【精准提分】专题07 二元一次方程（组）实际应用（11个基础题型+2个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题07 二元一次方程（组）实际应用（苏科2024） 【11个基础题型+2个压轴题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 7 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 10 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 22 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 29 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 37 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 44 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 46 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 50 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 57 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 72 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 77 【培优题型十三】二元一次方程组实际应用之探索实践问题 80 【基础题型十四】二元一次方程组实际应用之素材类问题 95 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例题1（2025·云南昆明·模拟预测）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元， 根据题意得：， 故选：D． 【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）为了落实湖北省校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为300g； ②营养餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪的含量占50%，矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物的含量占85%． 若设一份营养餐中含蛋白质g，脂肪g，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题中等量关系列出方程组并化简即可． 【详解】解：设一份营养餐中含蛋白质g，脂肪g，，根据题意得： ， 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子?多少个耧?（耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用；根据等量关系：耠子和耧共有63个，共有100条腿，列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由题意有个耠子，个耧， 则； 故选：A． 【变式1-3】（2025·贵州贵阳·一模）小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 【变式1-4】（24-25七年级下·河南许昌·期中）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组．设钻取样品克，表取样品克，根据等量关系“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”和“表取是钻取的4倍还多310克”列方程组即可． 【详解】解：设钻取样品克，表取样品克， 由题意可得：． 故选：B． 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设小阳解了x道题，小光解了y道题，根据两人说的话列方程组即可． 【详解】解：设小阳解了x道题，小光解了y道题，由题意得 ， 故选：A． 【变式1-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据苹果的个数为定值，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：； 故选C． 【变式1-7】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了棉田的采摘．如果大型采棉机1h完成棉田的采摘，小型采棉机1h完成棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？设这个种棉大户租用了大、小型采棉机各台、台，则列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 根据租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了棉田的采摘，结合大型采棉机1h完成棉田的采摘，小型采棉机1h完成棉田的采摘即可列出方程组． 【详解】解：设这个种棉大户租用了大、小型采棉机各台、台， 根据题意列出的方程组是； 故选：A． 【变式1-8】（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键． 设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元；根据等量关系“8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元， 根据题意，可列方程组为， 故选：B． 【变式1-9】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得： ； 故选B． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·全国·期中）如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则大长方形的长为，或， 则； 大长方形的宽为， 则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组， 故选：A． 【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设和的度数分别为，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设和的度数分别为， 由题意可得， 故选：． 【变式2-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式． 【详解】解：根据图题意得：， 故选：． 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 【变式2-4】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形列出相关代数式并得到等量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即；大长方形的宽为，再根据长方形的周长公式可得即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即； 由图形可知：大长方形的宽为，则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组． 故选：A． 【变式2-5】（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 例题3（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； (2)有3种租车方案：方案一：A型车11辆，B型车4辆；方案二：A型车6辆，，B型车8辆；方案三：A型车1辆，B型车12辆； (3)最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货x吨和y吨， 依题意，列方程组， 解得， 答：1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； （2）解：∵计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，且由（1）得1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨， ∴， ∴ ∵m，n均为正整数， ∴时，；时，；时，； ∴有3种租车方案： 方案一：A型车11辆，B型车4辆； 方案二：A型车6辆，，B型车8辆； 方案三：A型车1辆，B型车12辆； （3）解：由（2）得出有3种租车方案， ∵A型车每辆需租金1500元/次，B型车每辆需租金2000元/次， ∴方案一需租金：（元）， 方案二需租金：（元）， 方案三需租金：（元）， ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【变式3-1】（2025·贵州贵阳·一模）某中学组织师生共540人到镇远古镇去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到镇远古镇研学，一天的租金共计1800元．” 小红说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到镇远古镇研学，一天的租金共计6400元．” (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用一种或两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，怎样租车最省钱？最少租车费用为多少元？ 【答案】(1)客运公司60座客车每辆每天的租金为1000元，45座客车每辆每天的租金为800元； (2)租用9辆60座客车最省钱，最少租车费用为9000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的应用；根据题意正确列出方程或方程组是解题的关键； （1）设客运公司60座客车每辆每天的租金为元，45座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可； （2）设租用辆60座客车，辆45座客车，根据题意列出方程，求出其整数解，计算出各种情况下的租车费用并比较即可． 【详解】（1）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金为元，45座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得解得 答：客运公司60座客车每辆每天的租金为1000元，45座客车每辆每天的租金为800元； （2）解：设租用辆60座客车，辆45座客车， 根据题意得， ， 又都是非负整数， 或或或 当时，租车费用为（元）； 当时，租车费用为（元）； 当时，租车费用为（元）； 当时，租车费用为（元）． ， 租用9辆60座客车最省钱，最少租车费用为9000元． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【答案】(1)的值为100，的值为150 (2)购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确理解题意列出所需的方程组和方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型公交车辆，购买型公交车辆，由题意可列方程，根据，都为正整数，化简分析即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴的值为100，的值为150． （2）解：设购买型公交车辆，购买型公交车辆， 由题意可列方程， 化简得，进一步变形为 ， ∵，都为正整数， ∴只能取、、 ， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， ∵， ∴购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 【变式3-4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送、； (2)共有三种方案：方案一：租A型车1辆，B型车8辆；方案二：租A型车5辆，B型车5辆；方案三：租A型车9辆，B型车2辆； (3)租A型车1辆，B型车8辆费用最少，最少费用为890元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车8辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车5辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车2辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为890元． 