第八章 第1讲 直线的方程-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第八章平面解析几何回 第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程 课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及 般式 必备知识 夯实四基⊙ [对应答案P431门 知识梳理 续表 1.直线的方向向量 名称 方程 适用范同 设A,B是直线上的两点，则AB就是这条直线的 y=x4 不含直线x=1和直线 两点式 为一y 方向向量 一的 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线1与x轴相交时，我们以x轴为 截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 基准，回 与直线1☑ 的方向之 平面直角坐标系内的直 间所成的角α叫做直线！的倾斜角. 般式 线都适用 (2)范围：直线的倾斜角a的取值范围为0°≤ <180° 常用结论 3.直线的斜率 1.“斜率变化分两段，90°是分界线： (1)定义：把一条直线的倾斜角a的图 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论” 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母飞表 2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正， 示，即k=回 (a≠90). 可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注 (2)过两点的直线的斜率公式 意过原点的特殊情况是否满足题意。 如果直线经过两点P(x1当)，P:(xy)(工≠ 3.直线Ax十By十C=0(A+B≠0)的一个法向量 ),其斜率=必一y =(A,B),一个方向向量a=(一B,A). -T 诊断自测 4.直线方程的五种形式 思考辨析 名称 方程 适用范制 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 “X”) 点斜式固 不含直线r= (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角. () 斜截式 不含垂直于x轴的直线 (2)直线的斜率越大，倾斜角就越大. 155 同高考一轮总复习·数学·RJA (3)若直线的倾斜角为a,则斜率为tana.( A.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana (4)经过P,(,y。)的任意直线方程可表示为y B.若直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a 一%=k(x-xn). C.平行于x轴的直线的倾斜角为180 教材衍化 D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角 为90 2.(人A选择性必修第一册P55T4改编)已知点 5.(搞混倾斜州和斜率失系致误)已知两点A(1, A(2,0),B(3,√5)则直线AB的倾斜角为( -2),B(2,1),直线1过点P(0,一1)且与线段 A.30° B.60° C.120° D.150° AB有交点，则直线！的倾斜角的取值范围为 3.(人A选择性必修第一册P60倒1改编)经过点 (1,2),且倾斜角为45的直线方程是 A[别 A.y=r-3 B.y-2=x-1 C.y=-(x-3) D.y=-(x+3) [,]U[受] 易错自纠 c[o,]u[) 4.(不理解倾斜角和斜率政提)下列命题中正确的 是 ) D[,)u(受，] 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P431 考点 直线的倾斜角和斜率（师生共研） [例1](1D若A(-2,3),B(3,-2).C(2,m)三点 ◆变式训练 1.(多选)如图，直线1，，的斜率分别为k,, 共线，则m k,倾斜角分别为a1aa,则下列结论正确的是 A号 R-司 C.-2 D.2 (2)已知A(3,1),B(1,2),若直线x十ay-2=0 与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围 是 A.(-,-1DU(分+) A.k<k<k B.k<k<k (-1》 C.a<a:<a D.a<a<a C.(-o0,-2)U(1,+∞) 2.直线2 rosa-y-3=0(e∈[晋，号])的倾斜角 D.(-2,1) 的变化范围是 感悟方法 A[] B[] (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法. c[] n[劉 (2)领斜角和斜率范围求法：①图形观察（数形 结合)：②充分利用函数k-tana的单调性. ®156 第八章平面解析几何回 考点2 求直线的方程（师生共研） [例2](1)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0), 令变式训练 B(4,0),且第三个顶点在第四象限，则BC边所 1.在△ABC中，已知点A(5,-2),B(7,3),且AC 在的直线方程是 边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴 5 (2)已知直线1的斜率为2：且与坐标轴所围成 上，则MN所在直线的方程为 () A.5.x-2y-5=0 的三角形的周长是30，则直线1的方程为 B.2x-5y-5=0 C.5x-2y+5=0 感悟方法 D.2.x-5y+5=0 (1)求直线方程一般有以下两种方法： 2.