第八章 第2讲 两条直线的位置关系-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

国高考一轮总复习·数学，RJA 第2讲 两条直线的位置关系 课标要求！ 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直， 2,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离， 必备知识 对应答案P432写 夯实四基。 知识梳理 (3)两条平行直线间的距离 1.两条直线的位置关系 两条平行直线l:Ax十By+C,=0与l:Ax十 直线41：y=kx十b4,l2:y=k:x十b,l3:Ax十 By+C=0之间的距离4=1C-C A+B B,y+C,=0,l1:Ax+B2y十C=0(其中l与1 是同一直线，l与(，是同一直线，l的法向量” 常用结轮 =回 ,1,的法向量=☑ )的 1.直线系方程 位置关系如下表： (1)与直线A.x十By十C=0平行的直线系方程是 位置法向量满 114满足 Ax+By十m=0(m∈R且m≠C). 12,(,满足的条件 关系 足的条件 (2)与直线Ax十By十C=0垂直的直线系方程是 的条件 Bx-Ay十n=0(n∈R. ☒ 平行 ”∥ (3)过直线4：A1x+By+C=0与l:Ax+ 且团 By十C=0的交点的直线系方程为Ax+By 垂直 ⊥ 四 十C+A(Ax+B2y+C,)=0(a∈R),但不包 片与书 相交 括l. 不共线 2.五种常用对称关系 2.三种距离公式 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为 (1)两点间的距离公式 (-x,-y. ①条件：点P(x1y).P(2,y), (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,一y),关于 ②结论：PP=√(x:一)+(y一y). y轴的对称点为（一x,y). ③特例：点P(x,y)到原点O(0,0)的距离OP (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x), =√+y. 关于直线y=一r的对称点为（一y,一x), (2)点到直线的距离 (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a一t, 点P(xy)到直线l:Ax十By十C=0的距离d y),关于直线y=b的对称，点为(x,2b一y). -Ar +By,+Cl (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a一r, √/A+B 2b-y). ®158 第八章平面解析几何回 诊断自测 3.(人A选择性必修第一滑P102T1(3)改编)与直 思考辨析 线3x一5y+2=0关于x轴对称的直线的方程为 1.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)当直线4和4的斜率都存在时，一定有，= 易错自纠 k→41∥L4. 4.(迎略两直线平行的充要泰件政误)已知直线4，x (2)如果两条直线1与12垂直，则它们的斜率之 积一定等于一1 () +2y十6=0与直线x+(a-1)y十a2-1=0互 (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则 相平行，则实数a的值为 () 两直线相交。 () A.-2 B.2或-1 (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就 C.2 D.-1 是点到直线的距离。 () 5.(距庸公式使用不当政误)两平行直线3x十2y 教材衍化 2.(人A选择性必修第一册P79练习T1改偏)两 1=0与6x十4y+1=0之间的距离为() 平行直线x-2y+1=0与直线2.x一4y-3=0的 距离为 A零 B零 A B.5 C./10 D.v10 C23 2 13 D 提升能力 考点剖析。 「应答案P433 考点 两直线的平行与垂直（题组通关） 1.设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C所对边的边 B若1上，则a=号 长，则直线xsin A十ay+c=0与bx-ysin B十 sinC=0的位置关系是 C直线4过定点(0，-】 A.相交但不垂直 B.垂直 D.若l1∥l,则a=2 C.平行 D.重合 4.已知两直线l1:(m-1)x一6y一2=0，l2:m.x+y 2.两直线3.x+2y十m-0和(m+1)x-3y-3m= +1=0.若41⊥12，则m :若(1∥l2,则 0的位置关系是 1= A.平行 B.相交 C.重合 D.视m而定 感悟方法 3.已知直线l1:ax+2y十1=0，直线2：.x+(a-1)y 判断两条直线位置关系的注意点 十2=0，则下列命题中不正确的是 ( (1)斜率不存在的特殊情况： A.直线1，过定点(-2,0) (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论， 考点2 两直线的交点与距离问题（师生共研） 例1](1)已知△ABC的三个顶点是A(一5,0)， 交点在第四象限，则实数k的取值范围为 B(3,一3)，C(0,2),则△ABC的面积为 (2)直线kx一y-1=0与直线x+2y一2=0的 (3)若直线4：y=2x一1与直线4平行，且它们之 间的距离等于5，则直线.