【变式3-5】（2025·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【变式3-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【答案】(1)A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人 (2)见解析 (3)租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可； （3）根据（1）的方案分别计算即可． 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 【变式3-7】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ (3)若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【变式3-8】（23-24七年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)乙车型8辆，丙车型7辆 (2)有两种运送方案：①甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；②甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆 (3)甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆，最少运费是8400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键. （1）设需要乙车辆，丙车辆，根据运费元，总吨数134吨，列出方程组求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆，列出方程组，再根据均为正整数，求出的值，即可求解； （3）分别求出两种方案的运费即可求解； 【详解】（1）解：设需要乙车辆，丙车辆 由题意可得： 解得： 需要乙车8辆，丙车7辆 （2）解：设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆 由题意可得： 消去可得： 由于是正整数，且小于16，则： 由是正整数，解得 有两种运送方案： ①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆； ②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆； （3）解：两种方案得运费分别是： ①； ②； 甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元. 【变式3-9】（23-24七年级下·全国·期末）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，商品都买），三次购买，商品的数量和费用如下： 购买序数 购买商品的数量个 购买商品的数量/个 总费用元 (1)，商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 【答案】(1)商品的标价是元，商品的标价是元 (2)购买方案可能有种，购买商品件，商品件；购买商品件，商品件． 【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设商品的标价是元，商品的标价是元，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）由表格可知，，则，解得，再根据为正整数，求出解即可． 【详解】（1）解：设商品的标价是元，商品的标价是元， 根据题意得，， 解得：， 答：商品的标价是元，商品的标价是元； （2）解：∵商品的标价是元，商品的标价是元， ∴由表格可知，， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴或， 答：购买方案可能有种，购买商品件，商品件；购买商品件，商品件． 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 例题4（23-24七年级下·全国·期末）A，B两地相距，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，后相遇，又经过后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二人的速度分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：，， 设甲、乙二人的速度分别是和， 根据题意，可得， 解得， 即甲、乙二人的速度分别是和． 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期中）甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及相遇问题和追及问题．需要理解“相向而行”和“同向而行”的含义． 在相遇问题中，两船的路程之和等于总路程．在追及问题中，快船的路程减去慢船的路程等于两船的初始距离，分别利用“路程速度时间”列出方程组． 【详解】解：设甲船的速度为，乙船的速度为， 根据题意，得， 解得：， 甲船的速度为，乙船的速度为， 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 【详解】解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用时间路程速度，结合“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可列出关于，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：从甲地到乙地需， ； 从乙地到甲地需， ， 根据题意得，可列方程组， 故答案为：D． 【变式4-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）甲地到乙地由一段平路与一段上坡路组成，小明步行往返一次用了5小时，若在平路上每小时走4千米，上坡每小时走3千米，下坡每小时走6千米，那么小明这5小时共走 千米． 【答案】20 【分析】考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．注意可以通过间接方式得解． 设平路有千米，上坡路有千米，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时，即可得解．注意求得的值即为总路程． 【详解】设平路有干米，上坡路有千米，根据题意，得： 即 则（千米） 小明这5小时共走（千米）． 故答案是：20． 【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． 【变式4-6】（2025七年级下·全国·期末）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【变式4-7】（2025七年级下·全国·期中）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【答案】问题一：4000公里；问题二：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键； 问题一：由前后轮没有压力差可得答案； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可． 【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 根据题意，得； ，得， 则， 设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则， 解得， 答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里． 【变式4-8】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·广东广州·期中）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 【变式5-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【答案】“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．本题设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车，根据“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆且全部车辆运输一次能运输110吨沙石，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车， 根据题意得：， 解得：． 答：“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【变式5-4】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 【变式5-5】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 【变式5-6】（24-25七年级下·全国·期中）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 故答案为，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，，． （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【变式5-7】（23-24七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米 【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得， ， 解得：， 答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米． 【变式5-8】（24-25八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 【变式5-9】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数； (2)甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题； （2）利用小芳的思路列出的方程组为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据方程组中第二个方程可得是与甲队每天修建的长度相乘，是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出、分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到； ∴x表示：甲队修路的天数；y表示：乙队修路的天数； （2）解：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路， ∴方程组为：， 由①得，③， 将③式代入②式得，， 解得，， ∴， ∴方程组的解为， 所以，甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 答：甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 例题6（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，设右上角方格中的数字是， 根据题意可得：， 由可知， 把代入， 可得：， 解得：． 故选：A． 【变式6-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字． 关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1，新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 【详解】解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为． 故选C． 【变式6-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式6-3】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 【变式6-4】（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 【变式6-5】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 【变式6-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 【变式6-7】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 【变式6-8】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 例题7（23-24七年级下·河南郑州·期末）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 【变式7-1】（2025八年级上·全国·期末）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是 岁． 