【精准提分】专题11 一元一次不等式（组）（9个基础题型+4个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）

【精准提分】专题11 一元一次不等式（组）（人教2024） 【9个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用不等式的定义判断 1 【基础题型二】利用不等式的基本性质判断选项 2 【基础题型三】一元一次不等式定义中相关问题 4 【基础题型四】解一元一次不等式（组）计算题 5 【基础题型五】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 7 【基础题型六】判断一元一次不等式组的解题步骤是否正确 9 【基础题型七】由不等式的解集求参数 12 【基础题型八】已知一元一次不等式整数解的个数求参数 14 【压轴题型九】不等式组与方程的结合 15 【压轴题型十】解|x|≥a型的不等式 17 【压轴题型十一】一元一次不等式（组）中新定义类问题 22 【压轴题型十二】解特殊不等式题型 28 【压轴题型十三】利用一元一次不等式解决几何问题 30 【基础题型一】利用不等式的定义判断 例题1（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-4】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-5】（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【变式1-6】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【基础题型二】利用不等式的基本性质判断选项 例题2（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列关于不等式的变化中，叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式2-3】（2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【变式2-5】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，则下列式子中错误的是（ 　） A． B． C． D． 【变式2-7】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2-8】（2025·四川绵阳·二模）以下说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式2-9】（24-25七年级下·云南昆明·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2-10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【变式2-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【基础题型三】一元一次不等式定义中相关问题 例题3（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-6】（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式3-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式3-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【变式3-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 . 【变式3-10】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【基础题型四】解一元一次不等式（组）计算题 例题4（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组 【变式4-1】（2025·重庆·二模）解不等式组 【变式4-2】（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式组． 【变式4-4】（2025·甘肃定西·三模）解不等式组： 【变式4-5】（2025·四川乐山·一模）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【变式4-6】（2025·山东淄博·二模）解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 【变式4-7】（2025·江苏连云港·一模）解不等式组： 【变式4-8】（24-25七年级下·山西临汾·期中）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2) 【变式4-9】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）解下列不等式组． (1)； (2)． 【变式4-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）按要求解下列不等式（组）： (1)解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【变式4-11】（24-25七年级下·福建福州·期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【基础题型五】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 例题5（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·浙江金华·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·山西太原·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·内蒙古·二模）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2025·河南·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-6】（2025·甘肃·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-7】（2025·安徽蚌埠·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式5-8】（2025年浙江省县域教研联盟九年级中考二模数学试卷）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-9】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【基础题型六】判断一元一次不等式组的解题步骤是否正确 例题6（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式6-1】（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．  第一步 移项，得．  第二步 合并同类项，得．  第三步 x系数化成1，得．  第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是________． (2)在解答过程中，第________处出错，错误原因是________． (3)原不等式的正确解集为________． (4)解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； (2)解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【变式6-4】（2025·江西吉安·一模）小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【基础题型七】由不等式的解集求参数 例题7（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-5】（24-25九年级下·河南驻马店·期中）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 【变式7-6】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-7】（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【变式7-8】（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 【变式7-9】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若不等式组的解集为，则的值为 ． 【变式7-10】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【变式7-11】（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知不等式的解集是，是的取值范围是 ． 