期末真题必刷易错144题（48个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

期末真题必刷易错144题（48个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 普查与抽样调查 · 题型二 统计图的选用 · 题型三 频数和频率 · 题型四 频数分布表和频数分布直方图 · 题型五 认识概率 · 题型六 图形的旋转 · 题型七 中心对称与中心对称图形 · 题型八 平行四边形的判定 · 题型九 平行四边形的性质 · 题型十 矩形的判定 · 题型十一 矩形的性质 · 题型十二 矩形的折叠问题 · 题型十三 菱形的判定 · 题型十四 菱形的性质 · 题型十五 菱形的面积计算 · 题型十六 正方形的判定 · 题型十七 正方形的性质 · 题型十八 中点四边形 · 题型十九 三角形的中位线 · 题型二十 分式的相关概念 · 题型二十一 分式的基本性质 · 题型二十二 分式的混合运算 · 题型二十三 分式加减的实际应用 · 题型二十四 分式化简求值 · 题型二十五 根据分式方程解的情况求值 · 题型二十六 分式方程的增根问题 · 题型二十七 分式方程的无解问题 · 题型二十八 解分式方程 · 题型二十九 分式方程的应用 · 题型三十 反比例函数的相关概念 · 题型三十一 反比例函数的图象 · 题型三十二 反比例函数的对称性 · 题型三十三 根据反比例函数的增减性求参数 · 题型三十四 比较反比例函数值或自变量的大小 · 题型三十五 反比例函数的k值 · 题型三十六 反比例函数解析式 · 题型三十七 反比例函数与一次函数 · 题型三十八 反比例函数与几何 · 题型三十九 反比例函数的实际问题 · 题型四十 二次根式的相关概念 · 题型四十一 利用二次根式的性质化简 · 题型四十二 复合二次根式的化简 · 题型四十三 二次根式混合运算 · 题型四十四 最简二次根式与同类二次根式 · 题型四十五 分母有理化 · 题型四十六 已知字母的值化简求值 · 题型四十七 比较二次根式的大小 · 题型四十八 二次根式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 考点一 普查与抽样调查（共3小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列调查中，最适宜采用普查的是（   ） A．调查本市中学生每天做作业的时间 B．调查某批次新能源汽车的电池使用寿命 C．调查全市各大超市蔬菜农药残留量 D．调查运载火箭的零部件的质量 【答案】D 【分析】本题考查普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．根据普查和抽样调查的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、调查本市中学生每天做作业的时间，人数太多，适宜抽样调查，不符合题意； B、调查某批次新能源汽车的电池使用寿命，具有破坏性，适宜抽样调查，不符合题意； C、调查全市各大超市蔬菜农药残留量，数量太大，适宜抽样调查，不符合题意； D、调查运载火箭的零部件的质量，要求精确，适宜普查，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A．名八年级学生的全体是总体 B．每个八年级学生是个体 C．名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D．样本容量是 【答案】C 【分析】本题考查个体、总体、样本、样本容量，理解个体、总体、样本、样本容量的定义是解题的关键． 根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行判断即可． 【详解】解：、名八年级全体学生的体质健康状况是总体，原选项说法错误，不符合题意； 、每个八年级学生的体质健康状况是个体，原选项说法错误，不符合题意； 、名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，原选项说法正确，符合题意； 、样本容量是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析．在这一抽样调查中，样本容量是 ． 【答案】200 【分析】本题考查了样本容量，解题关键是明确样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据样本容量的定义，即可求解． 【详解】解：了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本容量是100， 故答案为：200． 考点二 统计图的选用（共3小题） 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）中华五岳是中国古代文化中的五大名山，五岳不仅代表了中国山水之美，更承载着中华民族的文化传统和精神象征．为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是 统计图，（填“扇形”、“折线”或“条形”） 【答案】条形 【分析】本题考查统计图的旋转，根据统计图的特点：条形图能够表示具体数据，折线图能够表示变化趋势，扇形图能够表示百分比，根据海拔高度为具体的数值，进行判断即可． 【详解】解：由题意，最合适的是条形统计图； 故答案为：条形． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某班同学对“开学第一课”节目评价等级的扇形图如图所示，则等级所在扇形的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图的知识，根据扇形统计图圆心角的度数=部分占总体的百分比，可得出答案， 【详解】解：等级所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·全国·期中）某校七年级（1）班60名学生在一次英语测试中，优秀的占，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是 度；表示良好的扇形圆心角是，则良好的学生有 ． 【答案】 162 20 【分析】本题考查了扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．根据统计图的意义，在扇形统计图中，优秀的占，即占的，则这部分同学的扇形圆心角．根据表示良好的扇形圆心角是，学生总数为60人，求出良好的学生人数即可． 【详解】解：表示优秀的这部分同学的扇形圆心角为： ． 良好的学生有： （人）． 故答案为：162；20． 考点三 频数和频率（共3小题） 7．（2025·江苏泰州·一模）将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 【答案】2 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第四组的频数．各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 【详解】解：第五组频数为， 第四组的频数为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率的意义（频数与数据总数的比值或者百分比称为这类数据频数的频率），根据频率的意义知各个小组的频率之和是，可得第二组的频率是，再列式计算即可．关键是根据各个小组的频率之和是和已知条件列出算式． 【详解】解：∵各个小组的频率之和是，第一组的频率是：，第三组与第四组的频率之和是， ∴第二组的频率是：， ∴第二组的频数为：． 故答案为：． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）下表是光明中学七年级（5）班的40名学生的出生月份的调查记录： 2 8 9 6 5 4 3 3 11 10 12 10 12 3 4 9 12 3 5 10 11 2 12 7 2 9 12 8 1 12 11 4 12 10 5 3 2 8 10 12 (1)请你重新设计一张统计表，使全班同学在每个月出生人数情况一目了然； (2)求出10月份出生的学生的频数和频率； (3)现在是1月份，如果你准备为下个月生日的每一位同学送一份小礼物，那你应该准备多少份礼物？ 【答案】(1)见解析 (2)5，0.125 (3)4 【分析】本题考查频率、频数的定义及频率的计算方法． （1）根据题意，按生日的月份重新分组统计可得表格； （2）根据频数与频率的概念可得答案； （3）根据频数的概念，读表可得2月份生日的频数，即可得答案． 【详解】（1）解：按生日的月份重新分组可得统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 1 4 5 3 3 1 1 3 3 5 3 8 （2）读表可得：10月份出生的学生的频数是5，频率为； （3）2月份有4位同学过生日，因此应准备4份礼物． 考点四 频数分布表和频数分布直方图（共3小题） 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）【新情境】 体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出频数分布表． 次数 频数 2 4 20 13 8 5 (1)全班有多少学生？ (2)组距是多少？组数是多少？ (3)求跳绳次数x在范围的学生； (4)若跳绳次数不低于140次时成绩为优秀，求全班的优秀率． 【答案】(1)52人 (2)组距：，组数是6 (3)21人 (4) 【分析】本题主要考查了频数分布表， 对于（1），将所有频数相加可得总数； 对于（2），根据组距，组数的定义解答； 对于（3），观察统计表可知第4，5组的人数和即为答案； 对于（4），第5，6组的人数和除以总人数即可得出答案. 【详解】（1）解：（人）； （2）解：组距：，组数是6； （3）解：跳绳次数在范围的学生有：（人）； （4）解：由题意可得． 答：全班的优秀率为． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． (1)本次调查的样本容量为________，频数分布表中的的值为________； (2)组所在扇形的圆心角的大小为________； (3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 【答案】(1)60，12 (2) (3)860人 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，并准确计算是解题的关键． （1）利用组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量；利用样本容量减去组的频数得到组的频数； （2）用乘以组占样本的百分比，即可得到组所在扇形的圆心角的大小； （3）用该校学生总数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比，即可估计该校学生劳动时间超过的人数． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查的样本容量是， 则． 故答案为：60，12； （2）组所在扇形的圆心角的大小是． 故答案为：； （3）（人）． 答：该校学生劳动时间超过的人数为860人． 12．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某校学生健康活动中心通过调查，形成了如下调查报告(不完整)． 调查目的 1． 为配合卫生部门的“正脊行动”，提前了解全校学生脊柱健康状况 2． 为全校学生保护脊柱健康提出合理建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 本校部分学生 调查内容 该生的脊柱健康状况的检查结果是： A． 正常 B． 轻度侧弯 C． 中度侧弯 D． 