【答案】18 【分析】设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，根据“今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：18． 【变式7-2】（23-24七年级下·全国·期末）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【变式7-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 【变式7-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 例题8（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 解题思路：本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 【变式8-1】（24-25七年级下·海南海口·期中）某校七年级学生参加植树活动，若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵．问共有多少名学生？多少棵树？ 【答案】共有30名学生，150颗树． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设有x名学生，y颗树，根据若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵列出方程组求解即可． 【详解】解：设有x名学生，y颗树， 根据题意得：， 解得， 答：共有30名学生，150颗树． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 【变式8-3】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 【变式8-4】（24-25七年级下·全国·期中）现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设需要甲型钢板块，乙型钢板块， 根据题意，得， 解得 答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块． 【变式8-5】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【变式8-6】（23-24七年级下·吉林松原·期末）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【答案】人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 例题9（2025九年级下·安徽·期中）2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 【答案】元件的生产成本符合“要求”，理由见详解 【详解】解：A元件的生产成本符合“要求”，理由如下： 设降低成本前的A，B两个元件分别为a元和b元， 则进行技术革新后A，B两个元件分别为元和元，且元， 根据题意有：， 解得：． 则元， 即这次技术革新后，A元件的生产成本符合“要求”． 【变式9-1】（2025·山西太原·一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 【答案】篮球和足球的单价分别为120元和80元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设篮球和足球的单价分别为元和元，然后可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设篮球和足球的单价分别为元和元， 根据题意得：， 解得： 答：篮球和足球的单价分别为120元和80元． 【变式9-2】（23-24七年级下·全国·期末）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【答案】(1)甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶 (2)6天 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，由题意可得方程组，解方程组即可得解； （2）设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种洗手液的单价为x元/瓶，乙种洗手液的单价为y元/瓶，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶． （2）解：设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意得： ， ∴， ∴（天）； 答：这批洗手液可使用6天． 【变式9-3】（2025·安徽合肥·二模）今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？ 【答案】今年的总产值将达到7.2亿元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为万元，总支出万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为万元，总支出万元， 根据题意得， 解得， ∴今年的总产值为亿元， 答：今年的总产值将达到7.2亿元． 【变式9-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用1600元的资金购进A、B两种娃娃共184个，那么可购买A种娃娃和B种娃娃各多少个？ 【答案】(1)每个A种娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是7元 (2)可购买A种娃娃104个、B种娃娃80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设每个A种娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据用1600元的资金购进A、B两种娃娃，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每个A种娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是7元； （2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个， 由题意得：， 解得：， ∴（个）， 答：可购买A种娃娃104个、B种娃娃80个． 【变式9-5】（24-25七年级下·云南昭通·期中）某文具店决定购进某一品牌的水彩笔和笔记本，已知购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元． (1)求该品牌的每盒水彩笔，每本笔记本的进价各是多少元； (2)若该文具店打算购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，那么该文具店可购买多少盒该品牌的水彩笔？ 【答案】(1)每盒水彩笔20元，每本笔记本8元 (2)可购买30盒水彩笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程组． （1）设每本笔记本的进价为元，每盒水彩笔的进价为元．根据购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元，即可得出方程组，解之即可得出结论； （2）设购进水彩笔盒，笔记本本 ．根据购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本的进价为元，每盒水彩笔的进价为元． 根据题意列出方程组： ， 解得， 答：每盒水彩笔20元，每本笔记本8元； （2）解：设购进水彩笔盒，笔记本本 ．根据题意列出方程组： 解得：， 答：可购买30盒水彩笔． 【变式9-6】（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】(1)70 ；130(2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键． （1）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （2）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． （2）设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 【变式9-7】（24-25七年级下·吉林·期中）吉林市第二十三中创办于1963年，为迎接63周年校庆，学校想订购一批具有纪念意义的校庆校徽和纪念卡．已知制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，请问： (1)制作校徽和纪念卡的单价； (2)学校计划制作校庆校徽1000个，纪念卡3000张在校庆当日送给校友．甲工厂规定：无论制作数量多少，一律打九折；乙工厂规定：当校徽和纪念卡制作总数超过2000时，校徽打九折，纪念卡超过2000部分打八折．为了节约经费应该选择去哪个工厂制作？ 【答案】(1)制作校徽的单价是5元，纪念卡的单价是3元 (2)为了节约经费应该选择去甲工厂制作 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设制作校徽的单价是元，纪念卡的单价是元，根据“制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，”建立二元一次方程组求解即可得出答案； （2）利用总价=单价数量，可分别求出选择甲、乙工厂制作所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设制作校徽的单价是元，纪念卡的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作校徽的单价是5元，纪念卡的单价是3元； （2）解：根据题意得： 选择甲工厂制作所需费用为； 选择乙工厂制作所需费用为； ， 为了节约经费应该选择去甲工厂制作． 【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件： ①如果买2个篮球和6个足球共需480元； ②如果买3个篮球和4个足球共需460元； 请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分． 某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________ （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价） 【答案】选择条件①：（1）一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， （1）一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程． 任选一个条件补充解答， （1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，然后根据等量关系列出方程求解即可； （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元，根据卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，列方程求解即可． 【详解】选择条件① 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 选择条件② 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， 解得 ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 例题10（2025·陕西西安·三模）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【详解】解：设小长方形的长为y、宽为x， 由题意可得：， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 【变式10-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 【变式10-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【答案】(1)每块地砖的长与宽分别为和 (2)所拼成的矩形地面的周长是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键． （1）设每块地砖的长与宽分别为，根据图中关系可得，解方程组即可； （2）由矩形周长公式求解． 【详解】（1）解：设每块地砖的长与宽分别为， 由题意得：， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和； （2）解：所拼成的矩形地面的周长， 答：所拼成的矩形地面的周长是． 