第七章 立体几何-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标双微信抖音扫码精准备考层层突破 第七章 立体几何 易错点1立体图形的展开图考虑不全面致错 易错点2平面图形与其直观图的关系 【例1】长方体ABCD-A1BCD1的长、宽、高分别 【例2】如图是水平放置的平面图形的直观图，则原 为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离 平面图形的面积为 ) 为 [错解]2√5 [错因分析]只考虑一种可能. [正解]根据题意，将长方体按照三种不同方式展 开，如下图所示： A.3 B.32 C.6 D.32 归 [错解]B [错因分析]错解中把直观图认为是原平面图形，则 结合长方体的三种展开图，求得AC,的长分别是 平面图形的面积为号×2×3×加45-32.实际 上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图 3√2，√26,25，所以最小值是3√2. 形，再利用三角形的面积公式求解。 [答案]3√2 [正解]原平面图形如图，即Rt△OAB,其中OA= 易错点击 0A'=3,0B=20B'=4,放原平面图形的面积为号 求几何体表面上两点之间的最短距离一般要把几何体的 ×3×4=6,选C 侧面或表面展开，将问题转化为平面图形中的距离问题， 但要注意对于多面体来说，其展开方式可能有多种。 巩固练习 3 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形 ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 012 到C的路径中，最短路径的长度为 ( [答案]C 易错点击 1.斜二测画法中的“三变”与“三不变”： 坐标轴的夹角改变： “三变” 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半： A.2/10 B.2√5 C.3 D.2 图形改变 [解析]圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图 平行性不改变： 是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面 “三不变” 与x轴平行的线段的长度不改变： 上，从A到C的最短路径为线段AC,AC=√2+6 相对位置不改变 =2√10.故选A. 2.原图形与直观图的面积比为-2，即原鬧面积是直 0 观图面积的2√？倍，直观图面积是原图面积的 1 22 [答案]A 44 27 见此图标双微信料音扫码精准备考层层突破 风固练习 棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全 如图，△A'OB'是用斜二测画法得到的△AOB 等的直角边长为1的等腰直角三角形，其侧面面积 的直观图，其中OA'=2,OB'=3,则AB的长度为 的和为3，三棱锥的底面是边长为√2的正三角形， 其底面面积的和为√3，故所求几何体的表面积为 24-3十√3=21十√3.故选A. [答案]A 易错点击 [解析]把直观图△A'OB'还原为△AOB,如图 柱体、维体、台体的表面积 所示： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面 积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏。 (2)求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再 相加：求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平 面图形后再求面积。 0■ A王 见固练习 根据直观图画法规则知，OA=OA'=2,OB=2OB =2×3=6, 如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC,AD∥BC, BC-2CD=2AD=2,若将直角梯形绕BC边旋转一 所以AB的长度为AB=√OA+OB=√4+36= 周，则所得几何体的表面积为 210 [答案]2/10 易错点3空间几何体的表面积或体积计算不 全面致错 D 【例3】如图，一个棱长为2的正方体截取两个全等 [解析]由题意知所得几何体为一个圆维与圆柱的 的小正三棱锥，小正三棱锥三条相互垂直的棱长都 为1，则剩余多面体的表面积为 ( 组合体，则表面积为rl十2rh十r2=π×1X√2+2x ×1×1十x×1=√2元+3元. [答案](3+√2)π 易错点4忽略空间角的范围致误 【例4】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC, A.21+√3 B.18+3 M,N分别为AB,CD的中点，且直线BC与MN C.21 D.18 所成的角为30°，则BC与AD所成的角 [错解]B或C或D 为 [错因分析]B项计算三角形面积时出错；截取小 正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形， 但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；D项 计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥 的底面 [错解]120° [正解]正方体的表面积为S-24,两个全等的三 如图，连接BD,并取中点E,连接EN,EM,则EN 28 见此图标风微信/抖音扫码精准备考层层突破 ∥BC,EM∥AD,故∠ENM为BC与MN所成的 ∠AD1C的余弦值即为所求.由AB=BC=1,BB,=2 角，∠MEN为BC与AD所成的角，∴∠ENM= 可得AD,=D,C=√5，AC=√2，故有(W2)2=(W5)2+ 30.又由AD=BC,知EM=EN,.∠EMN= (W5)-2X5×V5cos∠AD,C,解得cos∠AD,C= ∠ENM=30°，.