期末真题必刷压轴84题（21个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

期末真题必刷压轴84题（21个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 图形的旋转问题 · 题型二 中心对称问题 · 题型三 平行四边形的判定与性质压轴 · 题型四 矩形的判定与性质压轴 · 题型五 菱形的判定与性质压轴 · 题型六 正方形的判定与性质压轴 · 题型七 平行四边形的存在性问题 · 题型八 平行四边形的最值问题 · 题型九 平行四边形的折叠问题 · 题型十 平行四边形的新定义问题 · 题型十一 三角形的中位线压轴 · 题型十二 分式的化简求值 · 题型十三 分式方程的含参问题 · 题型十四 分式方程的应用 · 题型十五 反比例函数的图象与性质 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合 · 题型十七 反比例函数与几何综合 · 题型十八 反比例函数的应用 · 题型十九 二次根式的化简求值 · 题型二十 分母有理化 · 题型二十一 二次根式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 考点一 图形的旋转问题（共4小题） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）连接，设与直线的交点为，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据轴对称的性质得，，即得，，，进而根据角的和差即可求解； （）证明，得，，进而得，即得为等腰直角三角形，得到，过点作于，可得，为等腰直角三角形，设，，则，，，据此即可求证； （）利用（）的结论解答即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与直线的交点为， 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴，为等腰直角三角形， 设，，则，，， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连接并延长交线段于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点B作交延长线于点H，连接，若．求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）先判断出为等腰直角三角形，进而证明，即可求解； （2）由（1）可知求证的实质是求证，而等腰直角三角形中会存在此种边的关系，考虑构造以为直角边的等腰直角三角形，进而可求证． 【详解】（1）解：∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：将绕点D顺时针旋转，得到，连接交于点，连接，如图2， 由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴点即点F， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，M为对角线 (不含点B)上任意一点．是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：． (2)①直接回答：当点M在何处时，的值最小？ ②当点M在何处时，的值最小？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①当点M在与交点处时，的值最小；②当点M位于、交点处时，最小，理由见解析 【分析】（1）由题意得，，证出； （2）①根据两点之间线段最短，得出当点M在与交点处时，的值最小； ②连接，在上取一点N，使，证明， 得出，证明，得出，说明此时可以看作由绕点B逆时针旋转得到，由（1）可知：，得出，证明是等边三角形，得出，得出，根据两点之间线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 根据旋转可知：，， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①连接， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在与交点处时，的值最小； ②连接，当点M位于、交点处时，最小，理由如下： 如图，交于点M，连接，在上取一点N，使， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和， ∴， ∴， ∴此时可以看作由绕点B逆时针旋转得到， 由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M位于、交点处时，最小，即最小． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 考点二 中心对称问题（共4小题） 5．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为．      (1)画出关于x轴对称的； (2)画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的； (3)与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； (4)与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成轴对称，见解析 (4)成中心对称，对称中心坐标为 【分析】（1）分别作出、关于x轴的对称点、，依次连线，即可求解； （2）分别作出、、绕原点O按顺时针方向旋转的对应点、、，依次连线，即可求解； （3）分别作线段、、的垂直平分线，由于三条直线重合，即可求解； （4）连接，、，可得，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可求直线与直线的交点，可证直线，直线、直线交于同一点，再证，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，   为求作的三角形． （2）解：如图，   ，为求作的三角形． （3）解，如图，   分别作线段、、的垂直平分线，三条直线重合， 直线为所求作的对称轴． （4）解：如图，连接，、，     ，，，，，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， 解得：， 直线与直线的交点， 同理可求直线与直线的交点， 直线与直线的交点， 直线，直线、直线交于同一点， ， ， ， 同理可证：，， 与成中心对称，对称中心坐标为． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称的性质作轴对称图形并两个判断图形是否成轴对称，利用旋转的性质作旋转对称图形，用中心对称定义判断两个图形是否成轴对称，一次函数待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，理解轴对称、旋转、中心对称的定义及性质，掌握作法是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．    (1)如图1，和是外的两个等边三角形，用旋转的知识说明和成中心对称． (2)如图2，是一段不规则曲线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与，分别相交于点，，且． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）分别证明点的对称点是点，点的对称点是点，点与点关于点成中心对称即可； （2）1．连接，并延长到点，使得；以点为圆心，的半径为半径作圆与相交于点；作直线交于点，则点、为所求作的点． 【详解】（1）解：令、相交于点，连接、，    ∵四边形是平行四边形， ∴，四边形是中心对称图形，对称中心是点，点的对称点是点，点的对称点是点，，， ∴， ∵和是外的两个等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点绕点旋转后与点重合，即点与点关于点成中心对称， ∴和成中心对称； （2）解∶如图，点、为所求的点，．    理由如下： 连接、，分别过点、作⟂⟂，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题主要考查了中心对称，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 6个点一循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 考点三 平行四边形的判定与性质压轴（共4小题） 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，线段相交于点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时点在上．过点作，点作，与相交于点，连接，则四边形是平行四边形，是等边三角形，则，，由三角形三边关系可知，当点在上时，取等号，即可求解． 【详解】解：过点作，点作，与相交于点，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 则，当点在上时，取等号， 即的最小值为， 故选：A． 10．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何最值问题，涉及直角三角形的性质、坐标系的应用，以及求最短路径，正确做出辅助线是解题的关键．建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，求出点G的坐标，从而求出，证明，从而得到从而的解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形， 作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I， ∵在中，，，， ∴， ∵点C关于的对称点D， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵的中点为点G，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴，当且仅当点C、F、G三点共线时取最小值， 故答案为：． 11．