【变式10-3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 【变式10-4】（24-25七年级上·广西崇左·期末）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 【答案】(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒(2)3(3)C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误； ②由第一次记录，列出方程组，可求解； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解； （3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】（1）解：①第二次记录错误， 理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， 而，，1422不能被5整除， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数， ∴的值可能是2015． 故选：C． 【变式10-5】（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)，(2)，(3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 【变式10-6】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 【变式10-7】（23-24七年级下·浙江金华·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【变式10-8】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 【变式10-9】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米(2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 【变式10-10】（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 【变式10-11】（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 例题11（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 【变式11-1】（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 【变式11-2】（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【答案】合伙人数为7人，物价为53钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①人数−物品价值，②物品价值人数，据此可列方程组即可解答． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱， 根据题意得 解得 答：合伙人数为7人，物价为53钱． 【变式11-3】（24-25七年级下·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 【答案】个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛， 根据题意可得：， 解得：， 答：个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛． 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 【答案】两位同学所列的方程组都是错误的，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，列出方程组求解即可．设合伙人为人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”列出方程组，即可判断两位同学所列的方程组都是错误的，再解方程组即可解题． 【详解】解：两位同学所列的方程组都是错误的， 设合伙人为人，羊价为钱， 根据题意可得：， 解得：． 答：合伙人为21人，羊价为150钱． 【变式11-5】（24-25八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 【变式11-6】（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 【变式11-7】（24-25七年级上·福建厦门·期末）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 【答案】有人，共辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设有人，共辆车，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有人，共辆车，由题意，得： ，解得：， 答：有人，共辆车． 【变式11-8】（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 例题12（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得 ， 两式相加得：， 解得， 即桌子的高为． 故选：C． 【变式12-1】（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解． 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 【变式12-2】（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 【变式12-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 【培优题型十三】二元一次方程组实际应用之探索实践问题 例题13（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②爷爷的年龄是岁 (3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 【变式13-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 【变式13-2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【变式13-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【变式13-4】（23-24八年级上·广西南宁·期中）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1)(2)，；(3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 【变式13-5】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)a＝60，b＝40(2)①64，38；②，，，；③20 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②同样由图示完成表格； ③根据做成竖式和横式两种无盖礼品盒共需A型板材不超过64张，B型板材不超过38张，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 答：图甲中a与b的值分别为：60、40． （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生A型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为64，38． ②由已知和图示得： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） x ③由上表可知横式无盖款式共个面，用A型张，则B型需要张． 则做两款盒子共需要A型张，B型张． 则， 两式相加得． 则． 所以最多做20个． 【变式13-6】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖；(2)能，理由见解析(3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【基础题型十四】二元一次方程组实际应用之素材类问题 例题14（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板______张，长方形纸板______张． 任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完．请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】任务一： 5，10；任务二：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个；任务三：丙纸板的张数为145或14 【详解】解：（1）由题意得： ∵一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面，； 2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面， ∴共需要正方形纸板个面，长方形纸板10个面， 故答案为：； （2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个， 由题意得：， 解得：， 答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个； （3）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙种纸板为张， 由题意得：，解得：， ∵为正整数，， ∴或， ∴丙纸板为或张． 【变式14-1】（23-24七年级下·浙江温州·期中） 设计最优订餐方案 素材一： 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份． 素材二： 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元． 素材三： 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费． 问题解决 任务一： 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？ 任务二： 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？ 任务三： 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？ 【答案】任务一：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；任务二：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．任务三：见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键． 任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答． 任务二：与任务一同理，列出方程组，进行解方程，即可作答． 任务三：把到店购买的车费算上，以及把外卖的打包盒以及券的费用考虑，再进行分类讨论，逐一分析作答即可． 【详解】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元， 依题意，列式得， 整理得， 解得， ∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元． 任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个， 依题意，， 整理得， 则能整除4， ∴， 此时， 解得， ∴其中鸡腿和狮子头分别是个， 根据优惠套餐： ∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐， 此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭， 即（元）， ∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元． 任务三：设最后两个券膨胀为元， 当刚好美团外卖和到店购买一样省钱， 则美团外卖：， 则到店购买， 当时，解得， 当美团外卖比到店购买省钱， 即，解得， 当到店购买比美团外卖省钱， 即，解得， 综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱． 【变式14-2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：480张学生椅；任务三：需要购买该型号板材1615张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽15 ，每张坐垫宽40 ，每张板材长240 ，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答，得到，或，或，还有两种方法； 任务二：根据110张板材的总长除以每张椅子的靠背与坐垫的总宽即得； 任务三：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得： ， ， ，为非负整数， ，或，或， 方法二：裁切靠背8张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背0张和坐垫6张； 故答案为：8，3；0，6； 任务二： （张）， 该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅； 任务三：设用其中张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张， 根据题意得，， 解得， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）． 