第六章 数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 第六章 数 列 易错点1忽略n的取值致错 ! 见固练习 【例1】已知数列{a,)的前n项和为S,=n+1,数列 数列{an}的通项公式为an=n2一2λn(n=1, 么满足么2异则么 2,…).若{a,}为递增数列，则入的取值范围是() [错解]因为S.=n+1,S.1=(n-1)+1, A.[1,十o) B(+) 两式相减，得a,=5,一5.-1=21-1，所以6，一a千行 2 C.(-∞，1] D(-) 日 [解析]因为数列{a.}的通项公式为a.=n2 2n(n=1,2,…),且{a.}为递增数列， [错因分析]由已知中{a.)的前n项和S,=+1, 所以a.<a1对于Hn∈N都成立， S,n=1, 结合a, 分别讨论n≥2时与n=1 所以n一2入n<(n+1)2一21(n+1)对于Hn∈N都 S.-S。-1n≥2. 成立，即n2-2an<n+2n+1一2An-2A, 时的通项公式，并由n=1时，a,的值不满足n≥2时 的通项公式，故要将数列(a。}的通项公式写成分段 所以2以<2十1对于Vn∈N都成立，所以<n+号 函数的形式. 对于n∈N都成立， [正解]当n=1时，a=S=2.因为S,=n+1, 所以X<1+2-号，即入的取值范围是(-∞，）。 S。-1=(n-1)+1(n≥2)，两式相减，得a.=S, S。-1=2n-1(n≥2). [答案]D 所以当≥2时，a=2-1.又41=2不符合上式，所 易错点2忽略数列中为0的项致误 2,n=1, 【例2】设等差数列{a.}的前n项和为S,公差为d, 以an 2n-1,n≥2. 且满足a1>0,S,=S,则当S。最大时，n 因为6 2 3n=1, a.+:所以6 [错解]由S,=S…得1la,十山必0d=1%十 ,n≥2. 18X1”d,即4，=-14d.由a4>0可知dK0,解不等式 2 3n=1, [答案] an=a1+(n-1)d≥0，〔-14d+(n-1)d≥0， 即 1 组 得 ,n22 a+1=a1+d0, -14d+l<0, 14<n≤15.又n∈N”,故当n=15时，S.最大. 易错点击 [错因分析]由于a1=0,所以S:=S1,当n=14 S,=1 (1)已知5求4，的常用方法是利用a, 或n=15时，S。最大，错解中忽略了数列中为0 5-5-12 的项。 化为关于a。的关系式，再求通项公式 (2)S。与：。关系间题的求解思路 [正解1门由S=S得14+山0d=1十 方向1：利用a.=5,-5。-1(n≥2)转化为只含S,S- 的关系式，再求解。 18X1d4,即a,=-1d.由a>0可知d<0,解不等式 2 方向2：利用S一S。-,=a.(n≥2)转化为只含a.a, am=a+(n-1)d≥0， -14d+(n-1)d0, 组 即 得 的关系式，再求解。 a+1=a十nd≤0， -14d+d0, 24 见此图标强微信抖音扫码精准备考层层突破 14≤n≤15.又n∈N,故当n=14或n=15时，S. a中，当n≤4时，a4>0:当n≥5时，a<0, 最大 故当n=4时，B取得最大值. [正解2]由S:=S,可得41=一14d,所以S= [答案]4 -1da+ngd-号(a-2》-8婴d.由we 易错点3忽视奇数项或偶数项的符号 2 【例3】在等比数列{an}中，aza,asag=25,求a1a N”并结合S。对应的二次函数的图象知，当n=14 的值. 或n=15时，S。最大 [错解]因为{an}为等比数列，所以a:a,=aza,= [正解3]由S,=Sw,得a十an十a4十as十a1s 十ar十aa=0,即7a1s=0,as=0.由a1>0可知d a,a,由a,aaa=25可得(a1a)'=25.故a1a,= <0,故当n=14或n=15时，S。最大. ±5. [答案]14或15 [错因分析]错解中忽略了在等比数列中，奇数项 或偶数项的符号相同这一隐含条件。 易错点击 [正解]因为{a.}为等比数列，所以a1a,=agas 1.求等差数列前n项和的最值的方法 =a,as… (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方法）求 其前n项和的最值，但要注意n∈N. 由aa,aag=25可得(a1a,)'=25,故a1a,=士5. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定刀的值， 又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 使S。取得最值。 a1a>0,所以a1a,=5. 4.≥0， 易错点击 (3)项的符号法：当a>0,d<0时，满足 的项 4.