21.1 一元一次方程6种题型典例剖析+变式训练【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元一次方程6种题型典例剖析+变式训练 题型一 判断方程是否是一元二次方程 【典例1】（2025春•太湖县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A． ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； C． （x﹣1）（x+2）＝1，整理可得x2+x﹣3＝0，是一元二次方程，符合题意； D．x2﹣2xy﹣y2＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 【变式训练】 1．（2025春•大连期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x+6＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．xy＝3 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含未知数的项的次数是2，是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程． 2．（2024秋•仁寿县校级期末）方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④中，属于一元二次方程的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①式子不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②式子中有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③式子是一元二次方程，符合题意； ④式子是一元二次方程，符合题意． 综上③和④是一元二次方程． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 3．（2025春•张店区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．x2+y2＝7 C．ax2+bx+c＝0 D．x2＝0 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程ax2+bx+c＝0中，当a＝0时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型二 根据一元二次方程的定义求值 【典例2】2024秋•织金县期末）若xm+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为　2　 ． 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此可得答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练】 1．（2024秋•银川期中）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0，是关于x的一元二次方程，则m的值为 　4　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（2018秋•金山区期中）当m　≠1　 时，关于x的方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程． 【分析】原方程可整理得：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0，根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得： （m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0， ∵原方程是一元二次方程， ∴m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故答案为：≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2024春•香坊区校级期中）若（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得到|m|＝2，m﹣2≠0，由此可以求得m的值． 【详解】解：∵（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2024秋•偃师市期中）若关于x的方程（m﹣2）x2x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　m≥0且m≠2　 ． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得m﹣2≠0，且m≥0， 所以m≥0且m≠2， 故答案为：m≥0且m≠2． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 题型三 把一元二次方程化为一般形式 【典例3】（2024秋•喀什地区期末）将方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是 　3x2﹣8x﹣10＝0　 ，其中二次项系数是 　3　 ，一次项系数是 　﹣8　 ，常数项是 　﹣10　 ． 【分析】把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是3x2﹣8x﹣10＝0，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣8，常数项是﹣10， 故答案为：3x2﹣8x﹣10＝0；3；﹣8；﹣10． 【点睛】本题考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025春•西湖区校级月考）把方程（2x+3）2﹣3x＝1化成一般形式为 　4x2+9x+8＝0　 ． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：（2x+3）2﹣3x＝1， 4x2+12x+9﹣3x﹣1＝0， 4x2+9x+8＝0， 故答案为：4x2+9x+8＝0． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 2．（2025春•东湖区校级月考）对于一元二次方程﹣x＝﹣2x2+1，若二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可． 【详解】解：﹣x＝﹣2x2+1， 2x2﹣x﹣1＝0， 即对于一元二次方程﹣x＝﹣2x2+1，若二次项系数为2，则一次项系数为﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 3．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，由此列关系式计算即可． 【详解】解：由题意，得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0，这是在做题过程中容易忽视的知识点，还考查了解一元二次方程． 4．（2024秋•金沙县期末）将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 题型四 根据实际问题列一元二次方程 【典例4】（2025秋•平江县期末）工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为x cm，可列得方程为 　（120+4x）（40+2x）＝7000　 ． 【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设上面留白部分的宽度为x cm，则左右空白部分为2x，可列得方程为： （120+4x）（40+2x）＝7000． 故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出变化后的长与宽是解题关键． 【变式训练】 1．（2021秋•淇县期末）你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2 B．x+2x C．（1+x）2 D．1+2x 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设某天跌停前的价格为a元， a（1﹣10%）（1+x）2＝a， 则， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 题型五 已知方程的根，求一元二次方程的未知系数 【典例5】（2024秋•织金县期末）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得1+m﹣2＝0，解出m的值即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1， ∴1+m﹣2＝0， 解得：m＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2025春•鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 【分析】由题意易得关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0的解为x＝1或x＝m，那么a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m，将其代入a（x﹣n）2＝b中即可求得答案． 