专题提优3 一元二次方程中的新定义问题（7种类型）（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

专题提优3 一元二次方程中的新定义问题（7种类型） 类型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•长寿区校级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0与N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如x2﹣4x+3＝0的“颠倒方程”是3x2﹣4x+1＝0，则下列结论不正确的是（　　） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若a+c＝b，则方程M与方程N都有实数根﹣1 【分析】A．根据两个方程的根的判别式相同，则得到该选项不符合题意； B．由6和若分别是两方程的根，都可得到相同的关系式36a+6b+c＝0，得到该选项不符合题意； C．由题意，两方程有一个根相同，得到ax2+bx+c＝cx2+bx+a，得到有两个根，故该选项符合题意； D．根据题意，选择两方程的一个根，代入条件a+c＝b，即可得到结果． 【详解】解：A．方程M：ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac， 方程N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac， ∴方程M有实数根，则方程N也有实数根， 故该选项不符合题意； B．若6是方程M的一个根，则有：36a+6b+c＝0， 若是方程N的一个根，则有：，即：36a+6b+c＝0， 故该选项不符合题意； C．若方程M和N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a， ∴（a﹣c）x2＝a﹣c， ∴x2＝1， ∴x＝1或﹣1， 故该选项符合题意； D．方程M的根为：， 若a+c＝b，则1， 方程N的根为：， 若a+c＝b，则， 故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，涉及到一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根的应用，关键是要能根据题意，选择恰当的方法来判断． 类型二 一元二次方程的解 2．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 3．（2025春•莱西市期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　x2﹣1＝0（答案唯一）　 ． 【分析】依据题意，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程，从而，进而将b，c用a的式子来表示，然后取一个合适的值即可得解． 【详解】解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴． ∴． ∴一元二次方程为ax2﹣a＝0． ∵a≠0， ∴可取a＝1． ∴这个一元二次方程为x2﹣1＝0（答案唯一）． 故答案为：x2﹣1＝0（答案唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出方程组是关键． 4．（2024秋•澄海区期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+2x﹣2m+3＝0为“友好方程”，则m的值为 　1.5或5.5　 ． 【分析】求出方程x2﹣2x＝0的解，再根据“友好方程”的定义求出m． 【详解】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或2， ∵关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+2x﹣2m+3＝0为“友好方程”， ∴0﹣2m+3＝0或4+4﹣2m+3＝0， ∴m＝1.5或5.5． 故答案为：1.5或5.5． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 5．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a+4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为﹣3x2+2x+5＝0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 6．（2025春•南岗区校级期中）已知：如图是用两个全等的Rt△ABE和Rt△DCE拼成的四边形ABCD（说明：点E在边BC上，点A与点E对应），其中∠B＝∠C＝90°，设AB＝a，BE＝b，AE＝c． （1）请利用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2； （2）定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若关于x的方程x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系一元二次方程”，求m的值； （3）在（2）的定义中，若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ABCD的周长是24，连接AC交DE于点F，求DF的长． 【分析】（1）依据题意，由Rt△ABE≌Rt△ECD，从而AB＝EC＝a，BE＝CD＝b，故S梯形ABCD（AB+CD）•BC（a+b）（a+b），又S梯形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△ECD，且S△ABE＝S△ECDab，S△AEDc2，可得2abc2，进而化简后可以判断得解； ∴a2+b2＝c2． （2）依据题意，由为“勾系一元二次方程”，且x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系一元二次方程”，则x2mx+1＝0，故a＝1，b＝1，cm，又a2+b2＝c2，则1+1＝2m2，可得m＝﹣1或m＝1，结合m＞0，故可判断得解； （3）依据题意，由x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，则ac+b＝0①，又四边形ABCD的周长是24，可得2a+2bc＝24②，从而①+②得，3a+3b＝24，即a+b＝8，故c＝4，则BC＝a+b＝8，ADc＝8，进而BC＝AD，又BC⊥CD，可得AD⊥CD，故BC∥AD，结合AB∥CD，∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形，可得a＝b＝4，故E是BC的中点，从而2，则DF＝2EF，进而DFDE，又DEDC＝4，进而可以判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AB＝EC＝a，BE＝CD＝b． ∴S梯形ABCD（AB+CD）•BC（a+b）（a+b）． 又∵S梯形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△ECD，且S△ABE＝S△ECDab，S△AEDc2， ∴2abc2． ∴a2+b2＝c2． （2）解：由题意，∵为“勾系一元二次方程”，且x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系一元二次方程”， ∴x2mx+1＝0． ∴a＝1，b＝1，cm． 又∵a2+b2＝c2， ∴1+1＝2m2． ∴m＝﹣1或m＝1． 又∵m＞0， ∴m＝1． （3）解：由题意，∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴ac+b＝0①． 又∵四边形ABCD的周长是24， ∴2a+2bc＝24②． ①+②得，3a+3b＝24， ∴a+b＝8． ∴c＝8． ∴c＝4． 如图所示， ∴BC＝a+b＝8，ADc＝8． ∴BC＝AD． ∵BC⊥CD， ∴AD⊥CD． ∴BC∥AD． 又∵AB∥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． ∴a＝b＝4． ∴E是BC的中点． ∴如图可得，2． ∴DF＝2EF． ∴DFDE． 又∵DEDC＝4， ∴DF4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、勾股定理的证明，解题时要熟练掌握并能灵活运用新定义列出关系式是关键． 7．（2025春•龙口市期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程x2+x＝0就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程x2+7x+12＝0是否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【分析】（1）求出x2+7x+12＝0的解x1＝﹣3，x2＝﹣4，即可得方程x2+7x+12＝0是连根方程； （2）求出x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的解x1＝﹣m，x2＝2，可得﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1，故m的值为﹣3或﹣1； （3）设一元二次方程x2+bx+c＝0较小的根为m，可得，消去m可得b2＝4c+1． 【详解】解：（1）∵x2+7x+12＝0， ∴（x+3）（x+4）＝0， ∴x+3＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∵（﹣3）﹣（﹣4）＝1， ∴方程x2+7x+12＝0是连根方程； （2）∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0， ∴（x+m）（x﹣2）＝0， ∴x+m＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣m，x2＝2， ∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是连根方程， ∴﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1， ∴m＝﹣3或m＝﹣1， ∴m的值为﹣3或﹣1； （3）设一元二次方程x2+bx+c＝0较小的根为m，则另一个根为m+1， ∴， ②﹣①得：（m+1）2+b（m+1）+c﹣m2﹣bm﹣c＝0， ∴m， 把m代入①得： （）2+b•（）+c＝0， ∴b2＝4c+1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“连根方程”的概念． 8．（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【分析】（1）求出方程的解，根据C方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵b0，∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解C方程解的定义． 9．（2024秋•威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 【分析】（1）根据“凤凰方程”的意义判断即可； （2）根据“凤凰方程”的意义，得出1﹣m﹣5＝0，求出m即可． 【详解】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程， 理由： 因为一元二次方程3x2+4x+1＝0满足3﹣4+1＝0， 所以一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”， 则1﹣m﹣5＝0， 解得m＝﹣4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握“凤凰方程”的意义是解决本题的关键． 10．（2024秋•姜堰区期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【分析】（1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】解：（1）是“黄金方程”，理由如下： ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∵c＝﹣3， ∴一元二次方程x2+2x﹣3＝0是“黄金方程”； （2）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”， ∴2c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴2c＝﹣b﹣1， ∴b2﹣2c+1＝b2+b+1+1＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣2c+1的最小值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． 类型三 解一元二次方程 11．（2024秋•凤凰县期末）复数是数学中的一个重要概念，它在实际生活和各个领域中都有广泛应用．复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且规定i2＝﹣1，即i．如：i． 复数的运算符合加法、乘法的交换律、结合律、分配律以及加减乘除运算法则． 如：（1﹣2i）+（﹣3+5i）＝（1﹣3）+（﹣2+5）i＝﹣2+3i； （﹣1+3i）（2﹣5i）＝﹣2+5i+6i+15＝13+11i． 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴代表复数的实部，竖直的数轴代表复数的虚部，这样的平面我们称它为复平面，在复平面内，每一个复数和复平面内的点之间构成一一对应关系，每个复数．a+bi对应复平面内点的坐标记为（a，b）． 请根据上述材料，解决下列问题： 问题1：在复平面内点A对应的复数为3+4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°，得对应点B，则点B对应的复数为　﹣4+3i　 ； 问题2：利用乘法公式计算：（﹣3+4i）2； 问题3：根据复数的性质，在复数范围内求解一元二次方程：x2﹣x+2＝0． 【分析】问题1：首先得到在复平面内点A对应的复数为3+4i，然后利用旋转的性质得到点B的坐标记为（﹣4，3），进而求解即可； 问题2：根据复数的运算法则求解即可； 问题3：利用公式法求解即可． 【详解】解：问题1：∵在复平面内点A对应的复数为3+4i， ∴3+4i对应复平面内点的坐标记为（3，4）， ∴将点A绕原点O逆时针旋转90°得对应点B的坐标记为（﹣4，3）， ∴点B对应的复数为﹣4+3i； 故答案为：﹣4+3i； 问题2：利用乘法公式计算： （﹣3+4i）2 ＝（﹣3）2+2×（﹣3）×4i+（4i）2 ＝9﹣24i+16i2 ＝﹣7﹣24i； 问题3：在复数范围内求解一元二次方程：x2﹣x+2＝0． 解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7， 由求根公式可得：， ∴，． 【点睛】本题考查了定义新运算，完全平方公式，解一元二次方程等知识，读懂定义及其运算法则是解题的关键． 12．（2024秋•承德县期末）我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“倒序方程”．例如方程x2﹣x﹣2＝0的“倒序方程”是﹣2x2﹣x+1＝0． （1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“倒序方程”； （2）请用适当的方法解一元二次方程x2+2x﹣8＝0和它的“倒序方程”． 【分析】（1）根据“倒序方程”的定义，即可求解； （2）分别用配方法和公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据定义，x2+2x﹣8＝0的“倒序方程”为﹣8x2+2x+1＝0． （2）原方程移项得x2+2x＝8， ∴x2+2x+1＝8+1， ∴（x+1）2＝9， ∴x+1＝±3， 解得：x1＝2，x2＝﹣4． 由（1）知，原方程的“倒序方程”为﹣8x2+2x+1＝0，这里a＝﹣8，b＝2，c＝1． ∵b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣8）×1＝36， ∴， 即． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 类型四 根的判别式 13．（2024秋•射洪市校级期末）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（　　） A．a＝c B．b＝2c C．b＝2a D．a＝b＝c 【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，再判断即可． 【详解】解：由题意得： ∴把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得出a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a， A、∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c，正确，不符合题意； B、∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b﹣c）c＝（b﹣2c）2＝0， ∴b＝2c，正确，不符合题意； C、∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，c＝b﹣a， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（b﹣a）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2＝0， ∴b＝2a，正确，不符合题意； D、由题意可得，a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝0， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 化简，得：a＝c， 又∵a≠0，b＝a+c， ∴a＝c≠b，原结论错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．（2025春•东阳市月考）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　3或﹣2　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 【分析】（1）求得x2﹣6＝x的解即为关于x的代数式x2﹣6的不动值； （2）看2x2﹣x+1＝x是否有解即可； （3）①因为a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x有一个解，根据根的判别式为0求得相应的x的值即可； ②表示出两个不动值的平方，根据两个不动值的差为整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：（1）x2﹣6＝x， x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 故答案为3或﹣2； （2）2x2﹣x+1＝x， 2x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值， （3）①a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， ∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， ∵仅有一个不动值， ∴Δ＝0， [﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0， 整理得：a4+4a3+4a2＝0， a2（a2+4a+4）＝0， a2（a+2）2＝0， 解得：a＝0（不合题意，舍去），a＝﹣2， ∴a＝﹣2； ②a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， 整理得：a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， 设方程两个解为s，t， ∴s+t，st， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st， ∵s﹣t为整数， ∴1为整数， ∴正整数a＝1或2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式等相关知识．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．用到的知识点为：一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式为0． 15．（2024秋•镇海区校级期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程x2＝4的解为x1＝2，x2＝﹣2，不等式组的解集为1＜x＜4，因为﹣2＜1＜2＜4，所以称方程x2＝4是不等式组的半隐二次方程． （1）方程x2﹣3x+2＝0是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝2x是不等式组的半隐二次方程，求a的取值范围． 【分析】（1）先解方程x2﹣3x+2＝0，求出想，再解不等式组求出x的取值范围，然后根据“半隐二次方程”的定义进行判断即可； （2）先解关于x的一元二次方程x2﹣ax＝2x，求出x，再解不等式组，求出x的取值范围，然后根据“半隐二次方程”定义列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：（1）方程x2﹣3x+2＝0是不等式组的“半隐二次方程”，理由如下： x2﹣3x+2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2， 不等式组， ∴不等式组的解集为：2≥x＞1， ∴x2＝2满足不等式组的解集，x1不满足不等式组的解集， ∴方程x2﹣3x+2＝0是不等式组的“半隐二次方程”； （2）x2﹣ax＝2x， x2﹣ax﹣2x＝0， x（x﹣a﹣2）＝0， x1＝0，x2＝a+2， 不等式组， ∴不等式组的解集为：a＜x≤3， 如使的不等式组有解则a＜3， 情况一：x1不是不等式组的解，x2是不等式组的解， ∴a≥0，a+2≤3， ∴0≤a≤1， 情况二：x1是不等式组的解，x2不是不等式组的解， ∴a＜0，a+2＞3或a+2≤a， ∴a无解， 综上所述：a的取值范围为0≤a≤1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元二次方程和一元一次不等式组的步骤． 类型五 根与系数的关系 16．（2025春•诸暨市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【分析】求得解方程x2﹣3x+2＝0的根即可判断①；求得倍根方程（x﹣2）（mx+n）＝0的根即可判断②；求得方程的根结合pq＝2即可判断③；利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2， ∵x2＝2x1， ∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程，①正确； ②解方程（x﹣2）（mx+n）＝0得x1＝2，x2， ∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程， ∴2＝2×（）或2×2， ∴m＝﹣n或4m＝﹣n， ∴m+n＝0或4m+n＝0，故②不正确； ③解方程px2+3x+q＝0得x， ∵pq＝2， ∴x1或x2， ∴x2＝2x1， ∴关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程，故③正确； ④设方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2， 则x1+x2，x1x2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程， ∴令x2＝2x1， ∴x1+2x1，x1•2x1， ∴3x1，2， ∴x1， ∴2×（）2， ∴2b2＝9ac．故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2024秋•霸州市期中）定义：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）若满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数 C．两根之积为0 D．无实数根 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0和a+b+c＝0，可知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x＝﹣1或x＝1，再判断答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0， 把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0， ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， 把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根分别为x＝1或x＝﹣1， ∴方程的两个根互为相反数． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，解题的关键是根据方程满足的等式得出方程的根． 18．（2025春•潜山市期中）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 　②　 ；（填序号） ①x2+x＝1；②x2+3x+2＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”，m的值为 　2或0　 ． 