精品解析：广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

培英高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ） A 2 B. C. 4 D. 4. 古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过如图来构造无理数，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 6. 某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边分别为，若，则的取值范围为 A. （） B. （） C. （） D. （） 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C 与平行 D. 直线与共面 10. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为 11. 已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ） A. 该圆锥的母线长为2 B. 该圆锥的体积为 C. 从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为 D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 13. 高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，. 14. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 16. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 17. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求角B； （2）若边上的点D满足，，求的面积． 18. 已知函数部分图象如图所示． （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知向量，求； （2）（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培英高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域. 【详解】依题意， 所以的定义域是. 故选：D 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C 3. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法求面积即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，所以，， 根据斜二测画法可得，所以. 故选：B. 4. 古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过如图来构造无理数，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和余弦公式，求得的值，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 5. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 6. 某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜高，然后求出侧面积即可. 【详解】设该正四棱锥的斜高为． ∵高为，底面边长是， ∴根据勾股定理得， ∴该正四棱锥的侧面积为，即需要油毡的面积为． 故选：B 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 8. 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，则的取值范围为 A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，可得，再由余弦定理得， 将所求进行角化边后设为p，代入余弦定理中，结合三角函数的有界性，可得p的取值范围． 【详解】由正弦定理及，得，根据余弦定理 ，得，令，所以，因此，即，由题意可知A是锐角，所以因此又所以.故选A. 【点睛】本题考查三角形的正余弦定理的应用，考查了锐角三角形中余弦值的范围的应用，考查了运算能力，属于难题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与相交直线 B. 直线与是异面直线 C 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 10. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误． 【详解】对A，因为（其中为虚数单位，），所以，故A错； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，复数的模长等于，故C正确； 对D，其共轭复数为，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ） A. 该圆锥的母线长为2 B. 该圆锥的体积为 C. 从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为 D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合圆台的几何结构特征，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为， 又由其侧面展开图是圆心角为的扇形， 设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确； 对于B中，因为，且母线长为， 所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确； 对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开， 则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确； 对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形， 设其顶角为，则该三角形的面积为， 当截面为轴截面时，，则， 所以，当时，，所以D不正确. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式进行化简求值，可得结果。 【详解】若，则. 故答案为：. 13. 高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，. 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】在中，，，米， 则， 因为， 所以米， 在中，， 则， 所以米. 故答案为：. 14. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 【答案】10. 【解析】 【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体的体积为120， 所以， 因为为的中点， 所以， 由长方体的性质知底面， 所以是三棱锥的底面上的高， 所以三棱锥的体积. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的性质及运算规律即可求解； （2）由，再利用求模公式求解． 【小问1详解】 因为，，，设， 所以， 所以，因为， 所以，即与的夹角为； 【小问2详解】 因为， 则， 故． 16. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【小问1详解】 在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． 【小问2详解】 取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 17. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求角B； （2）若边上的点D满足，，求的面积． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合化简可得，从而得出答案； （2）由已知得，两边平方，结合数量积的运算性质及余弦定理求出，然后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 在中，利用正弦定理可得：， 又，则， 则， 即， 因，则，则， 又，则. 【小问2详解】 因，则 两边平方得：， 又，则， 则， 在中，由余弦定理得，化简得 则，即，得或， 当时，，则； 当时，，，则． 18. 已知函数部分图象如图所示． （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 【答案】（1）， （2）， （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值. 【小问1详解】 由图象可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 令，， 解得：，. 令，得，因，则， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由题意，， 则， 由函数在上存在零点， 则在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知向量，求； （2）（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 【答案】（1） （2）(i)证明见解析，（ii) 【解析】 【分析】（1）由新定义代入即可求解； （2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果. 【小问1详解】 由，， 可得： 【小问2详解】 （i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因为D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$