21.3 实际问题与一元二次方程5种重点题型的典例剖析及变式训练【提优专题+重点题型 】2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程5种重点题型的典例剖析及变式训练 题型一 列一元二次方程解决平均变化率的问题 【典例1】某年锡东新城某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售．由于受周边地区及炒房的影响，锡东新城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米11520元．设每年的增长率相同． （1）求年平均增长率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然以相同的增长率增长，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“2016年的房价＝2014年的房价×1加增加百分率的平方”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）根据“房屋的总价＝2017年房屋单价×房屋面积”，即可求出100平方米的住房的总价，再于李老师持有的现金及银行贷款的总和进行比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：8000×（1+x）2＝11520， 解得：x＝20%，x＝﹣144%（舍去）， 答：平均每年增长的百分率为20%． （2）100×11520×（1+20%）＝1382400（元 ）， ∵1382400＞800000+500000＝1300000， ∴李老师的愿望不能实现． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•浉河区校级月考）某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球两年前单价为200元，今年单价为162元． （1）求两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： A商场：买十送一； B商场：全场九折． 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 【分析】（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2016年及今年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据A店的优惠政策可求出A店实际需要购买的足球个数为91个，分别求出在A，B两店购买这批足球所需的总费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x． 根据题意得：162＝200×（1﹣x）2， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%； （2）根据题意得，在A商场需要的费用为：162×91＝14742（元）， 在B商场需要的费用为：162×10014580（元）． 14742＞14580． 答：去B商场购买足球更优惠． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据优惠政策，分别求出在A，B两店购买这批足球所需的总费用． 题型二 列一元二次方程解决循环问题 【典例2】（2021秋•罗湖区期中）某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛． （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数＝该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】解：（1）设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意，得：x（x﹣1）＝15， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：应该邀请6支球队参加比赛． （2）35×4＝13（场）． 答：实际共比赛13场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022春•龙口市期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共 　9　 人． 【分析】设这次会议与会人数是x人，利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这次会议与会人数是x人， 依题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴这次会议与会人数是共9人． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋•城口县校级月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛二场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请 　8个　 队参赛． 【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 依题意得：x（x﹣1）＝56， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴比赛组织者应邀请8个队参赛． 故答案为：8个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型三 列一元二次方程解决面积问题 【典例3】（2000•吉林）如图，某小区规划在一个长40米，宽为26米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为144平方米，求道路的宽度． 【分析】本题中草坪的总面积＝矩形场地的面积﹣三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程，求出道路的宽度． 【详解】解：设道路的宽为x米， 由题意得：40×26﹣2×26x﹣40x+2x2＝144×6 化简得：x2﹣46x+88＝0 解得：x＝2，x＝44 当x＝44时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去． 答：道路的宽为2米． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式训练】 1．（2022秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度． 【分析】设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解． 【详解】解：设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则 （30﹣3x）（20﹣2x）＝20×30×（1﹣19%）， 解得x1＝1，x2＝19（舍去）． 所以3x＝3． 答：竖彩条的宽度是3cm． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题． 2．（2025•长沙县一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【分析】（1）设这条小道的宽度为x米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【详解】解：（1）设这条小道的宽度为x米， 由题意得：（8+2x）（12+2x）＝192， 整理得，4x2+40x﹣96＝0， 解得x＝2或x＝﹣12＜0（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． （2）由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为12+2×2＝12+4＝16（米），宽为8+2×2＝8+4＝12（米）， 则2×（12+16）＝2×28＝56（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 3．（2025春•龙泉市期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙（MN），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为60m（全部用完）．设AB的长为x m． （1）如图1，用含x的代数式表示BC的长． （2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为400m2时，求x的值． （3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成．长方形花园ABCD的面积可以为500m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形花园ABCD的面积为400m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）求出BC的长，再根据长方形花园ABCD的面积为500m2，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣2x）m； （2）由题意可得：x（60﹣2x）＝400， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20， 答：x的值为20； （3）长方形花园ABCD的面积不可以为500m2，理由如下： 由题意可知，BC的长为（42.5﹣x）（m）， 由题意得：x（42.5﹣x）＝500， 整理得x：2﹣42.5x+500＝0， ∵Δ＝（﹣42.5）2﹣4×1×500＝﹣193.75＜0， ∴该方程无实数根， ∴长方形花园ABCD的面积不可以为500m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025春•大连期中）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为700cm2，且长与宽的比例是5：4． （1）该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ （2）她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为12cm的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 【分析】（1）设长方形壁纸的长是5x cm，宽是4x cm，根据长方形壁纸面积为700cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论； （2）半径为12cm的圆形区域的直径为24cm，而423.664＜24，即可得出结论． 