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若1过 ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式， 点A(一4,3)，则直线（的方程为 () 然后直接写出其方程： Ay-3=- ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线 2c+0 方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求 出待定系数，即得所求直线方程 ky叶3=2x-0 (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注 意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、裁 C广3-g+0 距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用. D.+3=-2x-4) 考点3 直线方程的综合应用（师生共研） [例3]已知直线1过点M(2.1),且分别与x轴的 感悟方法 正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点，O为原 1,含有参数的直线方程可看作直线系方程，这 点，当△AOB面积最小时，求直线1的方程. 时要能够整理成过定点的直线系，能够看出 “动中有定”.若直线的方程为y=k(x一1)十 2,则直线过定点(1,2). 2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直 线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求 得多边形面积， 3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐 标适合直线的方程，再结合函数的单调性或 【探究发散】 基本不等式求解。 1.在本例条件下，当OA|十OB取最小值时，求 多变式训练多 直线1的方程. 已知直线1：kx一3y+2k+3=0(k∈R). (1)证明：直线1过定点： (2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围： (3)若直线1交x轴的负半轴于点A,交y轴的 正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积 2.本例中，当MA|·MB取得最小值时，求直线 为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 1的方程. 请完成《课时检测训练46 157图a(-323,,-1),o≤A≤1, 则DM=(-3a,2+云a,1-a) a=3,因为OA⊥DM,所以OA·DM=0,解得， DM=(0,3,3),BM=BD+DM=(0,-2,0)+所以 (0,3,3)=(o,-3,3), BMI=√(3)2+(3)2=235所以 ,即点Q所形成的轨 235迹长度为 y 2 B 1 A [典例2]AB 解析 对于A,由BC?// AD?,可得BC?//平面AD?C,则点P到 平面AD?C的距离不变，由△AD?C的 面积为定值，可知点P在直线 BC?上 运动时，三棱锥A-D?PC的体积不变， 故A正确； D C C A? B o 1 2 3 P D c A B 对于B,若点P是平面A?B?C?D?上到点D和C?距离相等的点， 则P点的轨迹是平面A?BCD?与平面A?B?C?D?的交线 A?D?,故B正确； 由于直线x+ay-2=0与线段AB没有公共点， 当a=0时，直线x=2与线段AB有公共点，不符合题意， 当a≠0时，直线z+ay-2=0的斜率为-1, 根据图象可知-的取值范围是(-2,0)U(0,1), (-0,-1U(2,+).所以a的取值范围是( 对于C,直线AP与DC所成角即为∠PAB,当P与C?重 合时，∠PAB最大，且 tan∠PAB=√2,所以∠PAB<3, 故C错误； [变式训练] 1.AC 解析 由题图可得k?>k?>0,k?<0,2>a?>a?>0, 对于D,当P与C?重合时，AP与D?C所成的角为公，故D 错误.故选AB. a?>2,所以k?<k?<k?,a?<a?<a?· 2.B 解析 直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos a. 第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 去≤cosa≤3,因为a∈6,3],所以 故k=2cos a∈[1,√3]. 1x轴正向 2向上 3正切值 4tan a 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,√3]. 5y-y?=k(x-x)6y=kx+b 7(x?≠x2,y?≠y2) 8Ax+By+C=0(A2+B2≠0) [4,3],由于θ∈(0,π),所以θ∈ 诊断自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)× [4,3]即倾斜角的变化范围是 k=3-2=3,2.B 解析 由题意得直线AB的斜率人 设直线AB的倾斜角为α,则tan α=√3, ∵0°≤α<180°,∴α=60°. 