猜想01 排列组合常用技巧归类（考题猜想，10大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想01 排列组合常用技巧归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 特殊元素（位置）优先法 · 题型二 相邻问题和不相邻问题 · 题型三 分组分配问题 · 题型四 几何涂色问题 · 题型五 数字排列问题 · 题型六 定序问题 · 题型七 相同元素隔板法 · 题型八 最短路径问题 · 题型九 多面手问题 · 题型十 元素配对问题 题型一 特殊元素（位置）优先法 1．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 【答案】C 【详解】甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场， 可以先排甲分两种情况进行考虑： 甲最后一个上场，则乙有3个位置可选，再排另外3人有种，共有种排法， 甲不能最后一个上场，则甲、乙从3个位置可选2个进行排列，有种， 再排另外3人有种，共有种排法， 所以，这5人上场顺序的不同排法种数为种. 故选：C 2．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 3．某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 【答案】A 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况， 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：A. 4．对于个不同的正整数，依次排列后若第一个数能整除最后一个数，则称这样的排列为“首末整除排列”．现有2，3，4，6，8，则它们的“首末整除排列”共有 种． 【答案】30 【详解】当第一个数为2时，最后一个数可以是4，6，8，其余3个数全排列，有（种）； 当第一个数为3时，最后一个数只能是6，其余3个数全排列，有（种）； 当第一个数为4时，最后一个数只能是8，其余3个数全排列，有（种）； 当第一个数为6时，2，3，4，8这些数中无满足条件的； 当第一个数为8时，2，3，4，6这些数中无满足条件的．所以共有（种）． 故答案为：30 5．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 【答案】 36 108 【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； 5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 故答案为：36；108 题型二 相邻问题和不相邻问题 6．某大学要将形状分别为四角方形、五角方形、六角方形、八角方形、球形、椭球形的6盏灯笼自上而下挂在学校大门前，挂灯笼时，四角方形灯笼与五角方形灯笼分别挂在两端，四角方形灯笼与六角方形灯笼不能相邻，球形灯笼与椭球形灯笼必须相邻，则灯笼的不同挂法共有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【详解】分别将四角方形灯笼、五角方形灯笼、六角方形灯笼、八角方形灯笼记为4，5，6，8. 首先将四角方形灯笼与五角方形灯笼分别挂在两端，再挂六角方形灯笼与八角方形灯笼，共有4种情况，分别为①4，6，8，5，②4，8，6，5，③5，6，8，4，④5，8，6，4. 对于情况①，要想满足题意，将球形灯笼与椭球形灯笼看作一个整体，只能挂在4，6之间，故挂法有（种）； 对于情况②，要想满足题意，将球形灯笼与椭球形灯笼看作一个整体，可以挂在4和8之间，8和6之间，6和5之间的任意一个位置，故挂法有（种）； 对于情况③，要想满足题意，将球形灯笼与椭球形灯笼看作一个整体，可以挂在5和6之间，6和8之间，8和4之间的任意一个位置，故挂法有（种）； 对于情况④，要想满足题意，将球形灯笼与椭球形灯笼看作一个整体，只能挂在6，4之间，故挂法有（种）. 根据分类加法计数原理可得不同的挂法共有（种）， 故选：B. 7．年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有种方法， 在它们之间的两个空加上两头共有四个空位， 从位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有种方法． 由分步乘法计数原理可得甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种． 故选：A． 8．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 【答案】D 【详解】A. 如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项A正确. B. 如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项B正确. C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时有种不同排法，选项C正确. D. 如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时有种不同排法，选项D错误. 故选：D. 9．（多选）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（   ） A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 【答案】BD 【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体， 与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误； 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中， 《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半， 故共有种观看顺序，故B正确； 若将6部电影每2部一组随机分为3组， 则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况， 故分组方式为，故C错误； 若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组， 按1和5，有种分组方式； 按2和4，有种分组方式； 按3和3，有种分组方式， 所以共有31种分组方式，故D正确. 故选：BD. 10．中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 【答案】 【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到， 当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故答案为： 11．3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ．（结果用数字作答） 【答案】 【详解】先将3名学生全排列，有种排法， 再将2位老师插空，有种排法， 所以一共有种排法. 故答案为： 题型三 分组分配问题 12．为提升学生综合素养，某高中开设了“围棋”、“机器人”、“乒乓球”、“建筑设计”四门选修课程，要求每位学生每学年至多选两门课程，高一至高三三学年必须修完四门课程，每学年上学期选一次，每门课程限选修一学年，则每位学生不同的选修方式有（   ） A．9种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】C 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①四门选修课放在年选完，先将四门课程分为组，再在三年中选出年来学习， 有种安排方法， ②四门选修课放在年选完，先将四门课程分为组，再安排在三年中选完， 有种安排方法， 故共有种安排方法． 故选：C． 13．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【详解】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组， 则三组各有位同学，共有种， 又因为甲、乙两人不能参加同一项目的比赛， 且甲乙在一组时仅有1种分法，则共有种分组方法， 所以不同的参赛方案共有种. 故选：B 14．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 15．现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是（    ） A．90 B．160 C．180 D．270 【答案】C 【详解】当甲只获得1本书籍时，相当于把剩余5本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式； 当甲获得2本书籍时，则从其余4本书籍先给甲1本有种， 再把剩余4本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式，所以共有种分发方式； 当甲获得3本书籍时，则从其余3本书籍先给甲2本有种， 再把剩余3本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式，所以共有种分发方式； 当甲获得4本书籍时，则从其余2本书籍先给甲3本有种， 再把剩余2本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本，则有种分发方式， 所以共有种分发方式； 综上所述，共有种分发方式. 