初中数学几何模型研究大讲堂 专题十二 “高+角平分线”模型2024-2025学年北师大版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十二：高+角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高线、角平分线。 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“高+角平分线”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义，三角形的高 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度适中，考法多样，学生在不了解该模型的情况下还是能够不用模型结论推出答案，但该模型还是要了解结论以快速做题,避免将过多时间花到中档题上. 证明过程：可参考第2题. PART 5——模型解析. 1.（2025·重庆西附月考）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， ∵为边上的高， ， ， ， 故选：C． 2.（2021·河南南阳期末）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； 解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）） ∵，（已知） （ ） ∴（等式的性质） （等量代换） ∵平分（ ） ∴ = （角平分线的定义） ∴ =35°+ = （ ） ∵（已知） ∴（ ） 在直角三角形中， ∵（ ） ∴（等式的性质） （等量代换） ． （2） 当点在线段上运动时，设，，求的大小．（用含，的代数式表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由） 【答案】（1）180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；（2） 【分析】（1）根据题中所给推理过程可直接进行求解； （2）由题意易得，，则有，，然后根据余角可进行求解． 【详解】解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）） ∵，（已知） 180°（三角形的内角和等于180°） ∴（等式的性质） （等量代换） ∵平分（已知） ∴×60°=30°（角平分线的定义） ∴=35°+30°=65°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∵（已知） ∴（垂直的定义） 在直角三角形中， ∵（直角三角形的两个锐角互余） ∴（等式的性质） 65°（等量代换） 25°． 故答案为180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°； （2）解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中， ∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 3.（2024·辽宁抚顺期中） （1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交的延长线于点E，求的度数． 【答案】（1）180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；（2） 【分析】（1）根据题中所给推理过程可直接进行求解； （2）由题意易得，，则有，，然后根据余角可进行求解． 【详解】解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）） ∵，（已知） 180°（三角形的内角和等于180°） ∴（等式的性质） （等量代换） ∵平分（已知） ∴×60°=30°（角平分线的定义） ∴=35°+30°=65°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∵（已知） ∴（垂直的定义） 在直角三角形中， ∵（直角三角形的两个锐角互余） ∴（等式的性质） 65°（等量代换） 25°． 故答案为180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°； （2）解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中， ∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 4.（2024·重庆八中入学）如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当∠ADF＝69°，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形高的定义，角平分线的定义和三角形内角和定理．根据，，得出，，则，进而根据角平分线的定义得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为的高线 ∴， 又，，， ∴，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在中，， 故选：A． 5.（2024·山西大同校级月考）对于题目：如图，是的角平分线，于点，若，求的度数．下面是打乱了的解题过程：①∵；②；③∵平分，∴；④∵，，则下列排序正确的是（  ）． A． ③④②① B．④②①③ C．③②④① D．③①④② 【答案】A 【分析】根据角平分线、直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解． 6.（2022·山东德州校级月考）如图，在中，，，是边上的高线，平分，则的度数为 ． 【答案】40° 【分析】根据可知，求出，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，是边上高线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、和高等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 7.（2023·河南驻马店校级月考）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点．若，，则的度数为 ． 【答案】25° 【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，进而得出∠ADC的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可． 【详解】解：∵∠B=35°，∠ACB=85°， ∴∠BAC=60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=30°， ∴∠ADC=35°+30°=65°， ∵∠EPD=90°， ∴∠E的度数为：90°65°=25°． 故答案为：25°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD度数是解题关键． 8.（原创）如图，在中，BE平分∠ABC，作ED⊥BE交AC的延长线于点D，F为BE上一点，作FG⊥AD，若∠BFG=160°，∠BCD=150°，则∠A=（ ）. A.60° B.70° C.65° D.75° 【答案】A 【分析】根据角平分线、直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵FG⊥AD， ∴∠DGF=90°， ∵∠BCD=150°， ∴∠ACB=30°， ∵∠BFG=160°， ∴∠EFG=20°， ∴， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠CBE=80°， ∴. 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解． 9.（2024·北京海淀校级期中）如图，在中，，分别是在的高线和角平分线，于点，交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的有（    ） A． ①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】由等角的余角相等可判断①正确；由三角形的外角性质以及角平分线的定义得到，再由等角的余角相等得到，可判断②正确；证明，推出，得到，可判断③不正确；由三角形的外角性质得到，，据此即可判断④正确． 【详解】解：由题意得，， ，故①正确； 是在的角平分线， ， ， 又， ， ，故②正确； 是在的角平分线，， ， ， ，则， ，故③不正确； ， ，， ， ，故④正确， 综上，①②④正确； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，正确识别图形，理清角之间的和差关系是解决问题的关键． 10.（2025·辽宁阜新校级期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解：， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 11.（2024·安徽寿春中学期中）如图，在中，，，是的角平分线， (1)是边上的高线，请画出图形； (2)在（1）条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作直线的垂线，与的交点为E，连接，则即为所作的高； （2）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出．又可求出，结合是边上的高线，即得出，从而可由求解． 【详解】（1）如图，线段即为所作． （2）由三角形内角和定理可知． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—画三角形的高，三角形内角和定理，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键． 12.（2024·重庆八中期末）（多选）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，．下列结论：其中正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等角的余角相等可判断①正确；由三角形的外角性质以及角平分线的定义得到，再由等角的余角相等得到，可判断②正确；证明，推出，得到，可判断③不正确；由三角形的外角性质得到，，据此即可判断④正确． 【详解】解：由题意得，， ，故①正确； 是在的角平分线， ， ， 又， ， ，故②正确； 是在的角平分线，， ， ， ，则， ，故③不正确； ， ，， ， ，故④正确， 综上，①②④正确； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，正确识别图形，理清角之间的和差关系是解决问题的关键． 13.（2024·四川泸州校级月考）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高． （1）先利用为边上的高得到，再根据是的角平分线，得到，最后利用外角求； （2）先根据尺规作图作出图形，再根据角平分线得到，，最后根据求解即可； （3）作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，，，再证明，从而得到，接着证明得到，所以，得到． 