【基础题型八】已知一元一次不等式整数解的个数求参数 例题8（2025·山东东营·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24八年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式8-5】（24-25七年级下·山西晋城·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式8-7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-8】（24-25七年级下·全国·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【变式8-9】（24-25七年级下·全国·期中）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 【压轴题型九】不等式组与方程的结合 例题9（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025七年级下·全国·期中）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式9-4】（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-5】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式9-6】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【变式9-7】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【变式9-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式9-9】（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式9-10】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【压轴题型十】解|x|≥a型的不等式 例题10（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【变式10-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式10-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式10-3】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式10-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【变式10-5】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【变式10-6】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【变式10-7】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【压轴题型十一】一元一次不等式（组）中新定义类问题 例题11（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 【变式11-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【变式11-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）对于实数x，y，定义新运算：当时，；当时，，其中a，b是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算． (1)若，求的值； (2)已知，且，求a，b的值； (3)在（2）问的条件下，若关于p的不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围． 【变式11-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义为点M和点N的“k阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点    (1)若点，求点A和点B的“阶距离”； (2)若点B在轴上，且点A和点B的“阶距离”为3，求点B的坐标； (3)若点，且点A和点B的“阶距离”为1.5，直接写出的取值范围． 【变式11-4】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【变式11-5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【变式11-6】（24-25七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的两点，，()，给出如下定义：如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点B是点A的_______阶“生长点”； (2)已知点是点A的2阶“生长点”，若三角形的面积为4，求点C的坐标； (3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时，总有，直接写出m的取值范围． 【变式11-7】（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【变式11-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义一种新运算“”：当时，，当时，．例如：，． (1)填空：______（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 【变式11-9】（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，仿照实数的运算，定义点的运算如下，对于点，，实数、，规定，特别的如果，就将简记为．设点，． (1)_____；如果实数满足在第一象限，则的取值范围是_______； (2)如果点满足存在实数，，使得，就称点是偏大的；如果存在实数，，使得，就称点是偏小的；如果点既不是偏大的又不是偏小的，就称点是适当的． ①下列点中，偏大的点是________； ，，， ②如果是适当的，直接写出的取值范围：___________． 【变式11-10】（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【压轴题型十二】解特殊不等式题型 例题12（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【变式12-1】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【变式12-2】（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【变式12-3】（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【变式12-4】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【压轴题型十三】利用一元一次不等式解决几何问题 例题13（23-24七年级下·广东广州·期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． (1)若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； (2)将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 【变式13-1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【变式13-2】（23-24七年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 【变式13-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，其中m为常数，我们称点P与点Q是友谊点．例如：当时，点的友谊点为． (1)当时，点的友谊点Q的坐标为_______； (2)若点P在y轴上，且它的友谊点Q的坐标为 ， ①求的面积； ②若存在一点，且，使的面积不大于的面积，试求出x的取值范围． 【变式13-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 【变式13-5】（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问： (1)求点C的坐标． (2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式13-6】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【变式13-7】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 1．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江台州·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·一模）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·四川绵阳·三模）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川乐山·一模）已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷）直接写出不等式组的一个整数解是 ． 12．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 13．（2025·四川南充·二模）已知：，，且，的取值范围是 ． 14．（2025·河南信阳·二模）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 17．（2025·浙江台州·二模）解不等式组： 18．（2025·天津河北·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 19．（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．求k的取值范围． 20．（2025七年级下·全国·期中）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 21．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 1 / 118 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题11 一元一次不等式（组）（人教2024） 【9个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用不等式的定义判断 1 【基础题型二】利用不等式的基本性质判断选项 4 【基础题型三】一元一次不等式定义中相关问题 10 【基础题型四】解一元一次不等式（组）计算题 14 【基础题型五】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 21 【基础题型六】判断一元一次不等式组的解题步骤是否正确 26 【基础题型七】由不等式的解集求参数 31 【基础题型八】已知一元一次不等式整数解的个数求参数 37 【压轴题型九】不等式组与方程的结合 43 【压轴题型十】解|x|≥a型的不等式 51 【压轴题型十一】一元一次不等式（组）中新定义类问题 62 【压轴题型十二】解特殊不等式题型 79 【压轴题型十三】利用一元一次不等式解决几何问题 84 【基础题型一】利用不等式的定义判断 例题1（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①；②；⑤，是不等式，共3个， ③是等式，④是代数式． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；②方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数，掌握以上知识是解题的关键； 根据方程的定义逐项分析判断，然后即可求解． 【详解】解：①是方程； ②是不等式，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； ⑥是方程； ∴①③④⑥是方程，共4个， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义逐个判断即可．注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 【详解】解：不等式有①、②、⑥，共3个， 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义求解即可，一元一次不等式含有未知数，且未知数的最高次数为1次， 本题还要注意未知数的系数不能是0． 【详解】解：不是一元一次不等式，故①不符合题意； 是一元一次不等式，故②符合题意； 不是一元一次不等式，故③不符合题意； 不是一元一次不等式，故④不符合题意； 不是一元一次不等式，故⑤不符合题意； 故是一元一次不等式的有1个， 故选：D． 【变式1-4】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的识别，根据不等式的定义，进行判断即可．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键． 【详解】解：①是等式，不是不等式； ②是不等式； ③是代数式，不是不等式； ④是不等式； ⑤是不等式； 故选B． 【变式1-5】（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义一一判定即可． 【详解】解：①是等式，不是不等式； ②是多项式，不是不等式； ③符合不等式的定义，是不等式； ④符合不等式的定义，是不等式； ⑤符合不等式的定义，是不等式； ⑥符合不等式的定义，是不等式． 综上，不等式有③④⑤⑥，一共4个． 故选：B． 【变式1-6】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 【基础题型二】利用不等式的基本性质判断选项 例题2（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 【变式2-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列关于不等式的变化中，叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A，∵，∴，故A正确，不符合题意； B，∵，∴，故B错误，符合题意； C，∵，∴，故C正确，不符合题意； D，∵，∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式变形、不等式的性质，根据代数式变形结合不等式的性质得出，即可推出，再结合题意得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由得，， 由得，， ，即； 由得，， ， 故选：D． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴，即， ∴，故A选项错误，不符合题意； B． ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式2-5】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，则下列式子中错误的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：由可得，故正确，不符合题意； B、由可得，原写法错误，符合题意； C、由可得，故正确，不符合题意； D、由可得，故正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-7】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断． 【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意； B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-8】（2025·四川绵阳·二模）以下说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，符合题意； B、当时，，原说法错误，不符合题意； C、若，，则，原说法错误，不符合题意； D、若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2-9】（24-25七年级下·云南昆明·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了判定命题真假，不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行判断下面命题的真假即可． 【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，符合题意； B、如果，那么是真命题，不符合题意； C、如果，那么是真命题，不符合题意； D、如果，那么是真命题，不符合题意． 故选：A． 【变式2-10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，由不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意； B、由，得，选项正确，符合题意； C、由，若，则，原选项错误，不符合题意； D、由，若，，则，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质可得，故选项A说法正确，不符合题意； B、若，根据不等式的性质可得，故选项B说法正确，不符合题意； C、若，则，故选项C说法错误，符合题意； D、因为，所以由可得，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【基础题型三】一元一次不等式定义中相关问题 例题3（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意 C、是一元一次不等式，故符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键； 只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，并且不等式的两边都是整式的不等式叫一元一次不等式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； B．是等式，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C．符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； D．，未知数x在分母位置，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是一元一次不等式，该选项符合题意； B. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； C. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； D. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； 故选：A． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； C、是一元一次不等式，本选项符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式为一元一次不等式． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②有两个未知数，不是一元一次不等式； ③是分式，则不是一元一次不等式； ④未知数的次数是2，则不是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式； ⑥有两个未知数，不是一元一次不等式； 故正确的有①⑤，共两个， 故选：A． 【变式3-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程，不是一元一次不等式； ②，是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； 综上，一元一次不等式的个数为2个， 故选：B． 【变式3-6】（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式3-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 【变式3-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义求出、的值，然后代值计算即可．求出、值是关键． 【详解】解：当时的最小值为，当时的最大值为， ，， ， 故答案为：． 【变式3-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-10】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【基础题型四】解一元一次不等式（组）计算题 例题4（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组 【答案】 【详解】解： ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集是． 【变式4-1】（2025·重庆·二模）解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解； 解不等式①得；， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式4-2】（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集为   原不等式组的解为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式由②得，， ∴原不等式组的解集． 【变式4-4】（2025·甘肃定西·三模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得，                                         解不等式②，得，                                         不等式组的解集为． 