【精准提分】专题12 一元一次不等式（组）实际应用（8个基础题型+2个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）

【精准提分】专题12 一元一次不等式（组）实际应用（人教2024） 【8个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 1 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 3 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 8 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 13 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 14 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 15 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 17 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 21 【培优题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 24 【培优题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 31 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 例题1（23-24七年级下·全国·期末）学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．实践活动要求完成全部任务的时间不超过，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·浙江·二模）某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·期末）小明参加了某商店的促销活动，设小明购买的商品定价为x元，可列出不等式，则下列情况符合该不等式的是（   ） A．买两件等值的商品可打4折，再减100元，最后不到1500元 B．买两件等值的商品可打6折，再减100元，最后不到1500元 C．买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元 D．买两件等值的商品可减100元，再打6折，最后不到1500元 【变式1-3】（24-25八年级下·重庆·期中）小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高米，妈妈身高米，小乐登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25八年级下·河南郑州·期中）一个人的头发大约有万到万根，每根头发每天大约生长，小郑的头发现在大约有长，那么大约经过多长时间，她的头发的长度能超过？设经过天小郑的头发长度能超过，根据题意，可列出关于的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（23-24七年级下·全国·期末）一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 【变式1-7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为 ． 【变式1-8】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式： ． 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 例题2（2025·黑龙江哈尔滨·二模）永宝电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元． (1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利大于57万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？ 【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元. (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·期中）2025年4月20日，重庆沙坪坝全球校友半程马拉松在沙磁文化广场激情开幕，沙坪坝一商家的空顶帽销售火爆．此半程马拉松开赛前三天，商家销售A款空顶帽200个，B款空顶帽250个，销售额31000元，已知一个A款空顶帽比一个B款空顶帽售价高20元． (1)求一个A款空顶帽和一个B款空顶帽的售价各为多少元？ (2)半程马拉松结束后，该商家对空顶帽售价进行了调整，将每个A款空顶帽按售价的八折销售，每个B款空顶帽降价10元销售．若该商家在价格调整后销售空顶帽共300个，销售额不低于17800元，求该商家在价格调整后至少销售A款空顶帽多少个？ 【变式2-3】（2025·四川成都·三模）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元． (1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？ (2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？ 【变式2-4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 【变式2-5】（2025·江西新余·二模）某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． (1)小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ (2)如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 【变式2-6】（2025·河南洛阳·二模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【变式2-7】（2025·河南洛阳·三模）某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 (1)求两种型号的空调的销售单价各是多少． (2)为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小方案二，求a的最小值． 【变式2-8】（2025·广东深圳·二模）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元． (1)甲类和乙类科普读物单价分别是多少? (2)该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本? 【变式2-9】（2025·江西抚州·二模）“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 【变式2-10】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒2》成为首部登顶动画票房榜榜首的亚洲电影，与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来，哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件深受游客喜爱，某经销商计划同时购进哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件两种玩具．据了解，16个手办盲盒摆件和10个雕像模型摆件的进价共计1600元；24个手办盲盒摆件和20个雕像模型摆件的进价共计2800元． (1)求购进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进手办盲盒摆件和雕像模型摆件共200个，要求购买的总费用不超过12400元，求最多可以购买雕像模型摆件多少个？ 【变式2-11】（2025年山西省中考名校联考九年级数学试卷）太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 【变式2-12】（2025·河南洛阳·三模）洛阳体育技能类选考项目有篮球、足球、排球、乒乓球，考生可选一项进行考试．某学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，为了使学生得到更好的训练，学校计划再采购个足球（为偶数），个排球．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）． (1)请用含，的代数式分别表示出在A、B公司购买体育用品的费用； (2)在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 乒乓球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 2人共用4个 若学校要满足700名学生同时训练，且采购的排球数量不能超过足球的数量，学校应在哪家公司采购能使费用最少，最少费用是多少？ 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 例题3（2025·山西·三模）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如表： 分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦 1克碳水化合物 1 1．5 15 1克脂肪 3 3 45 请解答下列问题： (1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2．5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克． (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量千焦，快走每分钟消耗热量千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共小时，若要消耗完克碳水化合物与克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到分钟） 【变式3-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校组织学生外出研学，研学社报价每人收费300元，当研学人数超过60人时，研学社给出两种优惠方案． 方案一：研学团队先交1800元团购费，每人额外收费200元． 方案二：6人免费，其余每人收费按原价打8折． (1)当参加研学的人数是70人时，采用哪种方案更省钱？ (2)当参加研学的人数（大于60人）在什么范围时，采用方案一更省钱？ 【变式3-2】（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元． (1)这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？ (2)最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？ 【变式3-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． 现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【变式3-4】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【背景】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递．开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 (1)接到温水的体积是_____，接到开水的体积是_____；（用含的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； 【变式3-5】（2025·广东深圳·一模）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录： 交易编码 品类与数量 销售总价（元） 1 一辆电动风力小车、两个简易电动风扇 18 2 两辆电动风力小车、三个简易电动风扇 31 (1)求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？ (2)若该摊位希望总捐款金额不低于2000元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共300件，那么电动风力小车至少需要多少辆？ 【变式3-6】（23-24七年级下·全国·期末）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）． 购买一件原价在900元以下的健身器材，当原价在什么范围内时，选择活动二比选择活动一更合算？ 【变式3-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【变式3-8】（24-25八年级下·陕西延安·期中）为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为______元，在乙花店购买的优惠价为______元；（均用含的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 【变式3-9】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）某公交公司有型两种客车，它们的载客量和租金如下表： 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 希望中学根据实际情况，计划租用型客车共，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） ①___________ ②___________ (2)若要保证租车费用不超过元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若八年级师生共有人，写出最省钱的租车方案． 