第四章 三角函数、解三角形-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 第四章 三角函数、解三角形 易错点1不理解三角函数的定义致误 tan a= 【例1】角a的终边落在直线y=2.r上，则sina的值 A.3 :③ 3 C.- 3 D.-3 为 [解析] 由于角a的终边与直线x十，3y一2=0垂 A.-⑤ 5 B 5 直，则角a的终边在直线y=√3x上， c D±26 不论角α的终边在第一象限还是第三象限，都有 5 [错解]选C tan a=3. [答案]A 在角a的终边上取点P(1,2),,.r=OPI= 易错点2利用同角三角函数基本关系时忽略 +2=5…ina=义=2=25 5 ,故选C. 参数值 [错因分析]当角的终边在一条直线上时，应注意 【例2】已知cos0=t,求sin0,tan0的值。 角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而 [错解]①当0<1<1时，0为第一或第四象限角. 错解中没有对两种情况进行讨论导致错误， 0为第一象限角时，sin0=√1-cosa=√1-， [正解]当角a的终边在第一象限时，在角a的终 tano-sine1F 边上取点P(1,2),由r=1OP=√+2=√5，得 cos 0 0为第四象限角时，sin0=一/个一cosg= sin a= 2-25 5: 当角α的终边在第三象限时，在角a的终边上取点 -v1-F tan0=sin0= cos0 Q(-1,-2),.r=1(0Q1=√(-1)+(-2)F= ②当一1<t<0时，0为第二或第三象限角。 5,.'.sin a=- -2 25 0为第二象限角时，sin0=√1一cos0=√/1-r, 故选D. 5 5 tang=ng-已： [答案]D cos 0 t 易错点击 0为第三象限角时，sin0=一/1一cos0 设a是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非 负半轴重合，点P(x,y)是角a的终边上任意一点，P到原 -V1-7,tan0=sin0--1-Z cos a 点的距离OP=r(r>0),那么角a的正弦，余弦，正切分 √1一1,0为第一，二象限角， 综上，sin0= 别是sina=兰，eosa=号，nna=兰.所以当点Pry)在 √1一，0为第三、四象限角， 不同的象限时，要进行讨论来求解三角函数值， 1- ,0为第一，二象限角， 巩固练习 tan 已知角a的终边与直线x十3y一2=0垂直，则 1工，0为第三、四象限角。 12 [见此图标贸微信抖音扫码精准备考层层突破 [错因分析]上述解法注意到了0的余弦值含有 易错点击 参数1，根据余弦函数的取值范围对1进行分类讨 1.①利用sina十co%a=1可以实现角a的正弦，余弦的 论，但上述讨论不全面，漏掉了很多种情况，如= 互化： -1,1=0.1=1. ②利用ma=tana可以实现角a的弦切互化. [正解]①当t=-1时，sin0=0,tan0=0. 2,在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注 ②当一1<1<0时，0为第二或第三象限角. 意判断符号， 若0为第二象限角，则sin0=√1一t,tan0 现固练习 =-文： 已知a∈(0，受）2sin2a=cos2a+1,则sina () 若0为第三象限角，则sin0=-√1-t,tan0 5 c D26 5 =二√1- [解析] ,2sin2a=cos2a十1.∴.4 sin acos a=2cosa ③当1=0时，sin0=1,tan0不存在或sin0=-1, a∈(0，受cosa>0,sina>0,2sina=cosa tan0不存在. 义sina+cosa=1.sina= 5 ,故选A. ④当0<t<1时，0为第一或第四象限角. [答案]A 若0为第一象限角，则sin0=√1-t,tan0 易错点3 不能准确利用三角函数的诱导公式 =1-F 化简求值 c0s(π-0) 若0为第四象限角，则sin0=一√1-t,tan0= 【例3】 若如0=停求 os0(sin(经-0)-1) -- c0s(2r-0) 的值 cos(x+0)sin(受+0）-sin(受+0】 ⑤当t=1时，sin0=0,tn0=0. [错解]原式 c050 综上， cos (-sin 0-1) cos Osin0十cos0 cos0 cosa √1一1(0为第一，二象限角，或终边落 cos 0incssi0. 在y轴正半轴上，或终边落在x轴上)， sin 0= [错因分析] 错解中混消了诱导公式如（管0） √1一？(0为第三、四象限角，或终边落 -cos0,sin(受+0）=cos0,cos(x-0)=-cos0, 在y轴负半轴上) cos(π十0)=-cos8. 工(0为第一，二象限角，或终边落在 t [正解]原式= -c050 x轴上) 2 tan 1+cos0 1-cos0 sin0' 不存在(0终边落在y轴上)， 一工(0为第三、四象限角) 因为sin0= 3 2,所以三角函数式的值为 t 13 广见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 易籍点击 1,应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判 断.