【变式4-5】（2025·四川乐山·一模）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式4-6】（2025·山东淄博·二模）解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 【答案】，不等式所有整数解的和为0 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为， 该不等式的解集在数轴上可表示为： 该不等式所有整数解的和为：． 【变式4-7】（2025·江苏连云港·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，熟练掌握解不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：． 【变式4-8】（24-25七年级下·山西临汾·期中）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式（组）的解法是解题关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上以处实心点向左画线表示解集． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以-2，得． 在数轴上表示解集如图 （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 其解集在数轴上表示如图 ． 【变式4-9】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）解下列不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1)无解(2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组： （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】（1）解： 解①式得： 解②式得：， 则不等式组无解． （2）解： 解①式得： 解②式得：， 则不等式组的解集为： 【变式4-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）按要求解下列不等式（组）： (1)解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1)，见解析(2) 【分析】本题主要考查解不等式（组），数轴； （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的步骤分别解出①②，得到不等式组的解集，再找出整数解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； 用数轴表示如下： （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②去分母：， ， ， ， ∴不等式组的解集为：； ∴它的所有整数解为：． 【变式4-11】（24-25七年级下·福建福州·期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【基础题型五】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 例题5（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示为： 故选：B． 【变式5-1】（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 解集表示在数轴上： 故选：B． 【变式5-2】（2025·浙江金华·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由解得，， 由解得，， 故此不等式组的解集为， 把此不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式5-3】（2025·山西太原·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，从而可求得不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：， 则不等式组的解集为：； 在数轴上表示如下： 故选：B． 【变式5-4】（2025·内蒙古·二模）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如下： 故选：D 【变式5-5】（2025·河南·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 故选：C． 【变式5-6】（2025·甘肃·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得不等式组的解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：解不等式组的解集为， 故数轴表示为 A正确，B，C，D都不正确， 故选：A． 【变式5-7】（2025·安徽蚌埠·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集： 故选：D． 【变式5-8】（2025年浙江省县域教研联盟九年级中考二模数学试卷）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律（同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解）找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得：， ， 解②得：， ， 不等式组解集为：， 在数轴上的表示为： 故选：B． 【变式5-9】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组的解集为． 故选C． 【基础题型六】判断一元一次不等式组的解题步骤是否正确 例题6（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 【变式6-1】（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）五，不等号的方向没有改变；任务二：解不等式②见解析，该不等式组的解集为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是关键． 任务一：（1）根据不等式的性质判断即可求解；（2）根据不等式的性质判断即可求解； 任务二：根据不等式的解法解不等式②，再根据不等式组解集的求法表示不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 （1）第一步是依据不等式的性质进行变形的， 故答案为：不等式的性质； （2）第五步开始出现错误．这一步错误的原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：解不等式②： ， 该不等式组的解集为． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．  第一步 移项，得．  第二步 合并同类项，得．  第三步 x系数化成1，得．  第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是________． (2)在解答过程中，第________处出错，错误原因是________． (3)原不等式的正确解集为________． (4)解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2)四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）(3)(4)；数轴见解析 【分析】本题考查解不等式，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键： （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错； （3）第四步系数化1，正确的求解即可； （4）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可。 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质； （2）在解答过程中，第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错； （3）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． x系数化成1，得． （4）由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； (2)解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】(1)一； (2)，数轴见解析． 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据运算法则进行解答即可； （2）根据运算法则计算得出解集并画图即可． 【详解】（1）解：由题目的解答过程可知， 第一步，解不等式②，去分母时，左右两边同时乘6，右边的1漏乘最简公分母6， ∴第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示： ∴不等式组的解集为． 【变式6-4】（2025·江西吉安·一模）小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一(2)见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题的关键； （1）按照解一元一次不等式组的步骤，即可判断； （2）先求出两个不等式的解集，再求出公共解，进而可表示在数轴上； 【详解】（1）解：小宇的解法是从第一步开始出现错误的， 故答案为：一； （2）解：， 解①得， 解②得， 故该不等式组的解集为． 【基础题型七】由不等式的解集求参数 例题7（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 【变式7-1】（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：D． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 【变式7-4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），解一元一次方程等知识点，解此题的关键是求出关于a和b的方程． 根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，，求解并代入计算即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组 的解集为， 不等式组 的解集为 -1 < x < 1， ，， 解得：，， ， 故选D． 