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 例题4（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·期末）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【变式4-5】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【变式4-6】（24-25七年级下·全国·期末）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 例题5（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数 【变式5-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【变式5-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【变式5-4】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【变式5-5】（24-25八年级下·四川成都·期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【变式5-6】（24-25七年级下·全国·期中）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【变式5-7】（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 例题6（24-25七年级下·重庆北碚·期中）某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 【变式6-1】（2024八年级上·浙江·期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【变式6-3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 例题7（24-25八年级上·广东江门·期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【变式7-1】（2024八年级上·全国·期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【变式7-3】（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【变式7-4】（24-25八年级上·重庆·期中）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个A模型和4个B模型． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【变式7-5】（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【变式7-6】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【变式7-7】（24-25七年级下·全国·期中）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【变式7-8】（24-25八年级上·重庆·期末）随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【变式7-9】（24-25八年级下·山西·期中）某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元． (1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？ 【变式7-10】（24-25七年级下·四川达州·期中）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 B款 一月 3 1 35 二月 1 3 33 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别为多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，共有几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时，（2）中所有的方案获利相同？ 【变式7-11】（24-25七年级下·四川达州·期中）某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1500元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共30个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，请为学校设计一种比较实惠的方案． 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 例题8（24-25七年级下·重庆·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期中）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式8-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式8-3】（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与实践 某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元．销售一件种型号衣服可获利20元，销售一件种型号衣服可获利30元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服是种型号衣服的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于26件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ (3)为了进一步落实降本增效的工作目标，请你帮助该商场判断（2）中的进货方案，哪种方案利润率最高？（利润率利润成本） 【变式8-4】（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表： A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元） 第一批 10 5 35000 第二批 15 10 57500 (1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？ (2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ 【变式8-5】（23-24七年级下·湖北恩施·期末）某电商平台计划购进甲、乙两种恩施绿茶共110罐，甲种茶叶进价为80元/罐，乙种茶叶进价为120元/罐．已知3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元． (1)求甲、乙两种茶叶每罐的售价分别是多少元? (2)该电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，则共有多少种进货方案? (3)在（2）的条件下，该电商平台如何确定进货方案可使销售利润最大?最大利润是多少元? 【变式8-6】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．（2）中哪种方案获利最多？最大利润是多少？ 【变式8-7】（23-24七年级下·四川南充·期末）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． (1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． (2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？ 【培优题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 例题9（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【变式9-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 【变式9-5】（2024七年级上·全国·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 【变式9-6】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 【变式9-7】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）根据下表素材，探索完成任务； 背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”． 素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． 素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元． 素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍． 问题解决 任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ 任务2 请问有哪几种购买方案？ 【培优题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 例题10（23-24七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 （2）根据所列方程“”，求A、B两种品牌足球的单价． [迁移类比] （3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． [拓展探究] （4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【变式10-1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）探究奖项设置和奖品采购的方案． 素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元． 素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表： 获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 调整前人数（单位：个） 5 15 30 调整后人数（单位：个） m 20 n 调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分． 素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）． 【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价． 【任务2】求m，n的值． 【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案． 【变式10-3】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【变式10-4】（23-24七年级下·广西贺州·期末）近年来，研学旅行成为素质教育的新内容和新方式，它继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，提升中小学生的自理能力、创新精神和实践能力．2024年6月18日，某中学组织七年级同学到国家5A景区黄姚古镇附近的中小学研学实践基地进行研学．请你认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：将全年级的同学分成了三个人数相同，排列方式也完全相同的队伍进行训练，当三支队伍正好按如图所示的方式站立时，（图中阴影部分即为三支队伍），发现从正前方看有52人，从侧面看有44人． 材料二：基地计划一共租A、B两种型号的客车20辆，根据上表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务． 任务（1）：求本次研学初一年级共有多少人参加？ 任务（2）：学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ 1．（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期中）某班环保小组需要植树若干棵．若平均每人植树7棵，则树苗还剩9棵；若平均每人植树9棵，则每个人都有机会植树，但有1人植树不到8棵．设环保小组人数为x，根据题意，可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）学校给七年级女生安排宿舍，如果每间住6人，还有18人安排不下；如果每间住8人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级女生分配的宿舍可能有（   ） A．8间 B．12间 C．16间 D．20间 5．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 6．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 9．（24-25七年级下·全国·期中）一个两位数十位上的数字比个位上的数字小3，若这个两位数大于26且小于39，则这个两位数是 ． 10．（24-25七年级下·四川内江·期中）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩22人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，则该校七年级有 名男生参加学习？ 11．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了三次才停止，那么的最大值为 ． 12．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）盲道方便了盲人的通行，一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立如图2所示的平面直角坐标系．已知每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则点的坐标为 ． 13．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． (1)求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ (2)若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 15．（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 16．（23-24七年级下·全国·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题12 一元一次不等式（组）实际应用（人教2024） 【8个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 1 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 5 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 17 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 27 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 31 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 35 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 40 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 54 【培优题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 64 【培优题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 78 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 例题1（23-24七年级下·全国·期末）学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．