【详解】解：已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣m＝0， 那么x＝1或x＝m， ∵关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解， ∴a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m， ∴a（1﹣n）2＝b，a（m﹣n）2＝b， 则（1﹣n）2＝（m﹣n）2， 那么m﹣n＝n﹣1或m﹣n＝1﹣n， 则m﹣2n＝﹣1或m＝1， 当m＝1时，n＝1，满足m﹣2n＝﹣1， 综上，m﹣2n＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 2．（2024秋•内江期末）若一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 【分析】由一元二次方程根的定义可得k2﹣4＝0，即得k＝±2，再根据k﹣2≠0即可求解． 【详解】解：由条件可知k2﹣4＝0， ∴k＝±2， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】x＝2025代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20252a+2025b+c＝0，两边同时除以20252可确定所求方程的一个根． 【详解】解：由条件可得20252a+2025b+c＝0， 两边除以20252，得， ∴， ∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 题型六 已知方程的根，求代数式的值（整体代入思想） 【典例6】已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则a3﹣2023a2　﹣2023　 ． 【分析】把方程的解代入方程得关于a的等式，再利用等式的基本性质变形等式，最后利用整体代入的思想方法代入要求值的代数式． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2023a+1＝0，即a2+1＝2023a或a3﹣2023a2+a＝0． ∴a3﹣2023a2 ＝﹣a ＝﹣a ＝﹣2023． 故答案为：﹣2023． 【点睛】本题考查了方程的解、代数式的求值，掌握方程变形、等式的性质及整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2022春•鄞州区校级期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为 　0　 ． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+2022，再用m表示m3得到m3＝2029m﹣6060，然后利用整体代入的方法计算m3+2m2﹣2025m+2022的值． 【详解】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根， ∴m2+3m﹣2022＝0， ∴m2＝﹣3m+2022， ∴m3＝m（﹣3m+2022）＝﹣3m2+2022m＝﹣3（﹣3m+2022）+2022m＝2031m﹣6066， ∴m3+2m2﹣2025m+2022＝2031m﹣6066+2（﹣3m+2022）﹣2025m+2022＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算． 2．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为 　2020　 ． 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到2m2﹣3m＝1，再把2023﹣6m2+9m变形为2023﹣3（2m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴2023﹣6m2+9m＝2023﹣3（2m2﹣3m）＝2023﹣3×1＝2020． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元一次方程6种题型典例剖析+变式训练 题型一 判断方程是否是一元二次方程 【典例1】（2025春•太湖县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 【变式训练】 1．（2025春•大连期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x+6＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．xy＝3 2．（2024秋•仁寿县校级期末）方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④中，属于一元二次方程的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 3．（2025春•张店区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．x2+y2＝7 C．ax2+bx+c＝0 D．x2＝0 题型二 根据一元二次方程的定义求值 【典例2】2024秋•织金县期末）若xm+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 ． 【变式训练】 1．（2024秋•银川期中）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0，是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 ． 2．（2018秋•金山区期中）当m　 时，关于x的方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程． 3．（2024春•香坊区校级期中）若（m﹣2）x|m|+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 4．（2024秋•偃师市期中）若关于x的方程（m﹣2）x2x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　 　 ． 题型三 把一元二次方程化为一般形式 【典例3】（2024秋•喀什地区期末）将方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是 　 　 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 　 　 ，常数项是 　 　 ． 【变式训练】 1．（2025春•西湖区校级月考）把方程（2x+3）2﹣3x＝1化成一般形式为 　 ． 2．（2025春•东湖区校级月考）对于一元二次方程﹣x＝﹣2x2+1，若二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 3．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 4．（2024秋•金沙县期末）将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 题型四 根据实际问题列一元二次方程 【典例4】（2025秋•平江县期末）工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为x cm，可列得方程为 　 ． 【变式训练】 1．（2021秋•淇县期末）你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2 B．x+2x C．（1+x）2 D．1+2x 题型五 已知方程的根，求一元二次方程的未知系数 【典例5】（2024秋•织金县期末）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【变式训练】 1．（2025春•鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 2．（2024秋•内江期末）若一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 3．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 题型六 已知方程的根，求代数式的值（整体代入思想） 【典例6】已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则a3﹣2023a2　 　 ． 【变式训练】 1．（2022春•鄞州区校级期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为 　 　 ． 2．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$