【分析】（1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：①x2+x＝1 x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ②x2+3x+2＝0 ∴（x+1）（x+2）＝0， ∴x+1＝0，x+2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：②； （2）x2﹣（m+1）x+m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣1）＝0， ∴x﹣m＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝m， ∵方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”， ∴|m﹣1|＝1， ∴m＝2或0． 故答案为：2或0． 【点睛】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． 19．（2025•姑苏区一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　3或1　 ． 【分析】先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m方程，注意有两种情况． 【详解】解：解方程得：（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x1＝2，x2＝m， ∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”， 则m﹣2＝1或2﹣m＝1， 解得m＝3或m＝1． 故答案为：3或1． 【点睛】本题考查一元二次方程﹣因式分解法与根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义． 20．（2025•通许县模拟）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣6）（x+n）＝0是“倍根方程”，则n＝ 　﹣12或﹣3　 ． 【分析】解方程（x﹣6）（x+n）＝0，然后分﹣n是6的2倍、6是﹣n的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：解方程（x﹣6）（x+n）＝0， 可得x1＝6，x2＝﹣n， ∵（x﹣6）（x+n）＝0是“倍根方程”， ∴当﹣n是6的2倍时，即有﹣n＝6×2＝12， 当6是﹣n的2倍时，即有﹣n＝6÷2＝3． 故答案为：﹣12或﹣3． 【点睛】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． 21．（2025春•长丰县期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x2﹣x1|＝1，则称此类方程为“自然方程”． 例如：（x﹣5）（x﹣6）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是　②④　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x20；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2﹣（n+1）x+n＝0是“自然方程”，n的值为　0或2　 ． 【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法解方程，然后计算每个方程的两根之差的绝对值，然后根据“自然方程”进行判断； （2）先利用因式分解法解方程得到x1＝n，x2＝1，则|n﹣1|＝1，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）①x2+x＝6， x2+x﹣6＝0， （x+3）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∵|x2﹣x1|＝5≠1， ∴方程x2+x＝6不是“自然方程”； ②x2+3x+2＝0， （x+1）（x+2）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵|x2﹣x1|＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“自然方程”； ③x20， x2， 解得x1，x2， ∵|x2﹣x1|1， ∴方程x20不是“自然方程”； ④x2﹣5x＝﹣6， x2﹣5x+6＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， 解得x1＝3，x2＝2， ∵|x2﹣x1|＝1， ∴方程x2﹣5x＝﹣6是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）x2﹣（n+1）x+n＝0， （x﹣n）（x﹣1）＝0， 解得x1＝n，x2＝1， ∵|x2﹣x1|＝1， ∴|n﹣1|＝1， 解得n＝0或n＝2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程． 22．（2025•安丘市一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再根据两根的差是否为1，即可确定m的值； （2）利用根与系数的关系，再结合邻根方程的定义，通过变形即可求出b、c． 【详解】解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝m， ∵方程是邻根方程， ∴|﹣3﹣m|＝1， ∴﹣3﹣m＝±1， ∴m＝﹣2，或m＝﹣4； （2）在x2+bx+c＝0中， x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴4x1x2＝b2﹣4c＝1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点，是解题的关键． 23．（2025春•南岗区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，x2＝1， ∵， ∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　不是　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　2　 ． 【分析】（1）解x2﹣5x+6＝0得：x1＝2，x2＝3，由定义可判断x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”； （2）解x2﹣（m+3）x+3m＝0得方x1＝3，x2＝m，根据x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，得|3﹣m|＝|3m|，解得m或m； （3）设x2+bx+c＝0的另一个根为α，可得﹣1+α＝﹣b，﹣1×α＝c，即b＝1﹣α，c＝﹣α，由x2+bx+c＝0是“差积方程”，有|﹣1﹣α|＝|﹣1×α|，解得α，故b＝1﹣α＝1，c＝﹣α，即可求出b+c2． 【详解】解：（1）解x2﹣5x+6＝0得：x1＝2，x2＝3， ∵|2﹣3|≠|2×3|， ∴x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”； 故答案为：不是； （2）解x2﹣（m+3）x+3m＝0得方x1＝3，x2＝m， ∵x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”， ∴|3﹣m|＝|3m|， 即3﹣m＝3m或3﹣m＝﹣3m， 解得m或m； （3）设x2+bx+c＝0的另一个根为α， ∴﹣1+α＝﹣b，﹣1×α＝c， ∴b＝1﹣α，c＝﹣α， ∵x2+bx+c＝0是“差积方程”， ∴|﹣1﹣α|＝|﹣1×α|， 即﹣1﹣α＝﹣α或﹣1﹣α＝α， 解得α， ∴b＝1﹣α＝1，c＝﹣α， ∴b+c2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及绝对值，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，理解“差积方程”的定义． 24．（2024秋•安岳县期末）阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得|x1﹣x2|＝1，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得a＝﹣4b，从而可得，求解并判断即可得解． 【详解】解：（1）原方程整理得（x+3）（x+4）＝0， ∴x+3＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴|x1﹣x2|＝|﹣3﹣（﹣4）|＝1， ∴方程x2+7x+12＝0是“差根方程”； （2）由条件可知|x1﹣x2|＝1， ∴， ∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）由条件可知ax2+2amx+am2+b＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝a2， ∴a＝﹣4b， 将a＝﹣4b代入方程a（x+m+4）2＝﹣b可得：， 解得：，， ∴， ∴方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”，它的根为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． 25．（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，然后把x＝﹣y代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是y，则y，所以x，然后把x代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程cx2+bx+a＝0两边同时除以x2，得a（）2+b•c＝0，则方程cx2+bx+a＝0的两根是ax2+bx+c＝0（a≠0）两根的倒数，进而求解． 【详解】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 26．（2025春•龙口市校级期中）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，请证明：a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根； （3）已知两个不相等的实数p，q满足p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解； （2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为，从而可以看作a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0，得x2+x﹣1＝0， ∴． ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为； （2）证明：∵b2﹣2mb＝4， ∴b2﹣2mb﹣4＝0． ∴． 又b≠﹣2a，a2+ma﹣1＝0， ∴是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根； （3）解：由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②， ∴①+②得（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q， （p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q． ①﹣②得（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q）． 由条件可知p﹣q≠0． ∴（p+q）+n＝﹣1， ∴p+q＝﹣n﹣1， 又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q， ∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1， ∴pq＝n， ∴pq﹣n＝0． 【点睛】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 27．（2025春•高青县期中）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x+4＝0 　否　 ； ② 　是　 ；（填是或否） （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请写出a与b之间的数量关系式． 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，解方程求得x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到； （3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a． 【详解】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝4， ∴， ∴方程x2﹣4x+4＝0不是差根方程； ②设x1，x2是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 故答案为：否，是； （2）x2+2ax＝0， 因式分解得：x（x+2a）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2a， ∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”， ∴2a＝±1，即； （3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴1，即， ∴b2＝a2+4a． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 28．（2025•昆山市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　③　 ； ①x2﹣3x+2＝0； ②x2﹣3x＝0； ③x2﹣8x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝　　 ； （3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【分析】（1）分别解三个方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t，则利用根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c，然后先求出t，再计算出c的值； （3）设方程的两根为a，3a，利用根与系数的关系得到m+n＝4a，mn＝3a2，再把变形为，然后利用整体代入的方法得到原式，最后进行分式的化简计算即可． 【详解】解：（1）解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2， 所以x2﹣3x+2＝0不是“三倍根方程”； 解方程x2﹣3x＝0得x1＝0，x2＝3， 所以x2﹣3x＝0不是“三倍根方程”； 解方程x2﹣8x+12＝0得x1＝2，x2＝6， 所以x2﹣8x+12＝0是“三倍根方程”； 故答案为：③； （2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t， 根据根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c， 解得t， 所以c＝3×（）2； 故答案为：； （3）设方程的两根为a，3a， 根据根与系数的关系得a+3a＝m+n，a•3a＝mn， 即m+n＝4a，mn＝3a2， 所以． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了因式分解法解方程． 29．（2024秋•新吴区期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　是　 “限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【分析】（1）解方程x2+14x+33＝0得x1＝﹣11，x2＝﹣3，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，则利用11x1+11x2+x1x2＝﹣121得到﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，解方程得k1＝5，k2＝6，当k＝5时，方程x2+14x+33＝0为“限根方程”；当k＝6时，方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“，所以k的值为5； （3）先解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，根据“限根方程”的定义，当m＜﹣1时，34或当﹣1＜m＜0时，34，然后据诶分别解不等式组得到m的取值范围． 