实践活动要求完成全部任务的时间不超过，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵他们在剩余时间内每小时平整土地，平整土地，开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完． ∴， 故选B． 【变式1-1】（2025·浙江·二模）某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 根据题目要求列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得导火索燃烧完的时间为，人跑开的时间为． ∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域， ∴导火索燃烧完的时间要大于人跑开的时间，即， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·期末）小明参加了某商店的促销活动，设小明购买的商品定价为x元，可列出不等式，则下列情况符合该不等式的是（   ） A．买两件等值的商品可打4折，再减100元，最后不到1500元 B．买两件等值的商品可打6折，再减100元，最后不到1500元 C．买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元 D．买两件等值的商品可减100元，再打6折，最后不到1500元 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的关系式表示的含义． 根据，可以理解为买两件该商品减100元，再打4折得出总价小于1500元． 【详解】解：由题意得，表示买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元， 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·重庆·期中）小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高米，妈妈身高米，小乐登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，熟练掌握不等式的意义是解题的关键，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵小乐身高米，现登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米）， ∴此时小乐的高度为：， ∵妈妈身高米，并且两个妈妈的身高加起来都没小乐的高度高， ∴， 故选：A． 【变式1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售， ∴， 故选：C 【变式1-5】（24-25八年级下·河南郑州·期中）一个人的头发大约有万到万根，每根头发每天大约生长，小郑的头发现在大约有长，那么大约经过多长时间，她的头发的长度能超过？设经过天小郑的头发长度能超过，根据题意，可列出关于的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设经过天小郑的头发长度能超过，根据题意，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：设经过天小郑的头发长度能超过，根据题意，得， 故选：C． 【变式1-6】（23-24七年级下·全国·期末）一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．设菜地的宽为，则宽为，利用长方形周长公式，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设菜地的宽为，则宽为，根据题意： ， 故答案为：． 【变式1-7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据得分规则以及总分不低于100分，列出不等式即可． 【详解】解：设小明要答对x道题， 由题意，得：； 故答案为：． 【变式1-8】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式： ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据利润等于售价减进价，等于进价乘以利润率，结合每件衣服的利润不低于，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 例题2（2025·黑龙江哈尔滨·二模）永宝电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元． (1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利大于57万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？ 【答案】(1)生产一件A型产品需成本3万元，生产一件B型产品需成本5万元 (2)5件 【详解】（1）解：设生产一件A型产品需成本万元，设生产一件B型产品需成本万元 ， 解得． 答：生产一件A型产品需成本3万元，生产一件B型产品需成本5万元． （2）解：设工厂生产A型产品件，则生产B型产品件 根据题意，得， 解得． 为正整数 ． 答：工厂生产A型产品至少5件． 【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元. (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书的单价为元，乙种书的单价为元 (2)该校最多可以购买甲种书本 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设甲种书的单价为元，乙种书的单价为元，根据买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价不超过2200元，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，乙种书的单价为元， 可得方程， 解得， 答：甲种书的单价为元，乙种书的单价为元． （2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书本， 答：该校最多可以购买甲种书本． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·期中）2025年4月20日，重庆沙坪坝全球校友半程马拉松在沙磁文化广场激情开幕，沙坪坝一商家的空顶帽销售火爆．此半程马拉松开赛前三天，商家销售A款空顶帽200个，B款空顶帽250个，销售额31000元，已知一个A款空顶帽比一个B款空顶帽售价高20元． (1)求一个A款空顶帽和一个B款空顶帽的售价各为多少元？ (2)半程马拉松结束后，该商家对空顶帽售价进行了调整，将每个A款空顶帽按售价的八折销售，每个B款空顶帽降价10元销售．若该商家在价格调整后销售空顶帽共300个，销售额不低于17800元，求该商家在价格调整后至少销售A款空顶帽多少个？ 【答案】(1)一个A款空顶帽的售价为80元，一个B款空顶帽的售价为60元； (2)至少销售A款空顶帽200个． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设一个A款空顶帽的售价为x元，一个B款空顶帽的售价为y元，由题意列出方程组，求解即可； （2）设商家价格调整后销售A款空顶帽m个，则销售B款空顶帽个，由题意得，求解即可． 【详解】（1）解：设一个A款空顶帽的售价为x元，一个B款空顶帽的售价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：一个A款空顶帽的售价为80元，一个B款空顶帽的售价为60元； （2）解：设商家价格调整后销售A款空顶帽m个，则销售B款空顶帽个，由题意得： ， 解得：， 答：至少销售A款空顶帽200个． 【变式2-3】（2025·四川成都·三模）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元． (1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？ (2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？ 【答案】(1)A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元； (2)最多能购买100件A种蜀绣作品． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元； （2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种蜀绣作品． 【变式2-4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元 (2)最多购买29个篮球 【分析】此题考查了二元一次方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和一元一次不等式是关键． （1）设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元．购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元．据此列出方程组即可； （2）设购买a个篮球，根据总费用少于5200元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元． 根据题意得：     解方程组得： 答：购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元． （2）解：设购买a个篮球， 根据题意得： 解不等式得： ∵a为整数， ∴a的最大值为29 答：最多购买29个篮球 【变式2-5】（2025·江西新余·二模）某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． (1)小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ (2)如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 【答案】(1)小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调 (2)小明家最多可以购买1台节能空调 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组以及不等式为解题关键． （1）设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，根据小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，列出方程组求解即可； （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱，根据总补贴金额不超过2000元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调， 根据题意，得 解得， 答：小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调． （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱， 根据题意，得， 解得． 答：小明家最多可以购买1台节能空调． 【变式2-6】（2025·河南洛阳·二模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的解集，然后再根据购买总费用最少，确定答案即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 由题意得，， 解得，， ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【变式2-7】（2025·河南洛阳·三模）某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 (1)求两种型号的空调的销售单价各是多少． (2)为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小方案二，求a的最小值． 【答案】(1)A型空调销售单价为6000元，B型空调销售单价为4000元(2)10 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A型空调销售单价为x元，B型空调销售单价为y元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）表示出两种方案的优惠额，根据条件列出不等式，求解不等式得出a的取值范围 即可. 【详解】（1）解：设A型空调销售单价为x元，B型空调销售单价为y元，根据题意得 ， 解得， ∴型空调销售单价为6000元，B型空调销售单价为4000元． （2）解：根据题意得： 方案一优惠额为：， 方案二优惠额为：， ∵方案一优惠额不小于方案二， ∴， 解得， ∴a的最小值为10． 【变式2-8】（2025·广东深圳·二模）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元． (1)甲类和乙类科普读物单价分别是多少? (2)该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本? 【答案】(1)甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元 (2)60本 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组解决问题． （1）设甲类科普读物的单价为x元，乙类科普读物的单价为y元，列出方程组并求解； （2）设购买甲类科普读物m本，则购买乙类科普读物本，根据甲、乙的单价以及总费用不超过2800元列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲类科普读物的单价为x元，乙类科普读物的单价为y元， 依题意得， 解得． 答：甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元； （2）解：设购进甲类科普读物m本， 依题意得， 解得， ∴m最大值为60． 答：甲类科普读物最多可以买60本． 