【详解】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，在线段上作一点，使平分， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，连接交于点，过点作于点，于点， 平分，，， ， ∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 14.（2025·江西景德镇期末）已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若，． ①如图1，当点F与点A重合时，______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2) 设，，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x，y的式子表示） 52．【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，三角形外角和的性质，直角三角形的性质等知识的综合，掌握与角平分线有关的内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）①根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，由即可求解； ②类比上述证明方法可得，，由三角形的外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）类比上述证明方法可得，根据角平分线的定义可得，由三角形外角和的性质可得，再根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：①在中，，， ∴， ∵点F与点A重合， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 故答案为：； ②在中，，， ， ， 平分， ， 是的外角，且， ， ， 于点D， 在中，，， ； （2）解：，且，， ， 平分， ， ， 于点D， 在中，，， ． 15.（2024·福建泉州校级期中）在中，，AE平分，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且于点D． (1)如图1，如果点F在线段AE上，且，，则_______°； (2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分和的外角，连接PA，过点P作交BC延长线于点G，交BA的延长线于点H，若，且，请直接写出与的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）先求出，进而得到，，根据得到，即可求出； （2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，据此即可得到答案； （3）根据得到，得到，从而求出，进而求出，结合，得到．根据，得到， 求出．从而分别求出，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：补图如下： ，理由如下： 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵、分别平分和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，垂线定义，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键． 【变式1】（2023·重庆育才定时改编）如图，在中，点D在延长线上，，分别平分，，，垂足为F．若，则（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·安徽滁州校级期中）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【答案】（1） (2) 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2025·江西吉安校联考月考）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】（2025·福建龙岩期末）如图，在中，平分，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高等知识，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三角形的高的定义和三角形内角和定理可求出的度数，根据三角形角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式5】（原创）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠C=40°，∠ABC=110°，求∠AEB的度数. 【答案】105° 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高等知识，先求出∠BAC，再由角平分线得到∠AEB即可. ∵∠C=40°，∠ABC=110°. ∴∠CAB=30°， ∵AE平分∠BAC. ∴∠DAE=15°. ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°. ∵∠AEB是△ADE的外角. ∴∠AEB=105°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十二：高+角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高线、角平分线。 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“高+角平分线”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义，三角形的高 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度适中，考法多样，学生在不了解该模型的情况下还是能够不用模型结论推出答案，但该模型还是要了解结论以快速做题,避免将过多时间花到中档题上. 证明过程：可参考第2题. PART 3——模型练习. 1.（2025·重庆西附月考）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2.（2021·河南南阳期末）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； 解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）） ∵，（已知） （ ） ∴（等式的性质） （等量代换） ∵平分（ ） ∴ = （角平分线的定义） ∴ =35°+ = （ ） ∵（已知） ∴（ ） 在直角三角形中， ∵（ ） ∴（等式的性质） （等量代换） ． （2）当点在线段上运动时，设，，求的大小．（用含，的代数式表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由） 3.（2024·辽宁抚顺期中） （1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交的延长线于点E，求的度数． 4.（2024·重庆八中入学）如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当∠ADF＝69°，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·山西大同校级月考）对于题目：如图，是的角平分线，于点，若，求的度数．下面是打乱了的解题过程：①∵；②；③∵平分，∴；④∵，，则下列排序正确的是（  ）． A．③④②① B．④②①③ C．③②④① D．③①④② 6.（2022·山东德州校级月考）如图，在中，，，是边上的高线，平分，则的度数为 ． 7.（2023·河南驻马店校级月考）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点．若，，则的度数为 ． 8.（原创）如图，在中，BE平分∠ABC，作ED⊥BE交AC的延长线于点D，F为BE上一点，作FG⊥AD，若∠BFG=160°，∠BCD=150°，则∠A=（ ）. A.60° B.70° C.65° D.75° 9.（2024·北京海淀校级期中）如图，在中，，分别是在的高线和角平分线，于点，交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 10.（2025·辽宁阜新校级期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 11.（2024·安徽寿春中学期中）如图，在中，，，是的角平分线， (1)是边上的高线，请画出图形； (2)在（1）条件下，求的度数． 12.（2024·重庆八中期末）（多选）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，．下列结论：其中正确的是（　　）. A． B． C． D． 13.（2024·四川泸州校级月考）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 14.（2025·江西景德镇期末）已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若，． ①如图1，当点F与点A重合时，______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x，y的式子表示） 15.（2024·福建泉州校级期中）在中，，AE平分，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且于点D． (1)如图1，如果点F在线段AE上，且，，则_______°； (2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分和的外角，连接PA，过点P作交BC延长线于点G，交BA的延长线于点H，若，且，请直接写出与的度数． PART 4——模型变式. 【变式1】（2023·重庆育才定时）如图，在中，点D在延长线上，，分别平分，，，垂足为F．若，则（　　）. A. B. C. D. 【变式2】（2024·安徽滁州校级期中）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【变式3】（2025·江西吉安校联考月考）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【变式4】（2025·福建龙岩期末）如图，在中，平分，，，，求和的度数． 【变式5】（原创）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠C=40°，∠ABC=110°，求∠AEB的度数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$