（23-24九年级下·四川成都·自主招生）如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 ． 【答案】/度 【分析】延长与的延长线交于点，连接，由平行四边形的性质得，，，，进而得，，又证明（），得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得，，再求得，，于是即可得解． 【详解】解：延长与的延长线交于点，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，， 在和中 ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵为中点，， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 考点四 矩形的判定与性质压轴（共4小题） 13．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题根据的面积始终等于长方形面积的四分之一，得到点在的垂直平分线上运动，连接，，，根据垂直平分线性质和两点之间，线段最短，得到，利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一， 记点到的高为，又， ， 有，整理得，即点在的垂直平分线上运动， 连接，，， 点在的垂直平分线上运动， ，， 要最小，即最小， 当、、三点共线时，取得最小值为的长， 的最小值为10，即， ， 的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线性质、两点之间，线段最短、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 14．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可． 【详解】如图，连接， 因为等边，矩形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平分， 因为是定角， 所以的角平分线是唯一确定的射线， 所以点O在定直线上， 所以， 过点B作于点E， 因为， 所以， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【类比迁移】 （1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________， __________，，___________， 和的数量关系为___________． 【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）按照步骤作答即可； （2）过点、分别做，，交于、，分别延长、，使，，可求得，，求得，，继而求得四边形是矩形，即，根据，求得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图2，延长至点，使，连接， ∵， ， ，， ， ， ， ， ， 和的数量关系为， 故答案为：，，，； （2）解：过点、分别做，，交于、， 分别延长、，使，，连接， ∵，点、分别是、的中点， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，矩形的性质，中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，合理做出辅助线是解题的关键． 16．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明； （2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由； （3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识点， （1）由矩形的性质和勾股定理可知，，，即可得出结论； （2）如图，分过点P作，交于点M，交于点N和过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点N两种情况讨论即可得解； （3）分P在外部时和P在内部时两种情况讨论即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴在和中，，， ∴得：， ∴， （2）如图，过点P作，交于点M，交于点N， ∴四边形和四边形均为矩形， 根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得， ∴． 如图，过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∴四边形和四边形均为矩形， 同样根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得， ∴； （3）如图，当P在外部时，作矩形，连，， ∴， ∴， 由(2)结论知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当P在内部时， ∵，， ∴， ∴综上所述：长的取值范围是， 故答案为：． 考点五 菱形的判定与性质压轴（共4小题） 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)① 在；② (2)①小明的猜想正确，见解析；② 【分析】（1）①根据菱形的性质和角平分线的性质可得垂直平分，即可证明；②根据条件证明是正三角形，再结合菱形的性质和正方形性质即可求出； （2）③作于G，于，连接，根据条件证明，即可证明；④根据三角形三边关系可求出的取值范围，再根据，求出的取值范围，即可求出． 【详解】（1）解：①点M在菱形的对角线上，理由如下： 连接 四边形是菱形， 平分，即， 又， , , , 又平分, , 垂直平分， ， ∴M在的中垂线上，即M在上； ②，理由如下： ， ，四边形是菱形，，由①知点M在菱形的对角线上， ， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是正方形， ， ， ， 是菱形，， ， 即， ， 故时，四边形为正方形； （2）解：③小明的猜想正确，证明如下： 如图，作于G,于，连接， ，， ， ， ∴， 又， ， 又， ， , 在的平分线上， 四边形是菱形， 平分， 在上． ④解：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质、菱形的性质、正方形的判定等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）（1）；见解析；（2）；见解析；（3）；见解析； 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，有，再证明，则，再证明是直角三角形即可． 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，连接，如图， 则， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ，； ∵， ∴， ∴； ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 19．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． (1)如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； (2)已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 【答案】(1)b与a之间的函数关系式为 (2)；N点的坐标为，，， (3)有最小值， 【分析】（1）如图1，连，利用旋转的性质和矩形的性质得到，再利用勾股定理即可得解； （2）利用非负数的性质可得，，当点刚好落在边上，由直角三角形的边角关系可得旋转角，分别以为边和对角线得菱形讨论即可得解； （3）如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点，先证出，然后确定，再利用三角形的三边关系即可得到的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图1，连， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴b与a之间的函数关系式为， （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点刚好落在边上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：； 如图2，存在，以O，，M，N为顶点的四边形是菱形的有四个，分别为菱形，菱形，菱形，菱形 ∵，，, ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴由菱形的对称性质知，和关于轴对称， ∴， ∴N点的坐标为，，，； （3）解：如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点， ∵点G为的中点， ∴，， 由旋转知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系知，， ∴三点共线时，有最小值， 如图所示， 此时， ∴F对应的纵坐标为，横坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，求函数关系式，矩形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 20．