04 二次函数与幂函数 讲义-2026届高三数学高考大一轮总复习

2026数学高考大一轮总复习讲义04：二次函数与幂函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 2 【考纲要求】 2 【知识网络】 3 【考点梳理】 3 考点一、初中学过的函数 3 考点二、幂的运算 4 考点三、幂函数的图象与性质 4 【考向分析】 5 考向一：基本函数的解析式问题 5 考向二：函数的图象和性质 6 考向三：最值问题 6 【高考解题速通】 7 【链接高考】 1．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数. (1)当时，求的最值. (2)当时，求的最小值. 4．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2．幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 常 函 数 一次函数 反比例函数 二次函数 表达式 （） （） （） （） 式子中字母的含义及范围限定 图象、及其与坐 标轴的关系 单 调 性 要点诠释： 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：（）， 顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线， 零点式：（），其中是方程的根 2. 二次函数（）在区间上的最值： 二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令. （1） （2） （3） （4） （1）若，则，； （2）若，则，； （3）若，则，； （4）若，则，. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1)，，； (2)，，。 考点三、幂函数的图象与性质 1.幂函数在第一象限的图象特征 2.幂函数性质： （1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如； （2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如； （3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如 要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。 【考向分析】 考向一：基本函数的解析式问题 1．（22-23高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ． 2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 考向二：函数的图象和性质 1．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．   C．   D．   考向三：最值问题 1．）已知二次函数图象经过点 (1)求该二次函数解析式. (2)求出该二次函数在的最值. (3)求出该二次函数在时的最值. 2．已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【高考解题速通】 1．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 4．（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（多选）函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 7．给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个公共点；②函数的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面的问题补充完整，使的解析式确定. 已知二次函数满足，且______. (1)求的解析式； (2)若函数，，，，求的取值范围. 8．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若二次函数，满足图像关于直线对称，过原点，且函数最小值为. (1)求二次函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 9．求满足下列条件的函数解析式. (1)已知一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式； (2)在同一直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图像相交于点，求这两个函数的解析式； (3)若二次函数图像的顶点为，且该函数经过点，求该二次函数的解析式. 10.已知二次函数（，a，b，），，对任意，，且恒成立． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 11．写出一个求解任意二次函数的最值的算法. 12．已知二次函数 （1）当时，求最值； （2）求在上的最小值. 13．已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间是减函数，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考大一轮总复习讲义04：二次函数与幂函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 4 【考纲要求】 4 【知识网络】 4 【考点梳理】 4 考点一、初中学过的函数 4 考点二、幂的运算 5 考点三、幂函数的图象与性质 6 【考向分析】 6 考向一：基本函数的解析式问题 6 考向二：函数的图象和性质 9 考向三：最值问题 9 【高考解题速通】 11 【链接高考】 1．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用特殊值法即可排除错误选项. 【详解】由，排除A，D， 当时，，所以，排除C． 故选：B． 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 3．已知二次函数. (1)当时，求的最值. (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)函数最小值,函数最大值 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性即可求出函数最大最小值. （2）分别讨论函数在不同区间上的最小值再总结出在整个实数域上的最小值即可. 【详解】（1）二次函数对称轴为，开口向上. 所以在上递减，在上递增.所以， 又因为，所以. （2）①当时，在上递增，所以；②当即时， ③当，即时，在上递减，所以 综上可得 4．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2．幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 常 函 数 一次函数 反比例函数 二次函数 表达式 （） （） （） （） 式子中字母的含义及范围限定 图象、及其与坐 标轴的关系 单 调 性 要点诠释： 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：（）， 顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线， 零点式：（），其中是方程的根 2. 二次函数（）在区间上的最值： 二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令. （1） （2） （3） （4） （1）若，则，； （2）若，则，； （3）若，则，； （4）若，则，. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1)，，； (2)，，。 考点三、幂函数的图象与性质 1.幂函数在第一象限的图象特征 2.幂函数性质： （1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如； （2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如； （3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如 要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。 【考向分析】 考向一：基本函数的解析式问题 1．（22-23高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ． 【答案】 【分析】根据得到，结合得出，根据恒成立，求出的值，即可求出函数解析式． 【详解】对任意，， 二次函数对称轴为， ， ， ， ， 又对任意，恒成立， ，即在上恒成立， ， ， ， ，，即函数， 故答案为：． 2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 3．若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定点的坐标为，再设出二次函数，代入，求得的值即可求解． 