18.2.3 正方形课件2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 4.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 学习目标 新课讲解 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？ 问题引入 正方形 新课讲解 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 新课讲解 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 新课讲解 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 新课讲解 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 新课讲解 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 新课讲解 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 新课讲解 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 新课讲解 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 新课讲解 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 新课讲解 思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 课堂小结 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 当堂小练 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 当堂小练 3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题图 第4题图 45° 当堂小练 5.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂小练 5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中， ∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm． 拓展与延伸 6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由． （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ 解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形. （2）∵四边形AEDF为菱形， ∴AD平分∠BAC， 则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形. 拓展与延伸 （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 解：由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可． 1．(人教8下P58、北师9上P20)如图，正方形ABCD的对称轴分别为　　　 　　，　　　 　　，　　　 　　， 　　 　　　． 直线AC 直线BD 直线EG 直线FH 课后练习 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且BE∥DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，AD∥BC，AD=BC， ∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE=DF，DE=BF，∴AE=CF. 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF(SSS). 3．如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG．求证：△ADE≌△CDG． 证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形， ∴AD=CD，GD=ED. ∵∠CDG=90°+∠ADG，∠ADE=90°+∠ADG， ∴∠CDG=∠ADE. 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG(SAS). 5．(人教8下P68、北师9上P22)如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF．要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗?它们有什么位置关系?为什么? 解：这两条路等长且互相垂直.理由： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°， ∵DE=CF，∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE=AF，∠ABE=∠DAF， ∵∠BAF+∠DAF=90°， ∴∠BAF+∠ABE=90°，即BE⊥AF. 小结:正方形中的十字模型,存在相等和垂直的关系. 6．【例2】(人教8下P63、北师9上P25)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F． (1)求证：△AOE≌△BOF; (2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于 　 ． a2 (1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°， ∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°， ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE和△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF(ASA). 小结:注意此题中的重叠部分的面积是一个定值. 7．【例3】如图，过正方形ABCD的顶点C作直线l，分别过点B，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F．已知BE=6 cm，DF=4 cm，求正方形ABCD的面积． 解：如图，∵BE⊥l，DF⊥l，∴∠BEC=∠DFC=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠BCD=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 而BC=CD，∴△BEC≌△CFD， ∴EC=DF=4 cm. 在Rt△BEC中，由勾股定理得： BC2=BE2+EC2=62+42=52. ∴正方形ABCD的面积是52 cm2. 小结:正方形中的一线三直角全等模型. 答案图 8．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，CG>BE，BF>AH，连接EG，FH．如果EG⊥FH，求证：EG=FH． 证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N， HN与EG交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°，BC=AB， ∵EM⊥CD，∴四边形BCME是矩形， ∴EM=BC.同理HN=AB， ∴EM=HN， 由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN， ∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°， ∵∠HOG=∠EON，∴∠FHN=∠MEG， ∴△HFN≌△EGM，∴EG=FH. 答案图 9．将五个边长都为1的正方形按如图所示摆放，其中点A，B，C，D分别是正方形对角线的交点，则阴影部分面积的总和是(　　) A．1　 B． C．　 D． A ★10． (2024漳州模拟)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(2，3)，求点C的坐标． 0.50 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E. ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE， 答案图 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE(AAS)，∴AD=OE=3，OD=CE=2， ∵点C在第二象限，∴点C的坐标为(-3，2). 请完成课本本节对应习题 布置作业 $$