故选：C 16．现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作， 每个社区的人数分别为、、或、、， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的小区有人，则还需从另外人中抽人， 此时分法种数为种； 若甲、乙所安排的小区只有他们两人，此时只需将剩余人分为两组，则分法种数为种. 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为. 故选：C. 17．将5名志愿者安排到3个路口进行安全疏导，要求每个路口都有志愿者前往，且每个志愿者只能去一个路口，则不同的安排方法的种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】根据题意按每个路口的志愿者人数分类，则只能是或， 这是一个部分均分问题，所以总的安排方案种数为. 故答案为： 题型四 几何涂色问题 18．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故选：A 19．对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 【答案】C 【详解】设四棱锥为， 则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法， 当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法（种）. 故选：C． 20．国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 21．如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法.    【答案】1260 【详解】若只用3种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时与的颜色相同，与的颜色相同，与的颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法； 若只用4种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时第4种颜色可以涂， 当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，与的颜色相同，有1种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法； 若用5种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时第4和第5 种颜色可以涂， 当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法； 当涂时，则与或或的颜色相同，有种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法； 综上所述：共有种不同的涂色方法. 故答案为：1260. 题型五 数字排列问题 22．从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】A 【详解】无重复数字的三位数的个数为， 故选：A. 23．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（   ） A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】C 【详解】若三位数中含有0，则从1,3,5中选2个奇数，有种方法， 0可以放在个位或十位，故组成没有重复数字的三位数个数为， 若三位数中不含有0，从2,4中选一个偶数，从1,3,5中选2个奇数，进行全排列， 有种方法， 综上，共有个没有重复数字的三位数. 故选：C 24．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 【答案】224 【详解】从四个数中任选一个数放在个位，有4种方法， 再从其他八个数中任选2位数放在十位和百位，有种方法， 故九个数组成没有重复的三位数且是偶数共有种方法， 故答案为：224. 25．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 【答案】 30 10 【详解】依题意，十位数字是1的“凹数”个数为；十位数字是2的“凹数”个数为； 十位数字是3的“凹数”个数为；十位数字是4的“凹数”个数为1， 所以所求“凹数”的个数是； 1，2，3，4，5除以3的余数依次为1，2，0，1，2， 因此能被3整除的“凹数”含有数字3时，另两个数字除以3的余数不同， 其中十位数字是1，另两个数字分别为2，3和3，5；十位数字是2，另两个数字为3，4； 十位数字是3，另两个数字分别为4，5；共有个； 不含数字3时，三个数字除以3的余数相同，十位数字是1，另两个数字分别为4，4； 十位数字是2，另两个数字为5，5，共2个， 所以能被3整除的“凹数”的个数是10个. 故答案为：30；10 26．从中挑出个不同的数字组成五位数，其中有个数字各用次，则能得到的不同的五位数的个数为 ． 【答案】 【详解】先从中挑出个不同的数字，有种取法， 再从个不同的数字中选取个用次的数字，有种，将个数组成五位数，有种， 由分步计算原理可知，能得到的不同的五位数的个数为， 故答案为：. 题型六 定序问题 27．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 28．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 29．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    30．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 【答案】D 【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种， 然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题， 则可排成不同音序的种数为. 故选：D. 31．今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有 种． 【答案】120 【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排； 再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法. 故答案为：120. 32．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法． 【答案】360 【详解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定， ∴共有种不同排法， 故答案为：360. 题型七 相同元素隔板法 33．某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 【答案】C 【详解】从位同学中抽取两人当负责人，则还剩人， 若按学号从小到大分成大三组人数分别为，其中， 则，解得， 由隔板法可得两位负责人的选取方法种数是. 故选：C. 34．将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 【答案】B 【详解】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班， 每个班至少有1个名额的分法， 类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆， 由于 10 个小球中间共有9个空隙， 因此共有 种不同的分法. 故选：B 35．11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答） 【答案】45 【详解】根据题意，将11个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个， 相当于将11个相同的小球分成3组，每组至少1个. 可将11个小球排成一列，然后在除两端的10个空位中，选取2个，插入隔板，故共有种放法. 故答案为：45 36．不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. 37．随机取中的一个元素，则，，，的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意，的一个元素，即方程的一个自然数解， 由，得， 设，则， 方程的自然数解的个数即为方程的正整数解的个数， 可视为24个小球排成一排，用3块隔板插入23个间隙分24个小球的分法数，有种， ，令， 因此满足的整数解的个数，即为方程的正整数解个数，有种， 所以所求概率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求出方程的正整数解的个数，关键是转化为排成一排的24个小球，用3块隔板分成4部分的不同分法数. 