【详解】解：（1）x2+14x+33＝0， （x+11）（x+3）＝0， x+11＝0或x+3＝0， 解得x1＝﹣11，x2＝﹣3， ∵﹣11＜﹣3＜0，34， ∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“； 故答案为：是； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0， ∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121， ∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121， ∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121， 整理得k2﹣11k+3＝0， 解得k1＝5，k2＝6， 当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”； 当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5， ∵﹣11＜﹣4＜0，3， ∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“； 综上所述，k的值为5； （3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1， 关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”， 当m＜﹣1时，34， 解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34， 解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程． 30．（2021秋•惠安县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2均为正数，其中x1＞x2且满足1＜x1﹣x2＜2，那么称这个方程有“友好根”． （1）方程（x）（x）＝0　没有　 “友好根”（填：“有”或“没有”）； （2）已知关于x的方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求t的取值范围． 【分析】（1）先解方程得到x1，x2，则不满足1＜x1﹣x2＜2，所以可判断方程没有“友好根”； （2）根据判别式的意义得到Δ＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，利用求根公式解得x1＝t﹣2，x2＝1或x1＝t﹣2，x2＝1，然后讨论：若x1＝t﹣2，x2＝1，则得到4＜t＜5；若x1＝1，x2＝t﹣2，则不合题意，最后综合得到t的取值范围． 【详解】解：（1）方程（x）（x）＝0 没有“友好根”，理由如下： ∵（x）（x）＝0， ∴x1，x2， 这时x1＞0，x2＞0，但x1﹣x2＜1， ∴满足x1＞x2且不满足1＜x1﹣x2＜2这个条件， ∴方程（x）（x）＝0 没有“友好根”； 故答案为：没有； （2）x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0 由已知Δ＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0， ∴x， ∴当t＞3时，x1＝t﹣2，x2＝1， 当t＜3时，x1＝1，x2＝t﹣2， ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有“友好根”， ∴x1，x2均为正数，x1＞x2且满足1＜x1﹣x2＜2， 若x1＝t﹣2，x2＝1，则1＜t﹣2﹣1＜2， 解得4＜t＜5； 若x1＝1，x2＝t﹣2，则，无解 综上，t的取值范围是4＜t＜5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元一次不等式组． 31．（2023•黄石模拟）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2如（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． ①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围． （2）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）①由①Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，即可得出结论； ②先确定出点M的坐标，进而判断出点M在直线y＝x+2上，借助图象即可得出结论； （2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可． 【详解】解：（1）x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， ①∵Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根， x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， 解得：x1＝m﹣2，x2＝m， 方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）． ②∵直线l1：y＝x+5与x轴交于点A， ∴A（﹣5，0）， 由①得，M（m﹣2，m）， 令m﹣2＝x，m＝y， ∴y＝x+2， ∴点M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2） 令y＝0，则x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴﹣2＜m﹣2＜0； ∴0＜m＜2； （2）存在． 直线y＝kx+3（2﹣k）＝k（x﹣3）+6，过定点M（3，6）， ∴x2+bx+c＝0两个根为x1＝3，x2＝6， ∴3+6＝﹣b，3×6＝c， ∴b＝﹣9，c＝18． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 32．（2024春•西湖区校级月考）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+cx+d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6＝0与x2﹣2x﹣3＝0互为“同根轮换方程”． （1）方程x2﹣4x+3＝0与x2﹣2x+6＝0互为“同根轮换方程”吗？ （2）若关于x的方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值； （3）已知方程①：x2+ax+b＝0和方程②：x2+2axb＝0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）根据判别式可得方程x2﹣2x+6＝0无实数根，据此可得答案； （2）根据定义得到4m＝﹣6n，设t是公共根，则有t2+4t+m＝0，t2﹣6t+n＝0，可解得，进而得到，解方程即可得到答案； （3）分p、q分别为公共根，以及二者都不是公共根，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）在方程x2﹣2x+6＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×6＝﹣20＜0， ∴方程x2﹣2x+6＝0无实数根， ∴方程x2﹣4x+3＝0与x2﹣2x+6＝0不互为“同根轮换方程”； （2）解：∵方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”， ∴4m＝﹣6n 设t是公共根，则有t2+4t+m＝0，t2﹣6t+n＝0， 解得，． ∵4m＝﹣6n， ∴． ∴． ∴m＝﹣12（0值舍去）． （3）解：当公共解为p时， ∴p2+ap+b＝0，p+q＝﹣2a，， ∴p2+ap+2pq＝0， ∴p2+ap+2p（﹣2a﹣p）＝0， ∴p2+ap﹣4ap﹣2p2＝0，即p2+3ap＝0， 解得p＝﹣3a或p＝0（舍去）， ∴q＝a， ∴当p＝﹣3a，q＝a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0和互为“同根轮换方程”； 设公共解为q时，，p+q＝﹣a，， 同理可得p＝2a，q＝﹣3a ∴当p＝2a，q＝﹣3a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0和互为“同根轮换方程”； 设公共解为x0， 由题意可得：x0+p＝﹣a，x0+q＝﹣2a，x0p＝b， 同理可得x0＝﹣3a，p＝2a，q＝a，b＝﹣6a2， ∴当p＝2a，q＝a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0和互为“同根轮换方程”． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 类型六 由实际问题抽象出一元二次方程 33．（2024秋•太原期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm时，设其“加倍矩形”的一边长为x cm，则根据题意列出的方程是（　　） A．