第八章 第3讲 圆的方程-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

回高考一轮总复习·数学·RUA 感悟方法 令变式训练 1.(2025·哈尔滨模拟)若P,Q分别为直线3x十 利用距离公式应注意的点 4y一12=0与6x+8y十5=0上任意一点，则 (1)点P(x。,yo)到直线x=a的距离d=|x |PQ的最小值为 () a,到直线y=b的距离d=|y。一b. A号 B. c得 n号 (2)使用两条平行线间的距离公式时要把两条 2.点(0，-1)到直线y=k(x十1)的距离的最大值 直线方程中x,y的系数化为相等 为 () A.1 B.2 C.5 D.2 考点3 对称问题（多维探究） 角度1点关于点对称 (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题， [例2]过点P(0,1)作直线1，使它被直线l1:2x十 两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件 y-8=0和2：x一3y十10=0截得的线段被点 列方程组解题 P平分，则直线1的方程为 令变式训练 角度2点关于线对称 已知直线1：2x-3y十1=0，点A(-1,-2).求： [例3]一条光线经过点A(2,3)射到直线x十y十 (1)点A关于直线1的对称点A'的坐标； 1=0上，被反射后经过点B(1,1),则入射光线 (2)直线m:3x一2y-6=0关于直线1对称的直 所在直线的方程为 线m'的方程； 角度3线关于线对称 (3)直线1关于点A的对称直线'的方程. [例4]直线1：x+y-1=0关于直线12：3x-y 3=0的对称直线方程为 感悟方法 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将 几何关系转化为代数关系求解。 请完成《课时检测训练47》 第3讲 圆的方程 课标要求 1,理解确定圆的儿何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 ®160 第八章平面解析几何回 「对应容案P434] 必备知识 夯实四基。 知识梳理 (2)方程(x+a)+(y+b)2=t(t∈R)表示圆心 1.圆的定义和圆的方程 为(a,b),半径为t的一个圆. () 平面上到回 的距离等于☑ 的点的 (3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆. 定义 集合叫做圆 () 圆心C图 标 (x-a)产+(y-b)2 (4)若点M(x。,y。)在圆x2+y+Dx+Ey十F= =r2(r>0) 半径为④ 0外，则6+y十Dx十Ey。十F>0.() +y+Dx+Ey+ 圆心c(-号，-号) 教材衍化 F=0(D+E-4F >0) 半径=号D+E一4伊 2.(人A选择性必修第一册P85练习T3改编)若 坐标原点在圆(x一m)3+(y+m)2=4的内部， 2.点与圆的位置关系 侧实数m的取值范围为 平面上的一点M(x,)与圆C:(x-a)2+(y b)=2之间存在着下列关系： 3.(人A选择性必修第一舞P89T7改编)点A为 (1)|MC>r台M在固 ,即(x。-a)2+(y 圆x2+y=4上的动点，PA是圆的切线，|PA -b)2>r曰M在圆外； =1,则点P的轨迹方程是 () (2)|MC=r台M在回 ,即(x-a)2+(y A.x+y2=4 -b)=r2台M在圆上： B.x2+y2=5 (3)|MC<r台M在☑ ,即(x-a)+(yo C.(x-1)2+y2=4 一b)2<r2曰M在圆内. D.(x-1)2+y2=5 常用结论 易错自纠 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程 4,(不能等价变热方程改褪)方程|y|一1= 为(x-x1)(x-x)+(y-y)(y-y2)=0. √1一(x一1)表示的曲线是 () 2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上 A.一个椭圆 B.一个圆 3.圆心在任一弦的垂直平分线上. C.两个圆 D.两个半圆 诊断自测 5.(丸视方覆表示圆的秦件政误)已知m∈R,方程 思考辨析 (3m-1)x2+(m2+1)y2+8x-4y+5m=0表示 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 圆，则圆心坐标是 “X”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( 161® 回高考一轮总复习·数学·RUA 提升能力 [对应客案P434] 考点剖析。 考点 圆的方程（师生共研） [例1](1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x十 ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于子 y一1=0上，点(3,0)和(0,1)均在圆M上，则圆 D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值， M的方程为 (2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)， 冬变式训练冬 (一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 1.(2023·广东汕头·线考二摸)与圆C:x2十y2 x十2y=0关于直线1：x十y=0对称的圆的标准 感悟方法☑ 求圆的方程的方法 方程是 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出 2.(2023·河南郑州·统考一模)经过点P(1,1)以 方程 及圆x2+y2-4=0与x3+y2-4x+4y-12=0 (2)待定系数法 ①若已知条件与國心(a,b)和半径r有关，则设 交点的圆的方程为 圆的标准方程，求出a,b,r的值； 考点2 与圆有关的最值问题（多维探究） 角度1利用圆的几何意义求最值 角度2利用函数性质求最值 [例2]已知M(x,y)为圆C:x2+y-4x-14y+ [例3(2023·厦门模拟)设点P(x,y)是圆x2+ 45=0上任意一点，且点Q(-2,3) (y-3)2=1上的动点，定点A(2,0),B(-2, (1)求|MQ的最大值和最小值： O),则PA·PB的最大值为 (2)求多的最大值和最小值： 感悟方法2 (3)求y一x的最大值和最小值. 