专题提优4 构造一元二次方程解题技巧（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

专题提优4 构造一元二次方程解题技巧 第一部分 专题分类训练 类型一 已知两根求作新的方程 1．写出一个两个根分别为1和﹣3的一元二次方程 　 　 ． 2．已知两个数的和等于7，积等于12，则这两个数分别是　 　 ． 3．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 类型二 利用根的意义构造方程 4．两个不相等的实数m，n满足m2﹣6m＝4，n2﹣6n＝4，则m2+n2的值为　 　 ． 5．阅读下列材料：已知实数a，b满足a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0．求的值． 解：分类讨论：当a＝b时，原式的值为2，当a≠b时，a、b可看成方程x2﹣4x+2＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到a+b＝4，ab＝2，∴原式6，∴的值为2或6． 根据材料给你的启示，解答下面的问题： 已知实数m，n满足m2﹣8m+5＝0，n2﹣8n+5＝0，求代数式的值． 类型三 主元法构造方程 6．若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　 　 ． 7．已知：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0，则的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 类型四 利用根与系数关系构造方程 8．已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于　 ． 9．阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）． 解决问题： （1）验证关系： 给定一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和﹣2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式　 ； （3）能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝11，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根， ∵x1+x2＝1﹣2a，，又∵（x1+2）（x2+2）＝11，∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝5． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 类型五 利用求根公式构造方程 10．已知：（b﹣c）2＝（a﹣b）（c﹣a）且a≠0，求的值． 11．已知a，求（）3﹣（）2+a×（）+4的值． 第二部分 专题提优训练 11．已知x，y是正整数，并且xy+x+y＝23，x2y+xy2＝120，求x2+y2的值． 12．已知实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，求t的取值范围． 13．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝2，abc＝4． （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求|a|+|b|+|c|的最小值． 14．试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 15．已知a、b满足a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且a≠b，则　 　 ． 16．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（　　） A．21 B．25 C．26 D．36 17．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 18．已知p2﹣2p﹣5＝0，5q2+2q﹣1＝0，其中p、q为实数，且p，求的值． 19．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m|＝（　　） A．0 B． C． D．0或 20．已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y＝71，x2y+xy2＝880，求x2+y2的值． 21．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是　 ． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c．若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD＝BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优4 构造一元二次方程解题技巧 第一部分 专题分类训练 类型一 已知两根求作新的方程 1．写出一个两个根分别为1和﹣3的一元二次方程 　x2+2x﹣3＝0 （答案不唯一）　 ． 【分析】先计算出1与﹣3的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程． 【详解】解：∵1﹣3＝﹣2，1×（﹣3）＝﹣3， ∴以1和﹣3为根的一元二次方程可为x2+2x﹣3＝0． 故答案为：x2+2x﹣3＝0 （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 2．已知两个数的和等于7，积等于12，则这两个数分别是　　 ． 【分析】设这两个数分别为a、b，根据题意得方程组得，求解a，b即可解答． 【详解】解：设这两个数分别为a、b， 根据题意得， 则a，b是方程x2－7x+12＝0的两个根， 解得a＝4，b＝3， 所以这两个数分别为4和3． 故答案为：4和3． 【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握一元二次方程的根与系数的关系、用配方法解一元二次方程是解题的关键． 3．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　x2﹣1＝0（答案唯一）　 ． 【分析】依据题意，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程，从而，进而将b，c用a的式子来表示，然后取一个合适的值即可得解． 【详解】解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴． ∴． ∴一元二次方程为ax2﹣a＝0． ∵a≠0， ∴可取a＝1． ∴这个一元二次方程为x2﹣1＝0（答案唯一）． 故答案为：x2﹣1＝0（答案唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出方程组是关键． 类型二 利用根的意义构造方程 4．两个不相等的实数m，n满足m2﹣6m＝4，n2﹣6n＝4，则m2+n2的值为　44　 ． 【分析】由条件可知m、n是方程x2﹣6x﹣4＝0的两根，再利用根与系数的关系可求得答案． 