【精准提分】专题06 二元一次方程（组）（14个基础题型+3个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题06 二元一次方程（组）（苏科2024） 【14个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 1 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 4 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 7 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 9 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 13 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 16 【基础题型七】判断是否为二元一次方程组的解 20 【基础题型八】已知二元一次方程组的解求参数 24 【基础题型九】解二元一次方程组（计算题） 30 【基础题型十】二元一次方程组中错解复原问题 40 【基础题型十一】构建二元一次方程组求解 47 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 51 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 57 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 60 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 68 【压轴题型十六】二元一次方程中选填压轴 80 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 例题1（24-25七年级下·陕西延安·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·吉林·期中）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-7】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 例题2（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）若是二元一次方程，则 ， ． 【变式2-5】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【变式2-6】（24-25七年级下·云南昆明·期中）关于，的方程是二元一次方程，则 ． 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 例题3（24-25七年级下·广东中山·期中）已知方程，用含的式子表示，则 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知方程，，用含的式子表示，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）对已知方程，用含y的式子表示x，则 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在方程中，用含有x的代数式表示y为 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）已知，用含的代数式表示，则 ． 【变式3-5】（24-25七年级下·全国·期中）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【变式3-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程，用含的式子表示，那么 ． 【变式3-7】（23-24七年级下·广西钦州·期末）已知方程，那么用含y的式子表示x正确的是（　　） A． B． C． D． 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 例题4（24-25七年级下·四川南充·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D．0 【变式4-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程的解，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东中山·期中）若是二元一次方程的解，则 ． 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 【变式4-5】（24-25七年级下·河南漯河·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式4-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）若是方程的解，则 ． 【变式4-7】（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【变式4-8】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）若是方程的一个解，则的值是 ． 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 例题5（23-24七年级下·浙江金华·期中）二元一次方程的正整数解共有（　　）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式5-4】（23-24七年级下·湖南永州·期末）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-5】（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程在自然数范围内的解（      ） A．有无数组 B．有两组 C．有三组 D．有四组 【变式5-6】（23-24七年级下·河南许昌·期末）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 例题6（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025七年级下·全国·期中）方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-5】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型七】判断是否为二元一次方程组的解 例题7（24-25七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式7-4】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【变式7-5】（24-25七年级下·全国·期中）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【变式7-6】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为． 【变式7-7】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）一个二元一次方程组的解为请写出一个这样的方程组 ． 【基础题型八】已知二元一次方程组的解求参数 例题8（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式8-1】（2025七年级下·浙江·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）方程组的解与的值相等，则（   ） A．15或 B．25 C．35 D． 【变式8-4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式8-5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，约定上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（     ）    A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 【变式8-6】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若关于，的方程组的解x，y满足，则的值是 ． 【变式8-7】（24-25七年级下·重庆南川·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值是 ． 【变式8-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【基础题型九】解二元一次方程组（计算题） 例题9（24-25七年级下·湖北十堰·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式9-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2) 【变式9-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 【变式9-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1)； (2)． (3) 【变式9-4】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式9-6】（24-25七年级下·河南周口·期中）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-7】（2025七年级下·山东·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式9-8】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程组：． 【变式9-9】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解方程组 (1)； (2) 【变式9-10】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组 (1)（代入法） (2)（加减法） 【基础题型十】二元一次方程组中错解复原问题 例题10（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式10-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·期中）运算能力小红和小虎两人共同解方程组小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，请求出，的值，并计算的值． 