（2024·江苏淮安·模拟预测）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是_____，与的位置关系是_____； (2)如图2、3，当点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图3予以证明或说理）． (3)如图4，当点P在线段上，点E在菱形外部时，连接、，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)（1）中的结论成立；证明见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，求四边形的面积，掌握菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用是解本题的关键． （1）先判断，进而判断出，得出，，再判断出，即可得出结论． （2）同（1）的方法即可得出结论． （3）先判断，进而利用勾股定理求出，，进而求出，再求出，，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1），； 解析：如图1，连接， 在菱形中，， ，都是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 延长交于， ， ， ，即， 故答案为：，； （2）（1）中的结论成立； 证明：如图3，连接，与交于点， 由已知，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ， ，， 设与交于点， 在中， ， ， 即； （3）如图4，由（2）可知，， ， ， 在中，由勾股定理可得： ， 又在中，由勾股定理可得： ， ， 在中， ， ， ， 又， ， 又， ． 考点六 正方形的判定与性质压轴（共4小题） 21．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，得，由即可证明； （2）证明，得，由即可证明； （3）取中点N，延长到Q，使，取中点P，连接，点M在射线上运动，当时，最短；利用勾股定理及面积关系即可求得最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下： ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点N，延长到Q，使，取中点P，连接， 则点M在射线上运动，当时，最短； ∵四边形是正方形， ∴， ∵中点为N，，中点为P， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用全等三角形的判定与性质、确定出点M的运动路径是解题的关键． 22．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点E是边上一点，连接，以为边作正方形，连接．求证：； （2）【类比迁移】如图2，连接交于点H，连接，试判断之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的面积______． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）13.5 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据正方形性质证明，结合全等三角形性质，即可证明； （2）根据正方形性质证明，结合全等三角形性质，即可解题； （3）根据正方形性质，设，结合全等三角形性质推出，在中，，利用勾股定理建立等式求出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）证明：⸪四边形是正方形， ， ⸪以为边作正方形， ，， ， ， ； （2）解：， 证明如下：⸪ 四边形是正方形， ， ， ， ， ⸪， ； （3）解：四边形是正方形，， ，， ⸪， ， ⸫， 设，则，， ， ， 在中，， ， 解得， 则的面积， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②（2）（3）存在，最小值为 【分析】（1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）存在，过程如下： 如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴， 即， ∴最小值为 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 24．（2025·江苏宿迁·二模）已知：点C在线段上，分别以为边在线段的同侧作正方形和，连接． (1)如图1，判断与的关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，若是等边三角形，求的值与的度数； (3)如图3，将正方形BCFG绕点C顺时针旋转，当点F在BD，且时，求． 【答案】(1)，．证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）延长交于点F．由正方形的性质易证，即得出，．再根据，，即得出，即，即证明； （2）延长交于点，证明得到，证明，，设，则，，即可求出，由，即可求出的度数； （3）过点作于点，设相交于点O，证明，得到，证明，设，则，得到，即可求出答案． 【详解】（1），． 证明：如图，延长交于点F． ∵四边形和，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴ （3）过点作于点，设相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 考点七 平行四边形的存在性问题（共4小题） 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数解析式，令可求得点的坐标； （2）由两点距离可求得、的长，根据四边形为平行四边形即可得点坐标，进而即可判断； （3）分三种情况，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 解得， 点坐标为， 故答案为：； （2）解：存在一点，使得四边形是平行四边形，如图， ，，， ， ，， ， 当时，， 点在一次函数的图象上， 存在一点，使得四边形是平行四边形，点坐标为； （3）解：由题意可知；，， ①旋转后，若轴，连接，成四边形，如图， ， 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为； ②旋转后，若的中点在轴上，成四边形，如图2， ， ， 四边形构成平行四边形 作轴交于， 则，， 点的坐标为； ③旋转后，若轴，成四边形，如图， 又， 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了旋转的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，题中运用直角三角形的勾股定理知识，求出线段的长是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知． (1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ． (2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为或； (3)点坐标为或． 【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可； （2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立求得，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知， 分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可； （3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点在轴正半轴上， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：，； （2）解：存在，理由：如图，连接， ∵，则， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的表达式为， 联立直线和的表达式得， ， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形， ∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解： ①当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为， ∴， 解得，，即； ②当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为， ∴， 解得， ∴； ③当分别为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴，同①， 综上，存在，点坐标为或； （3）解：由题意知，，设， 如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解； ①当在点上方，如图，过作于，于，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴； ②当在点下方，如图， 同理①可得，∴， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6或7.5 (3)点或或或 【分析】（1）根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证； （2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答； （3）分情况讨论，当四边形为平行四边形时，，且；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 点为中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时，，此时点与点重合， ， ，四边形是矩形， ， ； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ； 综上，的长为6或； （3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 如图②，当四边形为平行四边形时，，且， ，， ， 是的中点，， ， ， 或； 如图③，当四边形为平行四边形时，， ， ， ， 在中，， ； 如图④，当四边形为平行四边形时，， ， ，， 在中，， ． 综上，点坐标为点或或或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 28．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴， 解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 考点八 平行四边形的最值问题（共4小题） 29．