高一数学期末模拟卷01（新高考通用，平面向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D C B D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以.................................................6分 （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是..................................................13分 16．（15分） 【详解】（1）由题意可知 ................................................4分 （2）由题意可知抽取比例为. 则若抽取26人，则中抽取2人，中抽取4人，中抽取8人，中抽取12人..................................................9分 （3）平均数： 中位数：...............................................15分 17．（15分） 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面..................................................6分 （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为..................................................15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以，    又因为，所以.................................................5分 （2）（ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故，.................................................11分 （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是..................................................17分 19．（17分） 【详解】（1）因为，按照二阶矩阵变换得到点，设， 则，所以................................................3分 （2）设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为；................................................8分 （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证..................................................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 4．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 5．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 6．已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于点.若平面，平面，平面，平面，（）且与（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为，则球的半径为（   ） A．2 B．1 C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 10．某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 13．如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则 ．    14．菱形中，，点在线段上，且，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户. (1)求和的值； (2)从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从，中分别抽取几人？ (3)估计满意度评分的平均数和中位数. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 4．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 5．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 6．已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于点.若平面，平面，平面，平面，（）且与（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为，则球的半径为（   ） A．2 B．1 C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 10．某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 13．如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则 ．    14．菱形中，，点在线段上，且，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户. (1)求和的值； (2)从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从，中分别抽取几人？ (3)估计满意度评分的平均数和中位数. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，即，所以，所以的虚部为2. 故选：C 2．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 4．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 【答案】C 【详解】对于A， 对于B， 对于C， 对于D， 由上易知，选项C的表面积与其他三个不同. 故选：C 5．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 6．已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图 因为中，所以为的外接圆的圆心， 由知为的中点，所以,, 因为，所以， ， 在中，由余弦定理可得 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 7．已知正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于点.若平面，平面，平面，平面，（）且与（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为，则球的半径为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设和（）之间的距离为，球的半径为，所以， 由正弦定理可得，则， 故，所以， 由、、共线，则存在实数使，且， 则，所以，， 所以 即，整理得， 可得，所以， 即，所以， 又（）且与（）之间的距离为， 则，，故，， 由余弦定理可得， 所以，，同理可得，且， 的周长，解得， 故选：A. 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，即， 所以，解得，故B错误； 对于C，设，因为，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确. 故选：ACD. 10．某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ACD 【详解】对于A，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所 以中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则正确. 对于B，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是，则B错误. 对于C，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3， 从而这7个数的平均数最小为，即这7个数的平均数不可能为3，故C正确. 对于，设这7个数分别为，则， . 若7，则 , 从而这6个数可能是或或 或或或或或 或或，这与矛盾， 即这7个数中一定没有出现7，故D正确. 故选：ACD 11．如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，BP最小，由于， 所以为边长为的等边三角形， 到直线的距离，故A错误； 对于B，由已知四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 平面，到平面的距离为定值， 又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确； 对于D，因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，， 所以平面，设与平面交于点， 则三棱锥的体积， 又， ，，， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上， 由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，且， ， 为实数，则，得，且， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点）， 表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则 ．    【答案】 【详解】取中点，连，，易知，， 设，，故，，    则，，，，， 所以，， 平方后求和，得，， 所以，则， . 故答案为： 14．菱形中，，点在线段上，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以， 因为点在线段上， 可设 ， 而，所以，解得， 所以， 则， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以.................................................6分 （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是..................................................13分 16．（15分）随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户. (1)求和的值； (2)从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从，中分别抽取几人？ (3)估计满意度评分的平均数和中位数. 【详解】（1）由题意可知 ................................................4分 （2）由题意可知抽取比例为. 则若抽取26人，则中抽取2人，中抽取4人，中抽取8人，中抽取12人..................................................9分 （3）平均数： 中位数：...............................................15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面..................................................6分 （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为..................................................15分 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以，    又因为，所以.................................................5分 （2）（ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故，.................................................11分 （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是..................................................17分 19．（17分）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：． 【详解】（1）因为，按照二阶矩阵变换得到点，设， 则，所以................................................3分 （2）设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为；................................................8分 （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证..................................................17分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$