【变式14-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）根据以下素材，探索解决任务． 确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量 素材1 小安与小阳为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码． 素材2 小安：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡．小阳：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡． 素材3 小安与小阳共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？ 任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？ 任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，直接写出天平右边有几种放法使天平正好平衡． 【答案】任务1：1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克 任务2：每张10元纸币的质量是克 任务3：天平右边有种放法使天平正好平衡 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．根据素材2列二元一次方程组，求解即可． 任务2：设每张10元纸币的质量是克，根据素材3列一元一次方程，求解即可． 任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚，根据题意可得：，根据和均为正整数，可得为的倍数，，即，分别列举使天平正好平衡种放法即可． 【详解】解：任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克． 根据素材2，得， 解得， ∴1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克； 任务2：设每张10元纸币的质量是克． 根据素材3，可得：， 解得：， ∴每张10元纸币的质量是克； 任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚， 根据题意可得：， 即， ∵和均为正整数， ∴为的倍数，，即 ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴天平右边有种放法使天平正好平衡． 【变式14-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同．                问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】任务1：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元；任务2：共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本；方案2：购买20支钢笔，30本笔记本；任务3：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键． 任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数”，即可得出各购买方案； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同，可列出关于m，n的二元一次方程，结合“，，且m，n均为整数”，可得出各兑换方案，任取其一即可得出结论． 【详解】解：任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本， 根据题意得：， ∴， 又∵a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本； 方案2：购买20支钢笔，30本笔记本； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本， 根据题意得：或， 整理得：或， ∵，，n均为整数， ∴或， ∴共有两种兑换方案， 方案1：用3张兑换钢笔，4张兑换笔记本； 方案2：用5张兑换钢笔，5张兑换笔记本． 答：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【变式14-5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费 标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 广东省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：深圳特产 目的地：广州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：深圳特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明： ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为1千克，超过1千克，即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)任务1：根据以上信息，求出； (2)任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？ (3)任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)(2)14元(3)这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可． （2）根据广东省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）解：因为不足1千克按1千克计算，故2.8千克按3千克计算， 即（元）． 她需要支付快递费14元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克． 【变式14-6】（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 【答案】任务1：7；5；2；任务2：方法②方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根； 任务3： 至少需要的费用为元，剩余材料为20dm 【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠； 任务2：利用方法②与方法③列出方程组求解即可； 任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，再每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余），计算出a，b的值，最后用裁剪若干根的用料（可剩余）来补全即可． 【详解】解：任务1：（根） 方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪7根． （根）， 方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根． （根）， 方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根． 任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得： ，解得：． 答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料； 任务3：根据题意：需制作围栏：（副） 即的横杠：（根） 的竖杠：（根） 的竖杠：（根） 长的围栏材料无剩余裁剪时：，即， ， 为正整数， ， 长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料， 长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠， 需要长的围栏材料无剩余裁剪（根） 则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根） 还需要的竖杠（根） （根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根， 共需要长的围栏材料（根） 剩余材料为：， 至少所需要费用：（元）． 【变式14-7】（24-25七年级下·全国·期中）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 【变式14-8】（2024七年级上·全国·期末）某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【答案】45千米小时 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值． 【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时． 由题意得， 整理得： 由①②得，即 又， 只能取6， 答：汽车的速度是45千米小时． 【变式14-9】（2024七年级上·全国·期末）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？ 【答案】他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次，根据甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．列出三元一次方程组，求出正整数解即可． 【详解】解：设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次， 由题意得：， 整理得：， 又，且、、均为正整数， ∴当时，，不符合题意；当时，，此时；当时，，此时，不符合题意； ， 答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次． 【变式14-10】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？ 【答案】若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本 【分析】本题主要考查了三元一次不定方程，根据题意得出x，y，z的取值范围是解题关键．设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，根据题意结合奖品的价格得出，，再利用共花费346元，分别得出x，y，z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能． 【详解】解：设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本， 则有，，，，， ∴，即 ． ∵x，y，z均为正整数，， ∴ ∴z只能取14，9和4， ①当z为14时，，， 则； ②当z为9时，，， 则； ③当z为4时，，， 则． 综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本． 1．（2025·湖北恩施·一模）《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设人数有人，鸡的价钱是钱， 根据题意，得， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图，将6个形状、大小相同的小长方形放置在大长方形中，其他信息如图所示，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程． 首先设小长方形的长为，宽为，由图形得等量关系：①1个长+3个宽；②2个宽个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴阴影部分的面积为：， 故选：C． 3．（2025·浙江温州·二模）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有人，分成个组，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设该班有人，分成个组，根据若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设该班有人，分成个组， 根据题意有：， 故选：A 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川南充·期中）据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据“初一年级共36个班”“振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍”列出方程组． 