题型八 最短路径问题 38．平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 【答案】C 【详解】根据题意可知点从格点出发，可沿上、下、左、右四个方向移动； 若点经过6次移动回到格点可分为以下四种情况： 第一种：在六步移动过程中选择3步向上，另外3步向下，共有种； 第二种：选择3步向左，另外3步向右，共有种； 第三种：选择2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有种； 第四种：选择1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有种； 因此共有种. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于可将回到出发点的问题转化为在六步移动过程中，向左右、上下的相反方向的移动步数相等，再利用组合计数问题计算可得结果. 39．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为l个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从A点沿脚手架到点B，每步走l个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有    A．150条 B．525条 C．840条 D．1260条 【答案】B 【详解】由题意可得一共向上走3次，向右4次，向前2次一共9次，因为不连续向上攀登，先把向右4次，向前2次排起来共有次， 但是向左，向前没有顺序，所以还要除以， 然后利用插空法把向上的3次插进去，有种，所以共有种. 故选：B. 40．在某城市中，，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发去往地，途经地；则不同的路线有 ． 【答案】 【详解】由图可得，从到需要向右2步，向下1步，有种最短路径， 从到，需要向右步，向下3步，有种， 所以共有种， 故答案为：. 41．（多选）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地.下列结论正确的有（    ）    A．不同的路径共有61条 B．不同的路径共有31条 C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经C地和D地，则不同的路径共有9条 【答案】BCD 【详解】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步， 其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上， 则不同的路径共有条，故A错误、B正确； 若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确； 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D正确； 故选：BCD. 42．如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ． 【答案】 【详解】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共种. 故答案为：；. 题型九 多面手问题 43．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 44．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【答案】 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 45．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 【答案】92 【详解】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 46．已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长. (1)若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数； (2)若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (3)从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数. 【答案】(1)21 (2)14400 (3)465 【详解】（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组， 篮球与足球都擅长的3人设为组， 若选出的2人均来自组，有种方法， 若选出的2人均来自组，有种方法， 若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法， 故这2人都擅长足球的选派方法有种； （2）将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空， 再将组的3人去插空，有种方法， 故共有种方法； （3）若选出的4人中无组人员， 则选派方法有种， 若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员， 则再从组选出1人，组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员， 则再从组选出2人，组选出1人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员， 则再从组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员， 则再从组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员， 则再从组选出1人，则再从组选出1人， 共种方法， 若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员， 再从组选出1人，共种方法， 若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员， 则再从再从组选出1人，共种方法， 综上，满足条件的方法共种. 题型十 元素配对问题 47．有三对双胞胎共6人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．15 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【详解】先选择一对双胞胎，有种， 再从其余两对双胞胎中各选择1人，有种， 则共有种选法. 故选：B 48．柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若表示左脚的鞋子，其它表示右脚的鞋子， 所以事件包含，共6种情况， 所以事件的概率. 故选：C 49．柜子里有6双不同的鞋子，从中取出两只，若取出的两只鞋子不是同一双，则不同的取法共（    ） A．30种 B．55种 C．60种 D．66种 【答案】C 【详解】先从柜子里的6双不同的鞋子，从中取出两双，再从每一双中各取出一支鞋子， 共有种不同的取法. 故选：C. 50．早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是 【答案】/0.2 【详解】在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，共有种； 所以恰为同一双的概率为. 故答案为：. 51．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 . 【答案】10 【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案； 当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为， 故满足条件的不同乘车方案种数为， 故答案为：10 52．我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多､滚滚､芝士､芝麻､热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月､秋月､云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有 种（用数字作答）. 【答案】36 【详解】将芝士和芝麻看成一个整体，热干面和蛋烘糕看成一个整体， 即相当于四个对象分配给三个场馆，每个场馆至少一个对象， 必有一个场馆含有两个对象，其余场馆各一个对象， 可先选出有两个对象的场馆进行对象分配，再将其余对象进行分配， 所以共有种方案. 故答案为：36 $$猜想01 排列组合常用技巧归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 特殊元素（位置）优先法 · 题型二 相邻问题和不相邻问题 · 题型三 分组分配问题 · 题型四 几何涂色问题 · 题型五 数字排列问题 · 题型六 定序问题 · 题型七 相同元素隔板法 · 题型八 最短路径问题 · 题型九 多面手问题 · 题型十 元素配对问题 题型一 特殊元素（位置）优先法 1．