【详解】对于函数，当时，， 所以函数过定点， 设以为顶点且过原点的二次函数， 因为过原点， 所以，解得：， 所以的解析式为：， 故选：A. 4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 考向二：函数的图象和性质 1．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案． 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 考向三：最值问题 1．）已知二次函数图象经过点 (1)求该二次函数解析式. (2)求出该二次函数在的最值. (3)求出该二次函数在时的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为2，无最大值； (3)，. 【分析】（1）设出二次函数的一般式，利用待定系数法求出解析式. （2）利用二次函数性质求出最值. （3）分类讨论求出二次函数在指定区间上的最值. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 依题意，，解得， 所以二次函数解析式为. （2）由（1）知，， 当时，；而， 所以函数在的最小值为2，无最大值. （3）当，即时，函数在上单调递减， ， 当时，函数在上单调递增， ，； 当时，，若，则， 若，则， 所以，. 2．已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）注意到二次函数在取到最小值，于是； （2）根据二次函数的单调性讨论在不同区间上的最值即可. 【详解】（1）， 由于当且仅当时，才可取到最小值， 于是，即. （2）根据二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，最小值一定在取得，最大值在或处取得. 选择方案①， 当时，在上递减， ，此时， ，此时． 选择方案②， 当时，，此时或， ，此时． 选择方案③， 当时，，，此时， ，此时． 【高考解题速通】 1．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 2．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出的解析式. 【详解】设,因为,所以. 又,所以有 ,解得 . 故选：A 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力. 3．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 4．（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可. 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 5．（多选）函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据当时，，时，，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象. 【详解】由题意知，则，当时，，，， 当时，，，， 所以的大致图象不可能为C， 而当为其他值时，A，B，D均有可能出现， 不妨设，定义域为，此时A选项符合要求； 当时，定义域为，且， 故函数为奇函数，所以B选项符合要求， 当时，定义域为，且， 故函数为偶函数，所以D选项符合要求. 故选：ABD 6．已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 7．给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个公共点；②函数的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面的问题补充完整，使的解析式确定. 已知二次函数满足，且______. (1)求的解析式； (2)若函数，，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出的值，可得，选①，利用直线与二次函数的位置关系列式求解，即可求解解析式；选②，利用根与系数的关系求出，即可求解解析式. （2）先利用换元法，结合二次函数性质求出的最小值，由题意，，利用对数函数单调性把问题转化为在上恒成立，分离参数求解即可. 【详解】（1）因为二次函数满足， 所以， 所以，解得，所以. 选①，因为的图象与直线只有一个公共点， 所以，得，则. 选②，设的两个零点分别为，则， 由根与系数的关系可知，， 则，得，则. （2）令，则，. 因为，，， 所以，则， 则，， 即，， 即，. 因为函数在定义域上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 因为，所以在上恒成立，即，得. 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立，得. 综上，的取值范围为. 8．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若二次函数，满足图像关于直线对称，过原点，且函数最小值为. (1)求二次函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数性质即可列出等式求解， （2）根据恒成立，分离参数，利用二次函数的性质求解最值. 【详解】（1）由过原点，故， 又关于对称，且最小值为，所以，解得， 所以 （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 进而可得在上恒成立， 令，故为开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，单调递增，所以， 故 9．求满足下列条件的函数解析式. (1)已知一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式； (2)在同一直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图像相交于点，求这两个函数的解析式； (3)若二次函数图像的顶点为，且该函数经过点，求该二次函数的解析式. 【答案】(1) (2)正比例函数为，反比例函数 (3) 【分析】（1）首先设一次函数为，再根据图象过和求解即可. （2）首先设正比例函数为，反比例函数为，再根据正比例函数和反比例函数的图像相交于点求解即可. （3）首先根据题意设二次函数为，再代入点求解即可. 【详解】（1）设一次函数为，由图知：函数图象过和. 所以，故一次函数为 （2）设正比例函数为，反比例函数为， 因为正比例函数和反比例函数的图像相交于点， 所以，，解得，. 即正比例函数为，反比例函数为. （3）因为二次函数图像的顶点为，设二次函数为， 因为二次函数过点， 所以，即，二次函数为，即 10.已知二次函数（，a，b，），，对任意，，且恒成立． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，结合及恒成立，利用待定系数法求出函数解析式； （2）写出分段函数的解析式，结合分段函数的特征，分类讨论，求出实数的值. 【详解】（1）因为对任意，， 所以， 即对任意成立，所以， 因为，所以， 所以， 又对任意，恒成立， 所以， 即在R上恒成立， 所以， 所以，， 所以函数. （2）由题意， ①当时，，解得：， ②当时，，，不符合题意，舍去， ③当时，，解得：， 综上所述：实数. 11．写出一个求解任意二次函数的最值的算法. 【答案】见解析 【分析】由二次函数的性质知,当时,二次函数开口方向向上，函数有最小值为；当时, 二次函数开口方向向下,函数有最大值为. 【详解】第一步，输入a，b，c 第二步，计算； 第三步，若，，否则， . 【点睛】本题考查算法步骤的书写和一元二次函数的最值问题;同时让学生体会算法在解决数学问题中的作用;求解本题的关键是对一元二次函数最值情况必须熟悉;属于中档题. 12．已知二次函数 （1）当时，求最值； （2）求在上的最小值. 【答案】（1）最大值17；最小值1；（2） 【解析】（1）求出在上的单调性，进而求出最值即可； （2）分、、三种情况，分别求出的最小值，即可得出答案. 【详解】由题意，. （1）二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，最大值为. （2）若，即，则在上单调递减，则； 若，则在上单调递增，则； 若，即，则. 所以. 【点睛】本题考查二次函数的最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 13．已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间是减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得最值； （2）由对称轴方程和单调性可构造不等式求得结果. 【详解】（1）当时，，则为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 在上单调递减，在上单调递增， ，. （2）为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 又在区间上为减函数， ，解得：，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$