【详解】解：设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，列方程组为：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·期中）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度，汽车从A地到B地一共行驶了．设普通公路长，高速公路长分别为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设普通公路长、高速公路长分别为、，由普通公路占总路程的结合汽车从地到地一共行驶了，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设普通公路长、高速公路长分别为、， 依题意，得：． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期末）在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解． 根据题意列出方程组，然后求解即可． 【详解】根据题意得， 解得 ∴解密后得到的明文是，． 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）《算法统宗》有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长尺，绳索长尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ． 【答案】66 【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为 由题意得 解得， 则个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由乙、丙两位同学三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分列二元一次方程，可判断①说法；根据题意得出乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分，列二元一次方程组求解，可判断②说法；在②的基础上，计算出甲的折算后总分，可判断③说法． 【详解】解：由题意可知，乙、丙两位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，但折合后总分相差分，即三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分， 设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和， 则， 即，①说法正确； 若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和， 则乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分， 由题意得：，解得：， 每个项目得分的折算百分比之和为1， 七巧拼图和数独比拼两项的折算百分比之和为，②说法错误； 由②可知，，， 则， 即甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖，③说法正确； 故答案为：①③ 12．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本．若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元；买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． (1)求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． (2)淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完．共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元； (2)共有种购买方案：买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元，依题意列出方程组求解即可； （2）设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，则，根据为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元； （2）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本， ∴， ∵为正整数， ∴， ， ， 答：共有种购买方案：买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 13．（24-25七年级下·河南周口·期中）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，每本文学名著比每本人物传记多5元，购进30本文学名著和20本人物传记共需1150元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元； (2)该校计划用500元（500元恰好用完）购买文学名著和人物传记，请问有几种购买方案（两种书都要购买）． 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元， (2)四种方案，见解析 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及二元一次方程的解，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系． （1）首先设每本文学名著x元，每本人物传记y元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2）购买文学名著a本，人物传记b本，根据题意可得，根据a、b为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著x元，每本人物传记y元， 根据题意，得， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）解：设购买文学名著a本，人物传记b本， 根据题意，得，则， ∵a、b为正整数， ∴，或，或，或，， 答：有四种购买方案： 方案一：购买文学名著16本，人物传记5本；方案二：购买文学名著12本，人物传记10本；方案三：购买文学名著8本，人物传记15本；方案四：购买文学名著4本，人物传记20本． 14．（24-25七年级下·四川南充·期中）某超市5月份用1760元购进A、B两种不同品牌的排球共20个进行销售，其中两种排球的进价与售价如下表： 品牌 进价（元/个） 售价（元/个） A种排球 100 150 B种排球 80 100 (1)求该超市5月份购买A、B两种品牌的排球各多少个？ (2)为增加利润，超市在5月份刚开始销售排球时：对B种排球提价，A种排球售价不变．5月份结束时两种排球均有卖出，且共获利300元，求该超市5月份卖出A、B两种的排球各多少个？ 【答案】(1)该超市5月份购买A品牌的排球个，则购买B品牌的排球个； (2)该超市5月份卖出A品牌的排球个，卖出B品牌的排球个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设该超市5月份购买A品牌的排球个，则购买B品牌的排球个，根据“购进费用1760元”列一元一次方程，求解即可； （2）设该超市5月份卖出A品牌的排球个，卖出B品牌的排球个，根据题意列出二元一次方程，利用和都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设该超市5月份购买A品牌的排球个，则购买B品牌的排球个， 根据题意得， 解得，， ， 答：该超市5月份购买A品牌的排球个，则购买B品牌的排球个； （2）解：设该超市5月份卖出A品牌的排球个，卖出B品牌的排球个， 根据题意得， 整理得， ∵和都是正整数， ∴， 答：该超市5月份卖出A品牌的排球个，卖出B品牌的排球个． 15．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据如表素材，探索解决任务． 端午节礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在端午节前生产甲、乙两种型号的端午礼盒共80万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1790万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为418万元，请问该工厂有哪几种生产方案？ 【答案】任务1：甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套；任务2：该工厂有两种生产方案：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套或增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：由题意可得，整理可得，求出或，即可得解． 【详解】解：任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套； 任务2：由题意可得， 整理可得：， ∵，都为正整数， ∴或， ∴该工厂有种生产方案， 增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套或增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套． 16．（24-25七年级下·陕西延安·期中）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图所示．若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ 【答案】2包A种食品，4包B种食品 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决实际问题，正确理解总含量与每包含量和包数的关系，列出需要的方程组，是解题的关键． 【详解】解：设应选用包A种食品，包种食品， 根据题意得， 解得， 答：应选用2包A种食品，4包B种食品． 17．（23-24七年级下·全国·期末）某灯饰商场计划购进甲、乙两种型号的台灯1000盏，这两种型号台灯的进价、售价如下表． 台灯类型 每盏台灯的进价/元 每盏台灯的售价/元 甲种 45 60 乙种 60 80 (1)如果商场的进货款为54000元，那么可购进甲、乙两种型号的台灯各多少盏？ (2)某图书馆在该商场购买甲、乙两种型号的台灯各若干盏，已知商场获利200元，图书馆可能有哪些购买方案？（直接写出答案） 【答案】(1)甲种台灯400盏，乙种台灯600盏 (2)方案1：甲种台灯4盏，乙种台灯7盏．方案2：甲种台灯8盏，乙种台灯4盏．方案3：甲种台灯12盏，乙种台灯1盏 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购进甲、乙两种型号的台灯各为x盏、y盏，然后根据题意可得方程组； （2）设购买甲种型号台灯m台，购买乙种型号台灯n台，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲、乙两种型号的台灯各为x盏、y盏，由题意得： ， 解得：； 答：购进甲种台灯400盏，乙种台灯600盏 （2）解：甲型号利润为：元，乙型号利润为：元， 设购买甲种型号台灯m台，购买乙种型号台灯n台， 根据题意可得：， 整理得：，即 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种方案： 方案1：甲种台灯4盏，乙种台灯7盏； 方案2：甲种台灯8盏，乙种台灯4盏； 方案3：甲种台灯12盏，乙种台灯1盏． 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题07 二元一次方程（组）实际应用（苏科2024） 【11个基础题型+2个压轴题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 5 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 7 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 11 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 13 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 15 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 18 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 19 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 20 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 23 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 29 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 31 【培优题型十三】二元一次方程组实际应用之探索实践问题 33 【基础题型十四】二元一次方程组实际应用之素材类问题 39 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例题1（2025·云南昆明·模拟预测）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）为了落实湖北省校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为300g； ②营养餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪的含量占50%，矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物的含量占85%． 