21.2 解一元二次方程4种题型典例剖析及变式训练【提优专题+重点题型 】2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程4种题型典例剖析及变式训练 题型一 一元二次方程根的判别式的应用 【典例1】（2023秋•辉县市期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【变式训练】 1．（2023秋•仁寿县校级期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a，b，c是Rt△ABC的三边，试证明关于x的方程（a+c）x2﹣bx（c﹣a）＝0有两个相等的实数根． 题型二 一元二次方程根与系数的关系的应用 【典例2】（2021秋•随州月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值． 【变式训练】 1．（2020秋•城厢区校级期中）在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0中，x1、x2是方程的两个根． （1）若b＝2方程有实数根，求c的取值范围； （2）若m是此方程的一个实数根，c＝1，b﹣m＝2，求x12+x22的值． 2．（2025•黄石模拟）已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，求实数a的值． 3．（2025春•中山区期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ；x1•x2＝ 　 　 ； （2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值； （3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1•x2﹣3，求m的值． 4．（2025•安丘市一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 5．（2025•惠城区模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由． 6．（2025春•南岗区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，x2＝1， ∵， ∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　 　 ． 【题型三】解一元二次方程 【典例3】（2024秋•织金县期末）按要求解下列方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0（配方法）； （2）x2+x﹣1＝0（公式法）． 【典例4】（2025春•中山区期中）解一元二次方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0（公式法）； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）． 【变式训练】 1．（2025春•道里区校级期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x2﹣3x﹣2＝0． 2．（2025春•香坊区校级期中）解方程： （1）x2﹣8x+1＝0； （2）x（x+4）＝2x+8． 3．（2025春•杭州期中）用适当的方法下列方程： （1）x2+6x+4＝0； （2）x（x﹣3）＝2（x﹣3）． 4．（2024秋•定兴县期末）（1）按要求解方程： ①x2﹣2x＝8（公式法）； ②x（x﹣2）＝3（x﹣2）（因式分解法）； （2）以下是某同学解方程x2﹣3x＝﹣2x+6的过程： 解：方程两边因式分解，得x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），（第一步） 方程两边同除以（x﹣3），得x＝﹣2，（第二步） ∴原方程的解为x＝﹣2．（第三步） ①上面的运算过程第　 步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 题型四 配方法的应用 【典例5】（2021秋•沭阳县校级月考）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　 　 ＝　 ．﹣a2+12a＝　 　 ＝　 　 ． （2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由． （3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【变式训练】 1．（2024秋•大丰区期中）操作与实践 【示范操作】法1．苏科教材九上P12配方法解一元二次方程：x2+2x﹣24＝0，变形为x（x+2）＝24，配方的过程转化为图形的“割”、“拼”、“补”，如图1． 得（x+1）2＝24+12 法2．古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为x+2，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图2的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：（x+x+2）2＝4×24+22． 【模仿实践】（1）仿法2配方解x2+5x﹣14＝0，先变形为 　 　 ，如图3，每个小长方形的长为 　 　 ，宽为 　 　 ，利用图形的面积关系得配方后的方程为 　 ，解为 　 ． 【深入探究】（2）仿法2配方解2x2+5x＝3，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性：x2+5x+3＝0，变形为x（x+5）＝﹣3，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：法2中的拼图就是七下：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2模型，于是有了法3，设x＝a，x+5＝b，则有，（a+b）2＝4×（﹣3）+（﹣5）2，（x+x+5）2＝13，配方成功，从数到形，又从形回归到数．（3）请你用小聪的法3配方解x2﹣7x+2＝0，写出解题过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 解一元二次方程4种题型典例剖析及变式训练 题型一 一元二次方程根的判别式的应用 【典例1】（2023秋•辉县市期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长． 【详解】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）xm±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1， 当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13； 当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17； 综上所述，△ABC的周长为13或17． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质． 【变式训练】 1．（2023秋•仁寿县校级期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法解方程得到AB、AC的长为3、4，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形． 【详解】解：（1）∵Δ＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2） ＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）△ABC为直角三角形． 理由如下： 当k＝2时，方程化为x2﹣7x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4， 即AB、AC的长为3、4， ∵32+42＝52， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了判别式和勾股定理的逆定理． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a，b，c是Rt△ABC的三边，试证明关于x的方程（a+c）x2﹣bx（c﹣a）＝0有两个相等的实数根． 【分析】先根据勾股定理得出abc的关系，再求出△的表达式即可得出结论． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是Rt△ABC的三边， ∴a2+b2＝c2． ∵Δ＝（﹣b）2﹣4（a+c）（c﹣a）＝b2﹣c2+a2＝0， ∴关于x的方程（a+c）x2﹣bx（c﹣a）＝0有两个相等的实数根． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式△的关系是解答此题的关键． 题型二 一元二次方程根与系数的关系的应用 【典例2】（2021秋•随州月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x12+x22﹣x1x2＝22，求a的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5，再利用x12+x22﹣x1x2＝22得到4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝4（a﹣1）2﹣4（a2+5）＞0， 解得a＜﹣2， 即a的取值范围为a＜﹣2； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2+5， ∵x12+x22﹣x1x2＝22， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝22， ∴4（a﹣1）2﹣3（a2+5）＝22， 整理得a2﹣8a﹣33＝0， 解得a1＝11，a2＝﹣3， ∵a＜﹣2， ∴a的值为﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【变式训练】 1．（2020秋•城厢区校级期中）在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0中，x1、x2是方程的两个根． （1）若b＝2方程有实数根，求c的取值范围； （2）若m是此方程的一个实数根，c＝1，b﹣m＝2，求x12+x22的值． 【分析】（1）利用根的判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c≥0，然后解不等式即可； （2）先用m表示b得到x2﹣（m+2）x+1＝0，再把x＝m代入得m2﹣m（m+2）+1＝0得m，则方程化为x2x+1＝0，根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2＝1，利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）把b＝2代入方程x2﹣bx+c＝0得：x2﹣2x+c＝0， ∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c≥0， 解得：c≤1， 即c的取值范围是c≤1； （2）∵c＝1，b＝m+2， ∴x2﹣（m+2）x+1＝0， 把x＝m代入得m2﹣m（m+2）+1＝0，解得m， ∴b， ∴方程化为x2x+1＝0， ∴x1+x2，x1x2＝1， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 2．（2025•黄石模拟）已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，求实数a的值． 【分析】（1）求出Δ＝（a+1）2+4＞0即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（a+3），x1•x2＝a+1，结合（x1﹣2）（x2﹣2）＝2得出x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝2，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知：Δ＝（a+3）2﹣4×1×（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0， 故方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意可知：x1+x2＝﹣（a+3），x1•x2＝a+1， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝2， ∴x1•x2﹣2x1﹣2x2+4＝2， ∴x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝2， ∴a+1﹣2[﹣（a+3）]+4＝2， 解得：a＝﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 3．（2025春•中山区期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　6　 ；x1•x2＝ 　﹣15　 ； （2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值； （3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1•x2﹣3，求m的值． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算； （3）先利用根的判别式的意义得到（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，则解得m，再利用根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1，所以2m+1＝m2+1﹣3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝6；x1•x2＝﹣15； 故答案为：6，﹣15； （2）根据根与系数的关系得x1+x22，x1•x2， 所以4； （3）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1， ∵x1+x2＝x1•x2﹣3， ∴2m+1＝m2+1﹣3， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∵m， ∴m的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 4．（2025•安丘市一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再根据两根的差是否为1，即可确定m的值； （2）利用根与系数的关系，再结合邻根方程的定义，通过变形即可求出b、c． 【详解】解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝m， ∵方程是邻根方程， ∴|﹣3﹣m|＝1， ∴﹣3﹣m＝±1， ∴m＝﹣2，或m＝﹣4； （2）在x2+bx+c＝0中， x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴4x1x2＝b2﹣4c＝1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点，是解题的关键． 5．（2025•惠城区模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）设关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0的两个实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关系，可得出x1+x2，x1x2，结合0，可列出关于m的方程，解之可得出m的值，再结合m且m≠0，即可得出不存在． 【详解】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m且m≠0， ∴m的取值范围为m且m≠0； （2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0，理由如下： 设关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2，x1x2， ∴0， 解得：m＝﹣2， 又∵m且m≠0， ∴m＝﹣2不符合题意，舍去， ∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，列出关于m的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合0，找出关于m的方程． 6．（2025春•南岗区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，x2＝1， ∵， ∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　不是　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　2　 ． 【分析】（1）解x2﹣5x+6＝0得：x1＝2，x2＝3，由定义可判断x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”； （2）解x2﹣（m+3）x+3m＝0得方x1＝3，x2＝m，根据x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，得|3﹣m|＝|3m|，解得m或m； （3）设x2+bx+c＝0的另一个根为α，可得﹣1+α＝﹣b，﹣1×α＝c，即b＝1﹣α，c＝﹣α，由x2+bx+c＝0是“差积方程”，有|﹣1﹣α|＝|﹣1×α|，解得α，故b＝1﹣α＝1，c＝﹣α，即可求出b+c2． 【详解】解：（1）解x2﹣5x+6＝0得：x1＝2，x2＝3， ∵|2﹣3|≠|2×3|， ∴x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”； 故答案为：不是； （2）解x2﹣（m+3）x+3m＝0得方x1＝3，x2＝m， ∵x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”， ∴|3﹣m|＝|3m|， 即3﹣m＝3m或3﹣m＝﹣3m， 解得m或m； （3）设x2+bx+c＝0的另一个根为α， ∴﹣1+α＝﹣b，﹣1×α＝c， ∴b＝1﹣α，c＝﹣α， ∵x2+bx+c＝0是“差积方程”， ∴|﹣1﹣α|＝|﹣1×α|， 即﹣1﹣α＝﹣α或﹣1﹣α＝α， 解得α， ∴b＝1﹣α＝1，c＝﹣α， ∴b+c2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及绝对值，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，理解“差积方程”的定义． 【题型三】解一元二次方程 【典例3】（2024秋•织金县期末）按要求解下列方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0（配方法）； （2）x2+x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）把常数项移到右边，得x2﹣2x＝7， 两边都加12，得x2﹣2x+12＝7+12， 即（x﹣1）2＝8， 两边开平方，得， 即或， ∴，； （2）a＝1，b＝1，c＝﹣1． ∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【典例4】（2025春•中山区期中）解一元二次方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0（公式法）； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）． 【分析】（1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1）x2﹣4x﹣7＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7 x2±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025春•道里区校级期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x2﹣3x﹣2＝0． 【分析】（1）利用十字相乘即可得出（x﹣3）（x+1）＝0，进而求出答案； （2）利用十字相乘即可得出（2x+1）（x﹣2）＝0，进而求出答案． 【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2﹣3x﹣2＝0， （2x+1）（x﹣2）＝0， 2x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1，x2＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的计算方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程，难度适中． 2．（2025春•香坊区校级期中）解方程： （1）x2﹣8x+1＝0； （2）x（x+4）＝2x+8． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）∵x2﹣8x+1＝0， ∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15， 则x﹣4＝±， ∴x1＝4，x2＝4； （2）x（x+4）＝2x+8， ∴x（x+4）﹣2（x+4）＝0， ∴（x+4）（x﹣2）＝0， 则x+4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2025春•杭州期中）用适当的方法下列方程： （1）x2+6x+4＝0； （2）x（x﹣3）＝2（x﹣3）． 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）x2+6x+4＝0， 由题意得，a＝1，b＝6，c＝4， 则Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×4＝20， ∴， 即，； （2）x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 可变为（x﹣3）（x﹣2）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝3，x2＝2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键． 4．（2024秋•定兴县期末）（1）按要求解方程： ①x2﹣2x＝8（公式法）； ②x（x﹣2）＝3（x﹣2）（因式分解法）； （2）以下是某同学解方程x2﹣3x＝﹣2x+6的过程： 解：方程两边因式分解，得x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），（第一步） 方程两边同除以（x﹣3），得x＝﹣2，（第二步） ∴原方程的解为x＝﹣2．（第三步） ①上面的运算过程第　二　 步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【分析】（1）①先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解； ②先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）①当x﹣3＝0时，两边除以x﹣3无意义，据此可判断求解； ②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可． 【详解】解：（1）①∵x2﹣2x＝8， ∴x2﹣2x﹣8＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4+32＝36， ∴， 解得：x1＝﹣2，x2＝4； ②原方程整理得x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3； （2）①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ②原方程整理得x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， ∴（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型四 配方法的应用 【典例5】（2021秋•沭阳县校级月考）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　a2﹣4a+4﹣4　 ＝　（a﹣2）2﹣4　 ．﹣a2+12a＝　﹣（a2﹣12a+36）+36　 ＝　﹣（a﹣6）2+36　 ． （2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由． （3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【分析】（1）原式配方即可得到结果； （2）利用非负数的性质确定出结果即可； （3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【详解】解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36； 故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36； （2）存在，理由为： ∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4， ∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4； （3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9， 则x＝3时，S最大值为9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•大丰区期中）操作与实践 【示范操作】法1．苏科教材九上P12配方法解一元二次方程：x2+2x﹣24＝0，变形为x（x+2）＝24，配方的过程转化为图形的“割”、“拼”、“补”，如图1． 得（x+1）2＝24+12 法2．古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为x+2，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图2的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：（x+x+2）2＝4×24+22． 【模仿实践】（1）仿法2配方解x2+5x﹣14＝0，先变形为 　x（x+5）＝14　 ，如图3，每个小长方形的长为 　（x+5）　 ，宽为 　x　 ，利用图形的面积关系得配方后的方程为 　（x+x+5）2＝4×14+52　 ，解为 　x1＝2，x2＝﹣7　 ． 【深入探究】（2）仿法2配方解2x2+5x＝3，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性：x2+5x+3＝0，变形为x（x+5）＝﹣3，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：法2中的拼图就是七下：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2模型，于是有了法3，设x＝a，x+5＝b，则有，（a+b）2＝4×（﹣3）+（﹣5）2，（x+x+5）2＝13，配方成功，从数到形，又从形回归到数．（3）请你用小聪的法3配方解x2﹣7x+2＝0，写出解题过程． 【分析】（1）仿照法2，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为2x（2x+5）＝6，再仿照法2，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为x（x﹣7）＝﹣2，设x＝a，x﹣7＝b，再仿照法3，根据（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意，仿法2配方解x2+5x﹣14＝0，先变形为x（x+5）＝14，如图3，每个小长方形的长为（x+5），宽为x， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为（x+x+5）2＝4×14+52，即（2x+5）2＝81． ∴x1＝2，x2＝﹣7． 故答案为：x（x+5）＝14，（x+5），x，（x+x+5）2＝4×14+52，x1＝2，x2＝﹣7； （2）由题意，先变形为2x（2x+5）＝6，如图，每个小长方形的长为（2x+5），宽为2x， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为（2x+2x+5）2＝4×6+52，即（4x+5）2＝49． ∴x1＝﹣3，x2； （3）由题意，先变形为x（x﹣7）＝﹣2， 设x＝a，x﹣7＝b， ∴． ∴（a+b）2＝4×（﹣2）+72， ∴（x+x﹣7）2＝41． ∴（2x﹣7）2＝41． ∴x1，x2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$