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 2．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 4．对于个不同的正整数，依次排列后若第一个数能整除最后一个数，则称这样的排列为“首末整除排列”．现有2，3，4，6，8，则它们的“首末整除排列”共有 种． 5．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 题型二 相邻问题和不相邻问题 6．某大学要将形状分别为四角方形、五角方形、六角方形、八角方形、球形、椭球形的6盏灯笼自上而下挂在学校大门前，挂灯笼时，四角方形灯笼与五角方形灯笼分别挂在两端，四角方形灯笼与六角方形灯笼不能相邻，球形灯笼与椭球形灯笼必须相邻，则灯笼的不同挂法共有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 7．年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有（    ）种． A． B． C． D． 8．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 9．（多选）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（   ） A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 10．中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 11．3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ．（结果用数字作答） 题型三 分组分配问题 12．为提升学生综合素养，某高中开设了“围棋”、“机器人”、“乒乓球”、“建筑设计”四门选修课程，要求每位学生每学年至多选两门课程，高一至高三三学年必须修完四门课程，每学年上学期选一次，每门课程限选修一学年，则每位学生不同的选修方式有（   ） A．9种 B．36种 C．54种 D．72种 13．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 14．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 15．现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是（    ） A．90 B．160 C．180 D．270 16．现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 17．将5名志愿者安排到3个路口进行安全疏导，要求每个路口都有志愿者前往，且每个志愿者只能去一个路口，则不同的安排方法的种数为 ．（用数字作答） 题型四 几何涂色问题 18．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 19．对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 20．国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 21．如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法.    题型五 数字排列问题 22．从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 23．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（   ） A．36 B．42 C．48 D．54 24．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 25．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 26．从中挑出个不同的数字组成五位数，其中有个数字各用次，则能得到的不同的五位数的个数为 ． 题型六 定序问题 27．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 28．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 29．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 30．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 31．今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有 种． 32．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法． 题型七 相同元素隔板法 33．某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 34．将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 35．11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答） 36．不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 37．随机取中的一个元素，则，，，的概率为 ． 题型八 最短路径问题 38．平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 39．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为l个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从A点沿脚手架到点B，每步走l个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有    A．150条 B．525条 C．840条 D．1260条 40．在某城市中，，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发去往地，途经地；则不同的路线有 ． 41．（多选）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地.下列结论正确的有（    ）    A．不同的路径共有61条 B．不同的路径共有31条 C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经C地和D地，则不同的路径共有9条 42．如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ． 题型九 多面手问题 43．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 44．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 45．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 46．已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长. (1)若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数； (2)若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (3)从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数. 题型十 元素配对问题 47．有三对双胞胎共6人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．15 B．12 C．6 D．3 48．柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（   ） A． B． C． D． 49．柜子里有6双不同的鞋子，从中取出两只，若取出的两只鞋子不是同一双，则不同的取法共（    ） A．30种 B．55种 C．60种 D．66种 50．早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是 51．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 . 52．我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多､滚滚､芝士､芝麻､热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月､秋月､云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有 种（用数字作答）. $$