精品解析：黑龙江省绥化市第八中学校2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

初二期中数学测试题 一、选择（每题3分，共36分） 1. 在下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个是中心对称图形，但不是轴对称图形， 故轴对称图形的有3个． 故选：C． 2. 下列物品不是利用三角形稳定性的是( ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性． 解：A，B，C都是利用了三角形稳定性， 放缩尺，是利用了四边形不稳定性． 故选D． 考点：三角形的稳定性． 3. 下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故选项此不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 5. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解． 【详解】解：该多边形的外角和为360°， 故内角和为2160°-360°=1800°， 故（n-2）•180°=1800°， 解得n=12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 6. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； ．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 下列叙述正确的语句是（ ） A. 三角形的三条高线交于一点 B. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C. 等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D. 全等三角形的对应角平分线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意； D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识．熟记相关几何性质是解决问题的关键． 8. 如图，已知，，且，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数． 【详解】在△ABC和△ADE中 ∴ △ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC=∠DAE ∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120° ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65° ∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90° ∴∠GFD=90° 在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115° 故选：C 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC的度数． 9. 在下列条件：①；②；③；④中，能确定ABC是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【详解】解：①， ， ，故①正确； ②， ，故②正确 ③， ， ， ∴△ABC不可能是直角三角形，故③错误； ④， ， ，故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②④共3个． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况角的度数是解此题的关键；三角形内角和定理的应用：①直接根据两已知角求第三个角；②根据三角形中角的关系，用代数方法求第三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 10. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质证明，再证明，再根据含30度角的直角三角形的边角关系求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 11. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 12. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，证明，即可判断①，根据等边对等角可得，根据角平分线的性质可得，等量代换可得，进而即可判定QP∥AR，即可判断②，假设③成立，可得到，与已知矛盾，进而可判断③，根据垂直平分线的判定定理即可判断④． 【详解】连接，，如图， PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， 是的角平分线， 在与 故①正确； 故②正确； 假设△BRP≌△QSP； 则， 而题中没有说明，故③不正确； 是是垂直平分线，故④正确 故正确的有①②④ 故选C 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等边对等角，判定三角形全等，垂直平分线的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 二、填空（每小题3分，共30分） 13. 三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】三角形的三边长分别为3，，4， ， 即， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 14. 已知点和关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，用尺规作的依据是__________． 【答案】全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 16. 如图，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是______． 【答案】##96度 【解析】 【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 18. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，的周长为，则的周长为_____． 【答案】19 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，得到，，根据的周长为，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴的周长， ∴的周长； 故答案为：19． 【点睛】本题考查基本作图—作垂线，以及中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段的两端点相等，是解题的关键． 19. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=5，BF=3，EF=2，则AD的长为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】先根据AAS证明△ABF≌△CDF，再由全等三角形的性质得到BF=DE=3，CE=AF=5，即可求得AD的长． 【详解】∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠C+∠D=90°，∠A+∠D=90°， ∴∠A=∠C， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS） ∴BF=DE=3，CE=AF=5， ∵AE=AF-EF=5-2 ∴AE=3 ∴AD=AE+DE=6 故答案是：6． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是运用了AAS证明△ABF≌△CDE． 20. 如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______． 【答案】50 【解析】 【分析】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【详解】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【点晴】考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 21. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 22. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形． 【答案】45°或67.5°或90° 【解析】 【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值． 【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况， ①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°， ∴∠A=90°； ②当AO=OP时，则∠A=∠APO==67.5°； ③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°， 综上可知∠A为45°或67.5°或90°， 故答案为45°或67.5°或90°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 三、解答题（共54分） 23. 