的方程为 4 159⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJA 感悟方法 冬变式训练多 1.(2025·哈尔滨模拟)若P,Q分别为直线3x十 利用距离公式应注意的点 4y-12=0与6.x十8y十5=0上任意一点，则 (1)点P(xy)到直线x=a的距离d=x一 PQ的最小值为 () a,到直线y=b的距离d=|y,一b. A号 号 c n号 (2)使用两条平行线间的距离公式时要把两条 2.点(0，一1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值 直线方程中x,y的系致化为相等 为 () A.1 B.2 C.3 D.2 考点3 对称问题（多维探究） 角度1点关于点对称 (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题， [例2]过点P(0,1)作直线1，使它被直线L1:2x+ 两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件 y一8=0和l:x一3y十10=0截得的线段被点 列方程组解题。 P平分，则直线I的方程为 多变式训练多 角度2点关于线对称 已知直线1：2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求： [例3]一条光线经过点A(2,3)射到直线x十y十 (1)点A关于直线1的对称点A'的坐标： 1=0上，被反射后经过点B(1,1),则人射光线 (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线1对称的直 所在直线的方程为 线m'的方程： 角度3线关于线对称 (3)直线1关于点A的对称直线‘的方程 例4]直线l:x+y-1=0关于直线l2:3.x一y 3=0的对称直线方程为 感悟方法 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将 几何关系转化为代数关系求解. 请完成《课时检测训练47 第3讲 圆的方程 课标安求！ 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程， 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 盛160∴|61+号1bl+号1b1=30,∴b=±5. y=2x±5,∴所求直线L的方程为： 即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0. 当且仅当a=2+√2,b=1+√2时等号成立， 所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线L的方程为x+√2y- 2-√2=0. [变式训练] 2k-1,0),B(0,1-2k)(k2.解 方法一：由本例方法一知A 1.A 解析 设CCx,y),M(O,m),N(n,0),因为A(5,-2), <0). B(7,3),所以 :解得 所以MA|·IMBI=√A+1·√4+4k2=2x1k =2[(-k)+k]≥4. 当且仅当-k=-方,即k=-1时取等号. 此时直线L的方程为x+y-3=0. 即C-5,-3),M(0,-2),N(1,0), 所以MN所在直线的方程为 方法二：由本例方法二知A(a,0),B(O,b),a>0,b>0,2+ 号=1. 即5x-2y-5=0. 所以|MA|·|MB|=|MA|·|MB|=-MA·MB=-(a- 2.C 解析 方法一：因为直线L的一个方向向量为n=(2,3), k=3, y-3=2(x+所以直线L的斜率， ,故直线L的方程为 2,-1)·(-2,b-1) =2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)(+方)-5= 4). 方法二：设P(x,y)是直线l上的任意一点(不同于点A),则 2(鲁+号)≥4, AP=(x+4,y-3). 当且仅当a=b=3时取等号，此时直线L的方程为x+y-3 因为直线L的一个方向向量为n=(2,3), =0. 所以3(x+4)-2(y-3)=0, [变式训练] y-3=2(x+4).故直线L的方程为 解(1)证明：由kx-3y+2k+3=0,可得k(x+2)-3y+3= 0,令x+2=0,则-3y+3=0,则直线l过定点(-2,1). 考点3 [例3]解 方法一：设直线L的方程为y-1=k(x-2)(k<0), y=3x+2k+3,(2)由直线l:kx-3y+2k+3=0,可得： 则A(2-方，0),B(O,1-2k), S△-×1-2k)×(2-方)=2[4+(-4k)+(-)] ≥2×(4+4)=4, 当且仅当-4k=-方，即k=-2时，等号成立. y-1=-2(x-2),即x+2y-4=0.故直线L的方程为： 方法二：设直线l:a+号=1,且a>0,b>0, 因为直线l不过第四象限，且直线L过的定点(-2,1)在第二象 限，所以 解得k≥0,所以k的取值范围为[0,+∞]. 