专题08 解二元一次方程组应用及参数问题4大类型-2024-2025学年七年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

【同步高分必练】 专题08 解二元一次方程组应用及参数问题（原卷版） （四大类型精选40题） 类型一：同解问题 类型二：错解问题 类型三：二元一次方程方程参数问题 类型四：新定义及构造二元一次方程组问题 类型一：同解问题 1．已知关于的方程组与同解，求的值． 2．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 3．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 4．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 5．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 6．如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 7．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 8．已知关于、的方程组和的解相同，求的值． 9．关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 10．若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 类型二：错解问题 11．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 12．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 13．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为乙把字母b看错了得到方程组的解为 (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 14．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 15．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得．求的值． 16．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 17．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 18．甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 19．甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值． 20．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解. 类型三：二元一次方程方程参数问题 21．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 22．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 23．已知二元一次方程， (1)请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解； (2)如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值． 24．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 25．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 26．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 28．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 29．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）当m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？ 类型四：新定义及构造二元一次方程组问题 31．当m，n．都是实数，且满足时，称为巧妙点． (1)若是巧妙点，则_____； (2)判断点是否为巧妙点，并说明理由； (3)已知关于x，y的方程组且为正整数，若以方程组的解为坐标的点是巧妙点，求的坐标． 32．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 33．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 34．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 35．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值． 36．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 37．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 38．【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．请你运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么______；______； (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 39．对于任意实数约定关于的一种运算如下：．例如：． (1)若满足，求的取值范围； (2)若，且，求的值． 40．已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【同步高分必练】 专题08 解二元一次方程组应用及参数问题（解析版） （四大类型精选40题） 1．已知关于的方程组与同解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：根据题意，四个方程同时成立，所以有方程组 解得， 代入其余两个方程，得 解得． 2．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组．根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 3．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的解的问题，解决本题的关键是整体思想的运用．首先把可得：，再根据，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ． 4．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先求出方程组的解，再把代入得出，求出、的值，最后把、的值代入(     即可得解． 【详解】解：关于，的方程组和有相同解， 解方程组解得：， 把代入得：， 解得：， ． 5．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 6．如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入原两个方程组即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴x，y满足， 由①得③， 将③代入②得， ∴， 将代入方程组与可得到， 由得， ∴， ∴． 7．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 8．已知关于、的方程组和的解相同，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两解方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，求出，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， 解得 ∴． 9．关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查同解方程组和解二元一次方程组，根据题意可知x、y一定满足方程组，解方程组得到，，则，据此解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x， y的方程组 与 有相同的解， ∴x、y一定满足方程组， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 得：，解得， 把代入④得：，解得． 10．若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解， （1）根据题意联立，解方程组即可； （2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可； 掌握同解方程组的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得：， 整理得：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 11．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，； （2）解：把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 12．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 13．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为乙把字母b看错了得到方程组的解为 (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减消元法是解题的关键． （1）由题意将代入，将代入，分别求解、即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得， ， 将代入， 得， ； （2）解：由（1）得原方程组为， ，得， 解得， 将代入①得，， 解得， 原方程组的解为． 14．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 15．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得．求的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组，涉及二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，甲看错了方程①、看对了②；乙看错了方程②、看对了①，将方程组的解代入看对的方程求解即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解是解决问题的关键． 【详解】解：甲看错了方程①中的，解得， 甲看对了方程②，则将代入②得，解得； 乙看错了方程②中的，解得， 乙看对了方程①，则将代入①得，解得； 综上所述，，． 16．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 17．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 18．甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的 的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得： ， 解得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 19．甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【分析】根据是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据是方程组的解，把解代入，可得方程组，解方程组，可得答案． 【详解】解：把代入方程，把代入方程组，得 ， 得 得， 把代入得， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入消元法，得出答案． 20．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解. 【答案】． 【分析】根据题意，用代入法列出方程即可解出答案． 【详解】因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解为， 应满足无a的正确的方程②，即4×（-3）-b×（-1）=-2．③ 同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4=13．④ 解由③，④联立的方程组得：， ∴原方程组应为：， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键掌握用代入法求解方程． 21．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先求得m表示的方程组的解，再代换成不等式组中解不等式组即可． （2）根据不等式的解集，化简解答即可． 本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，绝对值的化简，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 又为非正数，为负数． 故， 解①得，解②得， 故． （2）解：当时， ． 22．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 23．已知二元一次方程， (1)请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解； (2)如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）将x看作已知数，求得，再求得所有正整数解即可； （2）先联立得，利用加减消元法求得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 整理得， 此方程的正整数解为：，； （2）解：由题意得：， 把①代入②得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 所以方程组的解是， 把代入：，得， ∴． 24．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，再把，代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 将代入，得 解得， ∴当时，方程组的解满足． 25．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 26．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)B (3)，0， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． （1）根据二元一次方程的解得定义求出即可； （2）根据题意得出或3或2或1，求出即可； （3）先求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程的正整数解为， 故答案为：； （2）解：∵为自然数， ∴或3或2或1， ∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个， 故选：B； （3）解：， 得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ，2，4，8， ，2，0，， 但时，不是正整数，故，0，． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的解法，先求出方程组的解为代入得出，求出m，n代入整理得，然后根据均为正整数讨论可得答案． 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 28．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 29．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或2 【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可； （3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可． 【详解】（1）解：方程 的所有正整数解为：或； （2）解：， ，即， 将③代入①得，，， 将，代入②得，； （3）解；， 由得：，得， 将代入①得，， ∵方程组有正整数解，则或或， 或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，m的值为或2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）当m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？ 【答案】 【详解】分析：把m作为已知数，利用加减消元法，用关于m的代数式表示x，y，再由整除性求得m的整数值． 答案：解方程组，得因为x是整数，所以取8的约数，有．因为y是整数，所以取2的约数，有．取它们的公共部分，得或，所以．经检验，当时，原方程组的解x和y都是整数． 31．当m，n．都是实数，且满足时，称为巧妙点． (1)若是巧妙点，则_____； (2)判断点是否为巧妙点，并说明理由； (3)已知关于x，y的方程组且为正整数，若以方程组的解为坐标的点是巧妙点，求的坐标． 【答案】(1)5 (2)不是巧妙点，理由见解析 (3)或或． 【分析】本题考查了新定义问题，解题关键是准确理解新定义，熟练运用二元一次方程组求解． （1）根据巧妙点的定义代入求解即可； （2）根据巧妙点的定义判定即可； （3）先解方程组，再代入求解即可． 【详解】（1）解：是巧妙点，则，解得， 故答案为：5． （2）解：不是巧妙点； ∵， ∴不是巧妙点． （3）解：解方程组得，， 点是巧妙点，则，化简得， ∵为正整数， ∴，，， 则点C的坐标为或或． 32．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． （2）解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 33．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 34．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值． （2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答． 【详解】（1）将时，； 时，分别代入得： 解得：， （2）由（1）得， 将代入得： ． 35．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得 ①②，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 即， ，． 36．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 37．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 38．【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．请你运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么______；______； (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题考查了实数的运算，还涉及到二元一次方程组． （1）a，b是有理数，则，都是有理数，根据如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．即可确定； （2）首先把已知的式子化成的形式，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ，， 解得：，， 故答案为：2，； （2）整理，得， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 39．对于任意实数约定关于的一种运算如下：．例如：． (1)若满足，求的取值范围； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据新运算，得到，解不等式，即可求解， （2）根据新运算，得到，，解二元一次方程组，代入，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：， （2）解：，， ， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 40．已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$