【变式2-9】（2025·江西抚州·二模）“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元 (2)至少购进A型头盔41个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元， 由题意得 解得 答：购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元． （2）解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意得， 解得， ∴a的最小值为41． 答：至少购进A型头盔41个． 【变式2-10】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒2》成为首部登顶动画票房榜榜首的亚洲电影，与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来，哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件深受游客喜爱，某经销商计划同时购进哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件两种玩具．据了解，16个手办盲盒摆件和10个雕像模型摆件的进价共计1600元；24个手办盲盒摆件和20个雕像模型摆件的进价共计2800元． (1)求购进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进手办盲盒摆件和雕像模型摆件共200个，要求购买的总费用不超过12400元，求最多可以购买雕像模型摆件多少个？ 【答案】(1)进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元 (2)最多可以购买雕像模型摆件个 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元，根据题意得，解得，即可得到答案； （2）设最多可以购买雕像模型摆件个，则购买哪吒系列手办盲盒摆件为个， 根据题意得，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元， 根据题意得， 解得， 答：进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元； （2）解：设最多可以购买雕像模型摆件个，则购买哪吒系列手办盲盒摆件为个， 根据题意得， 解得， 最多可以购买雕像模型摆件个． 【变式2-11】（2025年山西省中考名校联考九年级数学试卷）太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 【答案】此次最少购进20辆A品牌自行车 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可． 【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆， 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最小值为20， 答：此次最少购进20辆A品牌自行车． 【变式2-12】（2025·河南洛阳·三模）洛阳体育技能类选考项目有篮球、足球、排球、乒乓球，考生可选一项进行考试．某学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，为了使学生得到更好的训练，学校计划再采购个足球（为偶数），个排球．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）． (1)请用含，的代数式分别表示出在A、B公司购买体育用品的费用； (2)在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 乒乓球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 2人共用4个 若学校要满足700名学生同时训练，且采购的排球数量不能超过足球的数量，学校应在哪家公司采购能使费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)购买A公司体育用品的费用为元，购买B公司体育用品的费用为元 (2)学校应在B公司采购能使费用最少，最少费用是10000元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是理清数量关系，找到关系列代数式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）需要购买足球和排球数量为：，根据题意得到，分别求出两公司的费用范围，即可求解． 【详解】（1）解：购买A公司体育用品的费用为：； 购买B公司体育用品的费用为：； 答：购买A公司体育用品的费用为元，购买B公司体育用品的费用为元； （2）解：已知学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，要满足700名学生同时训练， 则需要购买足球和排球数量为：， ， 采购的排球数量不能超过足球的数量， ， 解得， ， ， 解得， ， 购买A公司体育用品的费用为：， ， 购买B公司体育用品的费用为：， ， 学校应在B公司采购能使费用最少，最少费用是10000元． 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 例题3（2025·山西·三模）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如表： 分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦 1克碳水化合物 1 1．5 15 1克脂肪 3 3 45 请解答下列问题： (1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2．5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克． (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量千焦，快走每分钟消耗热量千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共小时，若要消耗完克碳水化合物与克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到分钟） 【答案】(1)小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪克． (2)小祺至少需要分配分钟进行快走． 【详解】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克． 根据题意，得． 解得： 答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪克． （2）设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车 根据题意，得． 解得： 结果精确到分钟， 的最小值为． 答：小祺至少需要分配分钟进行快走． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校组织学生外出研学，研学社报价每人收费300元，当研学人数超过60人时，研学社给出两种优惠方案． 方案一：研学团队先交1800元团购费，每人额外收费200元． 方案二：6人免费，其余每人收费按原价打8折． (1)当参加研学的人数是70人时，采用哪种方案更省钱？ (2)当参加研学的人数（大于60人）在什么范围时，采用方案一更省钱？ 【答案】(1)采用方案二更省钱 (2)当参加研学的人数大于81人时，采用方案一更省钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式的应用． （1）利用总价单价数量，结合研学社给出两种优惠方案，分别计算出两种方案所需费用进行比较即可； （2）设参加研学的人数为人，则方案一需要花费元，方案二需要花费元，即元，根据方案一更省钱得关于x的一元一次不等式，解不等式，即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 采用方案二更省钱； （2）解：设参加研学的人数为人，则方案一需要花费元， 方案二需要花费元，即元， 由题得，， 解得， 答：当参加研学的人数大于81人时，采用方案一更省钱． 【变式3-2】（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元． (1)这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？ (2)最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？ 【答案】(1)燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元 (2)行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设行驶里程为，若时，由可得，无人家事出租车费用低；若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足，解一元一次不等式即可得解． 【详解】（1）解：设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元， 由题意可得：， 解得：， ∴燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元； （2）解：设行驶里程为， 若时，由可得，无人家事出租车费用低， 若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足：， 解得：， ∴， 综上所述，行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用． 【变式3-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． 现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】5台 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设该企业需要购买A型智能机器人x台，根据该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设该企业需要购买A型智能机器人x台，则需要购买B型智能机器人台，     由题意得：， 解得：， 答：该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人． 【变式3-4】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【背景】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递．开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 (1)接到温水的体积是_____，接到开水的体积是_____；（用含的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； 【答案】(1)，(2)至少应接温水秒(3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． （1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可． （2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可． （3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵温水水流速度是， ∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是， ∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为， 故答案为，； （2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为， 当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时， 可得， 解得， ∴则至少应接温水秒； （3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴， 解得：. 【变式3-5】（2025·广东深圳·一模）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录： 交易编码 品类与数量 销售总价（元） 1 一辆电动风力小车、两个简易电动风扇 18 2 两辆电动风力小车、三个简易电动风扇 31 (1)求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？ (2)若该摊位希望总捐款金额不低于2000元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共300件，那么电动风力小车至少需要多少辆？ 【答案】(1)一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元 (2)辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式是解题的关键． （）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，由题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设需要辆电动风力小车，由题意，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元， 由题意得，， 解得， 答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元； （2）解：设需要辆电动风力小车， 由题意有：，解得， ∵取整数， ∴的最小值为， 答：摊位至少需要辆电动风力小车． 【变式3-6】（23-24七年级下·全国·期末）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）． 购买一件原价在900元以下的健身器材，当原价在什么范围内时，选择活动二比选择活动一更合算？ 【答案】当原价不低于300元且小于400元或者不低于600元且小于800元时，活动二更合算 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额， 再分，及三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案． 【详解】解：这种健身器材的原价为元，则活动一需付款元， 活动二：当时，需付款元，当时，需付款元，当时，需付款元， ①当时，， 此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，， 解得，即当时，活动二更合算， ③当时，， 解得， 即当时，活动二更合算． 综上，当原价不低于300元且小于400元或者不低于600元且小于800元时，活动二更合算． 