所以k∈(0,+一),令x=0,得y=(3)由题意得 2k+3, x=-2k+3,,令y=0,得. 2+1=1,则1=2+1≥因为直线l过点M(2,1),所以- 2√,,故ab≥8, s=县×2k大3×2k+3=号(4k+9+12)≥所以 6(2√4k·9+12)=4, ×ab=2×8=4,当且仅当2=方故S△AoB的最小值为 =2时取等号， 当且仅当4k=9,即k=2(负值舍去)时取等号，此时S的最小 2a-3y+3+3=0,即x-2y+4=0.值为4,直线L的方程为 4+2=1,即x+2y-此时a=4,b=2,故直线L的方程为 第2讲 两条直线的位置关系 4=0. [探究发散] [必备知识 夯实四基] 知识梳理 2+号=1,a>0,b>0,1.解 由本例方法二知， 1(A?,B?)2(A?,B?)3k?=k? ④b?≠b? 5A?B?-A?B?=0 6A?C?-A?C?≠0 7k?·k?=-1 所以IOAI+1OB|=a+b=(a+b)·(2+方)=3+芳+8A?A?+B?B?=0 9k?≠k? 10A?B?-A?B?≠0 ≥3+2√2, 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 高考一轮总复习·数学·RJA ·432· 2.A 解析 由直线2x-4y-3=0可得，,x-2y-32=0,根据 两条平行线间的距离公式知， y=3x+2,即2x-5y+10=0,∴直线AC的方程为： a=3×2+3￥5+10-∴点B到直线AC的距离 SAc-Ac·d=×√29×32-3.3x+5y+2=0 解析 设所求对称直线上任意一点的坐标 为(x,y),则关于x轴的对称点的坐标(x,-y)在已知的直 线上，即3x-5×(-y)+2=0,所以所求对称直线的方程为 (2)(-2,2) 解析 由题意可得 {z+2y-2=0, 3x+5y+2=0. 4.D 解析 直线ax+2y+6=0斜率必存在， -2=-a-1,即a2-a-2=0,解得a=2故两直线平行，则- 或-1, 解得< ∴1+2k>0且2k<0,∴-2<k<2 当a=2时，两直线重合，∴a=-1. 5.D 解析 将直线3x+2y-1=0化为6x+4y-2=0, 2-4-326则这两条平行直线间的距离为! [提升能力 考点剖析] (3)2x-y+4=0或2x-y-6=0 解析 设直线L?:y=2x+b,将直线l?与直线L?化为一般 式可得l?:2x-y-1=0,l?:2x-y+b=0,故它们之间的距 2+(--√5,离为- 考点1 解得b=4或b=-6,故直线l?的方程为2x-y+4=0或 1.B 解析 由题意可知，直线xsin A+ay+c=0与bx- ysin B+sin C=0的斜率分别为-snA'sin B,又在△ABC 中，saA-smB,所以-aA·snB=-1,所以两条直线 垂直. 2x-y-6=0. [变式训练] 6=4≠-号，1.C 解析 因为- ,所以两直线平行.由题意可 知|PQI的最小值为这两条平行直线间的距离，又3x+4y- 2.B 解析 由题意，直线3x+2y+m=0的斜率为-2<0, 12=0,即6x+8y-24=0,所以两直线间的距离为 2-24-85-.,所以|PQ|的最小值为 m3+1>0,直线(m2+1)x-3y-3m=0的斜率为? 2.B 解析 由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0), 则两直线斜率一定不相等，故两直线相交.故选B. 设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时，点A到直 3.D 解析 对于A,直线L?:x+(a-1)y+2=0,当y=0时， 线y=k(x+1)的距离最大，最大值为|AP|=√2. 无论a取何值，x=-2恒成立， 考点3 所以直线l?恒过定点(-2,0),故A正确； [例2]x+4y-4=0 解析 设l?与L的交点为A(a,8-2a), a=3对于B,若l?⊥l?,则a×1+2(a-1)=0,所以( ,故B正 确； 则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l?上， 代入l?的方程得—a-3(2a-6)+10=0,解得a=4, 即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x+4y-4 对于C,直线l?:ax+2y+1=0,当x=0时，无论a取何值，y =-2恒成立， =0. [例3]5x-4y+2=0 解析 设点B关于直线x+y+1=0的 对称点为B'(x?,y?),则 (0,-2)所以此时直线l?恒过定点 ,故C正确； 对于D,若l?//l?,则a×(a-1)-2=0,所以a2-a-2=0, 解得a=2或a=-1, 0=-2,解得 经检验，此时两直线平行，故D错误.故选D. 所以B'(-2,-2).又点A(2,3), 4.3或-2 解析 因为L?:(m-1)x-6y-2=0,l?:mx 所以k=2-(-2)=4,直线AB'的方程为 +y+1=0,所以若l?⊥l?,则m(m-1)-6=0,解得m=3或 m=-2; y-3=5(x-2), m=1,若l?//L?,则m-1+6m=0,解得 ,经检验符合题意. 