若设一份营养餐中含蛋白质g，脂肪g，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子?多少个耧?（耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·贵州贵阳·一模）小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·河南许昌·期中）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了棉田的采摘．如果大型采棉机1h完成棉田的采摘，小型采棉机1h完成棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？设这个种棉大户租用了大、小型采棉机各台、台，则列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式1-8】（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1-9】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·全国·期中）如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A．B．C． D． 【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　）    A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 例题3（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式3-1】（2025·贵州贵阳·一模）某中学组织师生共540人到镇远古镇去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到镇远古镇研学，一天的租金共计1800元．” 小红说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到镇远古镇研学，一天的租金共计6400元．” (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用一种或两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，怎样租车最省钱？最少租车费用为多少元？ 【变式3-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式3-4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【变式3-5】（2025·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【变式3-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【变式3-7】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ (3)若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式3-8】（23-24七年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【变式3-9】（23-24七年级下·全国·期末）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，商品都买），三次购买，商品的数量和费用如下： 购买序数 购买商品的数量个 购买商品的数量/个 总费用元 (1)，商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 例题4（23-24七年级下·全国·期末）A，B两地相距，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，后相遇，又经过后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二人的速度分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期中）甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）甲地到乙地由一段平路与一段上坡路组成，小明步行往返一次用了5小时，若在平路上每小时走4千米，上坡每小时走3千米，下坡每小时走6千米，那么小明这5小时共走 千米． 【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【变式4-6】（2025七年级下·全国·期末）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【变式4-7】（2025七年级下·全国·期中）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【变式4-8】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·广东广州·期中）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【变式5-4】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【变式5-5】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式5-6】（24-25七年级下·全国·期中）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【变式5-7】（23-24七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【变式5-8】（24-25八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【变式5-9】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 例题6（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式6-3】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【变式6-4】（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【变式6-5】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【变式6-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【变式6-7】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【变式6-8】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 例题7（23-24七年级下·河南郑州·期末）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【变式7-1】（2025八年级上·全国·期末）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是 岁． 【变式7-2】（23-24七年级下·全国·期末）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【变式7-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【变式7-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 例题8（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【变式8-1】（24-25七年级下·海南海口·期中）某校七年级学生参加植树活动，若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵．问共有多少名学生？多少棵树？ 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【变式8-3】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【变式8-4】（24-25七年级下·全国·期中）现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【变式8-5】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【变式8-6】（23-24七年级下·吉林松原·期末）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 例题9（2025九年级下·安徽·期中）2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 【变式9-1】（2025·山西太原·一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 【变式9-2】（23-24七年级下·全国·期末）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【变式9-3】（2025·安徽合肥·二模）今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？ 【变式9-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用1600元的资金购进A、B两种娃娃共184个，那么可购买A种娃娃和B种娃娃各多少个？ 【变式9-5】（24-25七年级下·云南昭通·期中）某文具店决定购进某一品牌的水彩笔和笔记本，已知购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元． (1)求该品牌的每盒水彩笔，每本笔记本的进价各是多少元； (2)若该文具店打算购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，那么该文具店可购买多少盒该品牌的水彩笔？ 【变式9-6】（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【变式9-7】（24-25七年级下·吉林·期中）吉林市第二十三中创办于1963年，为迎接63周年校庆，学校想订购一批具有纪念意义的校庆校徽和纪念卡．已知制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，请问： (1)制作校徽和纪念卡的单价； (2)学校计划制作校庆校徽1000个，纪念卡3000张在校庆当日送给校友．甲工厂规定：无论制作数量多少，一律打九折；乙工厂规定：当校徽和纪念卡制作总数超过2000时，校徽打九折，纪念卡超过2000部分打八折．为了节约经费应该选择去哪个工厂制作？ 【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件： ①如果买2个篮球和6个足球共需480元； ②如果买3个篮球和4个足球共需460元； 请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分． 