猜想02 二项式定理及其应用（考题猜想，9大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想02 二项式定理及其应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二项展开式的特定项 · 题型二 二项展开式的有理项 · 题型三 三项展开式的指定项 · 题型四 多个二项式积的展开式的特定项 · 题型五 二项式系数和及各项系数和问题 · 题型六 （二项式）系数的最值 · 题型七 整除和余数问题 · 题型八 杨辉三角 · 题型九 二项式定理与数列求和 题型一 二项展开式的特定项 1． 展开式的常数项为（   ） A．20 B．90 C．40 D．120 2．若的展开式中的系数为240，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．的展开式的第4项系数是（   ） A． B．280 C． D．560 4．若的展开式中存在常数项，则的最小值为 . 5．的二项展开式中的系数为 ． 题型二 二项展开式的有理项 6．在的展开式中有理项的系数的和为 ． 7．在的展开式中，有理项有 项． 8．已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 项. 9．在的展开式中，求． (1)含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项． 10．已知的展开式中第7项为常数项． (1)求的值； (2)从展开式中的所有项中任取两项，求取出的两项都是有理项的概率． 11．已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 题型三 三项展开式的指定项 12．多项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 13．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 14．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 15．的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 16．在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 17．在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为 . 题型四 多个二项式积的展开式的特定项18． 的展开式中的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 19．已知的展开式中的系数为，则 . 20．的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 21．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 22．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 23．展开式中的系数为 ． 题型五 二项式系数和及各项系数和问题 24． 的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 25．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 26．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则 ；展开式中的系数是 ． 27．已知，则的值为 ． 28．若，则 ．（用数字作答） 29．若，则 ． 30．设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 题型六 （二项式）系数的最值 31．在的展开式中，二项式系数的最大值为20，则系数的最大值为（   ） A．729 B．1243 C．1458 D．2187 32．的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（    ） A．35 B． C． D． 33．若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 34．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 35．已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 36．（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大211．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 37．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 题型七 整除和余数问题 38．设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 39．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 40．被8整除的余数为 . 41．已知，且. (1)求的值； (2)若时，求被4整除的余数. 42．已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 43．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 题型八 杨辉三角 44．将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 45．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 46．（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（    ）    A．第行中，从左到右看第个数最大 B．第行的所有数的和为 C． D． 47．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 48．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 题型九 二项式定理与数列求和 49．设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（     ） A． B． C． D． 50．“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则 ，数列的前项和 ． 51．若数列满足，，则的前n项和为 . 52．已知数列满足，其前项和为，则 ． 53．已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. $$猜想02 二项式定理及其应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二项展开式的特定项 · 题型二 二项展开式的有理项 · 题型三 三项展开式的指定项 · 题型四 多个二项式积的展开式的特定项 · 题型五 二项式系数和及各项系数和问题 · 题型六 （二项式）系数的最值 · 题型七 整除和余数问题 · 题型八 杨辉三角 · 题型九 二项式定理与数列求和 题型一 二项展开式的特定项 1． 展开式的常数项为（   ） A．20 B．90 C．40 D．120 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故选：A． 2．若的展开式中的系数为240，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】的展开式通项为. 令得展开式中的系数为，即， 对于A，时，，不满足方程； 对于B，时，，不满足方程； 对于C，时，，满足方程； 对于B，时，，不满足方程. 故选：C 3．的展开式的第4项系数是（   ） A． B．280 C． D．560 【答案】A 【详解】的展开式的第4项系数是. 故选：A 4．若的展开式中存在常数项，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】由二项式的展开式的通项， 令，得，又因为，所以的最小值为3. 故答案为：3. 5．的二项展开式中的系数为 ． 【答案】 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为. 故答案为： 题型二 二项展开式的有理项 6．在的展开式中有理项的系数的和为 ． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 当时，展开式为有理项， 所以展开式中有理项的系数的和为. 故答案为：. 7．在的展开式中，有理项有 项． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 令为整数，则，共项. 故答案为：. 8．已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 项. 【答案】3 【详解】展开式的第7项为， 则，，则，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项共有3项. 故答案为：3 9．在的展开式中，求． (1)含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)60 (2) 【详解】（1）由题知展开式的通项为，， 令，解得， 所以展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数为60. （2）令， ∴ 当时， 当时， 当时， 当时， 综上所述，展开式中所有的有理项分别为 10．已知的展开式中第7项为常数项． (1)求的值； (2)从展开式中的所有项中任取两项，求取出的两项都是有理项的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二项式的通项为（且）， 因为第7项为常数项，所以， 解得； （2）二项式的通项为（且）， 令，解得或或或或 所以展开式的有理项共5项，展开式中的所有项有10项， 设“取出的两项都是有理项” 所以，即取出的两项都是有理项的概率为. 11．已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 【答案】(1)15 (2)有3项，分别是第1、第7和第13项 【详解】（1）因为展开式的第7项是 由于第7项是常数项，故，解得； （2）由（1）知， 展开式的通项为， 若为有理项，则为整数， 为6的倍数， ，，共三个数， 展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. 题型三 三项展开式的指定项 12．多项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得，故展开式中项的系数为. 故选：A. 13．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 14．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 15．的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供， 余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供， 故的系数为， ∴， ∴， 故选：C 16．在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 【答案】 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 17．在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为 . 【答案】 【详解】因为在的展开式中，记项的系数为， 所以项的系数， 即， 由，可得， 即， 所以. 故答案为：. 题型四 多个二项式积的展开式的特定项 18． 的展开式中的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含的项为 即展开式中的系数为． 故选：B． 19．已知的展开式中的系数为，则 . 【答案】1 【详解】的展开式的通项，令，得； 令，得. 所以的展开式中的系数为， 则，得或，又，所以. 故答案为：1 20．的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C 21．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）， ，展开式中含的项为， 即的展开式中的系数为. 故答案为:． 22．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【详解】的展开式中的系数等价于的展开式中的系数， 而的展开式的通项为， 令得的展开式中的系数为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： 23．展开式中的系数为 ． 【答案】136 【详解】展开式中的系数． 故答案为：136. 题型五 二项式系数和及各项系数和问题 24． 的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的二项式系数和为. 故选：C 25．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，得， 两边同乘以，得，故A正确； 对于B，令，得， 令，得， 两式相减，得， 即，故B正确； 对于C，两边同时求导数， 得， 再令，得，故C错误； 对于D，，所以， 同理， 所以，故D正确. 故选:ABD. 26．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则 ；展开式中的系数是 ． 【答案】 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 27．已知，则的值为 ． 【答案】255 【详解】由， 令，可得， 又， 上式二项展开的通项为：．令，可得． ∴． 故答案为:255. 28．若，则 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】由题设，与的所有系数和相等， 令，则. 故答案为： 29．若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以令可得， 令可得， 所以. 故答案为：. 30．设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】(1)-1 (2) (3) 【详解】（1）令，则①； （2），则 ，则②； 得，③ （3）得，④ ④-③化简 题型六 （二项式）系数的最值 31．在的展开式中，二项式系数的最大值为20，则系数的最大值为（   ） A．729 B．1243 C．1458 D．2187 【答案】C 【详解】因为，，，所以． 设展开式的第项的系数为，则，． 令得，所以取，得． 故选：C． 32．的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【详解】由二项式系数最大的项是第四项和第五项可知，即可得， 二项展开式的通项为， 令，解得； 因此含的项为； 即的系数为. 故选：D 33．若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 【答案】10 【详解】解：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以n为偶数，且第项的二项式系数最大， 则解得 故答案为： 34．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 【答案】4 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 故答案为：4 35．已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【答案】(1)； (2)7； (3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 【详解】（1）由题设，则， 整理得，故（负值舍）. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为整式项，共有7项； （3）由在上单调递减， 当时，当时，则， 故在上先增后减，且， 故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 36．（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大211．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 【答案】（1）和 （2） 【详解】（1）令得各项系数和为，所以，解得， ，通项为 此时展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项； （2）只有第6项的二项式系数最大，所以， 的通项为， 假设最大，则 所以，解得，又为正整数，所以， 所以展开式中最大的项为. 37．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 题型七 整除和余数问题 38．设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 因为能被整除，又，即能被整除， 即能被整除， 所以能被整除，又且，所以. 故选：C 39．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【详解】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 40．被8整除的余数为 . 【答案】 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 41．已知，且. (1)求的值； (2)若时，求被4整除的余数. 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴. 两边同时求导数 ∴， 令， ∴. （2）时， ， ∴被4整除的余数为3. 42．已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）依题意，，即，解得或，因，故； （2）由（1）可得，则， 由， 易得，故能被4整除， 则可得被4除的余数为1. 43．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 题型八 杨辉三角 44．将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，由题意可知第行第个数是，A对； 对于B选项，当是偶数时，中间的一项的二项式系数最大，此时中间的一项取得最小值取得最小值， 当是奇数时，中间的二项式系数相等且取到最大值，则中间的两项相等，且同时取得最小值，B对； 对于C选项，因为，故，C对； 对于D选项，由于每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 则，D错. 故选：D. 45．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 以此类推，第行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为， 第个数为，即，故D正确； 故选：ABD. 46．（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（    ）    A．第行中，从左到右看第个数最大 B．第行的所有数的和为 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第行中共有个数， 从左到右看第个数最大，A对； 对于B选项，第行的所有数的和为，B错； 对于C选项，由组合数的性质可得，C对； 对于D选项， ，D对. 故选：ACD. 47．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 48．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 题型九 二项式定理与数列求和 49．设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二项式定理，，， 根据指数函数单调性知则单调递增， 当时，，时，故的最小值为7. 故选：C. 50．“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则 ，数列的前项和 ． 【答案】 【详解】由题意知，． 故答案为：，. 51．若数列满足，，则的前n项和为 . 【答案】 【详解】设的前n项和为，则， 又， 故 ， 故， 故答案为：. 52．已知数列满足，其前项和为，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， . 故答案为：. 53．已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设公差为， 则由题有，解得，， ∴数列的通项公式为. （2）∵，∴， ∴， ∴，① ，② ①②得：， ∴. $$