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形知么=y二白， t-a'l=az 十by,(x-a)2+(y一b)2形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标 式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选 用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动 点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本 思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为 与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转 化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决。 ®162 第八章平面解析几何回 华变式训练号 2x一8y+1=0上，则m十的取值范围为（) 1.设P(x,y)是圆(x一2)2+y2=1上的任意一点， 则(x一5)2+(y+4)的最大值是 A[o.] a[o,] A.6 B.25 C.26 D.36 C.[0,4] 2.(2025·大庆模拟)若点A(m,n)在圆C:x2+y n(,] 考点3 与圆有关的轨迹问题（师生共研） [例4幻(1)已知圆0：(x十3)2十y=1,圆0： (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程。 (x一1)+y2=1,过动点P分别作圆01、圆O2 (3)几何法：利用圆的几何性质列方程 的切线PA,PB(A,B为切点)，使得|PA|= (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关 √2|PB引，则动点P的轨迹方程为 ( 系，代入已知点满足的关系式。 A号+-1 B.x=4y ◆变式训练多 已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足IPN= c苦-y= D.(x-5)2+y2=33 √2|PM|. (2)已知A,B为圆C:x2+y2-2x一4y+3=0 (1)求动点P的轨迹C的方程： 上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB= (2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动，求线 90°，则点P的轨迹方程为 ( 段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. A（-1)+(g-2)=号 B.(x-1)2+(y-2)2=1 C.(x+1+(y+2y= D.(x+1)+(y+2)2=1 感悟方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不 同常采用以下方法： 请完成《课时检测训练48》 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 课标要求 1,能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 163®[例4]x-7y-1=0 解析 联立l?:x+y-1=0和直线l?:3x -y-3=0,求得它们的交点为A(1,0), 在直线l?:x+y-1=0上取点B(0,1),设其关于l?:3x-y -3=0的对称点为C(a,b), 解得 所以c(等，号),则 故直线l?:x+y-1=0关于直线l?:3x-y-3=0的对称的 直线为AC, y=÷(x-1),即x-7y其斜率为 ,直线方程为 -1=0. [变式训练] 解(1)设A'(x,y),由已知条件得 解得 所以A'(-33,13). (2)在直线m上取一点，如M(2,0), 则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设对称点为M'(a,b),则 --(鲁) 设直线m与直线L的交点为N, 由{32-2y-6=0,得N(4,3). 又m'经过点N(4,3), 所以直线m′的方程为9x-46y+102=0. (3)方法一：在l:2x-3y+1=0上任取两点， 如P(1,1),Q(4,3),则P,Q关于点A(-1,-2)的对称点P', Q'均在直线I'上， 易得P'(-3,-5),Q'(-6,-7), 所以L'的方程为2x-3y-9=0. 方法二：因为l//L', 所以设L'的方程为2x-3y+C=0(C≠1). 因为点A(-1,-2)到两直线L,I'的距离相等， 所以由点到直线的距离公式， 得-2+3C-I-2++31,解得C=-9, 所以I'的方程为2x-3y-9=0. 第3讲 圆的方程 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1定点 2定长 3(a,b) ④r 5圆外 6圆上 7圆内 诊断自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)√ 2.(-√2,√2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2= 4的内部，∴(0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<√2, ∴实数m的取值范围为(-√2,√2). 3.B 解析 因为点A为圆x2+y2=4上的动点，所以|OA| =2. 因为PA是圆的切线，所以OA⊥PA,所以|OA|2+|PA|2= |OP|2. 高考一轮总复习·数学·RJA ·434· 设点P(x,y),因为|PA|=1,所以|OP|2=5,则x2+y2=5, 所以点P的轨迹方程是x2+y2=5,故选B. 4.D 解析 由题意知|yl-1≥0,则y≥1或y≤-1, 当y≥1时，原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其 表示以(1,1)为圆心，1为半径，直线y=1上方的半圆； 当y≤-1时，原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤ -1),其表示以(1,-1)为圆心，1为半径，直线y=-1下方 的半圆. 所以方程|yl-1=√1-(x-1)2表示的曲线是两个半圆. 故选D. 5.(-2,1)解析 由题意，得m2+1=3m-1,解得m=1或 m=2. 