【变式10-4】（24-25八年级上·江西九江·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【变式10-5】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【变式10-6】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式10-7】（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 【基础题型十一】构建二元一次方程组求解 例题11（24-25七年级下·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【变式11-1】（23-24七年级下·河南周口·期末）对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【变式11-2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式11-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么 ． 【变式11-5】（24-25七年级下·河南周口·期中）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【变式11-6】（24-25七年级下·全国·期中）对于有理数x、y定义一种运算“”：，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，，则的值为 ． 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 例题12（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果方程组和解的相同，则 ． 【变式12-1】（23-24七年级上·安徽·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【变式12-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 【变式12-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为 【变式12-4】（23-24七年级下·山东德州·期末）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【变式12-5】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【变式12-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【变式12-2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【变式12-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的二元一次方程组和方程组有相同的解，求的值． 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 例题13（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知方程组，则（   ） A．2 B．4 C． D．3 【变式13-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【变式13-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式13-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（    ） A．909 B．506 C．510 D．520 【变式13-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【变式13-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知满足，则 ． 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 例题14（24-25七年级下·河南周口·期中）若关于的方程组的解为则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·期中）对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式14-4】（23-24七年级下·四川内江·期末）已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【变式14-5】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式14-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知方程组的解是，可得方程组的解是 ． 【变式14-7】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【变式14-7】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则 ． 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 例题15（24-25七年级下·河南周口·期中）小明热爱数学，在数学课外资料上看到一道用整体代换法解二元一次方程组的题： 解方程组． 解：将方程②变形，得，即③． 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， ∴方程组的解为． 请你仿照上面的解题方法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知满足方程组，求的值． 【变式15-1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足 ，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下： ，   得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则 ， ． (2)对于实数，，定义新运算： ，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，求的值． 【变式15-2】（24-25七年级下·山东日照·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______________； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 【变式15-3】（2024七年级上·全国·期末）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 【变式15-4】（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【变式15-5】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【变式15-6】（2025七年级下·全国·期中）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【变式15-7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【变式15-8】（2025七年级下·浙江·期中）已知，且，求、、的值． 【变式15-9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2) 【压轴题型十六】二元一次方程中选填压轴 例题16（24-25七年级下·重庆·期中）一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 【变式16-1】（24-25八年级下·重庆·期中）对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相等且均不为0．它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“平衡数”．对于一个“平衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定义：．例如：，因为，所以8642是一个平衡数，所以，则：．若为最小的“平衡数”，则 ．已知自然数、都是“平衡数”，其中，（，，，，、、、都是整数），若，则的值为 ． 【变式16-2】（24-25八年级上·重庆·期末）我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六数”，则最大的“六六数”为 ．若A、B均为“六六数”，其中，，（，b，，，d，，且a，b，c，d，x，y均为整数），将A的前三位数字组成的三位数记为m，A的后三位数字组成的三位数记为n，若除以17余9，将A的前两位数字组成的两位数记为s，将B的后两位数字组成的两位数记为t，若（k为整数），则满足条件的B的最大值为 ． 【变式16-3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算： ，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为 ． 【变式16-4】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）若一个四位数满足千位上的数字等于十位上的数字，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称其为“空空数”．请直接写出最大的“空空数”为 ．已知一个四位数（其中a，b，c均为整数，且，，）为“空空数”，将N去掉其个位数字剩下的三位数记为A，将N去掉其千位与百位数字剩下的两位数记为B，若为整数，且A除以11的余数为2，则满足条件的N为 ． 【变式16-5】（23-24七年级下·重庆·期末）三位数m各数位上的数字均不为零，从中任选两个数字构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”，将数m的“生成数”之和与22的商记为．例如，则．数p，q是两个三位数，（，，a、b均为整数，且），（，且c为整数）．若，则的最大值为 ． 【变式16-6】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【变式16-7】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）对于一个四位正整数，如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字则称这个数是“加油数”；如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字则称这个数是“满意数”．一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，规定：．已知“满意数”（，，x、y是整数），“加油数”（，，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除．现规定，当k取最大值时， ． 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口期中）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知，则的值为(   ) A． B． C．