【变式3-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【答案】(1)3，4(2)可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个(3)16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒即可得出答案； （2）设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知：1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 由题意得： 解得， 答：可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个； （3）解：由题意得， 解得：， ∴m的最大值为16． 【变式3-8】（24-25八年级下·陕西延安·期中）为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为______元，在乙花店购买的优惠价为______元；（均用含的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 【答案】(1)，； (2)当时，在甲花店购花更优惠；当时，在乙花店购花更优惠；当时，在甲，乙花店购花一样优惠；过程见解析． 【分析】本题主要考查列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和一元一次不等式成为解题的关键． （1）直接根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，分三种情况，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在甲花店购买的优惠价为元；在乙花店购买的优惠价为元． 故答案为：，． （2）解：当时，，解得：，即当时，在甲花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在乙花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在甲，乙花店购花一样优惠． 【变式3-9】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）某公交公司有型两种客车，它们的载客量和租金如下表： 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 希望中学根据实际情况，计划租用型客车共，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） ①___________ ②___________ (2)若要保证租车费用不超过元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若八年级师生共有人，写出最省钱的租车方案． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3)最省钱的租车方案为：型车辆，型车辆 【分析】本题考查列代数式及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解题关键． （1）根据型车辆数乘以每辆车载客量即是型车载客量，型车辆数乘以每辆车租金即为型车的租金； （2）型车租金为元，型车租金元，列出不等式即可求解； （3）型、型车载客量不小于，列出不等式即可得到范围，结合（2）中范围，分别在范围内取整数计算每种方案租金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵型车辆，每辆载客人，每辆租金元，租用型客车辆， ∴型车载客为人，租金是元； 故答案为：，； （2）解：∵型车租金为元，型车租金元，租车费用不超过元， ∴， 解得：， ∴的最大值为． （3）∵型车载客量为人，型车载客量为人，八年级师生共有人， ∴， 解得：， 由（2）可知：， ∵为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴最省钱的租车方案为：型车辆，型车辆． 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 例题4（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·期末）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【变式4-3】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式4-4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【变式4-5】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式4-6】（24-25七年级下·全国·期末）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 例题5（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数 【答案】获赠读者为5人，图书数量为35本． 【详解】解：设获赠读者为人，则图书数量为本，则有 解得 因为是整数，故， 所以（本）． 答：获赠读者为5人，图书数量为35本． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【变式5-4】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【答案】该班有学生，本次一共种植棵树 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有名学生， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴， ∴， 答：该班有学生，本次一共种植棵树． 【变式5-5】（24-25八年级下·四川成都·期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 【变式5-6】（24-25七年级下·全国·期中）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 【变式5-7】（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元 【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根据题意列出方程和不等式是解决本题的关键． 根据题意先列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元． 由题意，得， 解得． 由于饼干的标价是整数， 所以（元）． 当时，（元）． 答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元． 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 例题6（24-25七年级下·重庆北碚·期中）某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 【答案】(1)甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元 (2)有3种方案，具体如下：①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台；②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台；③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；方案③投入资金最少 【详解】（1）解：设甲种农业设备每台进价是x万元，则乙种农业设备每台进价是万元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元； （2）解：设购买甲种农业设备y台，则购买乙种农业设备台， 根据题意，得， 解得， 所以整数y的值为15，16，17， ∴有3种方案，具体如下： ①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备台； ②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备台； ③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备台； ①投入资金为万元； ②投入资金为万元； ③投入资金为万元； ∵， ∴方案③投入资金最少． 【变式6-1】（2024八年级上·浙江·期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解答的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元，根据“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套， 根据题意，得， 解得，又x为正整数， ∴x可取31或32， ∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套． 【变式6-3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元 (2)该网店共有3种进货方案：方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式组成为解答本题的关键． （1）设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元，根据“甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组并求解即可； （2）设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶，根据“该网店决定用不超过2400元，购进甲、乙两种遮阳帽共100顶且甲种遮阳帽的数量超过57顶”，即可得出关于m的一元一次不等式组，即可求出m的取值范围，最后根据m取整数的情况，确定各货方案． 【详解】（1）解：设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元， 依题意得：，解得：． 答：该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元； （2）解：设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶， 依题意得：，解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为58，59，60， ∴该网店共有3种进货方案， 方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶； 方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶； 方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 例题7（24-25八年级上·广东江门·期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个(2)该商店第二次有3种批发方案 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 【变式7-1】（2024八年级上·全国·期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元 (2)四种 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组和不等式组是解答关键． （1）先设甲型号手机每台售价为元，乙型号手机的每部进价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设甲型号手机每台售价为元，乙型号手机的每部进价为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元； （2）解：设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部， 根据题意，得： ， 解得：， 为整数， 取或或或， 则进货方案有如下四种： 方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两种纪念品的进价分别为元、元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商店准备购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，由（1）即题意可得，然后分别求出利润即可． 【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为元、元．由题意， 得， 解得； 答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元． （2）解：设商店准备购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件． 由题意，得， 解得：； 因为为整数，所以取30，31，32．故共有3种方案． 当，利润：（元） 当，利润：元） 当，利润：（元） 答：一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元． 【变式7-3】（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 【变式7-4】（24-25八年级上·重庆·期中）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个A模型和4个B模型． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元； (2)购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元； （2）设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数，∴m可以为，，，∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1：购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元． 【变式7-5】（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买一台平板电脑需元，一台学习机需元 (2)3种方案，见解析；购买平板电脑台，学习机台最省钱 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出和的值，即可； （2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 由题意得：， 解得：， 故购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． （2）解：设购买平板电脑台，则购买学习机台． 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴，，． 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 则购买平板电脑台，学习机台最省钱． 