重度侧弯 调查结果 学生脊柱健康状况统计表 类型 A B C D 频数(人数) 频率 85 0.85 11 0.11 3 0.03 1 0.01 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查 名学生； (2)小明用扇形统计图对统计数据进行重新整理，则在小明要画的扇形统计图中，脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1800名学生，请估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是多少？ (4)假如你是学生健康中心成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)100 (2) (3)72 (4)学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校通过开展脊柱健康知识讲座、举办脊柱保护科普活动等方式，提高学生对于脊柱健康的重视程度， 每天组织学生做护脊操等．让他们养成良好的脊柱保护习惯．（答案不唯一） 【分析】本题考查了频数统计表，样本估计总体． （1）根据频率等于频数除以总数即可求出抽查的学生数； （2）由脊柱健康结果为C的百分比乘以即可得对应的扇形圆心角的度数； （3）由总人数乘以脊柱侧弯程度为中度和重度的频率即可； （4）学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校开展脊柱宣传保护活动． 【详解】（1）本次调查共抽查学生数：， 故答案为：100． （2）脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 故答案为：． （3）∴被抽查的100人中脊柱侧弯程度为中度和重度：， ∴（人）． 答：估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是72． （4）学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校通过开展脊柱健康知识讲座、举办脊柱保护科普活动等方式，提高学生对于脊柱健康的重视程度， 每天组织学生做护脊操等．让他们养成良好的脊柱保护习惯．． 考点五 认识概率（共3小题） 13．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为， A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，不符合题意； B. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，符合题意； C. 若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； D. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为，错误，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有 个． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2513， ∴白球的个数为：个， ∴袋中黑球有：个． 故答案为：12． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 (1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图； (2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）． 【答案】(1)填报见解析；折线统计图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义． （1）根据表格中的数据求出频率，然后描点画出折线统计图即可； （2）根据折线统计图进行解答即可． 【详解】（1）解：，，；；； ，，；，， 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 （2）解：根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是． 考点六 图形的旋转（共3小题） 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 17．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ．    (1)求的度数： (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，可得是等边三角形，从而得到，即可求解； （2）由旋转的性质可得，根据等边三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 考点七 中心对称与中心对称图形（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，熟练掌握周对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义，设计图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，设计图形即可； （3）根据中心对称图形的定义，设计图形即可． 【详解】（1）解：由题意，设计图形如下： （2）由题意，设计图形如下： （3）由题意，设计图形如下： 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析，6 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，中心对称的性质，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，运用割补法进行列式计算得线段扫过的面积，即可作答． （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答． （3）观察与，得出与是成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 连接 ∴线段扫过的面积， 则 在平移的过程中，线段扫过的面积为， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，对称中心如图． 考点八 平行四边形的判定（共3小题） 22．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 24．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 考点九 平行四边形的性质（共3小题） 25．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 26．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，中，，，，为垂足， (1)求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）根据已知条件证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，进而根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形的两个锐互余即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴, ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 27．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 考点十 矩形的判定（共3小题） 28．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 29．（2025·江苏南通·模拟预测）【阅读材料】 老师的问题： 已知：在中，． 求作：矩形． 小飞的作法： （1）以点为圆心，长为半径作弧； （2）以点为圆心，长为半径作弧； （3）两弧交于点，连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由作图过程得证明，得出，证明四边形是平行四边形，最后运用对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 30．（2024·江苏镇江·二模）如图，平行四边形中，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)连接，当与满足条件________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，推出四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，， 、分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：当与满足条件时，四边形是矩形． 在平行四边形中，，，， 、分别是、的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 考点十一 矩形的性质（共3小题） 31．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 32．（2024·四川南充·一模）如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 33．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： （2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 （3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 考点十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 35．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故答案为：． 36．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1)15 (2)①2；②的长为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ； 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 考点十三 菱形的判定（共3小题） 37．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 38．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，，则，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ∴四边形是平行四边形； （2）添加条件：，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 39．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定，掌握矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）依据菱形的性质以及矩形的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 考点十四 菱形的性质（共3小题） 40．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ， ． 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期中） 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识： （1）只要证明四边形是平行四边形，即可； （2）在中，利用勾股定理即可解决问题； 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，为对角线， ， ， ∴平行四边形是矩形． ． （2）解：四边形为菱形，且边长为4， ，，， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为20，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ， ， ， 的长为10． 