1 D．2 4．（24-25七年级下·重庆·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是(   ) A．2 B． C．4 D． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解二元一次方程组用加减消元法消去，计算正确的是（　　） A．①+② B．②① C．①② D．①② 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．（23-24六年级下·上海·期末）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 9．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 11．（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 12．（23-24七年级下·全国·期末）对于x，y，规定一种新的运算：，其中a，b为常数，已知，则 ． 13．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 (1)该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． (2)请你用另一种方法解这个方程组． 16．（24-25七年级下·四川南充·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． (1)按照小云的方法，的值为______，的值为______； (2)请按照小辉的思路求出的值． 17．（24-25七年级下·四川南充·期中）对于任意有理数，，，，我们规定：， (1)计算：的值； (2)若，同时满足：，，求的值． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”． 备用图如下： (1)若，在中，的“3系数补角”是 ； (2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数； (3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题06 二元一次方程（组）（苏科2024） 【14个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 1 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 4 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 7 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 9 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 13 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 16 【基础题型七】判断是否为二元一次方程组的解 20 【基础题型八】已知二元一次方程组的解求参数 24 【基础题型九】解二元一次方程组（计算题） 30 【基础题型十】二元一次方程组中错解复原问题 40 【基础题型十一】构建二元一次方程组求解 47 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 51 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 57 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 60 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 68 【压轴题型十六】二元一次方程中选填压轴 80 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 例题1（24-25七年级下·陕西延安·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、只含有一个未数数，不是二元一次方程，不符合题意； B、含未知数项的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； C、未知数的最高数是2，不是二元一次方程，不符合题意； D、是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个方程中只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程，故本选项符合题意； C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是的整式方程．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是二元一次方程，故该选项符合题意； B. ，分母有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C. ，含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D. 含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-4】（24-25七年级下·吉林·期中）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，， 解得： 故选B． 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； C、有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-6】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程解答即可． 【详解】解：．，最高未知数的次数为2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； ．，该方程不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； ．该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故该选项不符合题意； ．是二元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-7】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、该方程未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意； B、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； C、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； D、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 例题2（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的概念列出方程求解字母的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程的定义列出关于的方程，再解一元一次方程求出，代入代数式计算即可得到答案．熟记二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是二元一次方程， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据二元一次方程的概念，列出方程，即可求出m和n的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：2；3 【变式2-5】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 【变式2-6】（24-25七年级下·云南昆明·期中）关于，的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有个未知数；（2）含未知数项的最高次数为；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵，的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 例题3（24-25七年级下·广东中山·期中）已知方程，用含的式子表示，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知方程，，用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 或． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）对已知方程，用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键． 先移项，再把x的系数化为1即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在方程中，用含有x的代数式表示y为 【答案】 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程，掌握解二元一次方程的步骤是解题的关键．先移项，得，再在方程两边同时乘上，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）已知，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【详解】本题考查了二元一次方程的解，先移项，然后两边同时乘以3，即可求解． 【点睛】解： ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3-5】（24-25七年级下·全国·期中）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式3-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知方程，用含的式子表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把含有的项和常数移到右边，再把的系数化为即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-7】（23-24七年级下·广西钦州·期末）已知方程，那么用含y的式子表示x正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知，求出x即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 例题4（24-25七年级下·四川南充·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的解， ∴， ∴， 即的值是． 