八年级数学下学期期末模拟卷02（考试范围：苏科版八下全部内容）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学下学期期末模拟卷02 【考试范围：苏科版八下全部内容】 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则a的取值应满足（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 4．2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是（   ） A．1000 B．被抽取的1000名学生 C．被抽取的1000名学生的数学成绩 D．近1.7万名考生的数学成绩 5．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 6．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．菱形对角线互相垂直平分 7．已知点在反比例函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 9．如图1，、、、为四边形各边上的中点，连接，分别过点、作的垂线段、，线段、、将四边形分割成、、、四个部分，将、、、按图2方式拼成四边形（无缝隙、不重叠），若，，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 10．如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．分式方程的解是 ． 12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 13．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 14．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．    16． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 17．如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 18．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则 ，连接和，则的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．计算： (1)； (2)． 20．（1）计算：； （2）解方程：． 21．先化简，再求值：，其中． 22．如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至年底，我国新能源汽车保有量达万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和年全国部分省公共充电桩数量统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的 ％（精确到）； (2)年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为多少？（结果精确到） (3)小明说：年全国公共充电桩数量超过前年的总和，所以年全国公共充电桩数量的增长率比年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 24．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标． 26．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 27．实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 28．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末模拟卷02 【考试范围：苏科版八下全部内容】 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2．要使分式有意义，则a的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：B． 3．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则判断选项A、B；根据二次根式的乘法法则判断选项C；根据二次根式的除法法则以及二次根式的性质判断选项D即可． 【详解】A．与2不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B．与3不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意； 故选∶C． 4．2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是（   ） A．1000 B．被抽取的1000名学生 C．被抽取的1000名学生的数学成绩 D．近1.7万名考生的数学成绩 【答案】C 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．根据样本的定义求解． 【详解】解：2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是被抽取的1000名学生的数学成绩． 故选：C． 5．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 6．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．菱形对角线互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定判断A；根据平行四边形的性质判断B；根据菱形的判定判断C；根据菱形的性质判断D． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是真命题，故此选项不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，所以平行四边形的对角线相等是假命题，故此选项符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形是真命题，故此选项不符合题意； D、菱形对角线互相垂直平分是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．已知点在反比例函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握时，在每个象限内，都随的增大而减小是解题的关键．先根据判断出反比例函数图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 9．如图1，、、、为四边形各边上的中点，连接，分别过点、作的垂线段、，线段、、将四边形分割成、、、四个部分，将、、、按图2方式拼成四边形（无缝隙、不重叠），若，，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先连接，证明四边形是平行四边形， ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵、、、为四边形各边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 由拼接图形性质可得：四边形的周长是； 故选：D 10．如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过作，过作于，过作于，设，，则有，，，，由四边形是正方形得，，又，故有，证明，根据性质得，，则，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作于，过作于， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为：． 12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数为非负数，分母不为，进行列式计算，即可作答． 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， 则， 解得且， 故答案为：且 13．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有15个， 故答案为：15． 14．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【答案】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 16．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 17．如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义可解决问题，四边形的面积可用矩形面积减去和的面积之和，再结合的几何意义即可；借助参量将与表示出来，再比较；由点是中点，可得出与之间的关系，进而可判断点是否为的中点． 【详解】解：点和点都在上，且四边形是矩形， ，， 与的面积相等， 故正确； 点在上，且四边形是矩形， ， 又由知：， 所以， 四边形的面积不一定等于矩形面积的一半， 故错误； 令点的坐标是， 四边形是矩形， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， 与不一定相等， 故错误； 由可知， 若点是中点， 则，即， ， 则， 即， 故点是的中点． 故正确． 故答案为：． 18．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则 ，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，在正方形中，得出四边形是矩形，即可得，，根据，得出，证明，得出，根据勾股定理即可求出；将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则四边形为平行四边形，则，得到，进而推出当，三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 故答案为：； 将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点， 则四边形为平行四边形， 则， ， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题（10小题，共66分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号里二次根式的减法，再计算括号外的除法； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分数的减法以及解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分式的减法法则计算即可； （2）找出各分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到原分式方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得． 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是此方程的根． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 22．如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 23．近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至年底，我国新能源汽车保有量达万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和年全国部分省公共充电桩数量统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的 ％（精确到）； (2)年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为多少？（结果精确到） (3)小明说：年全国公共充电桩数量超过前年的总和，所以年全国公共充电桩数量的增长率比年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意，理由见解析 【分析】本题主要考查了折线统计图、近似数的计算，正确读懂统计图是解题关键． （1）用年上海市公共充电桩数量除以该年全国公共充电桩数量即可求解； （2）根据统计图数据可得年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比； （3）分别求出年和年的全国公共充电桩数量的增长率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的：． 故答案为：2． （2）解：年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比为万：万． （3）解：不同意，理由如下： 年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 年全国公共充电桩数量的增长率比年高． 24．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． （2）原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键． （1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可． （2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题． 【详解】（1）解： 点在一次函数 的图象上， ． 点的坐标为． 反比例函数 的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． （2）过点作轴的垂线，垂足为点， ， 则，． 由勾股定理，得． 由图象的对称性，可知． 又， ． 点的坐标为． 26．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元 (2)当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质；根据题意建立方程，不等式是解题的关键． （1）设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，关于《阅读的艺术》的数量的函数关系式，再根据购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，可以列出相应的不等式，然后根据一次函数的性质求的最小值即可． 【详解】（1）解：每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元， ∴设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元， ∵用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴， ∴每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元； （2）解：学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本， 设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本， ∴， 解得，， 设费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为元， ∴当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元． 27．实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理即可求解；②根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得到， ∴， ∴， ∴； ②解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 28．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：    ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$