专题04：第9章 复数 高频考点分类期末复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题04 第9章复数高频考点分类复习 知识点一、复数的概念与分类 1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部. 3.复数相等的充要条件: (1)且.) (2)且; (3)且.(.)(只有实数才能比较大小!) 4.复数的分类: 当时,是实数; 当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5.共轭复数 当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 知识点二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则： (1) ; 满足交换律、结合律. (2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律. (4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点三、复数的几何意义 1.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 2.加减法的几何意义: 向量加、减法的平行四边形法则.. (1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即. (2)复平面上的两点间的距离公式:. (3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. (4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.复数的模(或绝对值): 向量的模叫做,记作|z|或; 知识点四、实系数一元二次方程 对于实系数一元二次方程,令,则 若; 若,则; 若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对). 考点1：复数的概念与分类 1.（2020上海高考）设z，其中i为虚数单位，则Imz＝　　　　． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 3．（2023春•徐汇区期末）若虚数使得是实数，则满足　　 A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是 4．（2023春•浦东新区期末）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 5.（24-25高三上·江苏连云港·期中）设复数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023春•浦东新区期末）已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 考点2：复数的相等 8.（2024·上海奉贤区高一期末）已知，，则a＝ ； 9．（2024春•普陀区期中）已知是虚数单位，，复数，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．（2023春•宝山区月考）已知复数，，若，求实数的取值范围 　　． 11．（2022春•金山区期末）已知复数，为实数），并且，则实数　　． 考点3：共轭复数 12.已知复数(为虚数单位)，且是实数，则实数的值为________． 13．（23-24高一下·福建莆田）已知为z的共轭复数，若，求z. 14.（2024·上海徐汇·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 16.（23-24高二下·上海金山·期末）设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为 ． 17．（24-25高三上·上海·开学考试）若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 18．（23-24大同中学高一下阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 考点4：复数的运算 20.（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 21.（24-25高二上·上海·期中）已知复数满足，则 ． 22．（2024上海·模拟预测）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 23.（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 24.（2024高一·全国·专题练习） 考点5：复数的几何意义 25．（2023•长宁区二模）设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2023春•杨浦区期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 27．（2022春•长宁区期末）已知复平面上平行四边形的顶点、、的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是 　　． 28．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 29．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 考点6：复数的模 30.（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 31.（24-25高三上·上海松江·期中）已知复数满足（是虚数单位），则 . 32．（2024春•宝山区期中）已知复数满足，则　　． 33．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）设复数，满足，，则（ ） A．1 B．C． D． 34．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知复数满足，则 ． 35．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 36．（2023春•杨浦区期末）已知，且，为虚数单位，则的最大值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 37．（2024春•浦东新区期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 　　． 38.（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 考点7：实系数一元二次方程 39.的平方根为 40．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 41．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 42．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 考点8：综合提升 43．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 44．（2023春•奉贤区期末）已知复数，且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 45．（2023春•徐汇区期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为若，求复数； （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部． 46.（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 47．（2024春•普陀区期中）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题04 第9章复数高频考点分类复习 知识点一、复数的概念与分类 1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部. 3.复数相等的充要条件: (1)且.) (2)且; (3)且.(.)(只有实数才能比较大小!) 4.复数的分类: 当时,是实数; 当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5.共轭复数 当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 知识点二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则： (1) ; 满足交换律、结合律. (2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律. (4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点三、复数的几何意义 1.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 2.加减法的几何意义: 向量加、减法的平行四边形法则.. (1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即. (2)复平面上的两点间的距离公式:. (3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. (4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.复数的模(或绝对值): 向量的模叫做,记作|z|或; 知识点四、实系数一元二次方程 对于实系数一元二次方程,令,则 若; 若,则; 若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对). 考点1：复数的概念与分类 1.（2020上海高考）设z，其中i为虚数单位，则Imz＝　　　　． 【答案】解：∵Z2﹣3i， ∴Imz＝﹣3． 故答案为：﹣3． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 3．（2023春•徐汇区期末）若虚数使得是实数，则满足　　 A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是 【分析】根据题意可设，、，且，代入计算，根据是实数求出的值． 【解答】解：设，、，且， 则， 因为是实数，所以，即，解得， 所以的实部是． 故选：． 【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题． 4．（2023春•浦东新区期末）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解的值． 【解答】解：为虚数单位）为纯虚数， ，， 故选：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题． 5.（24-25高三上·江苏连云港·期中）设复数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法，结合实数与复数的概念，可得答案. 【详解】， 由题意可得，解得. 故选：B. 6．（2023春•浦东新区期末）已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）设，且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即． （2）解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属基础题． 考点2：复数的相等 8.（2024·上海奉贤区高一期末）已知，，则a＝ ； 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等即可求出结果. 【详解】因为， 则由复数相等可得：， 即. 故答案为：. 9．（2024春•普陀区期中）已知是虚数单位，，复数，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合复数相等的有关概念即可得到结论． 【解答】解：复数，， 若， 则，解得或， “”是“”的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题主要充分条件和必要条件的判断，利用复数相等的有关概念是解决本题的关键，是基础题． 10．（2023春•宝山区月考）已知复数，，若，求实数的取值范围 　　． 【分析】根据复数相等得，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到的范围． 【解答】解：， ，， ， ， ，令，， 根据对勾函数单调性可知函数在，上严格单调递减， ， 所以的范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题． 11．（2022春•金山区期末）已知复数，为实数），并且，则实数　　． 【分析】由复数相等的定义得到，从而，由此能求出结果． 【解答】解：复数，为实数），并且， ， 实数． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 考点3：共轭复数 12.已知复数(为虚数单位)，且是实数，则实数的值为________． 【标准答案】； 【思路指引】 首先根据题意得到，再根据是实数得到. 【详解详析】 为实数， 所以，即. 故答案为： 13．（23-24高一下·福建莆田）已知为z的共轭复数，若，求z. 【答案】或 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法公式及复数相等的充要条件求解. 【详解】解：设（a、）， 则（a、）. 由题意得，即， 则有解得或 所以或. 14.（2024·上海徐汇·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解. 【详解】由， 得， 所以，即的虚部为 故选：D． 15.（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数. 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 16.（23-24高二下·上海金山·期末）设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再利用复数的乘法化简可得出的值. 【详解】设，则， 所以，， 所以，，解得， 因此，． 故答案为：. 17．（24-25高三上·上海·开学考试）若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 18．（23-24大同中学高一下阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C. 【详解】对于A，设， 则，而， 故，故A正确； 对于B，， 则 ， 又， 所以，故B正确； 对于C，令，则，所以， 但是，故C错误； 对于D，，又， 所以，故D正确. 故选：C 考点4：复数的运算 20.（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 21.（24-25高二上·上海·期中）已知复数满足，则 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据乘法运算可得，即可得. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 22．（2024上海·模拟预测）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】先化简再根据复数的乘除法计算可得. 【详解】因为，所以, 所以 . 故选：D. 23.（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【答案】4 【分析】化简，进而求得. 【解析】 ， 所以. 故答案为： 24.（2024高一·全国·专题练习） 【答案】/ 【分析】利用虚数单位的性质，复数的除法、乘方运算法则化简即可. 【详解】，， . 故答案为： 考点5：复数的几何意义 25．（2023•长宁区二模）设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限． 【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为， 在复平面上所对应的点为位于第一象限． 故选：． 【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题． 26．（2023春•杨浦区期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 【分析】由向量的运算知，从而可得对应的复数为，从而求得． 【解答】解：， 对应的复数为， 故点的坐标为， 故答案为：． 27．（2022春•长宁区期末）已知复平面上平行四边形的顶点、、的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是 　　． 【分析】由平行四边形的性质和向量的坐标运算，结合复数的几何意义，可得结论． 【解答】解：由平行四边形可得，，， 则向量所对应的复数是． 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质和向量的坐标运算，以及复数的几何意义，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 28．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【答案】2 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 29．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算以及加法运算化简复数，即可根据复数的分类求解， （2）根据复数乘法化简，根据第四象限的点的特征即可列不等式求解. 【详解】（1）设，∴ ∴ ∴   所以，解得， ∴， ∴； （2）∵m为实数， ∴， 解得 ∴的取值范围是. 考点6：复数的模 30.（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 31.（24-25高三上·上海松江·期中）已知复数满足（是虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数得到，计算进行求模运算即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则，. 故答案为： 32．（2024春•宝山区期中）已知复数满足，则　　． 【分析】利用复数的模的性质进行计算． 【解答】解：由， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题． 33．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）设复数，满足，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据复数的模长公式以及复数相等可得出，通过计算可得出，即可得解. 【详解】设，， 因为，所以，， 因为，， 因为，所以， 即 即， 所以， 所以， 因此，. 故选：C. 34．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知复数满足，则 ． 【答案】 【分析】设，，然后根据题意列方程可求出，，，再求即可. 【详解】设，， 所以， 又， 所以，，， 所以， 又， 所以． 故答案为： 35．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 【答案】(1)的实部为，虚部为； (2)． 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再根据实部和虚部的概念求解； （2）利用共轭复数、复数的模长公式代入计算，根据复数相等列方程组，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的实部为，虚部为． （2）由（1）知，则，， 代入，得， 化简可得， 所以，解得. 36．（2023春•杨浦区期末）已知，且，为虚数单位，则的最大值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：设， ， ，即，表示以点为圆心，1为半径的圆， ，表示圆上的点到点的距离， 的最大值是． 故选：． 【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题． 37．（2024春•浦东新区期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 　　． 【分析】根据复数模的几何意义求解． 【解答】解：由题意，对应的点在以为圆心，半径为1的圆上，连接并延长至， 可得到的距离最大，最大值为，此时，． 故答案为：，． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题． 38.（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 考点7：实系数一元二次方程 39.的平方根为 【答案】 【解析】设所求复数为，由题意有，即， 则，解得或，即或， 即的平方根为， 故答案为. 40．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 41．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 42．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值． （2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值． 【详解】解： （1）∵为方程的根，所以， 整理得到：，由可得. （2）由方程可得， 若即或，则， 则，即，解得， 若即，则，即，解得， 综上所述，实数的值为或． 考点8：综合提升 43．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）由复数的运算化简即可； （2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可. 【详解】（1）∵复数， ∴. （2）设， ∵，∴①. 又∵， ∴②， 由①②联立，解得或， ∴或. 44．（2023春•奉贤区期末）已知复数，且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解； （2）根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：（1）复数， 则， 为纯虚数，即为纯虚数， ，解得； （2）， 复数， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 45．（2023春•徐汇区期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为若，求复数； （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部． 【分析】（1）根据复数的计算规则进行计算即可； （2）由于一元二次方程的两虚根是共轭的，所以其实部的2倍等于两根之和． 【解答】解：（1）由题意，； （2）令 ， 则，，是方程的两根， 由于的两根为，所以设的实部为，则，即． 【点评】本题主要考查复数的基本性质，属中档题． 46．（2024春•普陀区期中）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出，的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于，的方程组可得结果，方法二：设，则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为，则，化简后再利用可求得其最大值． 【解答】解：（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即． 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或． （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：设，是以轴正半轴为始边，为终边的角，则， 所以即， 所以，所以， 且时，满足． 所以． ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且，，三点不共线， 所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题． 【例31】（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【解析】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$