【详解】解： ∵两个不相等的实数m，n满足m2﹣6m＝4，n2﹣6n＝4， ∴m、n是方程x2﹣6x﹣4＝0的两根， ∴m+n＝6，mn＝﹣4， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣4）＝36+8＝44， 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 5．阅读下列材料：已知实数a，b满足a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0．求的值． 解：分类讨论：当a＝b时，原式的值为2，当a≠b时，a、b可看成方程x2﹣4x+2＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到a+b＝4，ab＝2，∴原式6，∴的值为2或6． 根据材料给你的启示，解答下面的问题： 已知实数m，n满足m2﹣8m+5＝0，n2﹣8n+5＝0，求代数式的值． 【分析】分m＝n和m≠n两种情况求解，其中m≠n时m、n可看作x2﹣8x+5＝0的两个不相等的实数根，据此知m+n＝8，mn＝5，代入到原式计算可得． 【详解】解：当m＝n时，原式＝1+1＝2； 当m≠n时，m、n可看作x2﹣8x+5＝0的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系知m+n＝8，mn＝5， ∴原式 ． 综上：原式＝2或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 类型三 主元法构造方程 6．若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　﹣2　 ． 【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案． 【详解】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3 ＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3 ＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3 ＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3 ＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3 ＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3 ＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3 ＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2 ＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2， ∵x，y均为实数， ∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0， ∴原式W≥﹣2， 即原式的W的最小值为：﹣2， 解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0， ∵x为实数， ∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0， 即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10， ∴W≥﹣2， ∴W的最小值为：﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键． 7．已知：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0，则的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】等式左右两边同时乘以2，可化为3个完全平方式的和为0的形式，然后利用非负数的性质求m、n的值，代入即可求出分式的值． 【详解】解：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0变形，得 2m2+2n2+2mn+2m﹣2n+2＝0 即（m+1）2+（n﹣1）2+（m+n）2＝0 ∴m+1＝0，n﹣1＝0 解得m＝﹣1，n＝1． ∴1+1＝0． 故选：B． 【点睛】灵活运用完全平方公式和平方的非负性是解决本题的关键． 类型四 利用根与系数关系构造方程 8．已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于　﹣9　 ． 【分析】观察已知等式可知，含有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可以将已知条件移项，平方即可． 【详解】解：由m＝1，得（m﹣1）2＝2， 即m2﹣2m＝1，故7m2﹣14m＝7， 同理，得3n2﹣6n＝3， 代入已知等式，得（7+a）（3﹣7）＝8， 解得a＝﹣9． 【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值． 9．阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）． 解决问题： （1）验证关系： 给定一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和﹣2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式　x2﹣x﹣6＝0　 ； （3）能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝11，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根， ∵x1+x2＝1﹣2a，，又∵（x1+2）（x2+2）＝11，∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝5． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【分析】（1）根据求根公式求出2x2﹣5x+1＝0的两个根，再根据题意求出x1+x2和x1•x2即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据题意得出Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解答即可． 【详解】解：（1）2x2﹣5x+1＝0， 解得，， ∴， ； （2）设一元二次方程的一般式是x2+bx+c＝0， ∴， 解得：b＝﹣1，c＝﹣6， ∴这个一元二次方程的一般形式为x2﹣x﹣6＝0； 故答案为：x2﹣x﹣6＝0； （3）小秦同学的解法不正确， 理由：x2+（2a﹣1）x+a2＝0， ∴x1+x2＝1﹣2a，， 又∵（x1+2）（x2+2）＝11， ∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0， 解得：a1＝﹣1，a2＝5， 又∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解得：， ∴a＝﹣1． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中根与系数之间关系和根的判别式Δ＝b2﹣4ac． 类型五 利用求根公式构造方程 10．已知：（b﹣c）2＝（a﹣b）（c﹣a）且a≠0，求的值． 【分析】已知等式两边乘以4，整理后利用完全平方公式化简，开方得到b+c＝2a，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：已知等式变形得：（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a）， 整理得：b2﹣2bc+c2＝4（ac﹣a2﹣bc+ab）， 去括号得：b2﹣2bc+c2＝4ac﹣4a2﹣4bc+4ab， 整理得：（b+c）2﹣4a（b+c）+4a2＝0，即（b+c﹣2a）2＝0， 开方得：b+c﹣2a＝0，即b+c＝2a， 则原式＝2． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．已知a，求（）3﹣（）2+a×（）+4的值． 【分析】先利用因式分解的方法，提得到原式[（）2a]+4，然后进行括号内的二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式[（）2a]+4 •（）+4 •0+4 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 第二部分 专题提优训练 11．已知x，y是正整数，并且xy+x+y＝23，x2y+xy2＝120，求x2+y2的值． 【分析】将xy，x+y分别作为两个整体，可构造出以xy，x+y为两根的一元二次方程，（x+y）2＝x2+y2+2xy． 【详解】解：由题意可知，xy、x+y可看作t2﹣23t+120＝0的两个根， ∵xy+（x+y）＝23，x2y+xy2＝xy（x+y）＝120， 解方程，得x+y＝8，xy＝15． 即或（无正整数解，舍去）， ∴x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝82﹣2×15 ＝34． 【点睛】本题考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题关键． 12．已知实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，求t的取值范围． 【分析】由两个等式可求出a+b、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，也可以从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间． 【详解】解：由已知得，（a+b）2﹣ab＝1，t＝﹣（a+b）2+3ab， 由此可得：ab，a+b（t≥﹣3）， ∴a，b是关于方程x2x0的两个实根， 由Δ2（t+1）≥0，解得t， 故t的取值范围是﹣3≤t． 故答案为：﹣3≤t． 法二、∵a2+ab+b2＝1， ∴（a+b）2＝1+ab≥0，（a﹣b）2＝1﹣3ab≥0， ∴﹣1≤ab， ∵t＝ab﹣a2﹣b2＝ab﹣（1﹣ab）＝2ab﹣1， ∴：﹣3≤2ab﹣1， 即﹣3≤t． 故答案为：﹣3≤t． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 13．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝2，abc＝4． （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求|a|+|b|+|c|的最小值． 【分析】（1）根据一元二次方程即可解决问题； （2）用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a＞0， 且b+c＝2﹣a，． 于是b，c是一元二次方程的两实根， 0，a3﹣4a2+4a﹣16≥0，（a2+4）（a﹣4）≥0．所以a≥4． 又当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． （2）因为abc＞0，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c＝2矛盾． ②若a，b，c为或一正二负，设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2， 由（1）知a≥4， 故2a﹣2≥6， 当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故|a|+|b|+|c|的最小值为6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 14．试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 【分析】设前后两个二位数分别为x，y，则有（x+y）2＝100x+y，将此方程整理成关于x（或y）的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y（或x）的取值范围． 【详解】解：设前后两个二位数分别为x，y， ∴（x+y）2＝100x+y． x2+2（y﹣50）x+（y2﹣y）＝0． b2﹣4ac＝4（y﹣50）2﹣4（y2﹣y）＝4（2500﹣99y）≥0， 解得y≤25， 当y≤25时，原方程有解． ∴x50﹣y±， ∴2500﹣99y必为完全平方数， ∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位． ∴y＝25， ∴x＝30或20， ∴所求的四位数为3025或2025． 【点睛】考查完全平方数的知识；得到前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方的等量关系是解决本题的关键；判断出y的值是解决本题的难点． 15．已知a、b满足a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且a≠b，则　﹣6　 ． 【分析】根据题意可知a、b是关于x的方程方程x2+2x﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系可得a+b＝﹣2，ab＝﹣1，再根据完全平方公式可得a2+b2的值，再将分式化简求值即可． 【详解】解：∵a、b满足a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且a≠b， ∴a、b是关于x的方程方程x2+2x﹣1＝0的两个根， ∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2＝6， ∴6， 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的化简等，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（　　） A．21 B．25 C．26 D．36 【分析】设点A到BD的距离为h，由S△AOB＝4，得出h，进而得出S△AOD＝4，设x，则S△AOD＝4x，同理得出S△BOC，进而得出S四边形ABCD＝4x13，即可求出答案． 【详解】解：设点A到BD的距离为h， 在四边形ABCD中，S△AOB＝4， ∵S△AOBOB•h＝4， ∴h， ∴S△AODOD•hOD4， 设x，则S△AOD＝4x， 设点C到BD的距离为h，S△COD＝9， ∵S△CODOD•h'＝9， ∴h'， S△BOCOB•9， ∴S四边形ABCD＝S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD ＝4x13 ＝（2）2+213 ＝（2）2+12+13 ＝（2）2+25≥25． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，配方法，用x表示出△AOD，△BOC的面积是解本题的关键． 17．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【详解】解：由勾股定理可得：AO2+BO2＝25， 又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3 ∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25， 整理得：m2﹣2m﹣15＝0， 解得：m＝﹣3或5． 又∵Δ＞0， ∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m， ∴m＝﹣3， 故选：A． 【点睛】此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 18．已知p2﹣2p﹣5＝0，5q2+2q﹣1＝0，其中p、q为实数，且p，求的值． 【分析】本题可分两种情况进行分别求解．当p时，根据根与系数的关系求出所求的值；当p时，可直接求出方程的解，然后代入求解． 【详解】解：由题意可知q≠0，则把5q2+2q﹣1＝0两边同时除以q2，得： 50， 则5＝0， ∵p2﹣2p﹣5＝0，且p ∴p、是关于x的方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不相等的实数根， 则p2，p•5， 所以2p•4﹣2×（﹣5）＝14． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系和一元二次方程的求解，应熟练掌握． 19．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m|＝（　　） A．0 B． C． D．0或 【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解． 【详解】解：由3m2﹣2m﹣5＝0得m1＝﹣1，m2； 由5n2+2n﹣3＝0得 n1，n2＝﹣1． ， ①当m＝﹣1，n时，原式； ②当m＝﹣1，n＝﹣1时，原式＝0； ③当m，n时，原式＝0； ④当m，n＝﹣1时，原式． 综上所述，0或． 故选：D． 【点睛】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等． 20．已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y＝71，x2y+xy2＝880，求x2+y2的值． 【分析】将xy+x+y＝71，x2y+xy2＝880稍作变化，变为xy+（x+y）＝71，xy（x+y）＝880．此时x+y、xy可以看作一元二次方程t2﹣71t+880＝0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2＝（x+y）2﹣2xy求值即可． 【详解】解：∵xy+x+y＝71，x2y+xy2＝880， ∴xy（x+y）＝880，xy+（x+y）＝71， ∴x+y、xy可以看作一元二次方程t2﹣71t+880＝0的两个解， 解得t＝55或16， ∴x+y＝55、xy＝16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y＝16、xy＝55， 当x+y＝16、xy＝55时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝162﹣2×55＝146． 故x2+y2的值为146． 【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看作一元二次方程t2﹣71t+880＝0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值． 21．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是　a＞﹣1且a且a．　 ． 【分析】由题干第二个式子乘以2加第一个式子得出（b+c）2＝4（a+1）2，即可转化成b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根，（注方程③可以分开写x2+2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0和x2﹣2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0写在一块主要是由于根的判别式计算出来一样）求出a的范围，但只保证（b≠c），再讨论b和c分别和a相等的情况，去掉即可． 【详解】解：∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5， ∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2， 即有b+c＝±2（a+1）． 又bc＝a2﹣4a﹣5， 所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根， 故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0， 解得a＞﹣1． 若当a＝b时，那么a也是方程③的解， ∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0， 即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0， 解得，a或a． 所以a的取值范围为a＞﹣1且a且a． 【点睛】本题主要利用了不等式的性质：（b﹣c）2≥0，可得到b2+c2≥2bc．通过b，c的关系，转化为含a的不等式是解决本题的关键． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c．若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD＝BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 【分析】根据等边对等角求出∠BCD＝∠BDC，再根据等角的余角相等求出∠BCE＝∠E，根据等角对等边可得BC＝BE，设BD＝BC＝a，表示出AD、AE，然后利用根与系数的关系表示出AD+AE，AD•AE，再利用勾股定理求出c2﹣a2＝b2，然后写出一元二次方程即可． 【详解】解：∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵CE⊥CD， ∴∠BCE+∠BCD＝90°，∠E+∠BDC＝90°， ∴∠BCE＝∠E， ∴BC＝BE， 设BD＝BC＝a，则AD＝c﹣a，AE＝c+a， ∴AD+AE＝（c﹣a）+（c+a）＝2c， AD•AE＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2， 由勾股定理得，c2﹣a2＝b2， ∴AD•AE＝b2， ∴以AD和AE的长为根的一元二次方程是x2﹣2cx+b2＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根与系数的关系，等边对等角和等角对等边的性质，熟记性质并表示出AD+AE，AD•AE是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$