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上，若，的面积为． (1)如图1，当四边形是正方形时，的值为______，S的值为______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与的函数关系式； (3)当______时，的面积最大；当______时，的面积最小； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：______． 【答案】(1)， (2)①见解析；② (3)； (4)) 【分析】本题主要考查了四边形的综合问题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，利用平行线的性质证明即可； ②作于，证明，可得，由此即可解决问题； （3）①当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，，的最大； ②当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：如图1中， ∵ 四边形是正方形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 过点 作 于点 ． 同理可证 ， 可得 ，， ∴ ． 故答案为：2，5； （2）解： ①证明：如图，连接， ∵ 四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 四边形为菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ； ②解：，， ， 如图，过点 作 ，垂足为， ， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形 为菱形， ， 在 和 中， ， ， ； （3）解： ①如图3中， 当点 与 重合时，的值最小， 的面积最大， 在 中，， 的最大值 ； ②如图4中， 当点在上时，的值最大， 的面积最小， 此时同（2）易证 ， ， ， ， 的最小值为 ； 故答案为：；． （4）解： 如图3中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长， 故答案为：． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．； （2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解； （3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， ，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形， 以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上， 点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上， 则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键． 31．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； （2）解：由图可得，当时，； （3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 32．（23-24八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 考点九 平行四边形的折叠问题（共4小题） 33．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． (1)如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； (2)请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．还考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边三角形的性质． （1）由折叠可知，，根据矩形的性质可知，，，，进而可证得，得，由勾股定理可得，结合即可求解； （2）以为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则，故平分． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ， ； （2）如图，以为为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则平分，点为所作， 34．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得， ，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即，求出，再求解可得结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）如图，延长交于，过点作， 的面积为18，， ， ， 设，则， ， ， （负值已舍去）， ， ，， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即， ， 则， ． 故线段的长为． 35．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；；（3）的长为或． 【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可； ②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （2）①先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案； ②根据勾股定理列出方程求解，最后菱形面积等于矩形面积减去两个三角形的面积计算即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2； （3）①如图，∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ③由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ； （3）由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由【模型呈现】知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 作于，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， 由【模型呈现】知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点十 平行四边形的新定义问题（共4小题） 37．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．      (1)①如图1，准矩形中，，若，，则_____； ②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是_____；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点） (2)如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形； (3)已知，准矩形中，，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是_____． 【答案】(1)①；②或； (2)证明见解析； (3)或 【分析】（1）①利用准矩形的定义和勾股定理计算； ②根据准矩形的特点和整点的特点求出即可； （2）先利用正方形的性质判断出，即可得到结论； （3）分两种种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：， ②，， ， 设点，， ， ，都为整数， 点或； 故答案为：或； （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是准矩形； （3）解：，，， ， 准矩形中，， ①当时，如图1，作，   ， ， ； ②当时，如图2，    作， ∵， ， ， ； 故答案为:或 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，对角线面积公式，三角形面积公式，全等三角形的判定及性质，分情况计算是解本题的难点． 38．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定与性质，解本题的关键是理解“鹞形”的定义． 39．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 40．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【详解】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 考点十一 三角形的中位线压轴（共4小题） 41．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”： 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，分别是的中点． (1)试探索与的数量关系，并说明理由； (2)若的最小值是4，则的长度为_______．(不需要解答过程) 【答案】[概念理解]D；[问题解决]证明见解析；[拓展应用]（1），理由见解析；（2） 【分析】[概念理解]由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； [问题解决]如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出▱是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； [拓展应用] （1）如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （2）如图，记、的中点分别为、，连接交于，连接、，当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（1）的结论即可求得答案． 【详解】[概念理解] 解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：D； [问题解决] 证明：如图2，设四边形的边、、、的中点分别为、、、，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、，，分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， 又，， ， 平行四边形是菱形， ， ． 又，， ， ， 又， ． 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． [拓展应用] （1）解：；理由如下： 如图3，记、的中点分别为、，连接， 四边形是中方四边形，，分别是，的中点， 四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； （2）解：如图4，连接交于，连接、， 当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知：， 又，分别是，的中点， ，， ， 的最小值， 则， 由拓展应用（1）知：； ； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 42．（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定理，并且能用相关知识解决问题． 【问题再现】 已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点，求证：， 【简单应用】 （1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取的中点D、E．测得的长为，则A、B两地的距离为_______． （2）如图3，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长． 【灵活运用】 如图4，在边长为6的正方形中，点E是上一点， 点F是上一点，点F关于直线的对称点G恰好在的延长线上，交于点H，点M为的中点，若，求的长． 【答案】问题再现：证明见解析；简单应用：（1）40；（2）1；灵活运用：3 【分析】问题再现：过点C作交的延长线于点F，证明．得到，，进一步证明四边形是平行四边形，得到，，即可证明，； 简单应用：（1）根据问题再现的结论求解即可； （2）如图所示，取中点G，连接， 由问题再现的结论可知，，再证明，可由平行线的唯一性可知三点共线，则； 灵活运用：如图所示，连接，由对称性可得，证明，得到；如图所示，以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设，则，求出，则；再求出，由勾股定理得到，解得或（舍去），则，求出直线解析式为，进而求出点E的坐标即可得到答案． 【详解】解：问题再现：过点C作交的延长线于点F， ∴， ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 简单应用：（1）∵的中点分别为D、E， ∴由问题再现的结论可知， 故答案为：40； （2）如图所示，取中点G，连接， ∵点E、F分别是和的中点， ∴由问题再现的结论可知，， ∵， ∴， ∴由平行线的唯一性可知三点共线， ∴； 灵活运用：如图所示，连接， 由对称性可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 如图所示，以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 设，则， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴； ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理的证明，全等三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 43．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 44．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【提出问题】如图2，与都是等腰直角三角形．．求证：四边形是“等垂四边形”； (2)【拓展探究】如图3，四边形是“等垂四边形”，，点M、N分别是的中点，连接．已知腰，求的长； (3)【综合运用】如图4，四边形是“等垂四边形”，，底，则较短的底长的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明得到，延长交延长线于F，交于点O，由，推出，即，即可证明四边形是“等垂四边形” （2）连接，取的中点G，连接，延长交于点H，由题意可知，则，由三角形中位线定理得到 ，进一步证明，则是等腰直角三角形，即可得到； （3）延长交于点P，分别取的中点M、N，连接，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，由（2）知，，由三角形三边的关系得到；由于，当最小时，最大，即此时最大，求出当点D与点P重合时，，则此时；即可推出． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交延长线于F，交于点O， ∵， ∴，即， ∴四边形是“等垂四边形”； （2）解：连接，取的中点G，连接，延长交于点H， ∵四边形是“等垂四边形”，， ∴， ∴， ∵点M，N，G分别是的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：延长交于点P，分别取的中点M、N，连接， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵，即， ∴，即； ∵， ∴当点D与点P重合时在中，由勾股定理得， ∴此时； ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系等等，正确作出辅助线是解题的关键． 考点十二 分式的化简求值（共4小题） 45．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 46．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 47．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 48．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 考点十三 分式方程的含参问题（共4小题） 49．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 50．（23-24八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0； (2)且； (3)或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． 51．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为整数， ∴是2的倍数，即a是偶数． 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 52．（2024·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】原不等式组的解集为：， ∵恰有3个整数解， ∴， 即：， ∴正整数a为1,2,3， ∵关于的分式方程， ∴整理得：， ∵有正整数解且， ∴满足条件的整数的值为：1，3 ∴所有满足条件的整数的值之和是4． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键． 考点十四 分式方程的应用（共4小题） 53．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 54．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 55．（23-24八年级上·河南郑州·期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； (2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个； (3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； （2）解：由题意可得， 且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为：或， ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种个，乙种个； 方案二：购买甲种个，乙种个； （3）解：由（2）得， 方案一费用为：（元）， 方案二费用为： （元）， ∵， ∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式． 56．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 考点十五 反比例函数的图象与性质（共4小题） 57．（23-24九年级下·陕西安康·期中）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为−=a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案． 【详解】解：∵k>0，2≤x≤3， ∴y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大． ∴当x=2时，y1的最大值为=a， 当x=2时，y2的最小值为−=a−4． ∴−a=a−4，解得a=2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查反比例函数y=的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键． 58．（2024·四川成都·二模）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】点，在反比例函数（为常数）的图象上 在每个象限内，y随x的增大而减小 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 59．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小， ∴， 解得：； （2）将代入中，得：， ∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：． 将代入得：， 解得：． 60．（2024·陕西西安·模拟预测）小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______； ①列表：如下表． … －6 －2 1 0 3 4 6 10 … … 0 －3 －1 －7 9 5 3 2 … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象． （2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题： ①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是______； ②该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______； ③结合函数图象，请直接写出时的取值范围______． 【答案】（1），函数图像见详解；（2）①（2，1），②右移2个单位，上移1个单位，③或． 【分析】（1）根据分母不能为零得到自变量的取值范围，根据图表，描点，连线画出函数图像即可；（2）根据函数的关系式和函数图像的形状和性质，可得出对称中心的坐标和平移方式，根据图像可得出时的取值范围． 【详解】解：（1）根据分母不能为0，可得函数的自变量的取值范围是； ③函数图像如下图所示， （2）①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，函数的对称中心的坐标是（2，1）； ②根据平移的性质可得，函数的图像由的图象往右移2个单位，上移1个单位； ③根据函数图像，可知当时的取值范围是：或 ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点十六 反比例函数与一次函数综合（共4小题） 61．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 62．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； ②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答； ③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能； ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：； ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． 63．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 【答案】（1）；（2） 或；（3）或 【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题． （1）把方程变形为，即可求解． （2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集． （3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为、，对角线为、，对角线为、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由左右同时除以x得，， 所以，， 所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标． 故答案是：． （2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下： 由图可知，直线在双曲线上方时或 ∴不等式的解集为：或； （3）解：∵与y轴交于点B， ∴， 根据题意，设，则， 而， ①若平行四边形对角线为、则的中点即是中点， ∴，方程组无解； ②若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点， ∴，化简整理得，无解； ③若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，如图： ∴， 解得或， ∴或． 综上所述，的坐标为：或． 64．（23-24八年级下·四川乐山·期中）如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】(1)y， (2) (3)或或 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴ ∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，， ∴，， ∴设（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 考点十七 反比例函数与几何综合（共4小题） 65．（23-24八年级下·重庆万州·期末）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 66．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 67．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：    ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 68．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)不变， 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，然后分，，，根据勾股定理，一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质等求解即可； （3）连接，，过N作于Q，交于P，证明四边形是矩形，得出，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，结合，可得，最后根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）解：∵，为中点且点E在y轴上， ∴， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴ ∴， ∵C、D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形， 设， 则，，， ①当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 设平行于且与有唯一交点Q的直线为， 联立方程组， 整理得， ∴， 解得， ∴直线为或， 当时， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴不存在点P，使， 同理当时，不存在点P，使， ∴不存在， 综上，点Q的坐标为或或或； （3）解：不变， 理由：连接，，过N作于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 考点十八 反比例函数的应用（共4小题） 69．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 70．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 71．（23-24九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 72．（23-24九年级上·山西太原·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】(1)y=； (2)半径为28米； (3)最多是0.4厘米． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； （2）当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 考点十九 二次根式的化简求值（共4小题） 73．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 74．（2024九年级·江苏南通·专题练习）若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的定义，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设(为正有理数)，则，两边同时平方化简即可； （2）设，则，两边同时平方得到，则，故．后续同（1）求解． 【详解】（1）解：设(为正有理数) ∴ ∴    ∴，   ∴ ∴，为有理数． （2）解：设，则 ∴ ∴ ∴． 把看成（1）中的，看成（1）中的， 由（1）知为有理数，为有理数，为有理数 ∵ ∴为有理数  由（1）知、为有理数 ∴、、为有理数． 75．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 76．（2024·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①，②，③，④，⑤ (2)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤； （2）根据题目所给思路，进行推理论证即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据三角形三边之间的关系可得：， ∴， ∴，即； （2）解：①∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则； ②∵， ∴， 则， ， ∵， ∴，则， ∴将左边除以，右边除以得：， 即； ③∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即； 【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中． 考点二十 分母有理化（共4小题） 77．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 78．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 79．（23-24八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键． 80．（23-24八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 考点二十一 二次根式的应用（共4小题） 81．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 82．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 【答案】(1)正确 (2)2或 (3)周长为：，面积为：． 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【详解】（1）解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）解：设另一边长为x， ①，解得，符合题意； ②，解得，符合题意； ③，无解； 故答案为：2或； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴周长为：， 面积为：． 【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键． 83．（23-24八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． 84．（23-24八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解； （2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果； （3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， 则， ∴ ∴． （3） ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴84题（21个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 图形的旋转问题 · 题型二 中心对称问题 · 题型三 平行四边形的判定与性质压轴 · 题型四 矩形的判定与性质压轴 · 题型五 菱形的判定与性质压轴 · 题型六 正方形的判定与性质压轴 · 题型七 平行四边形的存在性问题 · 题型八 平行四边形的最值问题 · 题型九 平行四边形的折叠问题 · 题型十 平行四边形的新定义问题 · 题型十一 三角形的中位线压轴 · 题型十二 分式的化简求值 · 题型十三 分式方程的含参问题 · 题型十四 分式方程的应用 · 题型十五 反比例函数的图象与性质 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合 · 题型十七 反比例函数与几何综合 · 题型十八 反比例函数的应用 · 题型十九 二次根式的化简求值 · 题型二十 分母有理化 · 题型二十一 二次根式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 考点一 图形的旋转问题（共4小题） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连接并延长交线段于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点B作交延长线于点H，连接，若．求证：． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，M为对角线 (不含点B)上任意一点．是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：． (2)①直接回答：当点M在何处时，的值最小？ ②当点M在何处时，的值最小？ 请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 考点二 中心对称问题（共4小题） 5．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为．      (1)画出关于x轴对称的； (2)画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的； (3)与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； (4)与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．    (1)如图1，和是外的两个等边三角形，用旋转的知识说明和成中心对称． (2)如图2，是一段不规则曲线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与，分别相交于点，，且． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点三 平行四边形的判定与性质压轴（共4小题） 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，线段相交于点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 10．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ． 11．（23-24九年级下·四川成都·自主招生）如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 ． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 考点四 矩形的判定与性质压轴（共4小题） 13．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 14．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【类比迁移】 （1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________， __________，，___________， 和的数量关系为___________． 【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长． 16．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明； （2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由； （3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 考点五 菱形的判定与性质压轴（共4小题） 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 19．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． (1)如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； (2)已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 20．（2024·江苏淮安·模拟预测）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是_____，与的位置关系是_____； (2)如图2、3，当点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图3予以证明或说理）． (3)如图4，当点P在线段上，点E在菱形外部时，连接、，若，，求四边形的面积． 考点六 正方形的判定与性质压轴（共4小题） 21．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 22．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点E是边上一点，连接，以为边作正方形，连接．求证：； （2）【类比迁移】如图2，连接交于点H，连接，试判断之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的面积______． 23．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 24．（2025·江苏宿迁·二模）已知：点C在线段上，分别以为边在线段的同侧作正方形和，连接． (1)如图1，判断与的关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，若是等边三角形，求的值与的度数； (3)如图3，将正方形BCFG绕点C顺时针旋转，当点F在BD，且时，求． 考点七 平行四边形的存在性问题（共4小题） 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知． (1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ． (2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 考点八 平行四边形的最值问题（共4小题） 29．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上，若，的面积为． (1)如图1，当四边形是正方形时，的值为______，S的值为______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与的函数关系式； (3)当______时，的面积最大；当______时，的面积最小； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：______． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 31．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 32．