【变式7-5】（24-25九年级下·河南驻马店·期中）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ． 因为此不等式组无解， 所以． 故选：D． 【变式7-6】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 【变式7-7】（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】本题考查不等式组解集的确定，关键在于理解参数与第二个不等式解集之间的包含关系．通过比较两个不等式解集的范围，可确定的取值范围．本题解第二个不等式，结合两个不等式的解集关系，即可分析参数的取值范围． 【详解】解：由，得到，即， 已知不等式组的解集为， 则第一个不等式的解集必须包含第二个不等式的解集， 因此的取值范围应满足． 故答案为：． 【变式7-8】（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 首先求出含有和的不等式组解集，再根据不等式组的解集为，求出和的值，即可得解． 【详解】解：解关于的不等式组得， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-9】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出的值，继而代入计算即可．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 解可得， 解可得， 不等式组的解集为， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式7-10】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集，求参数的值，先求出不等式组的解集，进而求出的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【变式7-11】（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知不等式的解集是，是的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时减去，得． ∵它的解集是， ， ． 故答案为：． 【基础题型八】已知一元一次不等式整数解的个数求参数 例题8（2025·山东东营·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解共有个， ∴ 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组仅有三个整数解， ∴，且整数解为：， ∴， ∴； 故选A． 【变式8-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．首先解不等式组得到，再根据不等式组至少有2个整数解即可解答． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组至少有2个整数解， ， ， 故选：B． 【变式8-3】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的整数解共有3个， ∴， 故选：B． 【变式8-4】（23-24八年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 【变式8-5】（24-25七年级下·山西晋城·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍． 【详解】解：∵ 由得，， 由得，， 故原不等式组的解集为：， ∵不等式组的正整数解有3个， ∴其整数解应为： 4、5、6， 的取值范围是． 故选：D． 【变式8-6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可． 【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是， 不等式组的解集为． 关于的不等式组的整数解共有个， ∴． 故选：A． 【变式8-7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰有4个整数解， ∴整数解是2，1，0，， ∴ ∴． 故选：B． 【变式8-8】（24-25七年级下·全国·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 【变式8-9】（24-25七年级下·全国·期中）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有3个， ∴不等式组的整数解为4、5、6， 则， 故答案为：． 【压轴题型九】不等式组与方程的结合 例题9（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式9-1】（2025七年级下·全国·期中）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式9-2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 【变式9-3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 【变式9-4】（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 【变式9-5】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 【变式9-6】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式9-7】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式9-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式9-9】（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)(3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【变式9-10】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【压轴题型十】解|x|≥a型的不等式 例题10（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 【变式10-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或(2)或(3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式10-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或(2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式10-3】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或(2)或(3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 【变式10-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或(2)(3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【变式10-5】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12(2)0(3)10(4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【变式10-6】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-7】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【压轴题型十一】一元一次不等式（组）中新定义类问题 例题11（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 【答案】 或 【详解】解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 【变式11-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)不是(2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“子方程”判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“子方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 不在范围内， 不是不等式组的“子方程”； （2）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得． 【变式11-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）对于实数x，y，定义新运算：当时，；当时，，其中a，b是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算． (1)若，求的值； (2)已知，且，求a，b的值； (3)在（2）问的条件下，若关于p的不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)11；(2)；(3)． 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，理解题意是解题的关键． （1）根据新定义运算即可求出答案； （2）根据新定义运算列出方程组即可求出与的值； （3）根据不等式组的解法以及新定义运算即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：由（2）知：， ∵， ∴， ∴， 解得： ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴恰好有2个整数解为， ∴． 