当m=1时，方程为x2+y2+4x-2y+5=0, 即(x+2)2+(y-12=2,,圆心为(-2,1); 当m=2时，方程为5x2+5y2+8x-4y+10=0,即 (x+4)+(y-专)2=-5,不表示圆. 提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)(x-1)2+(y+1)2=5 解析 ∵点M在直线2x+y-1=0上， ∴设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在圆 M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R, ∴√(a-3)2+(1-2a)2=√a2+(-2a)2=R, a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1, ∴M(1,-1),R=√5, ∴圆M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (2)(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 (x-专)2+(y-3)2=6或(x-号)2+(y-D2=16 解析 依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 若过(0,0),(4,0),(-1,1),则 解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13; 若过(0,0),(4,0),(4,2), 则 2解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5; 若过(0,0),(4,2),(-1,1), 则 E=-3, x2+y2-3-14y=0,所以圆的方程为. (x-4)2+(y-3)2=6;即( 若过(-1,1),(4,0),(4,2), x2+2-6x-2y-6=0,所以圆的方程为： (x-5)+(y-1)2=269即( [变式训练] 1.(z-12+(y+2)2=4 解析 圆C:x2+y2-x+2y=0 ,c(2,-1),半径为 ,因为点C(,-1))关于的圆心为 直线l:x+y=0对称的点坐标为c'(1,-2)),则所求圆的 标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5 2.x2+y2+x-y-2=0 +y-4=+4v-12=o,整理得y=z+2,解析 联立 代入x2+y2-4=0,得x2+2x=0,解得x=0或x=-2, 则圆x2+y2-4=0与x2+y2-4x+4y-12=0交点坐标为 (0,2),(-2,0). 设经过点P(1,1)以及(0,2),(-2,0)的圆的方程为x2+y2 +Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 解得则 故经过点P(1,1)以及圆x2+y2-4=0与x2+y2-4x+4y -12=0交点的圆的方程为x2+y2+x-y-2=0. 考点2 [例2]解(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8,∴圆心C的坐标为(2,7),半径 r=2√2. 又|QC|=√2+2)2+(7-3)2=4√2, ∴|MQIm=4√2+2√2=6√2,|MQ|m=4√2-2√2= 2√2. +2(2)可知 表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3 =0. 2k-1+2k+3≤2√2,∵直线MQ与圆C有交点，∴ 可得2-J3≤k≤2+3∴+2的最大值为2+√3,最小值 为2-√3. (3)设y-x=b,则x-y+b=0. 当直线y=x+b与圆C相切时，截距b取到最值， I2-7+6=2√Z,⋯b=9或b=1. ∴y-x的最大值为9,最小值为1. [例3]12 解析 由题意，知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x, -y),所以PA·PB=x2+y2-4, 由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y- 3)2=1,故x2=-(y-3)2+1, 所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤ y≤4, 所以当y=4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4-12 =12. [变式训练] 1.D 解析(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,-4)的 距离的平方， ∵P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点， ∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距 离与半径之和的平方， 即[(x-5)2+(y+4)2]m=[√(2-5)2+(0+4)2+1]2 =36. 2.B 解析 因为点A(m,n)在圆C:x2+y2-2x-8y+1=0 m+4上，则； 的几何意义为圆上的点与定点P(-4,0)的 斜率。 圆C:x2+y2-2x-8y+1=0化为标准方程为(x-1)2+(y -4)2=16. 如图，由题意可知过点P(-4,0)的切线的斜率存在且PB 的斜率为0. y A C oP(-4,0) B X 设过点P的圆C的切线方程为y=k(x+4), k-4+4=4,,解得k=0或k=49,则 [0,]故k的取值范围为 考点3 [例4](1)D 解析 由|PA|=√2|PB|,得|PA|2=2|PB|2. 因为两圆的半径均为1,则|PO?I2-1=2(|PO?I2-1). 设P(x,y),且O?(-3,0),O?(1,0), 则(x+3)2+y2-1=2[(x-1)2+y2-1], 即(x-5)2+y2=33. 所以点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=33. (2)B 解析 圆C即(x-1)2+(y-2)2=2,半径r=√2, 因为CA⊥CB,所以AB=√2r=2.