2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型

2025年九年级中考数学复习 全等三角形模型之旋转模型 1．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．    (1)如图1，可得___________；若，则___________． (2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示） (3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明． 2．如图，在正方形中，Р是对角线上的一个动点（不与点A．C重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接交于点E，延长线与边交于点F． (1)连接，求证：； (2)若正方形的边长为4，且，求线段的长． 3．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论． 4．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 5．已知等腰中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于，连接． (1)如图1，当时，连接，判断的形状为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 6．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 7．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 8．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 9．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 10．如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接． (1)求证：； (2)图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程． 11．已知：在中，于点，． (1)如图1，的度数为________度． (2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论． 12．已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现 如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明． (2)拓展探究 当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 13．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 14．如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 15．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 16．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE． (1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______； (2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD； (3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型》参考答案 1．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （3）当交点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴；    当交点F在线段上时，如图4， 同理可得：；    当交点F在线段上时，如图5， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 综上，或．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是正方形可得，，，由图形旋转可得，，，从而可证，故； （2）如图所示，由四边形ABCD是正方形可得，，故是等腰直角三角形且，由勾股定理可得，，故． 【详解】（1）由题意得：，， 四边形是正方形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）由（1）知：，， 在中，， ， ， . 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键． 3．BC＝DC+EC；BD2+CD2＝2AD2，证明见解析 【分析】问题：根据将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE和角之间的关系得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，即可得； 探索：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，即∠DCE＝90°，根据勾股定理得CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，根据AD＝AE即可得． 【详解】解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝EC+CD， 故答案为：BC＝DC+EC； 探索：， 证明：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝90°， ∴， 在Rt△ADE中，， 又∵AD＝AE， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 4．(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 5．(1)等边三角形 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到的度数，和，结合的度数，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解， （2）在和中，根据三角形内角和是，得到，进而确定是等腰直角三角形，由，得到，即可求解， （3）当时，作，通过证明等腰直角三角形，得到，通过证明，得到，即可求解，当时，过点作，通过证明是等腰直角三角形，得到，由，得到，由是等腰直角三角形，得到，，由，得到，即可求解； 本题考查了等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，梯形的中位线，解题的关键是：通过几何变换，将所求线段拼接成一条线段． 【详解】（1）解：由旋转可知，，， 是等腰三角形， 又， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形， （2）解：连接， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：， （3）当时，连接，过点作，交于点，连接， ，， ， ， 等腰直角三角形， ，， ，， 是正方形， ，， ，即：， ， ， ， 当时，连接，过点作，交延长线于点，连接， ，， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是正方形， ，， ，即：， ， ， ， 故答案为：或． 6．(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 7．(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 8．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． 【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 9．（1）（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）证即可求解；（2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解；（3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解；（4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力． 10．(1)见解析 (2)和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到 【分析】（1）通过正方形的性质得到等角和等边，然后判断全等即可； （2）根据旋转的定义直接解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到． 【点睛】此题考查正方形的性质和全等三角形、旋转性质，解题关键是找准全等三角形判定条件来证明全等． 11．(1)90 (2)见解析 (3)，； 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算即可； （2）证明即可； （3）先证出，再证可得，即可证出最终得到，． 【详解】（1）∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即 （3）连接，、与分别交于L、K，过H作于M，于P， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．(1)；证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】(1)过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可得出结论； (2)过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，， ， ， 在四边形中，， ， ， ∴， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴； （2）； 理由：如图，过点作交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （2）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，，，即，再证，即可证得； （2）过点作交于点，过点作交于点，由，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，，再由角平分线的判定可得，平分； （3）过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，先证，推导得，同法可证，，最后根据三角形面积关系，得出，则可得到答案． 【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵等边，等边， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ∵（1）中已证， 又∵，， ∴， ∵，， ∴平分． （3），理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，， ∵， ∴， ∵， 又∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 同法可证，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵（2）中已证， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大． 15．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 16．(1)22.5° (2)见解析 (3)∠DAE+2∠ADM=180°，详见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形性质得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性质知∠ACE=∠BCF，代入求值即可； （2）连接AF，过A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代换即可得证； （3）将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q，证明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再证明△AND≌△AQD，得∠ADQ=∠AND，由对顶角相等得∠ADM=∠ADE，根据等腰三角形性质等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 由三角形外角性质知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B， ∵AF⊥BC， ∴∠BAF=∠CAD=45°， ∴∠ACE=∠BCE， 又∠ACB=45°， ∴∠ACE=22.5°， 故答案为：22.5°． （2）解：连接AF，过A作AH⊥EF于H，如图所示， ∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC， ∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH， ∴∠CAD=∠HAF， 由△ACF∽△ADH知， ∴， ∴△ACD∽△AFH， ∴∠ACD=∠AFH， ∴∠CDF=∠CAF， ∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE， ∴∠ADE+∠CDF=90°， 故∠ADC=90°， 即AD⊥CD． （3）解：将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q， ∵∠BAC=∠QAN， ∴∠QAC=∠BAN， ∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°， ∴∠ABM=∠ACQ， ∵AB=AC， ∴△ACQ≌△ABN， ∴AN=AQ， ∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ， ∴∠QAD=∠NAD， 又AD=AD， ∴△AND≌△ADQ， ∴∠AND=∠ADQ， 即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ， ∴∠ADM=∠ADE， ∵AD=AE， ∴∠DAE+2∠ADE=180°， 即∠DAE+2∠ADM=180°． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形性质、三角形内角和定理、相似三角形判定与性质、旋转变换与全等三角形判定，难度较大．根据已知条件，构造手拉手的相似与全等模型是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$