求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公 所以吾+a∈（若，受)小则os(若+a） 式化为锐角三角函数的求值何题，具体步骤为“负角化 正角”→“正角化锐角”→求值， i-sim(语+a)-导 2,使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符 号，特别是在具体题日中出现类似π士a的形式时，需 所以sina=sin[(答+a）-吾]=sin(答+a)eos晋 要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的 正负 cos(倍+a)小in吾=3氢。4，放D正确 10 3,巧用相关角的关系能简化解题的过程， [答案]ABD 常见的互余关系有哥一。与晋十a,餐十a与吾一， 易错点4不理解三角函数图象变换规则致错 开+a与开-a等 【例4】要得到y=sin(一3x)的图象，需将y= 常见的互补关系有受+0与行-0，香+0与-0等 号(cos3r一sin3r)的图象 风固练习 A.向右平移于个单位 (多选)已知sm(晋十a)=号·则下列说法正确的 B.向左平移平个单位 是 A.cos(5-a）=是 C.向右平移泛个单位 Rsm(答-2a)-号 D.向左平移个单位 C若a∈(o,受)，则sin(g-)=-是 [错解]选A,B,C. D.若a∈(-受，)，则ina=35。 [错因分析]y=写 (cos 3r-sin 3r)=sin( 10 [解析]对于A:cos(5-a)-cos[受-（答+a)] 3)=m[-3(x-音)小题目婴求是由y= sin(十a)=号，故A正确： sin(-3r+牙）→y=sin(-3r).右移开平移方向 对于B:in(吾-2a)=sim[受-2（答+a)门 和平移量都错了：右移恶平移方向错了 cos2(g+a】 [正解]y-号（cos3x-n8x)=n(径-3） =1-2sim(后+a)=1-2×(停)广=石故B正确： sim[-3(x-)小，要由y=im[-3(x-)]到y 对于C:in(-a）=in[-(答+a)]=sin(吾 =sin(-3x)只需对x加上是即可，因而是对y= a)=号，故C错讽： 号(cos3一s血3)向左平移音个单位，故选D 对于D:因为a∈(-乏，)所以+a∈(-， [答案]D 14 见此图标微信抖音扫码精准备考层层突破 易错流击 易错点5忽略符号对三角函数性质的影响 函数图象的平移变换解题策略 (I)对三角函数y=Asin(ax十)或y=Aos(mr十g)的图 【例5】已知函数f(x)=2cos(答-)月 象，无论是先平移其伸缩，还是先伸缩再平移，只要平 (1)求f(x)的单调递增区间： 移个单位长度，都是相应的解析式中的x变为工士 (2)若x∈[一π，π]，求f(x)的最大值和最小值. g,而不是x变为士|， (2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应 [错解]1)由一≤晋-号<0，得行≤x< 用诱导公式化为同名函数再平移， 见固练习 六x)的单调递增区间为[要] 函数f(x)=Asin(ox+p)(其中A>0,m>0)的 (2)-1≤os(爱-)≤1.f(x)=2, 部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移智 f(x)nm=-2. 个单位长度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确 [错因分析](1)忽略了函数f(x)的周期性： 的是 (2)忽略了x∈[一π，π]对函数f(x)的最值的 影响。 [正解] Df=2os(3-5)=2o(受-）月 A.函数g(x)为奇函数 B.函数g(x)为偶函数 ED). C.函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kr十石(k∈Z刀 故的单调适增区间为[：誓k+]eD, D函数g)的单调递增区间为[一登十x,登十 (k∈Z) [解析]由函数f(r)=Asin(x十p)(其中A>0, 当受-景=0，即x-时x)=2: >0)的部分图象，可知A=3,由子T-登-（一弩）= 当一吾=一，即r=-时D=-. 经，得T=,所以w-牙-=2，代入点（受3），得 易错点击 3=3sin(2×受十9)解得9=2kx-号，取表=0，得 (1)已知三角函数解析式求单调区间： ①求三角函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析 g=一牙，可得f(x)=3sin(2z-5）将函数f(x)的 式先化筒，并注意复合函数单调性规则“同增异减”： ②求形如y=Asin(mr十p)或y=Acos(x十中)（其中 图象向左平移个单位长度，得y-g(x)一 >0)的单湖区间时，要视“十g”为一个整体，通过 3sin[2(r+5）-琴]=3sin(2x+5)的图象，由函 解不等式求解.