【变式11-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义为点M和点N的“k阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点    (1)若点，求点A和点B的“阶距离”； (2)若点B在轴上，且点A和点B的“阶距离”为3，求点B的坐标； (3)若点，且点A和点B的“阶距离”为1.5，直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】本题考查的是新定义运算，利用新定义构建方程，不等式的基本性质，化简绝对值，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程再解方程即可； （3）根据新定义可得 再分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， 由新定义可得：点和点的“阶距离”为： （2） 点在轴上，设 且点和点的“阶距离”为3，    整理得： 解得：或 或 （3）∵点，且点和点的“阶距离”为1.5， 整理得： 当，时， ∴； 当，时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，时， ∴； ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上：． 【变式11-4】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)；(2)；3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 【变式11-5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8(2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 【变式11-6】（24-25七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的两点，，()，给出如下定义：如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点B是点A的_______阶“生长点”； (2)已知点是点A的2阶“生长点”，若三角形的面积为4，求点C的坐标； (3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时，总有，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积． （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据新定义可求出，，然后根据当时，总有求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点是点A的2阶“生长点”， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积为4， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； （3）解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”， ∴，， ∴，， 当时，则， ∴， 当时，不等式左侧恒大与右侧，成立； 当时，， ， ∵当时，总有， ∴， ∴， 综上所述，当时，不等式恒成立， 故答案为：． 【变式11-7】（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③(2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 【变式11-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义一种新运算“”：当时，，当时，．例如：，． (1)填空：______（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了新定义和解一元一次不等式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）分和两种情况，先计算出的结果，再解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，． 【变式11-9】（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，仿照实数的运算，定义点的运算如下，对于点，，实数、，规定，特别的如果，就将简记为．设点，． (1)_____；如果实数满足在第一象限，则的取值范围是_______； (2)如果点满足存在实数，，使得，就称点是偏大的；如果存在实数，，使得，就称点是偏小的；如果点既不是偏大的又不是偏小的，就称点是适当的． ①下列点中，偏大的点是________； ，，， ②如果是适当的，直接写出的取值范围：___________． 【答案】(1)，(2)①K和M；② 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可；根据题意可得，解不等式组即可得到答案； （2）①根据新定义可得，则根据四个点的坐标可以建立关于的方程组，解方程组即可得到答案；②根据题意可得，解得，再分别求出T为偏大点和偏小点时t的范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，即； ∵在第一象限， ∴， 解得； （2）解：①∵，， ∴， 当时， 解得，则是偏大点； 当时， 解得，则是偏小点； 当时， 解得，则是偏大点； 当时， 解得，则是偏小点； ∴偏大的点是K和M； ②∵， ∴当时，即， ∴， 解得， 当是偏大点时，则，， ∴， 解得； 当是偏小点时，则，， ∴， 解得； ∵是适当， ∴． 【变式11-10】（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）根据，得，求解即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出方程组的解； （4）根据得：，再代入，得：，令时，方程无解，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意可得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴方程组的解：； （4）解：由得：， 把代入得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∴． 【压轴题型十二】解特殊不等式题型 例题12（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【变式12-1】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 【变式12-2】（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【变式12-3】（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【变式12-4】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【压轴题型十三】利用一元一次不等式解决几何问题 例题13（23-24七年级下·广东广州·期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． (1)若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； (2)将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)①，② 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴． 当时，，， 则，，， ∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段， ∴，，， 如图，连接，， ∴， 过点作轴于点G， ∵，，， ∴，，，，， ∵ ， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）有， ∴，，， 如图，延长交x轴于H，    ∵，， ∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C， 又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位， ∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H， ∴， ∵，，， 且线段向右平移个单位得到线段， 则，， 当点N在点G左边时，作图，    ， ∵三角形的面积小于4， ∴， 解得：， 当点N在点G右边时，    ， ∵三角形的面积小于4， ∴， ∴， 综上所述：n的取值范围是； ②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， ∵，， ∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N， ∴， 又∵， ∴线段向右平移4个单位，即； 如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， ∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M， ∴， 又∵， ∴线段向右平移6个单位，即； 综上所述，线段与线段有公共点，则． 【变式13-1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒(2)2或6(3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 【变式13-2】（23-24七年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 【答案】(1)4，，(2)(3)或 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，坐标与图形，坐标与平移，解一元一次不等式，准确作出辅助线是解题关键 （1）根据非负数的性质可得a，b的值，进而根据平移的性质得出从A到C的平移方式是，先左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可得出D点坐标； （2）延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F，得到，进而分别表示出三个三角形的面积，根据即可求解； （3）根据得出，进而根据得出表达式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ∵平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为， ， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，即， 故答案为：4，，； （2）如图，延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）如图所示： ， 依题意，，则， ， ， ， ， ， ， ，即或， 解得：或． 