有|√61-m-√11|=5,解得m=25-10√11. +1>1.整理得a2+b2>a2b2,所以 因为k=号-3=4,所以两圆公切线的斜率是- 2.A 解析 由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆 上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个，所以圆 d=-a<3心到直线L的距离d<r+1=3,即， 3,解得-3√2 y=-4x+b,设公切线方程为 <a<3√2. 则有-j,解得b=3±3√I1. 3.C 解析 圆C:x2+y2=4的圆心C0,0),半径为2, 由直线L:2tx-y-2t+1=0(t∈R)可化为y-1=2t(x-1), ∴直线L过定点P(1,1), 容易验证，当 b=3+3√II时，直线与圆x2+y2-10x- 又I2+I2=2<4, 12y+m=0相交，舍去. ∴点P在圆C内部，当直线L与线段CP垂直时，弦长|AB| 最小， y=-3x+3-3√II,故所求公切线方程为 ∵ICP|=√0-1)2+(0-1)2=√2, ∴弦长|AB|的最小值为2√4-2=2√2. 即4x+3y+5√11-13=0. ③两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)- 4.-1 1 解析 由圆C:(x-1)2+y2=25关于直线l:mx+ y+m+2=0对称，得圆心C(1,0)在直线l:mx+y+m+2= 0上，故有m+0+m+2=0,解得m=-1. (x2+y2-10x-12y+45)=0,化简得4x+3y-23=0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为2× 因为直线l:mx+y+m+2=0,即m(x+1)+y+2=0,直线 √VI)2-(1449-3)2=2√7. l经过定点M(-1,-2),且M在圆C内， 第5讲 椭 圆 所以当CM和直线l垂直时，圆C被直线l截得的弦长最短， 此时-m·kcx=-1,即-m·二2-9=-1,解得m=1. 考点2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1常数 2焦点 3焦距 4-a≤x≤a且-b≤y≤b 5-b≤x≤b且-a≤y≤a 6A?(-a,0),A?(a,0) [例5](1A 解析 IC?C?I=√9+(a+1)2,因为圆C?:(x- 7B?(0,-b),B?(0,b)8A?(0,-a),A?(0,a) 1)2+(y-a)2=4与圆C?:(x+2)2+(y+1)2=a2相交，所 以|a-2|<√9+(a+12<a+2,解得a>3. 9B?(-b,0),B?(b,0)102b 12a 2F?(-c,0),F?(c,0) (2)D 解析 将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2 -2ax-2by=0,即2ax+2by-a2-b2=0. 3F?(0,-c),F?(0,c)42c 5x轴和y轴 国6原点 17a2=b2+c2 诊断自测 因为圆C?的圆心为(0,0),半径为1,且公共弦 AB的长 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 为1, ,则C?(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为 ++-,解得a2+b2=3,所以- 所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0.故选D. 2.B 解析 √x2+(y+3)2+√x2+(y-3)2=4√3表示平面 由点M(x,y)到点(0,-3),(0,3)的距离之和为4√3,而3- (-3)=6<4√3,所以点M的轨迹是椭圆，故选B. 3.A 解析 由题意知a=2,b=√3,所以c=1,则椭圆上的点 到焦点距离的最大值为a+c=3. · 437· +y-102-1-+-m=。 高考一轮总复习·数学·RJA