【变式7-6】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书每本为 30元，乙种图书每本为 20元 (2)共有 6 种购买方案 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书每本为 x 元，则甲种图书每本为元， 根据题意得： 解得：， 经检验， 是分式方程的根，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元； （2）设购买甲种图书 a 本，由题意可得： 解得：， ∵a 为整数， ∴a 可取 20，21，22，23，24，25， ∴共有 6 种购买方案． 【变式7-7】（24-25七年级下·全国·期中）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 【变式7-8】（24-25八年级上·重庆·期末）随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 (2)三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 【变式7-9】（24-25八年级下·山西·期中）某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元． (1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】(1)A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元 (2)共有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，根据“购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型健身器材，则购买台B型健身器材，根据“购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可求解． 【详解】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元， 依题意得：， 解得： 答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元． （2）设购买m台A型健身器材，则购买台B型健身器材， 依题意得： 解得：． 又为整数， 可以为5，6， 共有2种购买方案． 【变式7-10】（24-25七年级下·四川达州·期中）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 B款 一月 3 1 35 二月 1 3 33 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别为多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，共有几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时，（2）中所有的方案获利相同？ 【答案】(1)每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元； (2)方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车； (3)；理由见解析 【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于105万元且不少于99万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案； （3）根据各种方案利润相同，列出关于a的方程，然后解方程，得出a的值，再进行验证即可． 【详解】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元； （2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为5，6，7， 该公司共有3种进货方案， 方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车； 方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车； 方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车； （3）解：；理由如下： 根据题意得：， 解得：， ∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元）， 又∵每辆A款汽车获利为：（万元）， ∴当时，两款汽车每辆获利相同， ∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关， ∴三种方案获利相同． 【变式7-11】（24-25七年级下·四川达州·期中）某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1500元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共30个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，请为学校设计一种比较实惠的方案． 【答案】(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元； (2)购进甲、乙两种书柜各15个，费用最少，所需费用为6300元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，设出合适的未知数，确定相等关系列方程组，确定不等关系列不等式组是解本题的关键． （1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，再根据甲种书柜3个、乙种书柜4个，共需资金1500元；甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元，列方程组，再解方程组即可得到答案； （2）设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，列不等式组，再解不等式组结合为正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，则 ， 解得：， 答：甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元； （2）解：设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，则 由①得： 由②得：， 所以： 又因为为正整数， 或或 所以所有可行的购买方案为： 第一种方案：购进甲种书柜13个，乙种书柜17个， 需要费用：元； 第二种方案：购进甲种书柜14个，乙种书柜16个， 需要费用：元； 第三种方案：购进甲种书柜15个，乙种书柜15个． 需要费用：元； ， 答：购进甲、乙两种书柜各15个，费用最少，所需费用为6300元． 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 例题8（24-25七年级下·重庆·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期中）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 【变式8-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 【变式8-3】（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与实践 某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元．销售一件种型号衣服可获利20元，销售一件种型号衣服可获利30元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服是种型号衣服的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于26件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ (3)为了进一步落实降本增效的工作目标，请你帮助该商场判断（2）中的进货方案，哪种方案利润率最高？（利润率利润成本） 【答案】(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． (3)方案②的利润率高一些，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元，再建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于780元，且A型号衣服不多于26件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可； （3）根据利润率利润成本分别计算两种方案的利用率，再比较即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得， 解得， 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． （3）解：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； 利润率， ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． 利润率， ∴方案②的利润率高一些． 【变式8-4】（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表： A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元） 第一批 10 5 35000 第二批 15 10 57500 (1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？ (2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ 【答案】(1)，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元． (2)生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润． 【分析】考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． （1）设，两种设备平均每台的成本分别为，元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案； （2）设公司计划正式生产设备台，则生产设备台，由题意得出不等式组，则可求出生产方案． 【详解】（1）设，两种设备平均每台的成本分别为，元， 由题意得， 解得， 答：，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元． （2）设公司计划正式生产设备台，则生产设备台， 由题意得， 解得， 是整数， ，71，72，73，74，75， 一共有6种生产方案． 由（1）知，，两种设备平均每件的利润分别为1000，800元． 设备平均每件的利润1000元大于设备平均每件的利润800元， 当，， 即生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润． 【变式8-5】（23-24七年级下·湖北恩施·期末）某电商平台计划购进甲、乙两种恩施绿茶共110罐，甲种茶叶进价为80元/罐，乙种茶叶进价为120元/罐．已知3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元． (1)求甲、乙两种茶叶每罐的售价分别是多少元? (2)该电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，则共有多少种进货方案? (3)在（2）的条件下，该电商平台如何确定进货方案可使销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为120元/罐、200元/罐 (2)共三种进货方案 (3)进货甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐时利润最大，最大利润是5600元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1） 设甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为每罐元、每罐元，根据3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元．再建立方程组求解即可； （2）设甲种茶叶的进货量为，则乙种茶叶的进货量为，利用电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，再建立不等式组求解即可； （3）分别计算各种方案的利润，再比较即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为每罐x元、每罐y元，则由题意得： ， 解得 ； 答：甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为120、200； （2）解：设甲种茶叶的进货量为罐，则乙种茶叶的进货量为罐， 则由题意得:  ， 解得  ， ∵ 为正整数，   ∴，共三种进货方案； （3）解：方案一：甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐， 利润为：元； 方案二：甲种茶叶81罐，乙种茶叶29罐， 利润为：元； 方案三：甲种茶叶82罐，乙种茶叶28罐， 利润为：元； ∵ ， ∴选择方案一： 进货甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐时利润最大，最大利润是5600元． 【变式8-6】（23-24七年级下·四川绵阳·期末）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．（2）中哪种方案获利最多？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元 (2)该医药器材经销商共有5种进货方案，方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩 (3)方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩获利最多，获利最多为3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）计算出（2）中每种方案所获利润，即可求解． 