18.2.3 正方形 课件 2024--2025学年人教版八年级数学下册

18.2.3正方形 八年级 下册 矩形 〃 〃 正方形 邻边 相等 〃 〃 发现： 一组邻边相等的矩形是正方形 菱形 一个角 是直角 正方形 ∟ 发现： 一个角为直角的菱形是正方形 正方形定义： 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形。 温故知新 现在，你对正方形有哪些新的认识？　 矩形 菱形 正方形 正方形具有矩形性质，同时也具有菱形性质。 正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形． 讲授新知 正方形的性质 四条边相等 四个角都是直角 相等； 垂直且互相平分； 每一条对角线平分一组对角。 A B C D O 边---- 角---- 对角线---- 菱形的性质 矩形的性质 是轴对称图形 对称性---- 讲授新知 根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√” 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 体会正方形的完美 正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质。 讲授新知 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角 线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. A D C B O 例题讲解 A D C B O 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO 图中共有多少个 等腰直角三角形？ 8个 例题讲解 例2 如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？ 30 10 解：根据勾股定理： BC2= EC2- EB2 = 302 – 102 = 800 ∴这块场地的面积= = 800 对角线AC = = 40 例题讲解 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 正方形的判定方法探究 整理小结 （1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形. （2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形. （3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形. （4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形. 例3 （1）要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 . （2）要使一个矩形成为正方形需添加的条是 . ✔ ✔ ✔ ✔ 判断正误： 例题讲解 例4 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F． 求证：四边形CFDE是正方形． 证明：∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F ∴四边形CEDF有三个直角， 它是矩形 又∵CD平分∠ACB ∴ DE=DF ∴四边形CEDF是正方形 例题讲解 如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。求证：四边形AEDF是正方形。 D A B C E F M 巩固练习 例5 在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ D′ C′ B′ Ａ′ 例题讲解 练习 正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ′＝ＢＢ′＝ＣＣ′＝ＤＤ′. 四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？ D′ ` B′ A′ D C B A Ｃ′ ①由已知正方形证 三角形全等； ②证得菱形； ③再证直角； ④是正方形。 证题思路分析 巩固练习 例6 正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点 O，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别是ＡO，ＢO，ＣO，ＤO的中点，判断四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的形状并说明理由。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ D′ C′ B′ Ａ′ O 1 2 例7 如图，△ABC的外面作正 方形ABDE和ACFG，连结BG、 CE，交点为N。 （1）求证：∠CEA＝∠ABG　　　　　　　　　　　　　　　 （2）判断CE与BG的关系并证明。 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 　　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90° 　　　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC 　　　　 ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC 　　　　∴∠EAC＝∠BAG 　　　　∴△AEC≌△ABG　(SAS) 　　 ∴∠CEA＝∠ABG 例题讲解 变式1 如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点． 求证：⑴CE=BG；⑵EG=2AM． H M E D F G B C A 变式提高 根据正方形的四边相等，得AD=CD 变式2 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG. 解： 因为四边形ABCD是正方形 又知四边形DEFG也是正方形 所以DE=DG 又因为正方形的每个内角为90° 所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC 所以∠ADE＝∠CDG 所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针 旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD 所以AE=CG A B C D E F G 变式提高 如何设计花坛？ 例8 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种） 请你当设计师 A B C D E F G H O 例题讲解 例9 如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是 。 A D B C O P Q R 例题讲解 1. 正方形的四条边都相等. 2. 正方形的四个角都相等. 3. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角. 4. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴. O A B C D 一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 课堂小结 21 1.判断对错： （1） 四边相等的四边形是正方形 （2）四角相等的四边形是正方形 （3）对角线垂直的平行四边形是正方形 （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （5）四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 √ × × × √ 课堂小测 2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等. B D 4.下列判断中正确的是（ ） A、四边相等的四边形是正方形 B、四角相等的四边形是正方形 C、对角线垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D 课堂小测 5.在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A、AC = BD，AB∥CD，AB = CD B、AD∥BC，∠A =∠ C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC C 7.一正方形对角线长为4,则它的面积为 ． 6.一正方形边长为4,则它的面积为 ． 8 16 8.如图，正方形ABCD的面积是9cm2。则AB= cm, AC= cm。 3 A B C D 课堂小测 7 7 7 7 9.为什么下列三个图形都是正方形？ 5 5 5 5 5 5 5 5 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 课堂小测 10.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数. A B C D E F 若∠FEC=30°则∠DAF= 。 30° ∠BEC= ∠BEA= ∠DAF+ ∠ADE= 30°+ 45°= 75° 课堂小测 11.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数. A B D C E F A B C D N F M E 12.矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因。 课堂小测 13.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想． G F E D A B C 课堂小测 14.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。试说明：EF=BE+DF A B C D E F G 课堂小测 1 2 3 15.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF． （2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA （1）∵ ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90° 在△ABF与△ADC中 AD=AB ∠ADE=∠ABF=90° DE=BF ∴ △ABF≌△ADE（SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3 证明： 课堂小测 www.czsx.com.cn 16.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF。 A B C D P E F 解: 连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC 而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° ∴四边形PECF是矩形 ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF 课堂小测 17.如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥ AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。　　　　　　　　　 证明： 　　∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , 　　　∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3 ＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN 下面大家自己完成证明 课堂小测 32 18.已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。 求证：∠MFD＝45° 证明： 　∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 　又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC 　∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF 下面的证明请大家完成 温故知新 $$