考点2 [例2](1)√3x-y-4√3=0 解析 如图所示：由C作x轴的 垂线交x轴于D点，则D为AB的中点， y 3.B 解析 因为所求直线的倾斜角为45°,所以所求直线的 斜率k=tan 45°=1,所以直线方程为y-2=x-1.故A,C, D错误. A D B /4 x a=24.D 解析 对于A,当( 时，直线的斜率不存在，故A不 3≠a,故a=-4正确；对于B,当 时，斜率为-1,倾斜角为 B不正确；对于C,平行于x轴的直线的倾斜角为0°,故C不 正确；对于D,若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 90°是正确的. C 即xc=2,yc=-2tan 60°=-2√3,∴C(2,-2√3), y=-2-3-°(x-4),即y=∴BC边所在的直线方程是 5.C 解析 如图所示，直线PA的斜率 y B ke==2+1=-1,直线PB的斜率 0 √3(x-4)=√3x-4√3,即√3x-y-4√3=0. (2)5x-12y+60=0或5x-12y-60=0 km=2-1=1. p X y=52g引解析 由直线L的斜率为 ,可设直线L的方程为 +b. 由图可知，当直线L与线段AB有交点 时，直线L的斜率k∈[-1,1], A [o,]u(4,π).因此直线L的倾斜角的取值范围是 x=-号b.令x=0,得y=b;令y=0,得 由题意得|b|+ |-号6|+√b+(-号)2=30, ·431· 高考一轮总复习·数学·RJA [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1A 解析 由于A(-2,3),B(3,2),c(2,m)三点 23--+3 m=2·共线，则kA=kc,即 ,解得 (2)A 解析 直线x+ay-2=0过点C(2,0), km=2-2=-2,ka=3-2=1,画出图象如下图所示，k ∴|61+号1bl+号1b1=30,∴b=±5. y=2x±5,∴所求直线L的方程为： 即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0. 当且仅当a=2+√2,b=1+√2时等号成立， 所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线L的方程为x+√2y- 2-√2=0. [变式训练] 2k-1,0),B(0,1-2k)(k2.解 方法一：由本例方法一知A 1.A 解析 设CCx,y),M(O,m),N(n,0),因为A(5,-2), <0). B(7,3),所以 :解得 所以MA|·IMBI=√A+1·√4+4k2=2x1k =2[(-k)+k]≥4. 当且仅当-k=-方,即k=-1时取等号. 此时直线L的方程为x+y-3=0. 即C-5,-3),M(0,-2),N(1,0), 所以MN所在直线的方程为 方法二：由本例方法二知A(a,0),B(O,b),a>0,b>0,2+ 号=1. 即5x-2y-5=0. 所以|MA|·|MB|=|MA|·|MB|=-MA·MB=-(a- 2.C 解析 方法一：因为直线L的一个方向向量为n=(2,3), k=3, y-3=2(x+所以直线L的斜率， ,故直线L的方程为 2,-1)·(-2,b-1) =2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)(+方)-5= 4). 方法二：设P(x,y)是直线l上的任意一点(不同于点A),则 2(鲁+号)≥4, AP=(x+4,y-3). 当且仅当a=b=3时取等号，此时直线L的方程为x+y-3 因为直线L的一个方向向量为n=(2,3), =0. 所以3(x+4)-2(y-3)=0, [变式训练] y-3=2(x+4).故直线L的方程为 解(1)证明：由kx-3y+2k+3=0,可得k(x+2)-3y+3= 0,令x+2=0,则-3y+3=0,则直线l过定点(-2,1). 考点3 [例3]解 方法一：设直线L的方程为y-1=k(x-2)(k<0), y=3x+2k+3,(2)由直线l:kx-3y+2k+3=0,可得： 则A(2-方，0),B(O,1-2k), S△-×1-2k)×(2-方)=2[4+(-4k)+(-)] ≥2×(4+4)=4, 当且仅当-4k=-方，即k=-2时，等号成立. y-1=-2(x-2),即x+2y-4=0.故直线L的方程为： 方法二：设直线l:a+号=1,且a>0,b>0, 因为直线l不过第四象限，且直线L过的定点(-2,1)在第二象 限，所以 解得k≥0,所以k的取值范围为[0,+∞]. 所以k∈(0,+一),令x=0,得y=(3)由题意得 2k+3, x=-2k+3,,令y=0,得. 2+1=1,则1=2+1≥因为直线l过点M(2,1),所以- 2√,,故ab≥8, s=县×2k大3×2k+3=号(4k+9+12)≥所以 6(2√4k·9+12)=4, ×ab=2×8=4,当且仅当2=方故S△AoB的最小值为 =2时取等号， 当且仅当4k=9,即k=2(负值舍去)时取等号，此时S的最小 2a-3y+3+3=0,即x-2y+4=0.值为4,直线L的方程为 4+2=1,即x+2y-此时a=4,b=2,故直线L的方程为 第2讲 两条直线的位置关系 4=0. [探究发散] [必备知识 夯实四基] 知识梳理 2+号=1,a>0,b>0,1.解 由本例方法二知， 1(A?,B?)2(A?,B?)3k?=k? ④b?≠b? 5A?B?-A?B?=0 6A?C?-A?C?≠0 7k?·k?=-1 所以IOAI+1OB|=a+b=(a+b)·(2+方)=3+芳+8A?A?+B?B?=0 9k?≠k? 10A?B?-A?B?≠0 ≥3+2√2, 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 高考一轮总复习·数学·RJA ·432·