【详解】解：（1）设长方形壁纸的长是5x cm，宽是4x cm， 由题意得：5x•4x＝700， 整理得：x2＝35， 解得：x1，x2， ∴5x＝5，4x＝4， 答：长方形壁纸的长是5cm，宽是4cm； （2）她的裁剪方案不能实现，理由如下： ∵半径为12cm的圆形区域的直径为2×12＝24（cm），423.664＜24， ∴无法裁剪， ∴她的裁剪方案不能实现． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型四 列一元二次方程解决利润问题 【典例4】（2020秋•汨罗市期中）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况． 小张：“该商品的进价为24元/件．” 成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．” 成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？ 【分析】设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件，根据每天的获利＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入（40+x）中即可得出结论；设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件，根据每天的获利＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，将其代入（40﹣y）中即可得出结论． 【详解】解：设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件， 依题意，得：（40﹣24+x）（480﹣20x）＝7680， 整理，得：x2﹣8x＝0， 解得：x1＝0，x2＝8， ∴40+x＝40或48； 设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件， 依题意，得：（40﹣24﹣y）（480+40y）＝7680， 整理，得：y2﹣4y＝0， 解得：y1＝0，y2＝4， ∴40﹣y＝40或36． 答：当定价为36元，40元或48元时，该商品每天获利7680元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025•福田区一模）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 【分析】（1）根据这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克列出式子即可； （2）设每千克的售价降低x元，根据利润＝（售价﹣进价）×数量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，每天的销售量为千克 （2）设每千克的售价降低x元， 由题意得（3﹣x﹣2）（400x+200）＝224， 整理得：50x2﹣25x+3＝0， ∴（10x﹣3）（5x﹣1）＝0， 解得x＝0.3或x＝0.2， ∵要使销售量较大， ∴x＝0.3， ∴每千克的售价降低0.3元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． 2．（2025•绥中县一模）为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量y（斤）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当x＝35时，y＝110；当x＝40时，y＝100． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于70%．该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）销售利润等于利润单价×销售数量，解方程，获利与70%对比即可． 【详解】解：（1）设y＝kx+b， ∵当x＝35时，y＝110；当x＝40时，y＝100， ∴， ∴， ∴y＝﹣2x+180； （2）解：不能，理由： ∴（x﹣30）（﹣2x+180）＝1800 解得x1＝x2＝60． 当x＝60时，，不符合题意 ∴不能使每天的销售利润为1800元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题中的等量关系是解题的关键． 3．（2024秋•洪洞县期末）某商场以每件160元的价格购进一批商品，当每件商品售价为200元时，每天可售出20件，为了迎接“元旦”商场决定采取适当降价的方式进行促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，每天就可平均多售出2件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加　2x　 件，每件商品盈利　（200﹣x﹣160）　 元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达1200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）利用商场日销售量增加的数量＝2×每件商品降价的钱数，可用含x的代数式表示出商场日销售量增加的数量；利用每件商品的销售利润＝售价﹣进价，可用含x的代数式表示出每件商品的销售利润； （2）利用总利润＝每件商品的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要更有利于减少库存，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得：当每件商品降价x元时，商场日销售量增加2x件， 每件商品盈利（200﹣x﹣160）元． 故答案为：2x，（200﹣x﹣160）； （2）根据题意得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵要更有利于减少库存， ∴x＝20． 答：每件商品应降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 4．（2025春•南岗区校级期中）在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． （1）求该品牌滑雪服每次降价的百分率； （2）考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 【分析】（1）设该品牌滑雪服每次降价的百分率为x，根据亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该滑雪场所购进的A品牌滑雪服m套，则购进的B品牌滑雪服（100﹣m）套，根据全部售完后总利润不低于4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设该品牌滑雪服每次降价的百分率为x， 依题意得：500（1﹣x）2＝405， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：该品牌滑雪服每次降价的百分率为10%； （2）设该滑雪场所购进的A品牌滑雪服m套，则购进的B品牌滑雪服（100﹣m）套， 依题意得：（405﹣350）m+（405﹣380）（100﹣m）≥4600， 解得：m≥70， 答：该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少70套． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 5．（2024秋•安岳县期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【详解】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 题型五 一元二次方程与动点的综合运用 【典例5】（2022•红河州二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，连接对角线AC、BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上的一点，若2，则AP＝　2或2或　 ． 【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理得到AC，BD的长度，然后分六种情况：①点P在AD上时、②点P在AC上时、③点P在AB上时、④当P在BC上、⑤P在DC上、⑥P在BD上时．分别根据六种情况利用正方形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6， ∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC6， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝3， 有6种情况：①点P在AD上时， ∵AD＝6，2， ∴AP＝2； ②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x， 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2， ∴， 解得：x（负数舍去）， 即AP； ③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y， 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2， 解得：y＝2（负数舍去）， 即AP＝2； ④当P在BC上，设BP＝z， ∵2， ∴2， 即z2+4z+24＝0，Δ＝42﹣4×1×24＜0，此方程无解， 即当点P在BC上时，不能使2； ⑤P在DC上， ∵∠ADC＝90°， ∴AP＞DP，不能2， 即当P在DC上时，不能具备2； ⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°， ∴四边形ANPM是矩形， ∴AM＝PN，AN＝PM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝45°， ∵∠PMB＝90°， ∴∠MBP＝∠MPB＝45°， ∴BM＝PM＝AN， 同理DN＝PN＝AM， 设PM＝BM＝AN＝e，则PN＝DN＝AM＝6﹣e， ∵2， ∴由勾股定理得：2， 即e2﹣4e+12＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解， 即当P在BD上时，不能2， 故答案为：2或2或． 【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•鹿城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿射线BC以2 cm/s的速度移动．当点P停止移动时，点Q同时停止．点P，Q分别从A，B同时出发，经过时间为t秒． （1）用t表示△PBQ的面积； （2）当t为何值时，以点A，P，Q，C为顶点的四边形面积为19 cm2； （3）在移动过程中线段PQ长度的最小值为 　　 cm． 【分析】（1）根据题意得到BP＝6﹣t，BQ＝2t，再根据三角形面积公式即可得到答案； （2）先求出S△ABC＝24，然后分两种情况讨论：①点Q在点C下方，根据S四边形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ，列方程求解即可求出t的值；②点Q在点C上方，根据S四边形APCQ＝S△ABQ﹣S△PBC，列方程求解即可求出t的值； （3）有勾股定理，得到，令y＝5t2﹣12t+36，利用二次函数的性质，得到当时，y有最小值为，即可求得线段PQ长度的最小值． 【详解】解：（1）由题意可知，AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝6， ∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t， ∵∠B＝90°， ∴； （2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， ①如图，当点Q在点C下方时，此时t≤4， ∵S四边形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ＝19， 由（1）可知，， ∴24﹣（﹣t2+6t）＝19， 解得：t＝1或t＝5（舍）， ②如图，当点Q在点C上方时，此时4＜t≤6， ∵， 解得：t＝4.3， 即当t＝1或t＝4.3时，以点A，P，Q，C为顶点的四边形面积为19 cm2； （3）由题意可知，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 由勾股定理得：， 令y＝5t2﹣12t+36， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴PQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，勾股定理等知识，理解题意，巧妙运用二次函数解决问题是解题关键，注意分类讨论． 2．（2024春•高青县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由于若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值； （2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧． 以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可； ②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵P，N重合， ∴2x+x2＝20， ∴，（舍去）， ∴当时，P，N重合； （2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2， 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20， 解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4， 当x＝4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程5种重点题型的典例剖析及变式训练 题型一 列一元二次方程解决平均变化率的问题 【典例1】某年锡东新城某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售．由于受周边地区及炒房的影响，锡东新城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米11520元．设每年的增长率相同． （1）求年平均增长率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然以相同的增长率增长，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 【变式训练】 1．（2023秋•浉河区月考）某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球两年前单价为200元，今年单价为162元． （1）求两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： A商场：买十送一； B商场：全场九折． 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 题型二 列一元二次方程解决循环问题 【典例2】（2021秋•罗湖区期中）某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛． （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【变式训练】 1．（2022春•龙口市期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共 　 人． 2．（2023秋•城口县月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛二场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请 　 　 队参赛． 题型三 列一元二次方程解决面积问题 【典例3】（2000•吉林）如图，某小区规划在一个长40米，宽为26米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为144平方米，求道路的宽度． 【变式训练】 1．（2022秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度． 2．（2025•长沙县一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 3．（2025春•龙泉市期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙（MN），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为60m（全部用完）．设AB的长为x m． （1）如图1，用含x的代数式表示BC的长． （2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为400m2时，求x的值． （3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成．长方形花园ABCD的面积可以为500m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由． 4．（2025春•大连期中）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为700cm2，且长与宽的比例是5：4． （1）该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ （2）她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为12cm的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 题型四 列一元二次方程解决利润问题 【典例4】（2020秋•汨罗市期中）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况． 小张：“该商品的进价为24元/件．” 成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．” 成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？ 【变式训练】 1．（2025•福田区一模）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 2．（2025•绥中县一模）为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量y（斤）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当x＝35时，y＝110；当x＝40时，y＝100． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于70%．该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 3．（2024秋•洪洞县期末）某商场以每件160元的价格购进一批商品，当每件商品售价为200元时，每天可售出20件，为了迎接“元旦”商场决定采取适当降价的方式进行促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，每天就可平均多售出2件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加　 　 件，每件商品盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达1200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 4．（2025春•南岗区期中）在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． （1）求该品牌滑雪服每次降价的百分率； （2）考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 5．（2024秋•安岳县期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 题型五 一元二次方程与动点的综合运用 【典例5】（2022•红河州二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，连接对角线AC、BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上的一点，若2，则AP＝　 ． 【变式训练】 1．（2023春•鹿城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿射线BC以2 cm/s的速度移动．当点P停止移动时，点Q同时停止．点P，Q分别从A，B同时出发，经过时间为t秒． （1）用t表示△PBQ的面积； （2）当t为何值时，以点A，P，Q，C为顶点的四边形面积为19 cm2； （3）在移动过程中线段PQ长度的最小值为 　 cm． 2．（2024春•高青县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$