第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标贸微信抖音扫码精准备考层层突破 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 易错点1求解“至少”问题重复计数 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人 【例1】某大学4名大学生利用假期到3个山村参加 与甲一起，再将两人安排至某一项目，有CA}=12种 基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山 方法，再安排余下三人，有A=6种方法，所以甲不单 村至少有1人去，则不同的分配方案共有() 独参加某项比赛的报名方法有12×6=72种， A.6种B.24种C.36种D.72种 所以满足条件的不同的报名方法共有72+108=180 [错解]D 种方法。 [错因分析]本题一个错误的解法是先从4人中 [答案]C 选3人去3个山村，最后1人可任选1个山村，由 易错点2利用两个原理解题分步标准错误 此得不同的分配方案共有AC=72(种)，这种解 【例2】把3个不同的小球投入到4个盒子，所有可 法的错误在于计数有重复，重复原因如下：“甲乙丙 能的投法共有 () 3人分别去A,B,C3个山村，然后丁去A山村”与 A.24种B.4种 C.4种D.3种 “丁乙丙3人分别去A,B,C3个山村，然后甲去A [错解]因为每个盒子有三种投入方法，共4个盒 山村”结果是相同的，求解不同元素的分配，每部分 子，所以共有3×3×3×3=3种投法. 至少1个元素，一般是先分组，再排列， [错因分析]没有考虑每个球只能投入到一个盒 [正解]先选出两人作为一组，再进行全排列，则 子中，导致错误。 由分步乘法计数原理有C·A=36(种)，故选C [正解]第1个球投人到盒子中有4种投法；第2 [答案]C 个球投入到盒子中也有4种投法：第3个球投人到 易错点击 盒子中也有4种投法，只要把这3个球投完，就做 不同元素的分配间题，一般是先分组，再排列 完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有4 种方法. 风固练习 [答案]C 某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁，戊 易错点击 5名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球、跑步4个项 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合 目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名 理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成 同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共 一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成 有 了，才算完成这件事，分步必须满足两个条件，一是步骤互 A.60种 B.120种 相独立，互不干扰：二是步与步确保连续，逐步完成。 C.180种 D.240种 风固练习 [解析]满足条件的报名方法可分为两类： 2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火 第一类：甲单独参加某项比赛， 炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有 甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第 3种， 一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共 再将余下4人，安排到余下的三个项目， 由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名 同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 同学报名， [解析]最后一棒可以是除甲，乙、丙之外的2人，也 故满足条件的报名方法有A户A二36， 可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3×36 中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：1十C· 108种， C=5种； 见此图标器微信抖音扫码精准备考层层突破 安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有： 分法有A号=6种， A=2种， 利用分步计数原理可知，分配方案的总数为(15十60 由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：5×2 +15)×6=540. =10种， [答案]540 [答案]10 易错点4混淆有序与定序 易错点3忽略平均分组致误 【例4】身高互不相同的七名学生排成一排，从中间 【例3】某校高二年级共有六个班，现从外地转入 往两边越来越矮，不同的排法有 () 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 A.5040种 B.720种 2名，则不同的安排方案种数为 ( C.240种 D.20种 A.AC B C.AA D.2A8 [错解]最高个子站在中间，只需排好左右两边， 第一步：先排左边，有A=120种排法，第二步：排 [错解]A 右边，有A=6种排法，根据分步乘法计数原理，共 [错因分析]因均分忽略除以A而致误 有120×6=720（种），故选B. [正解]先将4名学生均分成两组方法数为入 [错因分析]混淆有序与定序， [正解]最高个子站在中间，只需排好左右两边， 再分配给6个年级中的2个，分配方法数为A,根 第一步：先排左边，因顺序固定有C=20种排法， 据分步乘法计数原理，不同的安排方法数为 CA A 第二步：排右边，因顺序固定，有1种排法，根据分 故选B. 步乘法计数原理，共有20×1=20（种），故选D. [答案]B [答案]D 易错点击 易错点击… 平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数 这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序，有序间 的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分 题是排列问题：“定序”是指元素的相对顺序固定，定序问 堆不到指定位置，只分堆，不再对各堆全排列.对于分堆与 题可看作组合问题，如本题先选3人排左边，排法是C, 分配问题应注意①处理分配问题要注意先分堆再分配： 不是A, ②被分配的元素是不同的（像“名额”等则是相同元素，不 见固练习 适用)，位置也应是不同的（如不同的“盒子”）：③分堆时要 今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将 注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3) 这5个球排成一行，则不同的排法种数为() 为非均匀分组，分成(4,1.1)为部分均匀分组 巩固练习 A.A B.A C.A 城 为了推动城乡义务教有一体化发展，某师范大学 [解析]因为5个球有A种排法，因为同色球不加 6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作， 以区分，2个红球有A种排法，3个黄球有A种排 若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每 所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 法，所以共有人种排法 [答案]D [解析]第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少 易错点5 忽略二项展开式的通项是第r+1 1人，一共有3种分配方案， 项不是第r项 其中1,1,4分配方式有CCC=15种， A 【例5】 二项式(：一是)广的展开式的第二项是 1,2,3分配方式有CCC=60种： 22,2分配方式有CCC=15种， A.60x2 B.-60x2C.12x D.-12x A 第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其 [错解] 展开式的通项为C(x)(一品，令r 42 见此图标贸微信抖音扫码精准备考层层突破 =2,可得展开式的第二项为C士（一）】 =60x2 风固练习 故选A. 在二项式（- 的展开式中，下列说法正 [错因分析]误认为第二项是r=2而致误. 确的是 ( [正解]展开式的通项为T+1=C%(x) (),令r=1,可得展开式的第二项为Cx A常数项为只 B.各项的系数和为64 （)=-12x.故选D, C.第3项的二项式系数最大 [答案]D D.奇数项二项式系数和为一32 易错点击 [解析]对于A(丘-)'的展开式通项为T+ 求二项展开式中的特定项，一般是把通项公式进行化简 后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零：求有 c(2)=C(广岸 理项时，指数为整数等)，解出项数十1，代回通项公式 即可， 当k=2时，常数项为心·(-)广-5，选项A 见固练习 正确； 若二项式(+症 的展开式中第4项为常数 对于B,令工=1，得各项的系数和为(1-2)广=高， 项，则n 选项B错误； A.6 B.5 C.4 D.3 对于C,展开式共7项，二项式系数最大应为第4项， [解析] 三项式(+》】 的展开式的通项公式为 故选项C错误； 对于D,依题意奇数项二项式系数和为C十C十C T= +c- =32,选项D错误. 因为二项式(》 的展开式中第4项为常数项， [答案]A 所以n-号×3=0，解得n=4,故选C 易错点7事件分拆混乱致误 [答案]C 【例7】某课程考核分理论与实验两部分进行，每部 易错点6混淆项的系数与二项式系数 分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都 【例6】(a一b)"的展开式中，系数最大的项是第 是“合格”，则该课程考核“合格”.甲，乙，丙三人在 项 理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实 [错解]6或7 验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考 [错因分析]混淆二项式系数与项的系数 核是否合格相互之间没有影响。 [正解](a一b)的展开式中共12项，第6项系数 (1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格 为一C,第？项系数为C,所以系数最大的项是 的概率； 第7项 (2)求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留 [答案]7 三位小数) 易错点击 [错解](1)设甲，乙，丙至少两人合格为事件A, 二项式系数与项的系数是不同的概念，其最大值的求法也 不同.二项展开式中二项式系数的最大项只与有关，若 P(A)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1× 为偶数，正中间1项的二项式系数最大，若n为奇数，正中 0.8×0.7=0.398. 间2项的二项式系数最大，求项的系数的最大值一般是分 (2)设三人都合格为事件B,P(B)=0.9X0.8× 别确定第r一l,r,r十1项的系数a,-·a,a+1,再由 0.7=0.504. a,≥a-'确定符合条件的7 [错因分析]事件分拆错误.“至少两人合格”要分 a,≥a+ 析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙 43 见此图标器微信抖音扫码精准备考层层突破 丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和； P(A)P(A)PA,)=(×2×) 三人课程考核合格要写成六个独立事件的积 [正解]记“甲理论考核合格”为事件A1,“乙理论 (××号×）=品 3 考核合格”为事件A2,“丙理论考核合格”为事件 [答案]B A,A记为A,的对立事件，i=1,2,3.记“甲实验 易错点8混淆超几何分布与二项分布 考核合格”为事件B,,“乙实验考核合格”为事件 【例8】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况， B2,“丙实验考核合格”为事件B,· 交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调 (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C, 查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况 P(C)=P(AA,A,+AA,A,+AA:A,+ 为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h AAA,)=P (AA,A,)+P(A:A,A,)+ 的有40人，不超过100km/h的有15人：在45名 P(A1A2A)+P(A1A2A)=0.9×0.8×0.3+0.9 女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20 ×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7 人，不超过100km/h的有25人. 0.902. (1)完成下面2×2列联表： (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D, 平均车速超过 平均车速不超过 总计 P(D)=P[(AB1)·(AB,)·(AB)]= 100 km/h 100 km/h P(AB1)·P(A,B2)·P(A,B2)=0.9×0.8×0.8 男性驾驶员 ×0.7×0.7×0.9=0.254016≈0.254.