【变式13-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，其中m为常数，我们称点P与点Q是友谊点．例如：当时，点的友谊点为． (1)当时，点的友谊点Q的坐标为_______； (2)若点P在y轴上，且它的友谊点Q的坐标为 ， ①求的面积； ②若存在一点，且，使的面积不大于的面积，试求出x的取值范围． 【答案】(1)点Q坐标为 (2)①；②当x的取值范围为，且时，存在一点，使的面积不大于的面积 【分析】本题主要考查了图形与坐标，一元一次不等式的应用等知识．掌握分类思想是解题的关键． （1）根据友谊点的定义把代入即可得出答案． （2）①根据友谊点的定义以及点在y轴上点的特点，求出点P和点Q的坐标，再根据三角形的面积计算即可． ②分四种情况，当时，当时，点A在y轴左侧，当时，点A在y轴左侧，当时，点A在y轴右侧，分别画出图形，根据的面积不大于的面积列出关于x的一元一次不等式，分解求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点的友谊点Q的坐标为 即点坐标为， 故答案为：． （2）①若点P在y轴上，设P点坐标为，则且它的友谊点Q坐标为， 又友谊点Q坐标为． ∴，解得：， ∴, ∴P点坐标为，Q坐标为． ∴． ②当时，点P的坐标是， ， ∴的面积不大于的面积； 当时，点A在y轴左侧，如图1， ∴ ∵的面积不大于的面积， ∴，解得 ∴； 当时，点A在y轴左侧，如图2 ∵， ∴ ∵的面积大于的面积， ∴，解得 ∴ 当时，点A在y轴右侧，如图3， ∵的面积大于的面积， ∴，解得 ∴ 综上所述：当的取值范围为时，存在一点，使的面积不大于的面积． 【变式13-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)(2)或或5；(3)， 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出，然后结合图形即可得出点的坐标； （2）分三种情况：当时，当时，当时，结合图形根据面积得出一元一次方程求解即可； （3）分两种情况分析：当时，当时，结合图形，根据面积列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵轴， ， ∵轴，， ； （2）解：∵， ∴点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， 如图1所示：    当时，延长交于点F， ∵， ∴， 解得：； 如图2所示：    当时，过点P作PG⊥x轴，延长DC交PG于点H， ∵， ∴， 解得：； 如图3所示：    当时， ∵， 解得：； 综上可得：或或5； （3）解：∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， ∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为， 点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为， 因此，分以下两种情况： 如图，当时，，    则三角形的面积为， 解得， ∴当时，三角形的面积小于16； ②当时， 如图，过点作，交延长线于点，    ， ， 则三角形的面积为 ， ， ∴， 解得：； ∴当时，三角形的面积小于16； 综上可得：当或时，三角形的面积小于16． 【变式13-5】（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问： (1)求点C的坐标． (2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)C（﹣16，6）； (2)和的面积比不会改变，始终等于； (3)． 【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值即可解决问题． （2）分别求出和的面积即可解决问题． （3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可． 【详解】（1）， 且， ，解得， ， ∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C， ． （2）， ∴点 M，N 始终在，上运动， 当运动时间为 t 时，，， 则， ， 由图可知：， ， 和的面积比不会改变，始终等于． （3）由图可知， ，， ， ， ． 【变式13-6】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1)(2)的值为或(3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 【变式13-7】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 1．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 2．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据，求出，根据a、b均为负数，求出，解不等式组，得出，再根据，求出t的取值范围即可． 【详解】解：， 两个方程可得得， 又， ∴， 解得：， ， ∴， ． 故选：B． 4．（2025·浙江台州·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，先解不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： 故选：A． 5．（2025·江苏南京·一模）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式组，先求解，，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 若不等式组无解， 则有． 故选：B． 7．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由不等式组解集情况求参数，解不等式①得，解不等式②得，由不等式组解集的判断方法得，即可求解；能熟练利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得， ， 原不等式组无解， ， 解得：， 故选：A． 8．（2025·四川绵阳·三模）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解答本题的关键． 先解不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集的情况，再结合不等式组的解集规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选C． 9．（2025·四川乐山·一模）已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，解一元一次不等式，先根据方程的解求出a的值，然后把a的值代入到不等式中解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得． 故选：A． 10．（2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵， ∴， ∴， 即，故该选项正确， C．， ∵， ∴，即，故该选项错误，符合题意． D．∵，， ∴，， ∴，故该选项正确． 故选：C． 11．（2025年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷）直接写出不等式组的一个整数解是 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查求不等式组的整数解．根据不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求得不等式组的解集即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴不等式组的一个整数解是0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一） 12．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 13．（2025·四川南充·二模）已知：，，且，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及代数方程变形的能力，先分别用x表示出a，b然后再根据a，b的取值范围列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵, ∴，， 解得：，且， 综上，x的取值范围：， 故答案为： 14．（2025·河南信阳·二模）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再结合数轴即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 17．（2025·浙江台州·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解题的关键在于能够准确各求出不等式的解集． 【详解】， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，不等式组的解集为． 18．（2025·天津河北·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1)(2)(3)见解析(4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法表示解集即可； （4）根据不等式解集的规律求解即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②得： ， ， ， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上如下图： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式的应用，关键是能得出关于k的不等式．得到，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】 得， 所以， 因为关于x，y的二元一次方程组的解满足， 所以， 所以k的取值范围是． 20．（2025七年级下·全国·期中）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 21．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 1 / 118 学科网（北京）股份有限公司 $$