【详解】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． （2）解：设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以为8，9，10，11，12， ∴该医药器材经销商共有5种进货方案， 方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩； 方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩； 方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩； 方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩； 方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． （3）解：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩，元； 方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩，元； 方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩，元； 方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩，元； 方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩，元． 答：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩获利最多，获利最多为3360元． 【变式8-7】（23-24七年级下·四川南充·期末）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． (1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． (2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元 (2)①有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；②购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式． （1）设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，根据“3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元”，列出方程组求解即可； （2）①设购进A粽子a袋，B粽子袋，根据“不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍”，列出不等式组求解即可； ②根据①中方案分别计算即可； 【详解】（1）解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元， 根据题意可得：， 解得：， 故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元． （2）①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋， 则根据题意可得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋； ②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）； 当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）； 当购进A粽子57袋，B粽子43袋时： 利润（元）； ∵， 故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元． 【培优题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 例题9（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：934元 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套 ， 解得， 为整数， 的值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 【变式9-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 【答案】任务一：；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键． 任务一：根据题意得到谷物、牛奶以及鸡蛋中每的蛋白质含量，即可得到答案； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，根据“早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的”列二元一次方程组求解即可； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，根据“在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过”列一元一次不等式组，取整数解即可． 【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量， 则． 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物， 列方程组得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐， 根据题意得：． 解得： 或， 当时，；当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 【答案】任务一：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元；任务二：该商店至少采购徽章个；任务三：采购徽章个，采购钥匙扣个商店获利最高． 【详解】解：任务1：设“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元； 任务2：设该商店采购徽章个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章个； 任务3：根据题意，得， 解得， ，且为正整数， 可以为，， 当时，总利润为元； 当时，总利润为元； 当时，总利润为元， ， 在这些采购方案中，采购个徽章，个钥匙扣时，该商店获利最高． 【变式9-5】（2024七年级上·全国·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 【答案】（1）风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；（2）见解析 【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，整数解，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元．根据题意得，解方程组即可． （2）设购买个风琴包，个精美书签，根据题意得：，所以．又因为，，，为整数，且是10的倍数，解答即可． 【详解】解：（1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元． 根据题意得， 解得． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元． （2）解：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， 故． ∵，， ∴， 解得， ∵是10的倍数， ∴或或或或， ∵，为整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签；方案2：购买20个风琴包，60个精美书签． 【变式9-6】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 【答案】任务1： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元；任务2：有3种方案，①购买15套书签，购买1个冰箱贴；②购买10套书签，购买10个冰箱贴；③购买5套书签，购买19个冰箱贴；任务3：王老师购买了4个毛绒玩具 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题关键是： 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴，根据总费用为560元列出二元一次方程，然后根据x、y都是正整数求解即可； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具，根据四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，列出方程组，整理可得，，根据四种文创商品都购买，得出，解不等式求出b的整数解，即可求解． 【详解】解∶ 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元； 任务2 ：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴，，， ∴有3种方案，具体如下： ①购买15套书签，购买1个冰箱贴； ②购买10套书签，购买10个冰箱贴； ③购买5套书签，购买19个冰箱贴； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具， 根据题意，得 由②得，， 把代入①，并化简，得 把代入，得， ∵四种文创商品都购买， ∴， 解得， ∴整数b的值为6， ∴，， ∴王老师购买了4个毛绒玩具． 【变式9-7】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）根据下表素材，探索完成任务； 背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”． 素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． 素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元． 素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍． 问题解决 任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ 任务2 请问有哪几种购买方案？ 【答案】任务1：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； 任务2：共有3种购买方案，分别是： 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝” 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，根据题意列出方程组求解即可； 任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； 任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意，得， 解得， 又为正整数， 可以为， 共有3种购买方案， 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”． 答：共有3种购买方案． 【培优题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 例题10（23-24七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 （2）根据所列方程“”，求A、B两种品牌足球的单价． [迁移类比] （3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． [拓展探究] （4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）②；（2）A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元；（3）A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元；（4）为了节约资金，学校应选择方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个． 【详解】解：（1）根据方程可知，表示的是B品牌足球的单价， ∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； （2）解方程， 解得， ∴（元） 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元； （3）根据题意得． 解得 答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元； （4）解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意得：，解得：， 又为正整数， 可以为23，24，25， 共有3种购买方案， 方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个，所需总费用为（元）； 方案2：购买种品牌的足球24个，种品牌的足球26个，所需总费用为（元）； 方案3：购买种品牌的足球25个，种品牌的足球25个，所需总费用为（元）； ， 为了节约资金，学校应选择方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个． 【变式10-1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）②  （2）种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元   （3）共有3种购买方案，方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）根据所列方程得到题意； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价， ∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②；                                （2）根据题意得             解得                                  答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元； （3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：          解得：，                         又为正整数， 可以为23，24，25，                      共有3种购买方案， 方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个； 方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个； 方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）探究奖项设置和奖品采购的方案． 素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元． 素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表： 获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 调整前人数（单位：个） 5 15 30 调整后人数（单位：个） m 20 n 调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分． 素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）． 【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价． 【任务2】求m，n的值． 【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案． 【答案】任务1：一盒水笔20元，一本笔记本10元；任务2：或；任务3：两种情形均选择去A超市购买比较合算，理由见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，然后根据题意可列方程，进而求解即可； （2）由题意易得，然后进行分类讨论即可求解； （3）由（2）及题意可分类求出所需费用，然后问题可求解 【详解】解：（1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元， 根据题意得， 解得， 答：一盒水笔20元，一本笔记本10元． （2）根据题意，得， 解得． ∵m是整数， ∴或7， ∴共有两种可能，分别是或； （3）①当，时，需采购水笔82盒，笔记本32本． A超市：买水笔82盒，需支付1640元，送20本笔记本，再买12本笔记本，需支付120元，共支付1760元； B超市：（元） ∵， ∴选择去A超市购买比较合算． ②当，时，需采购水笔84盒，笔记本34本． A超市：买水笔84盒，需支付1680元，送21本笔记本，再买13本笔记本，需支付130元，共支付1810元； B超市：（元） ∵， ∴选择去A超市购买比较合算， ∴两种情形均选择去A超市购买比较合算． 【变式10-3】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)14 (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)应接或的开水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：根据题意得： 解得：， ∵x为整数， ∴或， 答：应接或的开水． 【变式10-4】（23-24七年级下·广西贺州·期末）近年来，研学旅行成为素质教育的新内容和新方式，它继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，提升中小学生的自理能力、创新精神和实践能力．2024年6月18日，某中学组织七年级同学到国家5A景区黄姚古镇附近的中小学研学实践基地进行研学．请你认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：将全年级的同学分成了三个人数相同，排列方式也完全相同的队伍进行训练，当三支队伍正好按如图所示的方式站立时，（图中阴影部分即为三支队伍），发现从正前方看有52人，从侧面看有44人． 材料二：基地计划一共租A、B两种型号的客车20辆，根据上表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务． 任务（1）：求本次研学初一年级共有多少人参加？ 任务（2）：学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】任务（1）：720人；任务（2）：可以选择3种租车方案，最小租车费用为7040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 任务（1）：设小长方形长可以站人，宽可以站人，根据图中的摆放列出方程求解即可得出答案； 任务（2）：设型号有辆车，型号有辆，根据人数大于等于，费用不超过元列出不等式组求解，再根据范围确定方案即可得出答案． 【详解】解：任务（1）：设小长方形长可以站人，宽可以站人，根据题意： 解得 则，人 答：本次研学初一年级共有720人参加． 任务（2）：设A型号有辆车，B型号有辆， 根据题意得 解得：， ∵为整数 ∴，学校选择3种租车方案 ， ∴最小租车费用为7040元． 1．（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设A种产x件，B种产品件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出x值，从而得出方案数． 【详解】解：设A种产x件，B种产品件， ， ， 因为x为整数， 所以，31，32 所以有3种方案 方案1，A产品30件，B产品20件； 方案2，A产品31件，B产品19件； 方案3，A产品32件，B产品18件． 有3种方案． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·期中）某班环保小组需要植树若干棵．若平均每人植树7棵，则树苗还剩9棵；若平均每人植树9棵，则每个人都有机会植树，但有1人植树不到8棵．设环保小组人数为x，根据题意，可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 若设环保小组人数为人，则植树的棵数为棵，根据若每人平均植树 7 棵，还剩 9 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到8棵，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：设环保小组人数为x， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）学校给七年级女生安排宿舍，如果每间住6人，还有18人安排不下；如果每间住8人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级女生分配的宿舍可能有（   ） A．8间 B．12间 C．16间 D．20间 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设学校给七年级女生分配的宿舍有x间，则七年级女生共有人，根据题意列一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：设学校给七年级女生分配的宿舍有x间，则七年级女生共有人，由题意得 ， 解得， ∵x为整数， ∴x取值为10或11或12， 故选：B． 5．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 6．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的应用，将年龄值代入最佳燃脂心率最高值、最低值公式，计算出最值，即可得出最佳燃脂心率的范围． 【详解】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：， 最低值为：， 因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为， 故选A． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意．设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解． 【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：， 对于行李则要满足：， 故选：A． 8．（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 【答案】 4 使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根不等关系，列出方程，是解题的关键．设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据要运输100辆购物车，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，3，4，5， 因此有4种方案，即使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 故答案为：4；使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 9．（24-25七年级下·全国·期中）一个两位数十位上的数字比个位上的数字小3，若这个两位数大于26且小于39，则这个两位数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；设十位上的数字为x，则个位上的数字为，从而可表示出这个两位数，根据“这个两位数大于26且小于39”，列出不等式组即可求解． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为，这个两位数为，即； 由题意得：， 解得：， 由于x为小于10的正整数，则，， 故这个两位数为36； 故答案为：36． 10．（24-25七年级下·四川内江·期中）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩22人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，则该校七年级有 名男生参加学习？ 【答案】46或50 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，则共有男生名，根据“如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设共有宿舍x间，则共有男生名， 依题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x可以为6或7． 当时，； 当时，． ∴该校七年级有46或50名男生参加学习． 故答案为：46或50． 11．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了三次才停止，那么的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．根据运算程序，前两次运算结果小于等于80，第三次运算结果大于80列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 解不等式③得，， 所以，x的取值范围是，则的最大值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）盲道方便了盲人的通行，一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立如图2所示的平面直角坐标系．已知每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次不等式组的实际应用，设正方形的边长为个单位长度，由图可得：，求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：设正方形的边长为个单位长度． 由图可知，，解得． 为整数， ， 则点的横坐标为，纵坐标为， 即点． 故答案为：． 13．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． (1)求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ (2)若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)每枝康乃馨5元，每枝百合10元 (2)购买康乃馨240枝，百合120枝，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． （1）根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每枝康乃馨x元，每枝百合y元， 根据题意得：， 解得， 答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元； （2）解：最省钱的购买方案是购买康乃馨240枝，百合120枝，理由如下： 设购买康乃馨m枝，则购买百合枝，费用为W元， ， ， ， ∵， ∴当时，W取得最小值，此时， 即最省钱的购买方案是购买购买康乃馨240枝，百合120枝． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 15．（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【答案】(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元 (2)有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元，②购进足球4个，跳绳6根，费用为元，③购进足球5个，跳绳5根，费用为元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设再次购进足球个，则购进跳绳根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可． 【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶ ， 解得：， 答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元； （2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）． 16．（23-24七年级下·全国·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【答案】(1)共有4种购买方案，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，有理数四则混合运算应用，正确地列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论； （2）根据两个商场推出的优惠方案，分别求得（1）中各方案的费用，进而比较可得结论； 【详解】（1）解：设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29； ∴共有4种购买方案， 方案1：购进26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）解：方案1总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案2总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案3总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∴选择甲、乙商场都合算； 方案4总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择乙商场才合算； 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $$