高二数学期末模拟卷01（新高考通用，导数+计数原理+随机变量及其分布列+统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 4．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 5．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 6．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 10．已知函数，则下列正确的是（    ） A．的极小值为0 B．过点的切线方程为 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则a的取值范围是 11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 13．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 . 14．在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 16．（15分）随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据. 为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，. (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； (2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）. 附：样本的最小二乘估计公式为，； 参考数据：，. 17．（15分）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 18．（17分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球. (1)求此人答题三次后，乙罐内球个数的分布列和期望； (2)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球，黑球各个的概率； (3)设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 19．（17分）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：A. 2．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 因为，解得， 因为，， 所以，， 故. 故选：D. 3．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【详解】根据题意，先从剩余的3人中选取2人，站在两端，由种站法， 若甲乙站在2号和4号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法； 若甲乙站在2号和5号位置，则有种站法； 若甲乙站在3号和5号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法， 综上可得，共有种不同的站法. 故选：B. 4．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 【答案】D 【详解】对于A，图1中随增大而减小， y与x呈负相关，A错误； 对于B，图2中各点较分散，y与x的相关性不强，不能肯定不相关，B错误； 对于C，图3中随增大而增大，y与x呈正相关，相关系数大于0，C错误； 对于D，图1与图2，y与x都呈负相关，相关系数为负， 而图1中y与x的线性相关性较图2中y与x的线性相关性强， 所以，图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数，D正确. 故选：D 5．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 6．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 7．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为． 由，得， 则不等式恰有1个整数解． 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 易知为过原点的一条直线， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 要使不等式恰有1个整数解， 则，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 8．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 【答案】ABC 【详解】对于A选项：表示正态分布的均值为3，故； 对于B选项：线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高，符合统计学定义，正确； 对于C选项：将代入回归直线方程得到预测值为，残差为，正确； 对于D选项：插入与原平均数相同的数，新的平均数依然为，设原方差为，则新方差为 ，不正确， 故选：ABC. 10．已知函数，则下列正确的是（    ） A．的极小值为0 B．过点的切线方程为 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则a的取值范围是 【答案】ACD 【详解】由题意知：定义域为R，； ∴当时，；当时，； ∴的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，设过点的切线的切点为，则， 切线方程为，将点代入切线方程，解得或， 当时，切点为，切线斜率为0，切线为， 当时，切点为，切线斜率为，切线为， 在点处的切线方程为或，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， ∴在上恒成立，∴在上恒成立； ∵在上的最大值为，∴，D正确. 故选：ACD. 11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 13．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 . 【答案】 【详解】考虑的位置：先排有种，再排有种，有种，共种． 分两种情况：在对角线；不在对角线． 对于： A ① B ② C 此时的位置有种，考虑①和②这两个位置， 其中①有种，即中选1个放入，与①相邻的两个位置各有个数字放入， 故有种放入的方法， 同理②和与②相邻的位置也有种放入的方法， 所以共有种． 对于： ① A B ② C 此时有种放入方法， 位置①有种放入方法，位置②有种，另外个位置各种， 故共有种． 所以不同的填法种数为种． 故答案为：5184. 14．在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 【答案】/0.375 【详解】用分别表示粉笔在四个盒子，用分别表示老师打开四个盒子， 则，，，，， 由全概率公式可得， 而，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）设该二项式展开式通项为，则， 由题意可得：或， 显然不符题意，舍去，故. 令，即含x的一次项为：；........................6分 （2）由（1）展开式通项为 ，则， 所以不满足，所以展开式中没有常数项； （3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知， 令得为展开式中所有的有理项.........................13分 16．（15分）随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据. 为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，. (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； (2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）. 附：样本的最小二乘估计公式为，； 参考数据：，. 【详解】（1）由题意，知，，可得， 又由， 则， 所以，模型②中关于的回归方程.........................7分 （2）当时，模型①的电子产品花销的预测值为（百元）， 当时，模型②的电子产品花销的预测值为 （百元）.........................15分 17．（15分）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即........................4分 （2）由可得：. 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.........................9分 （3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为.........................1分 18．（17分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球. (1)求此人答题三次后，乙罐内球个数的分布列和期望； (2)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球，黑球各个的概率； (3)设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 【详解】（1）由题知，， 则，， ，， 则的分布列为： 则其期望为.........................5分 （2）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 所以， 又，，， 所以 ， 同理， 所以.........................11分 （3）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. ②由①知，， 所以， 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是.........................17分 19．（17分）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 【详解】（1）（i）当时，， 因为，故是偶函数， 由，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在的极小值为，无极大值.   ........................4分 （ii）由（i）得，令，则， 对满足方程的有，所以， 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （为奇数） 0 + （为偶数） + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证.........................10分 （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则， ， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（）， 则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证.........................17分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B D D D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）设该二项式展开式通项为，则， 由题意可得：或， 显然不符题意，舍去，故. 令，即含x的一次项为：；........................6分 （2）由（1）展开式通项为 ，则， 所以不满足，所以展开式中没有常数项； （3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知， 令得为展开式中所有的有理项.........................13分 16．（15分） 【详解】（1）由题意，知，，可得， 又由， 则， 所以，模型②中关于的回归方程.........................7分 （2）当时，模型①的电子产品花销的预测值为（百元）， 当时，模型②的电子产品花销的预测值为 （百元）.........................15分 17．（15分） 【详解】（1）当时，， 则，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即........................4分 （2）由可得：. 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.........................9分 （3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为.........................15分 18．（17分） 【详解】（1）由题知，， 则，， ，， 则的分布列为： 则其期望为.........................5分 （2）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 所以， 又，，， 所以 ， 同理， 所以.........................11分 （3）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. ②由①知，， 所以， 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是.........................17分 19．（17分） 【详解】（1）（i）当时，， 因为，故是偶函数， 由，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在的极小值为，无极大值.   ........................4分 （ii）由（i）得，令，则， 对满足方程的有，所以， 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （为奇数） 0 + （为偶数） + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证.........................10分 （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则， ， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（）， 则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证.........................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 4．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 5．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 6．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 10．已知函数，则下列正确的是（    ） A．的极小值为0 B．过点的切线方程为 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则a的取值范围是 11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 13．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 . 14．在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 16．（15分）随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据. 为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，. (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； (2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）. 附：样本的最小二乘估计公式为，； 参考数据：，. 17．（15分）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 18．（17分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球. (1)求此人答题三次后，乙罐内球个数的分布列和期望； (2)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球，黑球各个的概率； (3)设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 19．（17分）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$