（23-24八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 考点九 平行四边形的折叠问题（共4小题） 33．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． (1)如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； (2)请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 34．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 35．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 考点十 平行四边形的新定义问题（共4小题） 37．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．      (1)①如图1，准矩形中，，若，，则_____； ②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是_____；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点） (2)如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形； (3)已知，准矩形中，，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是_____． 38．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 39．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 40．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 考点十一 三角形的中位线压轴（共4小题） 41．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”： 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，分别是的中点． (1)试探索与的数量关系，并说明理由； (2)若的最小值是4，则的长度为_______．(不需要解答过程) 42．（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定理，并且能用相关知识解决问题． 【问题再现】 已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点，求证：， 【简单应用】 （1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取的中点D、E．测得的长为，则A、B两地的距离为_______． （2）如图3，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长． 【灵活运用】 如图4，在边长为6的正方形中，点E是上一点， 点F是上一点，点F关于直线的对称点G恰好在的延长线上，交于点H，点M为的中点，若，求的长． 43．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 44．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【提出问题】如图2，与都是等腰直角三角形．．求证：四边形是“等垂四边形”； (2)【拓展探究】如图3，四边形是“等垂四边形”，，点M、N分别是的中点，连接．已知腰，求的长； (3)【综合运用】如图4，四边形是“等垂四边形”，，底，则较短的底长的取值范围为 ． 考点十二 分式的化简求值（共4小题） 45．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 46．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 47．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 48．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 考点十三 分式方程的含参问题（共4小题） 49．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 50．（23-24八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 51．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 52．（2024·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 考点十四 分式方程的应用（共4小题） 53．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 54．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 55．（23-24八年级上·河南郑州·期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 56．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 考点十五 反比例函数的图象与性质（共4小题） 57．（23-24九年级下·陕西安康·期中）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 58．（2024·四川成都·二模）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 59．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 60．（2024·陕西西安·模拟预测）小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______； ①列表：如下表． … －6 －2 1 0 3 4 6 10 … … 0 －3 －1 －7 9 5 3 2 … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象． （2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题： ①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是______； ②该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______； ③结合函数图象，请直接写出时的取值范围______． 考点十六 反比例函数与一次函数综合（共4小题） 61．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 62．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 63．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 64．（23-24八年级下·四川乐山·期中）如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 考点十七 反比例函数与几何综合（共4小题） 65．（23-24八年级下·重庆万州·期末）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 67．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 68．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 考点十八 反比例函数的应用（共4小题） 69．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 70．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 71．（23-24九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 72．（23-24九年级上·山西太原·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 考点十九 二次根式的化简求值（共4小题） 73．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 74．（2024九年级·江苏南通·专题练习）若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 75．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 76．（2024·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 考点二十 分母有理化（共4小题） 77．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 78．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 79．（23-24八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 80．（23-24八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 考点二十一 二次根式的应用（共4小题） 81．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 82．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 83．（23-24八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 84．（23-24八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$