第一章《三角形的证明》单元复习题 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学八年级下册 第一章《三角形的证明》 单元复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．5，12，13 C．1.5，2，3 D．，，3 2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三内角之比为5：12：13 B．三边长之比为3：4：5 C．三内角之比为1：2：3 D．三边长为 3．若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（　　） A．13 B．13或17 C．10 D．17 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ABE的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 5．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，，点O是AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OA，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，则BE的长为（　　） A．8 B． C． D． 9．如图，直线a∥b，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若∠CBD＝20°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．等腰三角形的腰长为5，另一边长为9，则它的周长为　 　 ． 12．如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝　 　 ． 13．在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，分别交BC于E，G两点，连接AE，AG，若BC＝8，则△AEG的周长为　 　 ． 14．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，AD＝CD，E为AC上任意一点，∠B＝∠BDC，若DE最小值为2时，则DC的长为 　 　 ． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，且AD＝5，，求DE的长． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 20．请阅读下列材料，并完成相应的任务．利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点A（x1，y1），B（x2，y2），那么，即两点间的距离AB，例如：若点A（2，1），B（3，4），则． （1）若点C（﹣2，3），D（﹣1，1），则CD＝　 　 ； （2）在（1）的条件下，已知点E（3，3），判断△CDE的形状，并说明理由． 21．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长． 22．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G． （1）求证：CE＝FG． （2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积． 23．通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 　 　 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？　 　 （填写“是”或“不是”） （3）在Rt△ABC，三边长分别为a，b，c，且a2＝35，c2＝70，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 24．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BD，AO＝CO，E为AD边上一点，且BE＝BA，∠ABD＝2∠ADB＝2α． （1）求证：BE＝BC； （2）求∠CBE的度数（用含α的代数式表示）； （3）若AC＝2，DE＝2，求OD的长． 25．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C A C B C D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．19． 12．45°． 13．在8． 14．4． 15．3． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：当5是腰长时，底边为16﹣5×2＝6， ∵5+5＞6， ∴能组成三角形， 当5是底边时，腰长为， ∵5+5.5＞5.5， ∴能够组成三角形， 综上，等腰三角形的腰和底边的长分别为5，6或5.5，5． 17．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∵， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴△ABD的面积， ∴． 18．证明：如图，连接AE， ∵AC的垂直平分线交DC于点E， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝CE， ∵CD＝DE+CE， ∴AB+BD＝DC． 19．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 20．解：（1）根据题意可得：CD， 故答案为：； （2）△CDE是直角三角形，理由如下： CE5，DE2， ∴CD2+DE2＝CE2， ∴△CDE是直角三角形． 21．（1）证明：连接BD， ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AD＝BD， ∵CB2＝AD2﹣CD2， ∴CB2＝BD2﹣CD2， ∴CB2+CD2＝BD2， ∴∠C＝90°； （2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x， 在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2， ∴（4﹣x）2﹣x2＝32， 解得：x， ∴CD的长为． 22．（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，FG⊥AB， ∴FC＝FG，∠CAF＝∠DAE∠BAC， ∠CAF+∠CFA＝90°，∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠AFC， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠AFC， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG． （2）解：∵CE＝4， ∴FG＝CF＝CE＝4， ∵AC＝12，AB＝15， ∴， 所以△ABC的面积为54． 23．解：（1）是，理由如下： 不妨设等边三角形△ABC 的边长为a，则AB＝AC＝BC＝a， 则AB2+AC2＝2a2＝2BC2， 所以等边三角形是和谐三角形， 故答案为：是； （2）该三角形是和谐三角形． 理由：∵， ∴该三角形是和谐三角形． 故答案为：是； （3）①当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝70﹣35＝35， 而a2＝35，b2＝35，c2＝70，不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍， ∴该三角形不是和谐三角形． ②当b为斜边时，b2＝a2+c2＝35+70＝105， ∵35+105＝2×70， ∴a2+b2＝2c2 ∴该三角形是和谐三角形， 答：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形；当b为斜边时，该三角形是和谐三角形． 24．（1）证明：∵AC⊥BD，AO＝CO， ∴BD垂直平分线段AC， ∴AB＝BC， 又∵AB＝BE， ∴BE＝BC； （2）解：∵BD垂直平分线段AC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ABD＝2∠ADB＝2α， ∴∠CBD＝∠ABD＝2α，∠ADB＝α， ∴∠BAO＝90°﹣2α，∠OAD＝90°﹣α， ∴∠AEB＝∠BAE＝180°﹣3α， ∴∠ABE＝180°﹣2（180°﹣3α）＝6α﹣180°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝4α﹣（6α﹣180°）＝180°﹣2α； （3）解：如图，连接CE、过点C作CF⊥AD于点F， ∵BD垂直平分线段AC， ∴CD＝AD，∠CDA＝2α， 设AE＝x，则CD＝AD＝x+2， ∵CB＝BE，∠CBE＝180°﹣2α， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠CED＝180°﹣（180°﹣3α+α）＝2α＝∠CDA， ∴CE＝CD， 又∵CF⊥DE， ∴DF＝EF＝1， ∴AF＝x+1， ∵AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2， ∴（2）2﹣（x+1）2＝（x+2）2﹣12， 解得：x1＝2，x2＝﹣5（舍去）， ∴AE＝2， ∴AD＝4， 又∵OAAC， ∴OD． 25．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$