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．将代入方程，可得，再代入求解即可． 【详解】解：是方程的一组解， ， ， 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，先由是方程的解，代入得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案．熟记二元一次方程解的定义、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东中山·期中）若是二元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，直接将代入方程即可求得结果． 【详解】解：由题意可知，将代入得：， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；因此此题可把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入二元一次方程得：， ∴； 故答案为4． 【变式4-5】（24-25七年级下·河南漯河·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键． 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， 故答案为：． 【变式4-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，本题属于基础题型，比较简单． 由方程的解的含义，代入方程，求解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：1． 【变式4-7】（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 把代入方程中即可求出的值，然后再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴． 故答案为：6． 【变式4-8】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）若是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 把方程的解代入得，从而得到，整体代入计算即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 例题5（23-24七年级下·浙江金华·期中）二元一次方程的正整数解共有（　　）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或或或， 二元一次方程的正整数解共有4组． 故选：C 【变式5-1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题是求不定方程的整数解．先把其中一个未知数用另一个未知数表示，然后分析它的解的情况． 【详解】解：先将方程变形，得． 要使x，y都是正整数，根据以上条件得： x取1，2时，相应的y取4，1． ∴有二组，分别为，． 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．把看作已知数求出，即可确定出正整数解． 【详解】解：把方程变形，得： ， 要使，都是正整数， 所以方程的正整数解有4组． 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 【变式5-4】（23-24七年级下·湖南永州·期末）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，用y表示x是解题的关键. 先用y表示x,然后确定方程的正整数解，最后统计即可解答． 【详解】解：， 解得：， 当时，；当时，， 则方程的正整数解有2对． 故选：C． 【变式5-5】（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程在自然数范围内的解（      ） A．有无数组 B．有两组 C．有三组 D．有四组 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出在自然数范围中的解即可． 【详解】解：方程在自然数范围内的解为： ， 共四组； 故选D． 【变式5-6】（23-24七年级下·河南许昌·期末）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数． 由于二元一次方程中的系数是1，可先用含的代数式表示．然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数代入，算出对应的的值，再把代入，再算出对应的的值，依此可以求出结果． 【详解】解：∵， ， ∵都是正整数， ∴时，； 时，； 时，． ∴二元一次方程的正整数解共有3对． 故选：C． 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 例题6（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．第一个方程的次数是二次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．是二元一次方程组，故本选项符合题意； D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，关键是二元一次方程组定义的熟练掌握．根据二元一次方程组的定义“方程组中含有两个未知数，含未知数的式子都是整式，且含未知数的项的次数是1”，细心观察排除，得出正确答案． 【详解】解：A中，是二元一次方程组，本选项符合题意； B中，此方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； C中，第二个方程含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意； D中，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 【变式6-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，解决本题的关键是根据二元一次方程组的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：方程组中的方程是不是一次方程，是二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，并且未知项的次数是，是二元一次方程组，故C选项符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，方程中未知项的次数是，不是二元一次方程组，故D选项不符合题意． 故选：C ． 【变式6-4】（2025七年级下·全国·期中）方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的判定，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：方程组，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组中第一个方程的次数不是一次，故不是二元一次方程组； 方程组中第一个方程的分母含未知数，故不是二元一次方程组； 方程组和，是二元一次方程组，共2个， 故选：B． 【变式6-5】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组“方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组”，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，含有三个未知数，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； B、是二元一次方程组，则此项符合题意； C、中和都是分式，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； D、中的次数是2，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 【基础题型七】判断是否为二元一次方程组的解 例题7（24-25七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式7-1】（23-24七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将选项逐一代入，看左右两边是否成立即可． 【详解】解：将选项逐一代入， A. ，成立，故符合； B. ，成立，故符合； C. ，成立，故符合； D.，不成立，故不符合； 故选：D． 【变式7-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式7-4】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式7-5】（24-25七年级下·全国·期中）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 【变式7-6】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次本题考查的是二元一次方程组解的定义，根据方程组的解找出与的和差倍分数量关系是解答此题的关键． 方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-7】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）一个二元一次方程组的解为请写出一个这样的方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 以1和2列出两个算式，组成二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 方程组可以为： 故答案为：（答案不唯一）． 【基础题型八】已知二元一次方程组的解求参数 例题8（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：， 得，， ∴， ∵x、y的值互为相反数， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-1】（2025七年级下·浙江·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组两方程左右两边相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得：， 整理得：， 代入得：， 解得：． 故选：B． 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）方程组的解与的值相等，则（   ） A．15或 B．25 C．35 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意把代入方程中即可求出的值，于是得出的值，然后把、的值代入方程中即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 由题意把，代入方程中，得， ∴． 故选：D． 