某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________ （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价） 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 例题10（2025·陕西西安·三模）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【变式10-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【变式10-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【变式10-3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【变式10-4】（24-25七年级上·广西崇左·期末）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 【变式10-5】（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【变式10-6】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【变式10-7】（23-24七年级下·浙江金华·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【变式10-8】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【变式10-9】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【变式10-10】（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【变式10-11】（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 例题11（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【变式11-1】（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【变式11-2】（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【变式11-3】（24-25七年级下·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 【变式11-5】（24-25八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【变式11-6】（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【变式11-7】（24-25七年级上·福建厦门·期末）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 【变式11-8】（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 例题12（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【变式12-2】（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【变式12-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【培优题型十三】二元一次方程组实际应用之探索实践问题 例题13（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【变式13-2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【变式13-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【变式13-4】（23-24八年级上·广西南宁·期中）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【变式13-5】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 【变式13-6】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【基础题型十四】二元一次方程组实际应用之素材类问题 例题14（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板______张，长方形纸板______张． 任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完．请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【变式14-1】（23-24七年级下·浙江温州·期中） 设计最优订餐方案 素材一： 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份． 素材二： 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元． 素材三： 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费． 问题解决 任务一： 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？ 任务二： 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？ 任务三： 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？ 【变式14-2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【变式14-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）根据以下素材，探索解决任务． 确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量 素材1 小安与小阳为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码． 素材2 小安：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡．小阳：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡． 素材3 小安与小阳共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？ 任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？ 任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，直接写出天平右边有几种放法使天平正好平衡． 【变式14-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同．                问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【变式14-5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费 标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 广东省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：深圳特产 目的地：广州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：深圳特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明： ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为1千克，超过1千克，即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)任务1：根据以上信息，求出； (2)任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？ (3)任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围． 【变式14-6】（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 【变式14-7】（24-25七年级下·全国·期中）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【变式14-8】（2024七年级上·全国·期末）某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【变式14-9】（2024七年级上·全国·期末）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？ 【变式14-10】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？ 1．（2025·湖北恩施·一模）《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图，将6个形状、大小相同的小长方形放置在大长方形中，其他信息如图所示，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有人，分成个组，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川南充·期中）据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组 ． 7．（24-25七年级下·全国·期中）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度，汽车从A地到B地一共行驶了．设普通公路长，高速公路长分别为，则可列方程组为 ． 8．（23-24七年级下·全国·期末）在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 9．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）《算法统宗》有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为 ． 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ． 11．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 12．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本．若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元；买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． (1)求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． (2)淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完．共有哪几种购买方案？ 13．（24-25七年级下·河南周口·期中）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，每本文学名著比每本人物传记多5元，购进30本文学名著和20本人物传记共需1150元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元； (2)该校计划用500元（500元恰好用完）购买文学名著和人物传记，请问有几种购买方案（两种书都要购买）． 14．（24-25七年级下·四川南充·期中）某超市5月份用1760元购进A、B两种不同品牌的排球共20个进行销售，其中两种排球的进价与售价如下表： 品牌 进价（元/个） 售价（元/个） A种排球 100 150 B种排球 80 100 (1)求该超市5月份购买A、B两种品牌的排球各多少个？ (2)为增加利润，超市在5月份刚开始销售排球时：对B种排球提价，A种排球售价不变．5月份结束时两种排球均有卖出，且共获利300元，求该超市5月份卖出A、B两种的排球各多少个？ 15．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据如表素材，探索解决任务． 端午节礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在端午节前生产甲、乙两种型号的端午礼盒共80万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1790万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为418万元，请问该工厂有哪几种生产方案？ 16．（24-25七年级下·陕西延安·期中）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图所示．若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ 17．（23-24七年级下·全国·期末）某灯饰商场计划购进甲、乙两种型号的台灯1000盏，这两种型号台灯的进价、售价如下表． 台灯类型 每盏台灯的进价/元 每盏台灯的售价/元 甲种 45 60 乙种 60 80 (1)如果商场的进货款为54000元，那么可购进甲、乙两种型号的台灯各多少盏？ (2)某图书馆在该商场购买甲、乙两种型号的台灯各若干盏，已知商场获利200元，图书馆可能有哪些购买方案？（直接写出答案） 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$