又P是AB的中点， 所以CP=2AB=1, 所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1. yt4 P B C o A [变式训练] 解(1)设动点P的坐标为(x,y), 因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=√2|PM|, 所以√(x-2)2+y2=√2·√(x-1)2+y2, 整理得x2+y2=2, 所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2. (2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA), 因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点， 所以AQ=2QB,即(x-xA,y-ya)=2(6-x,-y), ·435· 高考一轮总复习·数学·RJA A-3-12解得 又点A在轨迹C上运动， 则由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2, 化简得(x-4)2+y2=9. 故点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=9. 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1< 2= 3> 4> 5= 6< 7d>r?+r? 8d=r?+r?9|r?-r?I<d<r?+r?1d=|r?-r?I Wd<|r?-r?|2· 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.B 解析 圆心坐标为(-1,-1),半径为2,圆心到直线的 距离为3-4+111=2, 所以直线4x-3y+11=0与圆(x+1)2+(y+1)2=4相切. 33.4√2 解析 过点(0,1)且倾斜角为 的直线L的方程为y -1=√3x,即√3x-y+1=0. 由圆x2+y2-6y=0得x2+(y-3)2=9, ∴圆心坐标为(0,3),半径r=3,圆心到直线l的距离d= 1-3+11=1, ∴直线被圆截得的弦长|AB|=2×√32-I2=4√2. 4.34或14 解析 设圆C?,圆C?的半径分别为r?,r?. 圆C?的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C?的方程可 化为(x-7)2+(y-1)2=50-a. 由两圆相切，得|C?C?I=r?+r?或|C?C?I=|r?-r?l. 因为r?=1,IC?C?I=√42+32=5,所以r?+1=5或|1-r?I =5,可得r?=4或r?=6或r?=-4(舍去),因此50-a=16 或50-a=36,解得a=34或a=14. 5.x=3或4x+3y-15=0 解析 由题意知P在圆外，当切 线斜率不存在时，切线方程为x=3,满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为k,所以切线方程为y-1=k(x k×k++-1-3=3,-3),所以kx-y+1-3k=0,所以- k=-3所以 ,所以切线方程为4x+3y-15=0. 综上，切线方程为x=3或4x+3y-15=0. [提升能力 考点剖析] 考点1 d=d+6[例1]C 解析 圆心C0,0)到直线L的距离c a=+若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2,所以c Ir|,则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2,所以d=+b> Ir|,则直线L与圆C相离，故B正确； d=+<若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2,所以 Ir|,则直线L与圆C相交，故C错误； 若点A(a,b)在直线L上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2, 所以(d=+=Ir,直线l与圆C相切，故D正确。 高考一轮总复习·数学·RJA ·436· [例2]1)2(2,-2,,-中任意一个皆可以)解析 设点 C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|= 2√4-d2, 所以S△mc=2×a×2√4-d=号，解得d=4y5或d =25 a=-,所以2=4或因为 1--5, m=±2解得m=±2或 (2)A 解析 圆C:x2+y2+4x+3=0化为(x+2)2+y2=1, 所以圆心坐标(-2,0), 要使过点(2,3)的直线L被圆C所截得的弦|AB|取最大值 时，则直线过圆心， s=o-2+2由直线方程的两点式得 ,即3x-4y+6=0. [例3]B 解析 方法一：因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2 +y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=√5,过点P(0,-2)作 圆C的切线，切点为A,B. 因为|PC|=√22+(-2)2=2√2,则|PA|=√PCI2-r2 可得sin∠APc=5-4,cos∠APc=3=,则 sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APC cos∠APC=2× ×-45, cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC= ()-(4)=-4<0 即∠APB为钝角，所以 sin a= sin(π-∠APB)= sin∠APB=45 方法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5, 过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB,可得 |PC|=√22+(-2)2=2√2,则|PA|=|PB|= √PC|2-r3=√3. 因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2 +|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB, 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6cos ∠APB=5+5- 10cos(π-∠APB), 即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB, 解得cos∠APB=-4<0,即∠APB为钝角，则cos a= cos(Gπ-∠APB)=-cos∠APB=4, 且a为锐角，所以sina=√1-cosa=45 y o C XA =√3, Pk B