考点十五 菱形的面积计算（共3小题） 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 44．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接，交于F． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)216 【分析】（1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）解：证明：四边形是菱形， ． ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； （2）由（1）知，， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理矩形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 45．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，根据平行四边形的判定即可得证； （2）欲求菱形的面积，求得、的长度即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用．掌握菱形的性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 考点十六 正方形的判定（共3小题） 46．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 47．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)242 【分析】对于（1），先根据定义说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，即可得出，进而得出答案； 对于（2），先说明四边形是正方形，再求出，进而求出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形. 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）， 四边形是正方形， ∴. ， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 48．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，为边上的一动点（不与，重合），交于点，交于点．    (1)满足什么条件时，四边形为矩形？说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？说明理由； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？ 【答案】(1)是直角时，四边形为矩形； (2)当平分时，四边形为菱形； (3)当是直角时，四边形为正方形． 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及矩形的性质． （1）根据，可判断四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求解； （2）当为的平分线时，由平分角及可得，即可得四边形为菱形； （3）由四边形为正方形，得，即当是以为斜边的直角三角形即可． 【详解】（1）解：当是直角三角形即是直角时，四边形为矩形， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 当是直角时，四边形为矩形； （2）解：当平分时，四边形为菱形， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （3）解：当是直角三角形即是直角时，四边形为正方形， ∵四边形为菱形， ∴当是直角时，四边形为正方形． 考点十七 正方形的性质（共3小题） 49．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）根据四边形为正方形，根据勾股定理求出，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，根据正方形性质得出，根据，得出； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 51．（23-24八年级下·江苏·周测）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，从而得到，再由直线，直线a，可得，从而得到，可证明，即可求证； （2）根据题意可得，，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线，直线a， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 考点十八 中点四边形（共3小题） 52．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 53．（24-25八年级下·湖北·期中）问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）符合；10000元 【分析】（1）根据正方形的判定定理证明即可； （2）连接，，与相交于点O．证明，得到，再证明，利用四边形为正方形．由勾股定理，得（米），（米），即可求出铺设地砖所需的费用． 【详解】（1）（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：符合． 如图，连接，，与相交于点O． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形为正方形． ∵米，米，， ∴由勾股定理，得（米）， ∴（米）， （元）． ∴铺设地砖所需的费用为10000元． 【点睛】本题考查正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 54．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析； (2)，证明见解析 【分析】 （1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形为菱形，进而由中位线定理判定四边形的对角线垂直． 【详解】（1）解：平行四边形， 理由： ∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如图所示，    连接、、、，设与交于点O， 连接、， 由中位线定理得：，且， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴中点四边形为菱形， ∴， 故要镶嵌后的平行四边形为矩形， 则四边形需要满足的条件为． 【点睛】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 考点十九 三角形的中位线（共3小题） 55．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是，的中点，延长至点F，使得，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识． （1）根据三角形中位线定理得出，，证出，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形，是的中位线， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵点D是的中点， ∴， ∴． 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形． [方法]若点P、Q分别为、的中点，猜想线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [探究]如图2，将矩形绕点C顺时针旋转，旋转角为．连接、，点H为中点，线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [应用]如图3，在矩形绕点C旋转的过程中，连接，点H为中点． 若，，求面积的最大值． 【答案】[方法]，见解析；[探究]，见解析；［应用］27 【分析】[方法]根据矩形的性质得点P是、的交点，点Q是、的交点，且，，根据三角形中位线定理即可得出结论； [探究]延长到点N，使，则四边形是平行四边形，证明，可得，即可得出； [应用]过点E作于P，过点H作于Q，连接，由题意可得，图形在旋转过程中，P、C、E在同一直线上时，最大，即的值最大，此时，，求出NE，可得的值，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：[方法]．理由如下： 连接，， ∵矩形，P是的中点， ∴点P是、的交点， ∴， 同理，， ∴是的中位线， ∴； [探究] ．理由如下： 延长到点N，使，连接，， ∵点H为中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ［应用］过点E作于P，过点H作于Q，连接， 在中，， ∵点H为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点H为中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可得，图形在旋转过程中，P、C、E在同一直线上时，最大，即的值最大， 此时，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴面积的最大值． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 57．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 【答案】(1)③④ (2)见解析 【分析】本题主要考查了“对垂四边形”的定义、正方形、菱形的性质、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据“对垂四边形”的定义、正方形、菱形的性质逐个判断即可； （2）如图：连接，由三角形中位线的性质可得、，再由矩形的性质可得，则，然后根据“对垂四边形”的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形和菱形的对角线互相垂直， ∴一定是“对垂四边形”的是③、④，即③、④一定是“对垂四边形”． 故答案是∶ ③④． （2）解：如图：连接，    ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是“对垂四边形”． 考点二十 分式的相关概念（共3小题） 58．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 59．（24-25八年级下·广东深圳·期中）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为 0 ， ∴，且， 即． 故答案为：． 60．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 考点二十一 分式的基本性质（共3小题） 61．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 62．（2025·河北衡水·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据约分要求进行计算可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 63．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分子为平方差公式，分母提取公因式后，可约去公因式即可解答． （2）分别分析分母的系数和字母部分，找到最小公倍数后合并分子． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2），． 考点二十二 分式的混合运算（共3小题） 64．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算； （1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 65．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减及乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）根据同分母分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可。 【详解】（1）解：原式=     ． （2）解：原式= ． 66．（2025·江苏南京·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号内分式通分，分子因式分解，变分式除法为乘法，最后约分化简即可． 【详解】解： ． 考点二十三 分式加减的实际应用（共3小题） 67．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)3 (3)18或12 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的加减运算，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式，属于分式的综合运用． （1）根据题意，，，由此即可求解； （2）用分离常数法，分式得，由此即可求解． （3）先计算得到，由、均为非零整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①； ②． 故答案为：①；② （2）解：， ，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大， 当时，分母的值越大，分式的值越小， 当时，， 即当时，分式有最大值，最大值为3． （3）解：，，， ， 、均为非零整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的值为18或12． 68．（23-24八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析 【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断． 【详解】解：乙的购买方式更合算．理由： 甲的平均价格为； 乙的平均价格为； ； ∵， ∴； ∴甲的平均价格乙的平均价格， ∴乙的购买方式更合算． 69．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 考点二十四 分式化简求值（共3小题） 70．（2025·江苏宿迁·二模）先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【详解】解： ； 且， ∴当时，原式； 当时，原式. 71．（2025·江苏无锡·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简，再整体代入的值到化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ， ， 代入，原式． 72．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， =1． 考点二十五 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 73．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，先去分母解分式方程可得，再根据分式方程的解为正数可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：， ∵方程的解为正数，且， ∴且， 解得：且； 故选A． 74．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 75．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 考点二十六 分式方程的增根问题（共3小题） 76．（2024九年级上·吉林长春·学业考试）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 77．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）若分式方程有增根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根 ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 78．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 考点二十七 分式方程的无解问题（共3小题） 79．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如果关于的方程无实数根，那么的值为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查了分式方程无解问题、实数，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键．对方程去分母化为整式方程，再解整式方程得到，根据关于的方程无实数根可知或，得到关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于的方程无实数根， 或， 或， 解得：或， 的值为6或14． 故答案为：6或14． 80．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是解题的关键．先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴，得， ∴， 解得：， 故答案为：． 81．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法． 对于（1），代入数值求出解即可； 对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入分式方程，得 ， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母，得． 整理，得． 当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时，由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程，得， 解得． 综上所述，m的值为1或． 考点二十八 解分式方程（共3小题） 82．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母得． 去括号得， ． 检验：当时，． 是原方程的解． （2）解：， 去分母得， 去括号得， ． 检验：当时，． 是增根． 原方程无解． 83．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键． （1）先去分母，再计算一元一次方程即可； （2）先去分母，再计算一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 84．（24-25八年级上·湖北随州·期末）解下列分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键． （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解． （2）， 去分母得：， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解． 考点二十九 分式方程的应用（共3小题） 85．（2025·江苏扬州·二模）某企业加工生产甲、乙两种文旅产品，单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同．已知每天单独加工生产甲种文旅产品比每天单独加工生产乙种文旅产品多15件．求每天单独加工生产甲、乙两种文旅产品的数量． 【答案】每天单独加工生产甲文旅产品80件，乙文旅产品65件 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每天单独加工生产甲文旅产品的数量为x件，则每天单独加工生产乙文旅产品的数量为件，根据“单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同”列方程求解即可． 【详解】解：设每天单独加工生产甲文旅产品x件，则每天单独加工生产乙文旅产品件， 根据题意，得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每天单独加工生产甲文旅产品80件，乙文旅产品65件． 86．（2025·江苏扬州·二模）扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 【答案】大明寺单价为25元，个园单价为35元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设“大明寺”冰箱贴单价为元，根据“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设“大明寺”冰箱贴单价为元，“个园”冰箱贴单价为元 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解； （元）； 答：大明寺”单价为25元，“个园”单价为35元． 87．（2025·江苏扬州·一模）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？ 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：前期电话询问时，钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 考点三十 反比例函数的相关概念（共3小题） 88．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义可得，可解得． 【详解】解：根据反比例函数的定义可得， 解得． 故选C． 89．（23-24九年级上·广东梅州·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数． 根据反比例函数的定义得出且，再求出m即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：3． 90．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 考点三十一 反比例函数的图象（共3小题） 91．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 92．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 93．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 考点三十二 反比例函数的对称性（共3小题） 94．（2024·辽宁鞍山·一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴点A和点B关于原点对称， 把代入到中得：， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键． 95．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得点坐标． 【详解】解：点的坐标为， 根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得第一象限内点坐标为，在第三象限内点坐标为或， 点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标满足反比例函数的解析式． 96．（23-24八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【答案】 【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 考点三十三 根据反比例函数的增减性求参数（共3小题） 97．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】(1)的最小整数值为0 (2)有交点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 【详解】（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）解：有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点 98．（24-25九年级上·山东济宁·期末）反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 99．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 考点三十四 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 100．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）反比例函数，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由反比例函数可知：，则在每个象限内，y随x的增大而减小，再分析求解即可． 【详解】解：由反比例函数可知：，则在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，则， ∴当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是或； 故选：C． 101．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）若是反比例函数图像上的三点，则比较的大小为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较反比例函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点分别代入，求出对应的函数值，进行大小比较即可． 【详解】解：将点分别代入得：， ∴， 故答案为：． 102．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，是反比例函数图象上的两点： ∴函数图象在第二，四象限，随着的增大而增大， ∴时，； 故答案为：． 考点三十五 反比例函数的k值（共3小题） 103．（2025·江苏扬州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么 ． 【答案】18 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数的几何意义，矩形的性质，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴与点D，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则：， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 过点作轴于点D，延长交于点， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 104．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解： 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 105．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 考点三十六 反比例函数解析式（共3小题） 106．（23-24九年级下·湖北荆门·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是： （1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，， 解得， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得， ， 一次函数的图象经过，两点， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）由图象可知：时的取值范围是或， 故答案为或． 107．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．    (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是x轴上的点，若的面积等于6，则点P的横坐标为_____． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把A、B坐标代入反比例函数解析式求出A、B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）设直线与x轴交于C，，则，则，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， 把代入中得：，解得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：设直线与x轴交于C，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的横坐标为或， 故答案为：或．    108．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】反比例函数的表达式为． 【分析】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式．将点坐标代入一次函数的表达式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：把点代入，得， 解得， ∴, 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 考点三十七 反比例函数与一次函数（共3小题） 109．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解不等式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据交点坐标和图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标取值范围可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点， ∴，，即， ∴，， 将代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知，，， 根据图象，当时，x的取值范围为或． 110．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 111．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求k的值； (2)点在这个反比例函数的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)12 (2)在，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m值，进而利用待定系数法求解即可； （2）再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【详解】（1）解：∵直线经过， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴点在这个反比例函数的图象上． 考点三十八 反比例函数与几何（共3小题） 112．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：三个整数点，如图所示：    （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 113．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或． (3)4 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键． （1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可； （2）根据图象即可得出不等式的解集； （3）先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象过， ， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， ， 点的坐标为， 将点，坐标代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数的解析式为：． （2）解：根据图象可知，不等式的解集是：或． 故答案为：或． （3）解：一次函数与轴相交于点， 点坐标为， ， 点坐标为， ， 点坐标为， ， ． 114．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 考点三十九 反比例函数的实际问题（共3小题） 115．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式； （2）再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的ρ值． 【详解】（1）设，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，． 116．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速． (1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式； (2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？ (3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数应用，根据题目给定条件正确列出有关量的函数表达式，是解答关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出t与v之间的函数表达式即可； （2）把代入到（1）得到的函数表达式全程运行时间； （3）把代入到（1）得到的函数表达式得到提速后的平均速度，再根据题意判定速度范围即可． 【详解】（1）解： ∴ （2）当时， 答：提速后全程运行3h． （3）当时， 由函数增减性可知，速度至少为． 117．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 考点四十 二次根式的相关概念（共3小题） 118．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得，即可得． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∴x的取值范围是． 故选C． 119．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知则，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件求出，进而求出y的值，代入中进行计算求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得，， ， 当时，，， ， ∴． 故选：A． 120．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 考点四十一 利用二次根式的性质化简（共3小题） 121．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，二次根式性质，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，二次根式性质进行计算即可． 【详解】解： ． 122．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为、、，设，则这个三角形的面积（海伦-秦九韶公式）．求当，，时，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，以及利用二次根式的性质化简等知识点，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据三角形的三边长求出的值，然后再代入三角形面积公式中计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， 的值是． 123．（23-24八年级上·江苏常州·期末）若，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了求算术方根及二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键。由，得，进而得，代入求解即可。 【详解】解：由，得， ∴且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 考点四十二 复合二次根式的化简（共3小题） 124．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 125．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 126．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 考点四十三 二次根式混合运算（共3小题） 127．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知运算法则，熟练计算是解题的关键． （1）先化简各项，再加减即可解答； （2）先计算乘法和平方，再化简，最后加减即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 128．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）首先计算算术平方根和化简绝对值，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 129．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点四十四 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 130．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 131．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 132．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ， 解得：． 故答案为：5． 考点四十五 分母有理化（共3小题） 133．（2025·江苏南京·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先将被开方数化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 134．（24-25九年级下·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的减法法则，分母有理化，掌握分母有理化的方法，合并同类二次根式的法则是解此题的关键． 首先将分母化简相减，然后利用分母有理化的方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 135．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2） ． （3） ． 考点四十六 已知字母的值化简求值（共3小题） 136．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则对分式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 137．（2024·福建龙岩·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 138．（2024·湖北·一模）先化简，再求值．．已知． 【答案】；2 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 考点四十七 比较二次根式的大小（共3小题） 139．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 140．（23-24八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】将两数平方，根据结果比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平方法进行比较． 141．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 考点四十八 二次根式的应用（共3小题） 142．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 143．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 144．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步化：．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)若a是的小数部分，求的值． (3)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小、二次根式的混合运算、二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题意，可以得，可以求得所求式子的值； （3）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a是的小数部分，， ∴， ； （3）解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷易错144题（48个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 普查与抽样调查 · 题型二 统计图的选用 · 题型三 频数和频率 · 题型四 频数分布表和频数分布直方图 · 题型五 认识概率 · 题型六 图形的旋转 · 题型七 中心对称与中心对称图形 · 题型八 平行四边形的判定 · 题型九 平行四边形的性质 · 题型十 矩形的判定 · 题型十一 矩形的性质 · 题型十二 矩形的折叠问题 · 题型十三 菱形的判定 · 题型十四 菱形的性质 · 题型十五 菱形的面积计算 · 题型十六 正方形的判定 · 题型十七 正方形的性质 · 题型十八 中点四边形 · 题型十九 三角形的中位线 · 题型二十 分式的相关概念 · 题型二十一 分式的基本性质 · 题型二十二 分式的混合运算 · 题型二十三 分式加减的实际应用 · 题型二十四 分式化简求值 · 题型二十五 根据分式方程解的情况求值 · 题型二十六 分式方程的增根问题 · 题型二十七 分式方程的无解问题 · 题型二十八 解分式方程 · 题型二十九 分式方程的应用 · 题型三十 反比例函数的相关概念 · 题型三十一 反比例函数的图象 · 题型三十二 反比例函数的对称性 · 题型三十三 根据反比例函数的增减性求参数 · 题型三十四 比较反比例函数值或自变量的大小 · 题型三十五 反比例函数的k值 · 题型三十六 反比例函数解析式 · 题型三十七 反比例函数与一次函数 · 题型三十八 反比例函数与几何 · 题型三十九 反比例函数的实际问题 · 题型四十 二次根式的相关概念 · 题型四十一 利用二次根式的性质化简 · 题型四十二 复合二次根式的化简 · 题型四十三 二次根式混合运算 · 题型四十四 最简二次根式与同类二次根式 · 题型四十五 分母有理化 · 题型四十六 已知字母的值化简求值 · 题型四十七 比较二次根式的大小 · 题型四十八 二次根式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 考点一 普查与抽样调查（共3小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列调查中，最适宜采用普查的是（   ） A．调查本市中学生每天做作业的时间 B．调查某批次新能源汽车的电池使用寿命 C．调查全市各大超市蔬菜农药残留量 D．调查运载火箭的零部件的质量 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A．名八年级学生的全体是总体 B．每个八年级学生是个体 C．名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D．样本容量是 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析．在这一抽样调查中，样本容量是 ． 考点二 统计图的选用（共3小题） 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）中华五岳是中国古代文化中的五大名山，五岳不仅代表了中国山水之美，更承载着中华民族的文化传统和精神象征．为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是 统计图，（填“扇形”、“折线”或“条形”） 5．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某班同学对“开学第一课”节目评价等级的扇形图如图所示，则等级所在扇形的圆心角度数为 ． 6．（23-24八年级下·全国·期中）某校七年级（1）班60名学生在一次英语测试中，优秀的占，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是 度；表示良好的扇形圆心角是，则良好的学生有 ． 考点三 频数和频率（共3小题） 7．（2025·江苏泰州·一模）将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 8．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是 ． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）下表是光明中学七年级（5）班的40名学生的出生月份的调查记录： 2 8 9 6 5 4 3 3 11 10 12 10 12 3 4 9 12 3 5 10 11 2 12 7 2 9 12 8 1 12 11 4 12 10 5 3 2 8 10 12 (1)请你重新设计一张统计表，使全班同学在每个月出生人数情况一目了然； (2)求出10月份出生的学生的频数和频率； (3)现在是1月份，如果你准备为下个月生日的每一位同学送一份小礼物，那你应该准备多少份礼物？ 考点四 频数分布表和频数分布直方图（共3小题） 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）【新情境】 体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出频数分布表． 次数 频数 2 4 20 13 8 5 (1)全班有多少学生？ (2)组距是多少？组数是多少？ (3)求跳绳次数x在范围的学生； (4)若跳绳次数不低于140次时成绩为优秀，求全班的优秀率． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． (1)本次调查的样本容量为________，频数分布表中的的值为________； (2)组所在扇形的圆心角的大小为________； (3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 12．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某校学生健康活动中心通过调查，形成了如下调查报告(不完整)． 调查目的 1． 为配合卫生部门的“正脊行动”，提前了解全校学生脊柱健康状况 2． 为全校学生保护脊柱健康提出合理建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 本校部分学生 调查内容 该生的脊柱健康状况的检查结果是： A． 正常 B． 轻度侧弯 C． 中度侧弯 D． 重度侧弯 调查结果 学生脊柱健康状况统计表 类型 A B C D 频数(人数) 频率 85 0.85 11 0.11 3 0.03 1 0.01 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查 名学生； (2)小明用扇形统计图对统计数据进行重新整理，则在小明要画的扇形统计图中，脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1800名学生，请估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是多少？ (4)假如你是学生健康中心成员，请你向该校提一条合理建议． 考点五 认识概率（共3小题） 13．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有 个． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 (1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图； (2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）． 考点六 图形的旋转（共3小题） 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 17．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 18．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ．    (1)求的度数： (2)若，求的长． 考点七 中心对称与中心对称图形（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 考点八 平行四边形的判定（共3小题） 22．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 24．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 考点九 平行四边形的性质（共3小题） 25．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 26．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，中，，，，为垂足， (1)求的长； (2)若，，求的度数． 27．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 考点十 矩形的判定（共3小题） 28．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 29．（2025·江苏南通·模拟预测）【阅读材料】 老师的问题： 已知：在中，． 求作：矩形． 小飞的作法： （1）以点为圆心，长为半径作弧； （2）以点为圆心，长为半径作弧； （3）两弧交于点，连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 30．（2024·江苏镇江·二模）如图，平行四边形中，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)连接，当与满足条件________时，四边形是矩形． 考点十一 矩形的性质（共3小题） 31．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 32．（2024·四川南充·一模）如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，试求的长． 33．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 考点十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ． 36．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 考点十三 菱形的判定（共3小题） 37．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 38．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 39．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，，求的长． 考点十四 菱形的性质（共3小题） 40．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期中） 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为20，求的长． 考点十五 菱形的面积计算（共3小题） 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 44．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接，交于F． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 45．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 考点十六 正方形的判定（共3小题） 46．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 47．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 48．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，为边上的一动点（不与，重合），交于点，交于点．    (1)满足什么条件时，四边形为矩形？说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？说明理由； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？ 考点十七 正方形的性质（共3小题） 49．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 51．（23-24八年级下·江苏·周测）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 考点十八 中点四边形（共3小题） 52．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 53．（24-25八年级下·湖北·期中）问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 54．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 考点十九 三角形的中位线（共3小题） 55．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是，的中点，延长至点F，使得，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形． [方法]若点P、Q分别为、的中点，猜想线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [探究]如图2，将矩形绕点C顺时针旋转，旋转角为．连接、，点H为中点，线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [应用]如图3，在矩形绕点C旋转的过程中，连接，点H为中点． 若，，求面积的最大值． 57．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 考点二十 分式的相关概念（共3小题） 58．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 59．（24-25八年级下·广东深圳·期中）当 时，分式的值为0． 60．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 考点二十一 分式的基本性质（共3小题） 61．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 62．（2025·河北衡水·模拟预测）化简的结果是 ． 63．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 考点二十二 分式的混合运算（共3小题） 64．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 65．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 66．（2025·江苏南京·一模）计算：． 考点二十三 分式加减的实际应用（共3小题） 67．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 68．（23-24八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 69．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 考点二十四 分式化简求值（共3小题） 70．（2025·江苏宿迁·二模）先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 71．（2025·江苏无锡·二模）先化简，再求值：，其中． 72．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 考点二十五 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 73．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．且 74．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 75．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 考点二十六 分式方程的增根问题（共3小题） 76．（2024九年级上·吉林长春·学业考试）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 77．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）若分式方程有增根，则 ． 78．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 考点二十七 分式方程的无解问题（共3小题） 79．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如果关于的方程无实数根，那么的值为 ． 80．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 81．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 考点二十八 解分式方程（共3小题） 82．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 83．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）解方程． (1)； (2)． 84．（24-25八年级上·湖北随州·期末）解下列分式方程 (1)； (2)． 考点二十九 分式方程的应用（共3小题） 85．（2025·江苏扬州·二模）某企业加工生产甲、乙两种文旅产品，单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同．已知每天单独加工生产甲种文旅产品比每天单独加工生产乙种文旅产品多15件．求每天单独加工生产甲、乙两种文旅产品的数量． 86．（2025·江苏扬州·二模）扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 87．（2025·江苏扬州·一模）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？ 考点三十 反比例函数的相关概念（共3小题） 88．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 89．（23-24九年级上·广东梅州·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 90．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 考点三十一 反比例函数的图象（共3小题） 91．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 92．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 93．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 考点三十二 反比例函数的对称性（共3小题） 94．（2024·辽宁鞍山·一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 95．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 96．（23-24八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    考点三十三 根据反比例函数的增减性求参数（共3小题） 97．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 98．（24-25九年级上·山东济宁·期末）反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 99．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 考点三十四 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 100．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）反比例函数，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 101．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）若是反比例函数图像上的三点，则比较的大小为 ．（用“<”连接） 102．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”） 考点三十五 反比例函数的k值（共3小题） 103．（2025·江苏扬州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么 ． 104．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 105．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 考点三十六 反比例函数解析式（共3小题） 106．（23-24九年级下·湖北荆门·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出时x的取值范围． 107．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．    (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是x轴上的点，若的面积等于6，则点P的横坐标为_____． 108．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 考点三十七 反比例函数与一次函数（共3小题） 109．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 110．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 111．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求k的值； (2)点在这个反比例函数的图象上吗？为什么？ 考点三十八 反比例函数与几何（共3小题） 112．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 113．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 114．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 考点三十九 反比例函数的实际问题（共3小题） 115．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 116．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速． (1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式； (2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？ (3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 117．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 考点四十 二次根式的相关概念（共3小题） 118．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 119．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知则，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 120．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 考点四十一 利用二次根式的性质化简（共3小题） 121．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： 122．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为、、，设，则这个三角形的面积（海伦-秦九韶公式）．求当，，时，的值． 123．（23-24八年级上·江苏常州·期末）若，求的算术平方根． 考点四十二 复合二次根式的化简（共3小题） 124．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 125．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 126．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 考点四十三 二次根式混合运算（共3小题） 127．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 128．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）计算 (1) (2) 129．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 考点四十四 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 130．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 131．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 132．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是 ． 考点四十五 分母有理化（共3小题） 133．（2025·江苏南京·模拟预测）化简的结果是 ． 134．（24-25九年级下·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 135．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 考点四十六 已知字母的值化简求值（共3小题） 136．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 137．（2024·福建龙岩·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 138．（2024·湖北·一模）先化简，再求值．．已知． 考点四十七 比较二次根式的大小（共3小题） 139．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 140．（23-24八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 141．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 考点四十八 二次根式的应用（共3小题） 142．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 143．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为 ． 144．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步化：．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)若a是的小数部分，求的值． (3)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$