考点2 由图可知，直线AB'即为入射光线，所以化简得入射光线所 在直线的方程为5x-4y+2=0. [例1](1)32 解析 |AC|=√52+22=√29, 设AC所在直线方程为y=kx+b,把点A,C的坐标代入得 --5k+b=0,解得 ·433· B' ↑y A(2,3) B01,1) 0 x+y+1=0 高考一轮总复习·数学·RJA [例4]x-7y-1=0 解析 联立l?:x+y-1=0和直线l?:3x -y-3=0,求得它们的交点为A(1,0), 在直线l?:x+y-1=0上取点B(0,1),设其关于l?:3x-y -3=0的对称点为C(a,b), 解得 所以c(等，号),则 故直线l?:x+y-1=0关于直线l?:3x-y-3=0的对称的 直线为AC, y=÷(x-1),即x-7y其斜率为 ,直线方程为 -1=0. [变式训练] 解(1)设A'(x,y),由已知条件得 解得 所以A'(-33,13). (2)在直线m上取一点，如M(2,0), 则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设对称点为M'(a,b),则 --(鲁) 设直线m与直线L的交点为N, 由{32-2y-6=0,得N(4,3). 又m'经过点N(4,3), 所以直线m′的方程为9x-46y+102=0. (3)方法一：在l:2x-3y+1=0上任取两点， 如P(1,1),Q(4,3),则P,Q关于点A(-1,-2)的对称点P', Q'均在直线I'上， 易得P'(-3,-5),Q'(-6,-7), 所以L'的方程为2x-3y-9=0. 方法二：因为l//L', 所以设L'的方程为2x-3y+C=0(C≠1). 因为点A(-1,-2)到两直线L,I'的距离相等， 所以由点到直线的距离公式， 得-2+3C-I-2++31,解得C=-9, 所以I'的方程为2x-3y-9=0. 第3讲 圆的方程 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1定点 2定长 3(a,b) ④r 5圆外 6圆上 7圆内 诊断自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)√ 2.(-√2,√2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2= 4的内部，∴(0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<√2, ∴实数m的取值范围为(-√2,√2). 3.B 解析 因为点A为圆x2+y2=4上的动点，所以|OA| =2. 因为PA是圆的切线，所以OA⊥PA,所以|OA|2+|PA|2= |OP|2. 高考一轮总复习·数学·RJA ·434· 设点P(x,y),因为|PA|=1,所以|OP|2=5,则x2+y2=5, 所以点P的轨迹方程是x2+y2=5,故选B. 4.D 解析 由题意知|yl-1≥0,则y≥1或y≤-1, 当y≥1时，原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其 表示以(1,1)为圆心，1为半径，直线y=1上方的半圆； 当y≤-1时，原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤ -1),其表示以(1,-1)为圆心，1为半径，直线y=-1下方 的半圆. 所以方程|yl-1=√1-(x-1)2表示的曲线是两个半圆. 故选D. 5.(-2,1)解析 由题意，得m2+1=3m-1,解得m=1或 m=2. 当m=1时，方程为x2+y2+4x-2y+5=0, 即(x+2)2+(y-12=2,,圆心为(-2,1); 当m=2时，方程为5x2+5y2+8x-4y+10=0,即 (x+4)+(y-专)2=-5,不表示圆. 提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)(x-1)2+(y+1)2=5 解析 ∵点M在直线2x+y-1=0上， ∴设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在圆 M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R, ∴√(a-3)2+(1-2a)2=√a2+(-2a)2=R, a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1, ∴M(1,-1),R=√5, ∴圆M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (2)(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 (x-专)2+(y-3)2=6或(x-号)2+(y-D2=16 解析 依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 若过(0,0),(4,0),(-1,1),则 解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13; 若过(0,0),(4,0),(4,2), 则 2解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5; 若过(0,0),(4,2),(-1,1), 则 E=-3, x2+y2-3-14y=0,所以圆的方程为. (x-4)2+(y-3)2=6;即( 若过(-1,1),(4,0),(4,2),