【变式8-4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把k当做已知，利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解互为相反数建立关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：， 把，代入可得：， ，互为相反数， ， ． 故选C． 【变式8-5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，约定上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（     ）    A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用， 结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可； 结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即不论m，n取何值，的值一定为2，故结论Ⅱ不正确， 故选：D． 【变式8-6】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若关于，的方程组的解x，y满足，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求出x，y，代入4x－3y=14，得到关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入②得，， 角得， 把x，y的值代入4x－3y=14，得：， ∴， 故答案为：2． 【变式8-7】（24-25七年级下·重庆南川·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，确定字母与方程组的解之间的关系是解题的关键． 结合方程组用含有k的代数式表示出，再代入关系式，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． 因为， 所以， 解得． 故答案为：2． 【变式8-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 【基础题型九】解二元一次方程组（计算题） 例题9（24-25七年级下·湖北十堰·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ，得：， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组可变形为， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为． 【变式9-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键； （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可. 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解是. 【变式9-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活选用解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法进行计算即可； （2）方程组整理后运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为． 【变式9-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)5(2)(3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解二元一次方程组： （1）先乘方，再乘法，最后算加减，有括号的先算括号； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1进行求解即可； （3）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） ， ， ， ， ∴； （3）原方程组可化为： ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【变式9-4】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法、代入消元法解方程组． （1）由代入消元法解方程组，即可得到答案； （2）由加减消元法解方程组，即可得到答案 【详解】（1） 将①代入②，得 解得， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为． （2） ①+②，得 ， 解得， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法是解题的关键． （1）用加减法求解即可； （2）用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 把代入①，得， ∴； （2）解：， 由得：， ∴， 把代入①，得， ∴． 【变式9-6】（24-25七年级下·河南周口·期中）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）用代入法解方程组即可． （2）用加减消元法解方程组即可． （3）用加减消元法解方程组即可． （4）先将方程变形，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①式代入②式得：， 解得：， 把代入①得， 则方程组的解为： （2）解： 由①式②式得：， 解得：， 把代入式得：， 解得：， 则方程组的解为： （3）解： 由得： 即， 解得：， 把代入①式得：， 解得： 则方程组的解为： （4）解： 方程组变形为： 由①式②式得： 解得：， 把代入①式得：， 解得：， 则方程组的解为： 【变式9-7】（2025七年级下·山东·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ①②得，解得， 将代入①得，解得， 原方程组的解为； （2）解：， 化简得， ②①得，解得， 将代入②得，解得， 原方程组的解为． 【变式9-8】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得：， 解得：； 把代入①，得： ， 解得：； ∴方程组的解为：． 【变式9-9】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法正确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式9-10】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组 (1)（代入法） (2)（加减法） 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解答步骤是解题的关键． （1）将①代入②得，，进而将代入①得，即可求解； （2）①② 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得： 将代入①得 ∴原方程组的解为： （2）解： ①②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 【基础题型十】二元一次方程组中错解复原问题 例题10（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 【变式10-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可． 【详解】解：∵解方程时，小明把看错了，得， ∴， ∵正确的答案是， ∴，， 解得：，联立， 解得：， 故答案为：，，． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·期中）运算能力小红和小虎两人共同解方程组小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，请求出，的值，并计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（二元一次方程组的错解复原问题），代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程组的错解复原问题是解题的关键：解决“看错系数”问题的方法：看错方程组中某个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组，然后解方程组即可． 由于小虎看错了方程①中的，因而满足方程②，于是可得，解得；由于小红看错了方程②中的，因而满足方程①，于是可得，解得；然后把，代入求值即可． 【详解】解：小虎看错了方程①中的， 满足方程②， ， 解得：； 小红看错了方程②中的， 满足方程①， ， 解得：； ． 【变式10-4】（24-25八年级上·江西九江·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为； ∴把代入， 得， 解得； ∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为． ∴把代入， 得， 解得； 则方程组， 则，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【变式10-5】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 【变式10-6】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 【变式10-7】（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 【答案】(1)，(2) 【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组， （1）根据题意得出是方程①的解，代入得出，同理解得 （2）由题可知，原方程组可变为，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 甲看错了②中的 是方程①的解 ，解得 ∵乙看错了①中的 ∴是方程②的解 ∴ 解得 综上：，. （2）由题可知，原方程组可变为 ，得 解得 把代入①解得 原方程组的解为. 【基础题型十一】构建二元一次方程组求解 例题11（24-25七年级下·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 【变式11-1】（23-24七年级下·河南周口·期末）对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴ ∴， 故选：A 【变式11-2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 【变式11-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式11-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么 ． 【答案】19 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：利用题中的新定义化简得：， 解得：， ． 故答案为：19． 【变式11-5】（24-25七年级下·河南周口·期中）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 先根据题意列出方程组求得k、b的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 所以． 故答案为：4． 【变式11-6】（24-25七年级下·全国·期中）对于有理数x、y定义一种运算“”：，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用（构造二元一次方程组求解），根据题中定义的新运算正确列出方程或算式是解题的关键． 由题意得，将方程组变形为，解得，根据题中定义的新运算可得，然后将代入求值即可． 【详解】解：由题意得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 例题12（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果方程组和解的相同，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得， ， 解得，， ． 故答案为：． 【变式12-1】（23-24七年级上·安徽·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解即可，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再整体代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴， 故答案为：4． 【变式12-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， ∴ 故答案为：1． 【变式12-4】（23-24七年级下·山东德州·期末）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可． 【详解】解：解方程组得： 由方程组得： 将代入得： 故答案为：①2②1 【变式12-5】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键． 先联立，求出x和y的值，代入，求出a和b的值,最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组和的解相同， ∴联立，解得：， 将代入得，解得：， ∴． 故答案为． 【变式12-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 【变式12-2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1)(2)，(3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 【变式12-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的二元一次方程组和方程组有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得出方程，解之求出x、y的值，继而代入得到，最后运用平方差公式进行计算，即可作答．此题考查平方差公式，二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组和方程组有相同的解， ∴得， ∴，解得， 解得，把代入， 解得 则， ∴． 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 例题13（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知方程组，则（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】解：， 得： ， ， ， 故选：A． 【变式13-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 【变式13-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式13-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（    ） A．909 B．506 C．510 D．520 【答案】D 【分析】此题主要考查列方程组解决问题，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键． 解决此题可以先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：设0有个，1有个，2有个， 由题意得，列出方程组 解得， 故取值为2的个数为520个， 故选：D． 【变式13-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∵为定值， ∴． 故答案为：． 【变式13-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 【详解】解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 例题14（24-25七年级下·河南周口·期中）若关于的方程组的解为则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于、的方程组的解为， ∴关于、的方程组的解为， 解得：， 故选：A． 【变式14-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用整体思想． 根据二元一次方程组的解的定义，利用整体的思想得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·期中）对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 将待求方程组整理为，可得，再求出解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∵， ∴整理得：， ∴的解是， 解得． 所以嘉琪的回答正确． 故选：C． 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 【变式14-3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意得，关于，的方程组的解是，进而可得关于，的方程组的解． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组的解是，即， ∴关于，的方程组的解是， 故选：B． 【变式14-4】（23-24七年级下·四川内江·期末）已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据关于x，y的方程组 的解为 ，得出，结合关于m、n的方程组 ，得出，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴ ∵关于m、n的方程组 ∴ 解得 故选：B 【变式14-5】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程组变形为，设，，利用换元法求解即可． 此题考查了利用换元法解二元一次方程组，正确的换元是解题的关键． 【详解】解：将方程组中每一个方程两边同除以4，得， 设，， 则， ∵方程组的解是， ∴， 即， 解得， ∴方程组的解为， 故选：D． 【变式14-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知方程组的解是，可得方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 【变式14-7】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 【变式14-7】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键． 利用关于的二元一次方程组的解为得到即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故答案为：2． 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 例题15（24-25七年级下·河南周口·期中）小明热爱数学，在数学课外资料上看到一道用整体代换法解二元一次方程组的题： 解方程组． 解：将方程②变形，得，即③． 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， ∴方程组的解为． 请你仿照上面的解题方法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：将方程②变形，得， 即③， 把方程①代入③，得， 解得． 把代入①，得， 解得 方程组的解为． （2）解：原方程组可变形为， ，得⑤， ，得， ∴． 【变式15-1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足 ，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下： ，   得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则 ， ． (2)对于实数，，定义新运算： ，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】(1)1；(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． （1）按照题意，即可解答； （2）根据题中新定义列出方程组，即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， ， 故答案为：1；； （2）解：， ，①，②， 则， 得：③， 把③代入①得：， ， ， 即的值为， 【变式15-2】（24-25七年级下·山东日照·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______________； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1)(2)；1(3) 【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可解答； （2）根据新定义可得，，解出的值即可解答； （3）仿照题意的方法解共轭方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （2）解：关于、的方程组为共轭方程组， ，， 解得：，． 故答案为：；1． （3）解：， 得：，所以， 得：， 得：，从而得， 所以原方程组的解是． 【变式15-3】（2024七年级上·全国·期末）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 【变式15-4】（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B；(2)；(3)． 