x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1 B．x[（2+1）﹣x]＝2×2×1 C．x[2×（2+1）﹣x]＝2×1 D．x[（2+1）﹣x]＝2×1 【分析】根据两矩形周长间的关系，可得出其“加倍矩形”的相邻两边长，利用“加倍矩形”的面积是已知矩形面积的2倍，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm，其“加倍矩形”的一边长为x cm， ∴该边的邻边为[2×（2+1）﹣x]cm． 根据题意得：x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型七 一元二次方程的应用 34．（2025春•沙坪坝区校级期中）一个三位数M，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k百数”，例如：三位数629，∵62＝2×2×9，∴629为“2百数”；将M去掉个位数字剩余的两位数记为M1，去掉百位数字剩余的两位数记为M2，规定F（M）＝M1+M2+4，则最小的“5百数”为　515　 ；若一个“k百数”N的十位数字是2，且F（N）能被8整除，则满足条件的所有N的和为　844　 ． 【分析】设三位数为根据定义可得：a2＝5bc，则a2是bc的5倍，从而求出b＝1，c＝5或b＝5，c＝1，然后根据题意即可求解；设一个“k百数”N为，则F（N）＝10a+2+20+c+4＝10a+c+26a2＝k×2×c＝2kc，，则a必为偶数，又F（N）能被8整除，然后分情况分析即可． 【详解】解：设三位数为， 根据定义可得：a2＝5bc， ∴a2是bc的5倍， ∴a＝5时，52＝5bc，bc＝1， ∴b＝1，c＝5或b＝5，c＝1； ∴对应的“5百数”为515或551， ∴最小的“5百数”为515； 设一个“k百数”N为，则F（N）＝10a+2+20+c+4＝10a+c+26，a2＝k×2×c＝2kc， ∴，则a必为偶数， ①当a＝2时，kc＝2， 若k＝1，c＝2时，F（N）＝10×2+2+26＝48， 则48÷6＝8，符合题意，此时N为222， 若k＝2，c＝1时，F（N）＝10×2+1+26＝47， 则47÷8＝5……7，不符合题意； ②当a＝4时，kc＝8，若k＝1，c＝8时，F（N）＝10×4+8+26＝74， 则74÷8＝9……2，不符合题意； 若k＝2，c＝4时，F（N）＝10×4+4+26＝70， 则 70÷8＝8……6，不符合题意； 若k＝4，c＝2时，F（N）＝10×4+2+26＝68， 则68÷8＝8……4，不符合题意； ③当a＝6时，kc＝18， 若k＝2，c＝9时，F（N）＝10×6+9+26＝95， 则95÷8＝11……7，不符合题意； 若 k＝3，c＝6时，F（N）＝10×6+6+26＝92， 则92÷8＝11……4，不符合题意； 若k＝6，c＝3时，F（N）＝10×6+3+26＝89， 则89÷8＝11……1，不符合题意； 若 k＝9，c＝2时，F（N）＝10×6+2+26＝88， 则88÷8＝11，符合题意，此时N为622； ④当a＝8时，kc＝32， 若k＝4，c＝8时，F（N）＝10×8+8+26＝104， 则104÷8＝14……2，不符合题意； 综上可知：满足条件N的值为222，622， ∴满足条件的所有N的和为 222+622＝844， 故答案为：515，844． 【点睛】本题考查了列代数式，分式，整式的有关运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 35．（2024秋•天府新区期末）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为 　　 ． 【分析】设“减半矩形”的一边长为x，则其邻边长为（3﹣x），根据“减半矩形”的面积为已知矩形面积的一半，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再利用勾股定理，即可求出“减半矩形”的对角线长． 【详解】解：设“减半矩形”的一边长为x，则其邻边长为（3﹣x）， 根据题意得：x（3﹣x）（3）×（3）， 整理得：x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， 当x＝1时，3﹣x＝3﹣1＝2； 当x＝2时，3﹣x＝3﹣2＝1， ∴， ∴“减半矩形”的对角线长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的判定与性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优3 一元二次方程中的新定义问题（7种类型） 类型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•长寿区校级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0与N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如x2﹣4x+3＝0的“颠倒方程”是3x2﹣4x+1＝0，则下列结论不正确的是（　　） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若a+c＝b，则方程M与方程N都有实数根﹣1 类型二 一元二次方程的解 2．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 3．（2025春•莱西市期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 4．（2024秋•澄海区期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+2x﹣2m+3＝0为“友好方程”，则m的值为 　 　 ． 5．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 6．（2025春•南岗区校级期中）已知：如图是用两个全等的Rt△ABE和Rt△DCE拼成的四边形ABCD（说明：点E在边BC上，点A与点E对应），其中∠B＝∠C＝90°，设AB＝a，BE＝b，AE＝c． （1）请利用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2； （2）定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若关于x的方程x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系一元二次方程”，求m的值； （3）在（2）的定义中，若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ABCD的周长是24，连接AC交DE于点F，求DF的长． 7．（2025春•龙口市期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程x2+x＝0就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程x2+7x+12＝0是否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 8．（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 9．（2024秋•威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 10．（2024秋•姜堰区期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 类型三 解一元二次方程 11．（2024秋•凤凰县期末）复数是数学中的一个重要概念，它在实际生活和各个领域中都有广泛应用．复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且规定i2＝﹣1，即i．如：i． 复数的运算符合加法、乘法的交换律、结合律、分配律以及加减乘除运算法则． 如：（1﹣2i）+（﹣3+5i）＝（1﹣3）+（﹣2+5）i＝﹣2+3i； （﹣1+3i）（2﹣5i）＝﹣2+5i+6i+15＝13+11i． 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴代表复数的实部，竖直的数轴代表复数的虚部，这样的平面我们称它为复平面，在复平面内，每一个复数和复平面内的点之间构成一一对应关系，每个复数．a+bi对应复平面内点的坐标记为（a，b）． 请根据上述材料，解决下列问题： 问题1：在复平面内点A对应的复数为3+4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°，得对应点B，则点B对应的复数为　 ； 问题2：利用乘法公式计算：（﹣3+4i）2； 问题3：根据复数的性质，在复数范围内求解一元二次方程：x2﹣x+2＝0． 12．（2024秋•承德县期末）我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“倒序方程”．例如方程x2﹣x﹣2＝0的“倒序方程”是﹣2x2﹣x+1＝0． （1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“倒序方程”； （2）请用适当的方法解一元二次方程x2+2x﹣8＝0和它的“倒序方程”． 类型四 根的判别式 13．（2024秋•射洪市校级期末）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（　　） A．a＝c B．b＝2c C．b＝2a D．a＝b＝c 14．（2025春•东阳市月考）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　 　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 15．（2024秋•镇海区校级期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程x2＝4的解为x1＝2，x2＝﹣2，不等式组的解集为1＜x＜4，因为﹣2＜1＜2＜4，所以称方程x2＝4是不等式组的半隐二次方程． （1）方程x2﹣3x+2＝0是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝2x是不等式组的半隐二次方程，求a的取值范围． 类型五 根与系数的关系 16．（2025春•诸暨市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 17．（2024秋•霸州市期中）定义：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）若满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数 C．两根之积为0 D．无实数根 18．（2025春•潜山市期中）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 　 　 ；（填序号） ①x2+x＝1；②x2+3x+2＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+1）x+m＝0是“自然方程”，m的值为 　 　 ． 19．（2025•姑苏区一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　 　 ． 20．（2025•通许县模拟）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣6）（x+n）＝0是“倍根方程”，则n＝ 　 ． 21．（2025春•长丰县期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个整数根，且满足|x2﹣x1|＝1，则称此类方程为“自然方程”． 例如：（x﹣5）（x﹣6）＝0是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x20；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2﹣（n+1）x+n＝0是“自然方程”，n的值为　 　 ． 22．（2025•安丘市一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 23．（2025春•南岗区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即， 解得，x2＝1， ∵，∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　 　 ． 24．（2024秋•安岳县期末）阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 25．（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 26．（2025春•龙口市校级期中）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，请证明：a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根； （3）已知两个不相等的实数p，q满足p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 27．（2025春•高青县期中）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x+4＝0 　 　 ； ② 　 　 ；（填是或否） （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请写出a与b之间的数量关系式． 28．（2025•昆山市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　 　 ； ①x2﹣3x+2＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣8x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝　 ； （3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 29．（2024秋•新吴区期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　 　 “限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 30．（2021秋•惠安县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2均为正数，其中x1＞x2且满足1＜x1﹣x2＜2，那么称这个方程有“友好根”． （1）方程（x）（x）＝0　 　 “友好根”（填：“有”或“没有”）； （2）已知关于x的方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求t的取值范围． 31．（2023•黄石模拟）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2如（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． ①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围． （2）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 32．（2024春•西湖区校级月考）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+cx+d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6＝0与x2﹣2x﹣3＝0互为“同根轮换方程”． （1）方程x2﹣4x+3＝0与x2﹣2x+6＝0互为“同根轮换方程”吗？ （2）若关于x的方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值； （3）已知方程①：x2+ax+b＝0和方程②：x2+2axb＝0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由． 类型六 由实际问题抽象出一元二次方程 33．（2024秋•太原期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm时，设其“加倍矩形”的一边长为x cm，则根据题意列出的方程是（　　） A．x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1 B．x[（2+1）﹣x]＝2×2×1 C．x[2×（2+1）﹣x]＝2×1 D．x[（2+1）﹣x]＝2×1 类型七 一元二次方程的应用 34．（2025春•沙坪坝区校级期中）一个三位数M，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k百数”，例如：三位数629，∵62＝2×2×9，∴629为“2百数”；将M去掉个位数字剩余的两位数记为M1，去掉百位数字剩余的两位数记为M2，规定F（M）＝M1+M2+4，则最小的“5百数”为　 　 ；若一个“k百数”N的十位数字是2，且F（N）能被8整除，则满足条件的所有N的和为　 　 ． 35．（2024秋•天府新区期末）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$