但如果m<0,那么一定先借助诱导公 式将储化为正数，防止把单调性莽措 数解析式可以验证g(x)的单调递增区间为 (2)利用三角函数的单调性求值城（或最值），形如y [一晋+，音十x]∈0.故选D, Asin(mr+g)+b或y=Acos(mr+g)十b的三角函数 [答案]D 的值域（或最值）间题常利用三角函数的单调性解决 15 见此图标路微信抖音扫码精准备考层层突破 风固练习 4w3 7 又：in(a+)5B,cos(a+A) 对函数f(x)=√5 sin zeos r十cosx- 2的表述 错误的是 A.最小正周期为元 ,sinB=sin[(a十3)-a]=sin(a十)cosa-cos(a B函数y=sn2:向左平移吾个单位长度可得 +sna-9.又：0<gKg-吾政号 到f(x) [错因分析](1)不能根据题设条件缩小a,B及a C八x)在区间（一吾，晋）上单调递增 十？的取值范围，在由同角三角函数基本关系式求 cos(a十3)时不能正确判断符号，产生两角. D.点（答，0）是f()的一个对称中心 (2)结论处应由cos9的值确定B的取值，由sin3确 定3的取值时易出现两解而造成错误， [解析]因为f(x)=V3 sin reos+cosx-2 [正解]因为0<a<x,cosa=7,所以sina= 受n2x+1士空2红-名-m(2z+看}，所以最小 2 正周期为经=元 又因为0<a十BK,sin(a+》=535 142 y=sn2x向左平移是个单位长度可得到y 所以0Ca+K音或<a+长 sin[2(r+)]-sin(2x+月 由号<a<受知号<a+K,所以os(a十) 因为xe(-牙，)所以2x+晋∈(-2,2)小所以 -1-ma+印=-是 f(x)在区间（一吾，若）单调递增。 所以cos3=cos[(a十3)-a]=cos(a十3)cosa十 因为x=若时，sin(2x+）=1,所以点（答0）不是 sin(a十)sin a=-7又0<gKx,所以月=等 f(x)的对称中心，综上所述，选D. [答案]A [答案]D 易错点击 易错点6三角恒等变换中忽略角的范围致误 1,利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取 值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角 1 【例6】已知a,3为三角形的两个内角，cosa=7: 的具体取值 2,通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有 以下原则： A晋 8 (1)已知正切函数值，则选正切函数 (2)已知正、余弦函数值，则迷正弦或余弦函数.若角的 C音或号x D.营或子 范围是(0，受)，则选正，余弦函数皆可：若角的范围是 [错解]选C. (0x),则选余弦函数较好：若角的范围为（一受，受 ,0<a<π，c0sa= 7…ima=1-(） 则选正弦函数较好 16 见此图标强微信抖音扫码精准备考层层突破 巩固练习 [错因分析]形如y=asinr十bcos z的函数的最 1.若cos4=t,则tan4= 大值为√a+,而函数y=5sin(x+20)+ A.-1- B.- 4cos(,x+50°)不符合上述形式. [正解]y=5sin(x十20)+4cos(x+50) C.-1-d D.- =5sin(x+20°)+4cos[(x+20°)+30] [解析]4∈(x,经)，故m4<0,则sin4 =5sin(x+20)+4cos(x+20°)cos30°-4sin(.x+ 20°)sin30 -√1- =5sin(x+20)+2V3cos(x+20°)-2sin(.x+20°) 故tan4=sin4=-y1=Z cos 4 t =3sin(x+20)+2W3c0s(.r+20), [答案]A ∴ym=V3+(23)2=、27. 2.已知a,8e(0,),且cosa= 5 ,sin(a+3)= [答案]√21 易错点击 合则m 三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合 A把 B、110 问题 10 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转 c D.-9I0 化成y=Asin(ux十g)+t或y=Aos(mr十g)十t的 50 形式 [解析]"a,9e(0,),eosa=5 《2)利用公式T=2红(0>0)求最小正周期。 sna+=得， (3)根据自变量的范围确定x十中的范围，根据相应的正 弦曲线或余弦曲线求值城或最值，另外求最值时，根据 ∴a为锐角，a十B为锐角或钝角， 所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的 若a十B为锐角，则cos(a+》=76 105 =cosa,不 最值 (4)根据正，余弦函数的单调区间列不等式求函数y= 成立， Ain(ar十g)十4或y三Acas(r十g)十t的单调区间. ∴a+g为钝角，cos(a十0=一72，且ina=35 10 5 风固练习 ∴.cos=cos[(a+B)-a] 已知f(x)=2 sin .ccos r+√3(cosx-sinx). =cos(a十3)cosa+sin(a十B)sina (1)求函数y=f(x)的最小正周期和对称轴方程： -0×9+号×25-8 10 5 10 (②)若x∈[0]求y=x)的值域。 [答案]B [解](1)f(x)=2 sin xcosx十13(cos2x-sin2x) 易错点7求函数y=Asin(.x十p)的性质时 出错 =sin2x+5cos2x=2sin(2x+号） 【例7】函数y=5sin(x+20)+4cos(x+50)的最 令2红+晋=+受（∈Z,得x=经+臣则f八 大值为 [错解]4T,函数的最大值为5+4=行. 的对称轴为x暂十k∈D,最小正周期T=x 17 见此图标路微信抖音扫码精准备考层层突破 2)当xe[o,]时，2x+∈[5，g], 现固练习 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 因为y=sir在[子，]上单调递增，在（受，]上 知asin A+C=bsin A. 2 单调递减，所以y=sinx在x-受取最大值1，在 (1)求B: 爱取最小值-2，所以sim(2x+)∈[-号1]，所 (2)若△ABC为锐角三角形.且c=1,求△ABC面积 以f(.x)∈[-1,2]. 的取值范围。 易错点8解三角形时忽略角的范围致误 [解] (1)由题设及正弦定理，得sin Asin A十C- 2 【例8】在△ABC中，若C=3B,则5的取值范围为 sin Bsin A.因为sinA≠0，所以sinA十C=simB. 2 ( A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1.3] 由A+B+C=180,可得sm4生C=60s号， 2 [错解]选A.由正弦定理，可得 B 故cos BB 舌-合-如沿-血2B82BB 2 -2sin 2cos 2. sin B 2cos'B+cos 2B=4cos'B-1. 因为cos号≠0.故n号-号因此B=60, 0≤cosB<1,.-1≤4cos2B-1<3,由b>0, (②)由题设及(1D知△ABC的面积S=尽。 >0.可得0<分<3. [错因分析] 错解中没有考虑角B的取值范围，误 由正弦定理，得a=csinA=sin(120°-CQ_ sin C sin C 2tan C 认为角B的取值范围为(0°，180). [正解]由正弦定理可得 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C< 舌-合-知治-如2m2BB sin B 90°，由(1)知A+C=120°，所以30°<C<90°，所以 2cos B+cos 2B-4cos B-1. A+B+C=180°，C=3B,.0°<B<45°， mC放a<2.从而<S< 8 ÷号s<114B-1长3，即1K< 因此，△ABC面积的取值范围是（停，号） [答案]B 易错点9忽略三角形解的个数致错 易错点击 【例9】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 三角函数中最值与范围问题的解法 b,c且a=1,c=3. (1)三角函数法：通过正，余弦定理将边转化为角，再根据 三角恒等变换及三角形内角和定理转化为”一角一函 (1)若C=号，求A:(2)若A=若，求6，c 数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性 [错解] 和值域求解： )在△ABC中，Asin Csin A (2)基本不等式法：利用正，余弦定理，而积（周长）公式建 asin C 1 c A=晋或 立a十，ab,a2+之间的等量关系，然后利用基本不 等式求解。 (2)由Aic得sinC=sA- 2..c- 18 [见此图标%微信抖音扫码精准备考层层突破 晋，由C=晋知B=受∴b=V0+2=2. 现固练习 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 [错因分析]在用正弦定理解三角形时，易出现漏 解或多解的错误，如第(1)问中设有考虑c边比a B=吾b=5,a=3,则c= () 边大，在求得mA=C=专后，得出角A=晋 A.√5或2√ B.2W5 或需：在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解， C.3 D.3 [解析] 由血C-A-受，只得出角C=号，所以角B 由题意及正弦定理的B入解得nA √ 0<A+< 一受，解得6一2.这样就出现漏解的错误。 2…又 “放0<A<警，于是A=号或 0A<π [正解] (1)由正弦定理得“ sinA=sinC,即sinA A-,均符合题意当A=5时，C=一A-B=受， 3 -asin C 1 c 由正弦定理C=B解得=23：当A-要时， b 3 又a<A<C.0<A<晋A=吾. C=元一A一B=答=B,此时△ABC是等腰三角形，( 2)由品Ac得snC-A- 5·sin君 =b=3. [答案]A 当C=登时，B=受6=2：当C=受时，B= 6 ,b=1.综上所述，b=2或b=1. 易错点击 已知两边和其中一边的对角解三角形，可能有多个解，如 在△ABC中，已知a,b和A时，三角形解的情况 A为钝角 A为锐角 或直角 图形 牛态 关系式u=bsin A osin A<a< 4≥b 解的 一解 两解 一解 一解无解 个数 19