专题07 解二元一次方程组2大类型-2024-2025学年人教版七年级数学下册【高分必刷】专练

【同步高分必练】专题07 解二元一次方程组（原卷版） （二大类型精选50题） 类型一：代入消元及加减消元法应用 类型二：换元法解二元一次方程组 类型一：代入消元及加减消元法应用 1．用适当的方法解下列方程组： (1)；(2)． 2．解下列方程组： (1)；(2)． 3．（1）用代入法解方程组 （2）用加减法解方程组 4．解方程组： (1)； (2)． 5．解下列方程组 (1) (2) 6．解方程组： (1) (2)． 7．解方程组： (1) (2) 8．用适当的方法解方程组． (1) (2) 9．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 10．解下列方程组： (1)； (2)． 11．解方程组： (1)； (2)． 12．解方程组∶ (1) (2) 13．解下列方程组： (1) (2) 14．解下列方程组： (1) (2) 15．解方程组 (1) (2) 16．解下列方程组： (1) (2) 17．解方程组： (1) (2) 18．解下列方程组 (1)； (2) 19．解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 20．解下面各题： (1)解方程组； (2)用代入法解方程组： 21．解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 22．解下列方程组 (1)； (2)． 23．解方程或方程组 (1)； (2)． (3)． (4)． 24．用适当的方法解方程组： (1) (2) 25．解下列方程组： (1) (2) 26．解下列方程组． (1) (2) 27．解下列方程组： (1) (2) (3) 28．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 29．解下列方程组： (1)； (2) 30．解下列方程组： (1) (2) 类型二：换元法解二元一次方程组 31．【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 32．解下列方程组： (1) (2) (3)已知的解为，则关于的方程的解为___________． 33．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 34．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 35．已知方程组的解是求方程组的解． 36．解方程组： (1)； (2)． 37．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 38．（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 40．解下列方程组： (1)； (2) 41．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 42．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 43．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 44．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 45．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 46．问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 47．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 48．教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 49．阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 50．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【同步高分必练】专题07 解二元一次方程组（解析版） （二大类型精选50题） 1．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， ∴方程组的解为：； （2）解：, ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 2．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 3．（1）用代入法解方程组 （2）用加减法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题关键． （1）利用代入消元法解出方程； （2）利用加减消元法解出方程． 【详解】解：（1） 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， 所以这个方程组的解是； （2） ①得③， ②得④， ③+④得， 解得， 把代入①得， 所以这个方程组的解是． 4．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是； （2）解：原方程组可化为， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是． 5．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 6．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组． （1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 7．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求解即可 （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 将③代入②得：，即， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： ②①得： 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为 8．用适当的方法解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 9．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； （2）解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 10．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①得：③， 把③代入②得：， 解得： 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴； （2）， ，得 ， ∴， ∴把代入①，得 ， ∴， ∴． 12．解方程组∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 13．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 14．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 15．解方程组 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，解方程组时，消元法是关键，同时需验证解的正确性． （1）通过观察方程组的系数特点，直接加减消元可快速求解； （2）需先化简方程，整理为标准形式后再消元进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程①与方程②相加，可得，解得：， 将代入方程①：，解得：， 该二元一次方程组的解为； （2）解： 方程①：展开并整理得：③， 方程②：展开并整理得：④， 将方程③与方程④相加，可得：，解得：， 将代入方程③：，解得：， 该二元一次方程组的解为． 16．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）使用代入消元法，将代入第二个方程求解． （2）用加减消元法消去，直接求出的值． 【详解】（1）解： 将①代入②，得： 解得： 将代入①，得： 原方程组的解为． （2）解： ①②得： ，解得 将代入①，得： 解得 原方程组的解为． 18．解下列方程组 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 将代入中，得：， 解得：， 将代入中，得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19．解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键． （1）先将①变形，然后利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴， ∴， ∴， 把代入①得：， ， 原方程组的解是． 20．解下面各题： (1)解方程组； (2)用代入法解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）由②得，再把③代入①中求出x的值，进而求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由②得， 把③代入①得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 21．解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 所以原方程组的解为． 22．解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先将方程①化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2）解：， 化简，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 23．解方程或方程组 (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； （1）根据解一元一次方程的步骤，求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，求解即可； （3）利用代入消元法求解即可； （4）利用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 由得： 将代入，得：， 解得：， 将代入，得； 故这个方程组的解为：； （4）解：原方程可化为， 得：， 解得：， 将代入，可得：， 解得； 故方程组的解为：； 24．用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原方程组整理为，再运用代入法求解即可； （2）将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：方程组整理为 把①代入②得， 解得，； 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理为 ，得：， 解得，； 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 25．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法结合代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： ，得：③ ，得： 解得：， 将代入①得： 解得：， 所以原方程组的解是． （2）解： 整理①，得： 将②代入③，得： 解得：④ 将④代入③，得： 解得：⑤ ，得： 解得：， 将代入⑤，得： 所以原方程组的解是 26．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键； （1）利用代入消元法，求解即可； （2）利用加减消元法，求解即可； 【详解】（1）解： 由可得： 将代入可得：， 解得：， 将代入，可得， 故该方程组的解为： （2）解：， 得：， 将代入得：； 故该方程组的解为：； 27．解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为： ，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3） ，得：； ，得：； ，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； 把，代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 28．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键． （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可； （3）利用加减法解方程组即可； （4）利用加减法解方程组即可； （5）利用加减法解方程组即可； （6）利用加减法得到二元一次方程组，解得，，再求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，， 解得 把代入①得到， ∴ （2）解： 由①得，③ 把③代入②得，， 解得 把代入③得到， ∴ （3） ②－①得，， 解得 把代入①得，， 解得 ∴ （4） ①×③－②得，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ （5） ①－②得， ∴ ∴③ 把③代入①得，， 解得 把代入③得，， ∴ （6） ①－②得，④ ②＋③得，⑤ 得到， 把代入④得， 解得， 把，代入②得，， 解得 ∴ 29．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 30．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法是解本题的关键； （1）由先求解，再求解即可； （2）把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可. 【详解】（1）解： ， ，得， 即， 把代入①，得， 则方程组的解为． （2）解：， ，得， 去分母，得． 去括号，合并同类项，得． ②去括号，得． 合并同类项，得． 联立方程组，得， ③④得：， 解得， 把代入③得：， 解得， ∴方程组的解为． 31．【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可． 【详解】解：， 由可得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为． 32．解下列方程组： (1) (2) (3)已知的解为，则关于的方程的解为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组． （1）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （3）把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： ①代入②得， 解得： 将代入①得， 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组可化为： ①②得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （3）解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴，解得：； 故答案为：． 33．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 34．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 35．已知方程组的解是求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 36．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法和换元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）先设，，求出m，n，再利用m，n的值建立二元一次方程组，再求解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③， 将③代入①得：， 解得： 将代入③得：， 所以原方程组的解为； （2）解：设，，则 原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：； ， 两式相加得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为． 37．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 38．（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）①利用加减消元法解方程组即可； ②令，则原方程组可化为，根据前面所求可得，据此可得答案． 【详解】解：（1） 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）① 得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； ②令，则原方程组可化为， ∴由（2）①得方程组的解为， ∴， ∴， ∴方程组的解是． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 40．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想和加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：，得③， ，得， ④， 将④代入③，得， ⑤， ，得， 解得, 将代入⑤，得， 解得， ∴方程组的解为． 41．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． （）根据题意，利用例题方法求解即可； （）根据题意，利用例题方法求解即可得． 【详解】（1）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 42．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 43．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 44．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 45．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________； (2)若方程组的解是，求方程组的解． (3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的意义，并用整体思想解题是关键． （1）利用整体思想得到关于的方程，进而即可求解； （2）把，分别看成一个整体，设， ，即可解题； （3）把代入方程，依次求出m、n，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 故答案为：； （2）解；原方程组可化为： ， 令，则， 解得：； （3）解：去分母得：， 把代入，得， 恒成立， ， 即， ． 46．问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)150 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： 得，． 故答案为：2 （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 47．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组．理解题目中阅读材料：代入法解一元二次方程是解题的关键． （1）由题意，得，解得∶ 即可． （2）先将原方程变形为，再设， ，得到，解得：，则有，银之即可． （3）先将方程组，变形为 则，解之即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得∶ ， 故答案为：． （2）解：变形，得， 设， ， 则， 解得： ∴ 解得∶ ． ∴原方程组的解为． （3）解：先将方程组，变形为 ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴． ∴关于m，n的方程组的解为：． 48．教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【答案】 【分析】利用换元法解方程组即可． 【详解】解：令，， 原方程组可化为：， 得，，即， 得，，即， ∴ 原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键． 49．阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：，； （2） 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 50．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据题意由①得到③，再把③代入②得到，据此求出，再把代入①求出x即可得到答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②得：，即，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$