+1≤0 在等比数列中，若公比小于0，则各项正负间隔出现，奇数 数，使S,取最大值：当a1<0,d>0时，满足 项的符号是一致的，偶数项的符号是一致的，据此可知，偶 1a.0 数个奇数项的积为正数，們数个偶数项的积也为正数 的项数，使S取最小值，即正项变负项处 a+0 风固练习 最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S。取最值 在无穷数列{a,}中，a1=1,a。1十2aw=0(n≥2，n 的理有两个 ∈N),数列{a.的前n项和为S。,则S.的最大值与 2,在等差数列(a。1中，若d1>0,S,=S,(p≠g),则(1)p+ 最小值的差为 () g为偶数→当m-D9时，S最大：(2)p十g为奇数一当 2 A n=+g一或P+g+时，S最大。 2 2 c号 D.无法确定 巩固练习 等差数列{a.}中，a1=2,So=15,记B.=a:十a [解析]由n≥2，a-1十2a,=0,得a.=- 2a1,而 十a。十…十a“,则当n= 时，B。取得最大值。 a,=1,则数列{a.}是等比数列， [解析]在等差数列{a.}中，a1=2,S。=15, 1-(-2) sw=10a+10294=15, 于是S。 即20+45d=15,45d=-5, d=-号a,-2-言m-0-日+0 数时，5-[1+（号）门，号<5<5<1， 由a,=-号+号-0，得n=19,即n=0.当>19 当n为偶数时5.-号[1-()门2<5<5< 时，a<0:当n<19时，an>0,因此在at,a4a,…, 子因此S,的最大值与最小值分别为1,2， 25 广见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 所以S,的最大值与最小值的差为 [解析]由题意可知，a1=1,a=qa,=g, 若{a.}为常数列，则5，+1=2，S+1=3,Sg+1=4, [答案]C 不为等比数列，与题意不合： 易错点4忽略等比数列中公比为1致错 【例4】在数列{a,}中，若a.=a一a”(a≠0)，求 若g≠1，则S,=a,·二=父-1 q-1q-1 (a.}的前n项和S. 若{S,十1}也是等比数列，则(S。十1)=(S.-:十 [错解]S,=a1十ag十as十…十a 10(S.+1),n≥2，n∈N°. =(a2+a十…十a)(a十a十十a") ()-3.92 g-1 =a2(1-a")_a(1-a") 1-a 1-a 2g(q-2)=(g-2)(g-1+g)→q-1(q-2)(q [错因分析]错解在进行等比数列求和时忽略了 1)2=0, 对公比是否等于1的讨论：此外，还需讨论相关数 解得g=2或q=1(舍去). 列是否为等比数列. [答案]D [正解]当a=1时，a.=0,所以S。=0: 易错点5忽略函数与数列的区别致误 当a=-1时，a2-1,所以S.=n+1-（一1)， 【例5】已知在数列(a.}中，a.=-2n2十25m十30(n 2 ∈N”),则数列中最大项的值是 () 当a≠士1时，S=1-a)a1-a) 1-a 1-a A.107 B.108 c108号 D.109 0,a=1 [错解] 选C.由题意可知a.=-2n°+25n十30= 综上，S= n+1-(-1) ,a=一1， 一2(m一要)+108号，所以数列{a,中的最大项 a2(1-a")a(1-a" 1-a 1-4 2,a≠士1. 为108合 易错点击 [正解] 由题意可知4.=一2n2十25n十30= 1.特别注意g=1时.S=a1这一特殊情况. 2-）)+108 2.由a+1=%,g≠0，并不能立即断言{a.为等比数列， 还要验证a:≠0. 由于n∈N,故当取距离平最近的正整数6时，取 3,在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对q一1 得最大值108. 与≠1分类讨论，防止因忽略？一1这一特殊情形而导 ∴.数列{a,中的最大值为a6=108.故选B. 致解题失误。 [答案]B 4.S。,S.-S,S一S,未必成等比数列（例如：当公比 易错点击 一1且为偶数时，S。,S.一S,S.一S,不成等比数列： 利用函数单调性求解数列问题，要注意n的取值不是连续 当g≠-1或g=一1且n为奇数时，S。,S,一S,S, 实数 ,444444444444444444444444444444444444444444+4444+4+ S.成等比数列)，但等式(S.一5)=5。·(S.-5)总 见固练习 成立 已知an=n2十tm,若数列{a.}是递增数列，则t的 巩固练习 取值范围是 设等比数列{a.}的首项为1，公比为q,前n项和 [解析]因为数列(a.}是递增数列，所以a+1一a.= 为S.,若{S。十1}也是等比数列，则q= () 2n+1+t≥3+>0. A.1或2 B号或2 所以t>一3. C.1 D.2 [答案](-3，+∞) 26