18.2.2 菱形课时2 菱形的判定课件2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 课时2 菱形的判定 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 学习目标 新课导入 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 新课讲解 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 新课讲解 A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 新课讲解 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 新课讲解 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 新课讲解 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证一证 新课讲解 四条边都相等的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四边形ABCD A B C D 新课讲解 C A B D E F G H 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是菱形. 又∵AC=BD, ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形. 归纳 理由如下：连接AC、BD 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 当堂小练 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 . 312cm2 当堂小练 3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° B 解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC∥DE，AC=DE， ∴四边形ABED为平行四边形. 当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B． 当堂小练 A B C D O E 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 当堂小练 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC， ∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形． 5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M 拓展与延伸 （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形； 6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的 平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 拓展与延伸 （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4， ∴AE=2AO=8． 1．(人教8下P67、北师9上P27)如图，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，分别过点A，D作AE∥BD，DE∥AC，AE和DE相交于点E，求证：四边形EAOD是菱形． 证明：∵AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形EAOD是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=AC，OD=BD，AC=BD，∴OA=OD， ∴平行四边形EAOD是菱形. 课后练习 2．(人教8下P57、北师9上P6)(2024湖北模拟)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3．求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵AO=4，BO=3，AB=5， ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形. 3．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD 各边中点，求证：四边形EFGH是菱形． 证明：连接AC，BD， ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF=AC，HG=AC，∴EF=HG.同理可得EH=FG=BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD， ∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形. 4．【例1】(人教8下P60)(2024银川一模)如图，AE∥BF，BD平分∠ABC，点C在BF上且AB=BC，连接CD．求证： 四边形ABCD是菱形． 5．【例2】(人教8下P68)如图，过▱ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG，FH与▱ABCD各边分别相交于点E，G，F，H．求证：四边形EFGH是菱形． 证明：在▱ABCD中，OB=OD，AD∥BC， ∴∠OBG=∠ODE. 又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE.∴OG=OE. 同理OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形. 证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD， ∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD. 又∵AB=BC，∴AD=BC. ∵AE∥BF，即AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 7．(人教8下P58、北师9上P8)(2024广西改编)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗?为什么? 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 如图，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，  ∵两张纸条宽度相等，∴AE=AF. ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，又AE=AF， ∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形. 答案图 8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，求证：四边形ABEC是菱形． 证明：∵AD=ED，BD=CD， ∴四边形ABEC是平行四边形. 又∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线， ∴AE⊥BC，∴四边形ABEC是菱形. ★9． 如图，△ABC和△DEF是两个边长都为10 cm的等边三角形，B，D，C，E都在同一直线上，连接AD，CF． (1)求证：四边形ADFC是平行四边形; (2)若BD=3 cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒．当t为何值时，▱ADFC是菱形?并说明理由． 0.45 (1)证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°， ∴AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形. (2)解：当t=3时，▱ADFC是菱形，理由： 此时B与D重合，∴AD=DF，∴▱ADFC是菱形. 请完成课本本节对应习题 布置作业 谢谢欣赏 $$