∠MEN=180°-30°-30°=120°， 4 ,故选D 即BC与AD所成的角为120°. [错因分析]在未判断出∠MEN是锐角或直角 [答案]D 还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的 易错点5对线面位置关系不能正确应用定理 角，因为异面直线所成的角a的取值范围是0°<a 致错 ≤90°.如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异 【例5】如果两条平行直线a,b中的a∥a,那么b∥a. 面直线所成的角。 这个命题正确吗？为什么？ [正解]以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC [错解]这个命题正确， 与AD所成的角为60 ra∥a, [答案]60 .在平面a内一定存在一条直线c,使a∥c 易错点击 又a∥b,b∥c,b∥a. 求异面直线所成角的步骤 [错因分析]忽略了bCa这种情况，从而导致错 ①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角： 误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关 ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角： 系：b∥a和bC&. ③三求：解三角形，求出作出的角。 [正解]这个命题不正确， 如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角：如果 若ba,a∥a, 求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角。 4444444444 ∴.在平面a内必存在一条直线c,使a∥c. 现固练习 又a∥b,∴.b∥c,∴.b∥a. 如图，在长方体ABCD-A,B,CD1中，若AB= 若bCa,则不满足题意. BC=1,BB,=2,则异面直线A1B和AD1所成角的 综上所述，b与a的位置关系是b∥a或bCa. 余弦值为 易错流击… 1.点，线、而之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方 体为主线，直观感知并认识空间点，线、面的位置关系， 准确判定线线平行，线线垂直、线面平行、线而垂直、面 面平行，面面垂直。 2,熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可 A.0 10 c D告 颗利解决此类问题 [解析]连接AC,D,C,由题得AD1LBC,故四边 见固练习 形A,BCD是平行四边形，所以AB⊥DC,则 设m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平 29 心见此图标双微信料音扫码精准备考层层突破 面，则下列说法正确的是 易错点击 A.若mL⊥n,n∥a,则m⊥a 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线 面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如 B.若m∥B,B1a,则m⊥a 本题是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上， C.若m⊥n,n⊥B,B⊥a,则m⊥a 要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的 D.若m⊥β，n⊥B,n⊥a,则m⊥a 直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明 [解析]当m⊥n,n∥a时，可能有m⊥a,但也有可能 线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直， m∥a或mCa,故A选项错误； 在不断地相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意 当m∥B,8⊥a时，可能有m⊥a,但也有可能m∥a或 推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等。 mCa,故选项B错误； 巩固练习 在如图所示的正方体ABCD-A,B,C,D,中， 如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB=BC= D AD,E,R,H分别为线段AD,PC,CD的中点，AC B C 与BE交于点O,G是线段OF上一点. (1)求证：AP∥平面BEF; D (2)求证：GH∥平面PAD, 取m为B,C,n为CC1,P为平面ABCD,a为平面 ADD1A,这时满足m⊥n,n⊥B,B⊥a,但m⊥a不成 立，故选项C错误； 当m⊥B,n⊥B,n⊥a时，必有a∥B,从而m⊥a,故选项 [证明] D正确. (I)连接EC,“AD∥BC,BC=2AD, [答案]D ∴BC=AE且BC∥AE,∴四边形ABCE是平行四 易错点6证明线面位置关系推理不严谨 边形，.O为AC的中点. 【例6】在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中， 又，F是PC的中点，.FO∥AP,FOC平面BEF, AP中平面BEF,.AP∥平面BEF E,F分别为DD,DB的中点. 求证：EF⊥BC [错解]：AC⊥BD,又AC⊥DD,∴.AC⊥平面 BDD1,.EF⊥AC [错因分析]推理论证不严谨，思路不清晰。 (2)连接FH,OH,:F,H分别是PC,CD的中点， [正解]ABCD-A,B,C,D,为正方体→ .FH∥PD,PDC平面PAD,FH平面PAD, B,C⊥AB .FH∥平面PAD. B,C⊥BC 又：O是BE的中点，H是CD的中点， AB⊥平面BCC,B,→ AB,BCC平面ABC,D .OH∥AD,ADC平面PAD,OH平面PAD, ABOBC-B .OH∥平面PAD. B,C⊥平面ABCD,】 BC⊥BD,】 又FH∩OH=H,.平面OHF∥平面PAD. →EF⊥BC. BD,C平面ABC,D,JEF∥BD 又GHC平面OHF,∴.GH∥平面PAD. 30