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． 根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． 【变式15-5】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可． 【详解】解：甲同学解法： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 利用乙同学的解法：， ③+①得，， 即④， ④代入②得，， 解得． 利用丙同学的解法： 先解方程组， ①②得，， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为， 把代入方程得，，解得． 【变式15-6】（2025七年级下·全国·期中）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）设，利用换元法计算求解即可； （2）设，利用换元法计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 （2）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 【变式15-7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 【变式15-8】（2025七年级下·浙江·期中）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 【变式15-9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了方程组的求解，解题的关键是运用合适的消元方法化简方程组。 （1）通过去分母等操作化简后消元求解； （2）三元一次方程组通过方程间的加减消元逐步化为二元一次方程组再求解。 【详解】（1）解：， ，得：， ③， ，得：， 将代入③，得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）解： 得：， 得：， ， 得：， 解得：， 将代入④得：； 将代入③得：， 则方程组的解为． 【压轴题型十六】二元一次方程中选填压轴 例题16（24-25七年级下·重庆·期中）一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 【答案】 3081 7182 【详解】解：两个四位自然数，是“中二倍数”， 根据“中二倍数”的定义可得， 解得：， ∴； 是一个“中二倍数”， ， 能被19整除， ， 是正整数， 是正整数， 是整数， ， ， 各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，有，（舍去）； 当，有，，此时（舍去）； 当，有，，此时； 当，没有满足条件的； 当，有，，此时； 当，有，，此时； 当，有，，此时； ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 最大值为，此时m的值为． 故答案为：；． 【变式16-1】（24-25八年级下·重庆·期中）对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相等且均不为0．它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“平衡数”．对于一个“平衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定义：．例如：，因为，所以8642是一个平衡数，所以，则：．若为最小的“平衡数”，则 ．已知自然数、都是“平衡数”，其中，（，，，，、、、都是整数），若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，二元一次方程，代数式求值，理解“平衡数”的相关定义是解题关键． 根据为最小的“平衡数”，进而确定的千位数字为1，百位数字为1，再根据“平衡数”的定义确定十位数字和个位数字即可求解；根据“平衡数”的定义，得到，，进而求出，，再根据，得到，最终确定，求出和，即可求出的值． 【详解】解：为最小的“平衡数”， 的千位数字为1， 各个数位上的数字不全相等且均不为0， 百位数字为1， 千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差， 十位数字为2，个位数字为2， ， ，， ； 由题意可知，自然数、都是“平衡数”， ， ， ， ，， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ， 、、、都是整数，，， 的可能取值为4、7， 又，， ，此时， ，， ， 综上可知，的值为， 故答案为：；． 【变式16-2】（24-25八年级上·重庆·期末）我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六数”，则最大的“六六数”为 ．若A、B均为“六六数”，其中，，（，b，，，d，，且a，b，c，d，x，y均为整数），将A的前三位数字组成的三位数记为m，A的后三位数字组成的三位数记为n，若除以17余9，将A的前两位数字组成的两位数记为s，将B的后两位数字组成的两位数记为t，若（k为整数），则满足条件的B的最大值为 ． 【答案】 6600 5151 【分析】本题主要考查整式的加减的应用，二元一次方程等知识点，对于第一空，要找到最大的“六六数”,根据“六六数”的定义，千位数字尽量大，个位数字相应确定，百位数字也尽量大，十位数字相应确定，对于第二空，根据“六六数”的定义确定、中各数字的关系，再根据所给的余数条件和等式条件逐步分析求解即可． 【详解】∵根据“六六数”定义,要使这个数最大，千位数字要尽可能大，千位数字与个位数字之和为， ∴千位数字最大为,此时个位数字为， ∵百位数字与十位数字之和为，百位数字最大为，此时十位数字为， ∴最大的“六六数”为， ∵是“六六数”,设， ,,， ， 又, ， 除以余，设（为整数), ， ， ， ∴需要能被整除， ， ， ， 可取119，136，153，170，187，204，221，238，255，272，289，306，323，340，357，374，391，408，425，442，459，476，493，510，527，544，561，578， 可取107，124，141，158，175，192，209，226，243，260，277，294，311，328，345，362，379，396，413，430，447，464，481，498，515，532，549，566， ∵这些数能被48整除的数只有192， ， 是“六六数”, ， ， ， ， （为整数)， ， ，， ， 即， 可取64，81，100，121，144，169，225， 当时，则，此时无符合题意的整数解， 当时，不是偶数的平方，不符合题意， 当时，则，则符合题意， 当时，不是偶数的平方，不符合题意， 当时，则，则符合题意， 当时，不是偶数的平方，不符合题意， 当时，不是偶数的平方，不符合题意， 在满足所有条件的情况下，要使最大，则尽量大，尽量小， ∴当时，,符合题意， ∴的最大值为， 故答案为：①②． 【变式16-3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算： ，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为 ． 【答案】 484 4648 【分析】本题考查整式加减的应用、二元一次方程、不等式、整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．根据“不同数”的定义直接求出的值；设“不同数”，且，，计算得到a、c的范围，再得到，结合能被13整除，整理得能被13整除，再结合a、c的范围分类讨论即可得出答案． 【详解】解：1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193， 这四个三位数之和为，， 所以； 设“不同数”，且，， 由题意得，， 解得：， 去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、， 则， ， ， ， ， 所以， ，且能被13整除， 能被13整除， 又，， ， 或， 或， 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，或（舍去）， 此时，不满足，不符合题意，舍去； 当时，（舍去）或， 此时，，则，符合题意． 综上所述，，． 故答案为：484；4648． 【变式16-4】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）若一个四位数满足千位上的数字等于十位上的数字，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称其为“空空数”．请直接写出最大的“空空数”为 ．已知一个四位数（其中a，b，c均为整数，且，，）为“空空数”，将N去掉其个位数字剩下的三位数记为A，将N去掉其千位与百位数字剩下的两位数记为B，若为整数，且A除以11的余数为2，则满足条件的N为 ． 【答案】 9999 1017 【分析】本题考查了新定义，三元一次方程的解等知识，根据新定义，各数位上数字取最大即可解答第一空；先表示出，，，根据为整数，得出是8的倍数， 结合已知可求出的值可能为8，16，24，32，40，48；根据A除以11的余数为2，得出是11的倍数，则是11的倍数，求出的值为0或11，然后分，讨论，求出a、b的值，在一一代入，，，，，，求出C的值，然后根据“空空数”的定义判断即可求解． 【详解】解：要使“空空数”最大，则各位上的数字取最大，即为9，而， ∴最大的“空空数”为9999； 根据题意，得，， ∴， ∵为整数， ∴是8的倍数， ∵，，， ∴， ∴的值可能为8，16，24，32，40，48， ∵A除以11的余数为2， ∴是11的倍数， 又， ∴是11的倍数， ∵，， ∴， ∴的值为0或11， 当时，，，， 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴1017是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴2222不是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）， 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴3434不是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 当时，（舍去），或（舍去），或（舍去）， 综上，符合题意的N为1017， 故答案为：9999；1017． 【变式16-5】（23-24七年级下·重庆·期末）三位数m各数位上的数字均不为零，从中任选两个数字构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”，将数m的“生成数”之和与22的商记为．例如，则．数p，q是两个三位数，（，，a、b均为整数，且），（，且c为整数）．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的加减，二元一次方程的解，根据新定义求出，根据，求出的值，进而求出的最大值即可． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，，且的值最大， ∴当最大时，的值最大， ∴时，最大，此时， ∴的最大值为：． 故答案为：． 【变式16-6】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题属于阅读型题，主要考查了整式的加减，根据“顺2差数”和“逆2差数”定义出十位数，巧妙运算也很重要． 根据“顺2差数”和“逆2差数”设的百位数字分别为，则可求出，分情况讨论求出最大值即可． 【详解】解：若数分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设的百位数字分别为，则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为， ， ， ， 是整数，则或或或， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∵b为自然数， ∴时，存在最大值， 满足条件的有、， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式16-7】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）对于一个四位正整数，如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字则称这个数是“加油数”；如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字则称这个数是“满意数”．一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，规定：．已知“满意数”（，，x、y是整数），“加油数”（，，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除．现规定，当k取最大值时， ． 【答案】 【分析】根据满意数的定义求出，可得，然后可得；再分情况讨论的值，根据“的各个数位上的数字之和能被12整除”求出t的值，进而求出，即可得解． 【详解】解：是满意数， ， ， ， ， （，）是加油数， ∴当时，t各数位上数字和为， ， 又能被12整除， ， ， t是加油数， ， 或， 或， ∴或， 或者， 当时，t各数位上数字和为， ∴， 又 能被12整除， ∴， ∴， t是加油数， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 或者， ∴当时，取最大值，此时， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组的加减消元法；两个方程相减消去m即可求解． 【详解】解：方程组第一个方程减第二个方程，得：； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南周口期中）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：C 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知，则的值为(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组以及非负数的性质．了解两个非负数的和为0，那么这两个数一定都为0是解答本题的关键． 根据偶次方和绝对值的非负性可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，即可求出结果． 【详解】解：根据题意可知， 利用加减消元法解得：． 所以． 故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：C． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解二元一次方程组用加减消元法消去，计算正确的是（　　） A．①+② B．②① C．①② D．①② 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，若用加减消元法消去x，则需将两个方程的未知数x的系数化为相同后两个方程相减，或者将两个方程的未知数x的系数化为相反数后两个方程相加．据此即可解答． 【详解】解：，得． 故选：B 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程求出的值即可判断①；把代入方程组，两方程相加求出的值可判断②；把两方程相加求出，进而代入求出的值即可判断③；解方程组求出方程组的解，再求出的值即可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①把代入，得， ∴，故①正确； ②当时，方程组为， ，得， ∴，即的值互为相反数，故②正确； ③， ，得， ∴， 若，则， ∴，故③正确； ④解方程组，得， ∴， ∴的值与的值无关，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④， 故选：． 7．（23-24六年级下·上海·期末）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再把y的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 两边同时除以4得，， 故选：C． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 【答案】A 【分析】本题主要考查加减消元法，牢记加减消元法的定义（当二元一次方程组的两个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法）是解题的关键．根据加减消元法的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，得，可以消去，符合题意； B、，得，无法消去，不符合题意； C、，得，无法消去，不符合题意； D、，得，无法消去，不符合题意； 故选：A． 9．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同解的二元一次方程组．将待求的方程组整理成与已知方程组的形式相同，即可得新的二元一次方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x，y的二元一次方程和关于m，n的二元一次方程的公共解， 将整理为， ∴， 解得：， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故选：A． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将所给方程组中的两个方程相减得出，进而可求出答案． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2 11．（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，设，，即可得，解方程组即可求解，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·全国·期末）对于x，y，规定一种新的运算：，其中a，b为常数，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题中所给新定义运算；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴； 故答案为． 13．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 (1)该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． (2)请你用另一种方法解这个方程组． 【答案】(1)代入；二(2) 【分析】本题考查了用代入法与加减法解二元一次方程组，掌握解法步骤是解题的关键； （1）根据代入法的步骤逐步检查即可作出判断； （2）利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：本题是用代入法解二元一次方程组，由①变形得到③，再代入②求解；故第二步错误； 故答案为：代入；二； （2）解：， 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 16．（24-25七年级下·四川南充·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． (1)按照小云的方法，的值为______，的值为______； (2)请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1)2；1(2)的值为． 【分析】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元求解即可； （2）得，即可得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：将①③联立得到， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴， 故答案为：2；1； （2）解：， ，得， 即， ∴， ∵， ∴， 解得． 即的值为． 17．（24-25七年级下·四川南充·期中）对于任意有理数，，，，我们规定：， (1)计算：的值； (2)若，同时满足：，，求的值． 【答案】(1)19(2)0 【分析】本题考查解二元一次方程组，以及有理数的混合运算． （1）利用题中的新定义化简，根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到与的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，同时满足，， ∴， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”． 备用图如下： (1)若，在中，的“3系数补角”是 ； (2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数； (3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小． 【答案】(1)(2)(3)图见解析，或 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，，解方程组即可得到答案； （3）设，，再根据G的位置建立方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为：； （2）解：∵比的2倍多， ∴， ∵是的“4系数补角”， ∴， ∴ ∴； （3）解：设，， 分以下三种情况： 如图，设与相交于点H， ∵，， ∴， 由条件可知， 即①， 由条件可知， 即②， ∴， 联立①②得，， 解得， 即是； 如图，当G在，之间时，过G作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴①， 由条件可知， 即②， 联立①②得，， 解得， ∴； 如图，当G在的下方时， 同理可得：， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得，， 解得：， 即为； 综上：为或； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$