所以这三 女性驾驶员 人该课程考核都合格的概率约为0.254. 总计 易错点击 (2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 对复杂事件的概率计算问题要将事件分拆成几个互斥事 100km/h的人中随机轴取2人，求这2人恰好是 件的和，再把每个事件分成若干独立事件的积，分拆过程 1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率： 中要明确事件的实质，全面准确地分拆事件， (3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶 风固练习 的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速 超过100km/h且为男性驾驶员的车辆数为X,求 国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式 X的分布列和数学期望E(X). 决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次 [错解]第(3)小题因用超几何分布而致误。 得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最 [错因分析]混淆超几何分布与二项分布. 高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比 正解](1)完成的2×2列联表如下： 赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对 方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么 平均车速超过 平均车速不超过 总计 100 km/h 100 km/h 先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球 男性驾驶员 40 15 55 的概率为2，甲接发球赢球的概率为，则在比分为 女性驾驶员 20 25 45 20：20,且甲发球的情况下，甲以2321赢下比赛的 总计 60 40 100 概率为 ( (2)平均车速不超过100km/h的驾驶员有40人， A司 &易 c易 D品 从中随机抽取2人的方法总数为C。,记“这2人恰 好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件 [解析]设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事 A,则事件A所包含的基本事件数为C,C, 件A(k=1,2,3,…）, 则P(甲以23·21赢)=P(A1A2A3A,)十 所以所求的概率P(A)=CC-15×2525 C 20×3952 P(AA:AA)=P(A)P(A)P(A)P(A)+P(A) (3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆 见此图标贸微信/抖音扫码精准备考层层突破 车，平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的概 pg=-S-gPE=2-S-号，Pe= C 率为0-号， 故X一B(3,号) 5 所以的分布列为： 所以PX=o)=G(号)广()广=贸 Px--c()广()广-器 Px=2)=c(广()=： 则E(E)=1 号+2x号+3 5=2； PX=)=(传广（得》°=品 设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知？~ 所以X的分布列为 B(3,), 0 1 所以P(7=0)=C(1-号)-=7，P(7=1)= P 27 嚣 器 塔 c()'(-)'-, 所以B00-0X+1×酷+2×+3×品 P(?=2)=CG(号)广(1-号)}'=音，P(=3)= c(号)= 易错点击 所以”的分布列为： (1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成，比如 0 1 “正，反”“黑，白”“男生，女生”“正品，次品”等，②总体 2 4 一般是有限个. 27 (2)超几何分布主要应用于轴查产品，摸不同类型的小球 等模型。 所以E7)=3×号=2. (3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分 (2)由(1)知E()=E()=2, 布”，如从两类对象中不放回地抽取n个元素，当两类 D)=1-2y2×号+(2-2)2×号+(3-2)2×号 对象的总数量很大时，超几何分布近似于二项分布.， 风固练习 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生 D)=3×号×(1-)-号， 从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求 独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便 可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2 所以D()<D(）),P(≥2)>P(≥2)， 题不能完成：考生乙每题正确完成的概率都是号，求： 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布 水平相当； 列，并计算数学期望： 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水 (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 平更稳定； [解](1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能 的可能取值是1,2,3， 性更大。 45