如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： （1）△ABC的面积为　 　； （2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1； （3）在y轴上画出点Q，使QA＋QC最小．（保留画的痕迹） 【答案】（1）5； （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用“补全矩形法”求解△ABC的面积； （2）找到A、B、C三点关于x轴的对称点，顺次连接可得△A1B1C1； （3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，则A'C与y轴的交点即是点Q的位置． 【详解】解：（1）如图所示： S△ABC＝3×4－×2×2－×2×3－×4×1＝5． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路径的知识，难度一般，解答本题注意“补全矩形法”求解格点三角形面积的应用． 24. 如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 25. 如图，线段AB和BC，交于B点： （1）请你用尺规作图的方法作出线段AB和BC的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段AB和BC的垂直平分线交于点P，若AB＝BC，求证：PB平分∠ABC． 【答案】 （1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）依据几何语言进行作图即可得到线段AB和BC的垂直平分线； （2）依据全等三角形的对应角相等，即可得到PB平分∠ABC． 【详解】解：（1）DP为AB的垂直平分线，EP为BC的垂直平分线； （2）∵AB＝BC，DP为AB的垂直平分线，EP为BC的垂直平分线， ∴DB＝EB，∠BDP＝∠BEP＝90°， 又∵BP＝BP， ∴Rt△BDP≌Rt△BEP（HL）， ∴∠PBD＝∠PBE， 即BP平分∠ABC． 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线的定义以及全等三角形的性质． 26. 已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数是． 【点睛】本题重点考查平行线的性质、等式的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 27. 如图，已知△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若 BP⊥AD 于点 P，PF=9，EF=3，求 AD 的长． 【答案】 （1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠ACD， 又∵AE=CD， ∴△ABE≌△CAD； （2）AD=21. 【解析】 【详解】试题分析：(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠ACD，结合AE=CD得出三角形全等；(2)根据全等得出BE=AD，∠ABE=∠CAD，结合外角的性质得出∠BFP=60°，然后根据直角三角形的性质得出BF的长度，最后根据AD=BE=BF+EF得出答案． 试题解析：(1)略 (2)∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，∠ABE=∠CAD， ∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP， 即∠BFP=∠BAC=60°， 又∵BP⊥AD，∴∠BPF=90°， ∴∠FBP=30°， ∴BF=2PF=18， ∴AD=BE=BF+EF=18+3=21． 点睛：本题主要考查的就是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，解决这个问题的关键就是要能够根据全等三角形的性质得出∠BFP=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解．对于等边三角形，我们一定要利用好60°角的这个性质，然后将角度放入直角三角形中得出线段之间的关系． 28. （阅读理解）问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 【答案】（1），，， （2）证明：延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）8 【解析】 【分析】（1）利用证明，得到，利用三角形三边的关系，解答即可． （2）延长到点．使．连接，利用倍长中线思想，线段垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理解答即可． （3）延长，交的延长线于点． 仿照（2）的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是， 由，， 故． 故答案为：，，，． （2）略 （3）证明：延长，交的延长线于点． ∵是的中线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中线，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二期中数学测试题 一、选择（每题3分，共36分） 1. 在下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列物品不是利用三角形稳定性的是( ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 3. 下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 5. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列叙述正确的语句是（ ） A. 三角形的三条高线交于一点 B. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C. 等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D. 全等三角形的对应角平分线相等 8. 如图，已知，，且，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在下列条件：①；②；③；④中，能确定ABC是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 11. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空（每小题3分，共30分） 13. 三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______． 14. 已知点和关于轴对称，则的值为________． 15. 如图，用尺规作的依据是__________． 16. 如图，______． 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是______． 18. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，的周长为，则的周长为_____． 19. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=5，BF=3，EF=2，则AD的长为_______. 20. 如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______． 21. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 22. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形． 三、解答题（共54分） 23. 如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： （1）△ABC的面积为　 　； （2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1； （3）在y轴上画出点Q，使QA＋QC最小．（保留画的痕迹） 24. 如图，在中，，，，于，求的度数． 25. 如图，线段AB和BC，交于B点： （1）请你用尺规作图的方法作出线段AB和BC的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段AB和BC的垂直平分线交于点P，若AB＝BC，求证：PB平分∠ABC． 26. 已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 27. 如图，已知△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若 BP⊥AD 于点 P，PF=9，EF=3，求 AD 的长． 28. （阅读理解）问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $