【精准提分】专题10 二元一次方程实际应用（11个基础题型+2个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）

【精准提分】专题10 二元一次方程实际应用（人教2024） 【11个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 6 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 12 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 27 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 32 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 38 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 47 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 49 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 59 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 67 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 73 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 81 【培优题型十三】二元一次方程实际应用中实践探究 92 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例题1（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子?多少个耧?（耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意有个耠子，个耧， 则； 故选：A． 【变式1-1】（2025·湖北随州·一模）《孙子算法》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，辆车，那么可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有人，辆车，根据“若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行”即可得到关于、二元一次方程组． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据每3人共乘一车，则余两辆空车，可列等式， 根据每2人共乘一车，则余9人步行，可列等式， 则可列方程组， 故选：B． 【变式1-2】（2025·浙江温州·二模）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“每桌坐8人，则有10人不能就坐”可列，根据“每桌坐10人，则空出一张桌子”可列，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选：A． 【变式1-3】（2025·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米， 由题意可得：， 故选：B． 【变式1-4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，根据一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：∵一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张， ∴， 故选：D 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系正确的列出方程是解题的关键． 设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步， 根据题意得：， 故选：A． 【变式1-6】（2025·吉林长春·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今25位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 ． 【答案】 【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮19瓶酒．得，根据好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今25位客人醉倒了，得，联立方程组即可． 本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键． 【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得 ． 故答案为：． 【变式1-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得 ． 故答案为：． 【变式1-8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货52吨，10辆小卡车和3辆大卡车一次能运货54吨．设每辆小卡车每次运货x吨，每辆大卡车每次运货y吨，列二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是理解题意． 设每辆小卡车每次运货x吨，每辆大卡车每次运货y吨，根据“4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货52吨，10辆小卡车和3辆大卡车一次能运货54吨”即可建立方程组． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式1-9】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明现在的年龄是x岁，小明爸爸现在的年龄为y岁，根据小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·山东潍坊·期中）用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，大长方形的长等于2倍的小长方形的长，等于小长方形的长加上3倍的小长方形的宽，小长方形的长等于3倍的小长方形的宽； 即：，， 故可列方程组：，，； 不能得到； 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 【变式2-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【变式2-3】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 【变式2-4】（23-24七年级下·海南海口·期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据图示可得：长方形的长可以表示为厘米，长又是75厘米，故，长方形的宽可以表示为厘米，或厘米，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：， 故选：C． 【变式2-5】（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． 设小长方形的长为，宽为，结合图形得到等式：（1）；（2），联立方程组并解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意知，， 解①，得， 将代入②中， 解得， 即， 所以小长方形的周长为：． 故答案为：D． 【变式2-6】（23-24七年级上·北京石景山·期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，若的度数比的度数的三倍多，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念是解题的关键． 根据角的和差列出方程组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 答：的度数是， 故选：D． 【变式2-7】（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据图形中的数量关系列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 从图中可以看出，大长方形的长为两个小长方形的长和一个小长方形的宽组成，大长方形的宽为两个小长方形的宽和一个小长方形的长组成，列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为： ． 【变式2-8】（24-25七年级下·山东烟台·期中）你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．设设一个球上有白色皮块块、黑色为块，根据“足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可． 【详解】解：设一个球上有白色皮块块、黑色为块， ∵每块白色皮块有六条边，共条边，且每块白色皮块有条边与黑色皮块的边连在一起， ∴黑色皮块共有条边与白色皮块相连接， ∵所有黑色皮块的边数为， ∴可列式为． 故答案为：． 【变式2-9】（24-25八年级上·福建三明·期末）在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 例题3（24-25七年级下·河北邯郸·期中）根据以下素材，探索完成任务． 装卸新宠，来掌舵 随着技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作，装卸机器人是物流自动化的重要设备，广泛应用于港口和仓库，市面上原有型、型两款机器人，后来又新推出升级版型机器人． 素材1：一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物；一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物． 素材2：某大型仓库需要一小时内完成件货物的卸货工作． 素材3：三种机器人卸货的工作效率和耗电量如表所示： 三种机器人的工作效率和耗电量 型号 工作效率（件/小时） 耗电量（度小时） 【任务1】求和的值． 【任务2】仓库使用若干台两种型号机器人恰好一小时完成本次卸货任务，总共要耗电_______度． 【任务3】该仓库引进型机器人后，工作效率得到提高．若采用三种机器人同时进行卸货（每种型号机器人均投入使用），且型机器人的台数是型机器人台数的一半，刚好分钟完成该任务． ①请通过计算求出所有可行的安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为_______度． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：①共有3种方案，分别是： 方案一：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案二：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案三：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台； ② 【详解】解：任务一：的工作效率是（件/小时），的工作效率是（件/小时）， ∴， 解得，， ∴的工作效率是（件/小时），的工作效率是（件/小时）； 任务二：设有型号的机器人台，有型号的机器人台， ∴，整理得，， ∵是正整式， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴有型号的机器人台，有型号的机器人台， ∴总共耗电：（度）， 故答案为：； 任务三：①设有型号的机器人台，有型号的机器人台，则有型号的机器人台，分钟小时， ∴， 整理得，， 当时，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； ∴共有3种方案，分别是： 方案一：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案二：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案三：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台； ②方案一耗电量为：度， 方案二耗电量为：度， 方案三耗电量为：度， ∵， ∴方案三最省电，其耗电量为度， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·江苏宿迁·二模）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． (2)①见解析；②最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；②利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意可得，， 解得， 答：每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． （2）解：①依题意可得，， ， ，为非负整数， 或或， 答：租车方案有三种：方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆． ②方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ， 最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川自贡·期中）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； (2)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到，当时，；当时，；当时，．共三种运输方案． 【详解】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， 答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则， ∴， ①当时，； ②当时，； ③当时，． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【变式3-3】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）根据以下素材，完成任务 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的型打印机与型打印机的购买清单，如表所示： 型数量（台） 型数量（台） 总费用（元） 2023年 10 20 26000 2024年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家咨询，得知今年型打印机单价不变，型打印机打八折优惠． 问题解决 任务一 计算商品单价 （1）若2023年与2024年购进的型与型打印机的单价不变，求购进型打印机与型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 （2）总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 【答案】任务一：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解 【详解】解：任务一：设购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 【变式3-4】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元 (2)有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设购进盒乒乓球和根跳绳，根据题意得：，进而得到，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元； （2）设购进盒乒乓球和根跳绳， 根据题意得：， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，； 答：有种购买方案：①购进盒乒乓球和根跳绳；②购进盒乒乓球和根跳绳． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题： (1)每辆大型客车和中型客车各载多少人？ (2)该校共有多少种租车方案？ (3)若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？ 【答案】(1)每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人 (2)共有3种租车方案 (3)建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人，根据“2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租a辆大型客车，b辆中型客车，根据总人数为430名学生，若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程得出整数解即可； （3）分别计算出各租车方案的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人； （2）解：设租a辆大型客车，b辆中型客车． 根据题意，得， ∴， ∴， ∵a、b均为非负整数， ∴该方程组的非负整数解为或或， 答：共有3种租车方案； （3）解：有以下三种方案： ①当、时，（元）， ②当、时，（元）， ③当、时，（元）， ∵， ∴方案③最划算． 答：建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元． 【变式3-6】（24-25七年级下·河南新乡·期中）春季是进行植树造林的最好季节，我市政部门决定对道路两旁枯死树木进行补种．从某园林公司购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元． (1)求A，B两种树苗的单价各是多少元； (2)若市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），补种1个A种树苗需支付工资35元，补种1个B种树苗需支付工资15元，求市政部门共有几种购买方案？假如这些树苗全部补种，最多需要支付多少元？ 【答案】(1)A种树苗的单价是75元，B种树苗的单价是30元 (2)共有2种购买方案：①购进A种树苗2个，B种树苗10个；②购进A种树苗4个，B种树苗5个；最多需要支付工资为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． （1）设A种树苗的单价是x元，B种树苗的单价是y元，根据购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种树苗m个，B种树苗n个，根据市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种树苗的单价是75元，B种树苗的单价是30元． （2）解：设购进A种树苗m个，B种树苗n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 共有2种购买方案： ①购进A种树苗2个，B种树苗10个，需要支付工资为（元）； ②购进A种树苗4个，B种树苗5个，需要支付工资为（元）； ， 最多需要支付220元． 【变式3-7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下： 型 型 型 满300减100 满180减50 满100减30 小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券． (1)若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”． (2)小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？ (3)小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量． 【答案】(1)4 (2)她使用了型2张，型3张 (3)有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张．②型6张，型6张 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是假设未知数，并找准等量关系． （1）假设使用了型“优惠券”张，根据优惠钱数列出方程求解即可； （2）假设她用了型为张，则型券为张，根据优惠钱数列出方程求解即可； （3）假设券为张，券为张，券为张，分三种情况进行讨论，根据优惠的钱数列出二元一次方程，找出符合题意的解即可． 【详解】（1）解：假设使用了型“优惠券”张， 根据题意得， 解得， 所以，她使用了4张型“优惠券”， 故答案为：4； （2）解：假设她用了型为张，则型券为张， 根据题意得， 解得， ∴， 所以，她使用了型2张，型3张； （3）解：假设券为张，券为张，券为张，根据题意得， 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，时，， 所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意； 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，时，， 经验证，符合题意的解为； 当“优惠券”组合时，， ∵取的正整数， ∴当取正整数时， ，，，，，，，， 经验证，符合题意的解为； 所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张． 【变式3-8】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)见解析 (3)10天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设每瓶甲品牌消毒液的价格为x元，每瓶乙品牌消毒液的价格为y元，根据“购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，可列出关于a、b的二元一次方程，再根据a、b均为正整数，即可得出购买方案； （3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，根据“校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出对应的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得， 答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶， 根据题意得：， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天， 则 ， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 答：这批消毒液可使用10天． 【变式3-9】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ (3)小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 (2)有3种购买方案 (3)B款加料的奶茶买了11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据“买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； （3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯， ∵A款不加料的杯数是总杯数的 ∴两款奶茶有杯， 设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵均为正整数， ∴， ∴， 答：B款加料的奶茶买了11杯． 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 例题4（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 【变式4-3】（23-24七年级下·福建福州·期中）列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【答案】甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距9千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ， 解得：， 答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3千米/时． 【变式4-4】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 【变式4-5】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【答案】25 【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设步行速度为，则车速为，设，，则的路程为，的路程为，再根据题意列出方程组，进一步求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则车速为，设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·北京·期中）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【答案】 33 5 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 【变式5-1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 【变式5-4】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 【变式5-5】（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 【变式5-6】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 【变式5-7】（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【变式5-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 【变式5-9】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 例题6（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，设右上角方格中的数字是， 根据题意可得：， 由可知， 把代入， 可得：， 解得：． 故选：A． 【变式6-1】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则这辆汽车的速度是（   ） A．85千米/小时 B．90千米/小时 C．95千米/小时 D．100千米/小时 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设定未知数，根据里程碑数字的变化关系建立方程，通过分析数字规律和速度恒定的条件进行求解． 【详解】解：设第一次看到的两位数十位数字为，个位数字为，则第一次看到的数为， 30分钟后看到的数为，再过30分钟（即1小时后）看到的三位数为， 因为车速恒定，故两段时间内行驶的距离相等：   ， 解得：， 和均为1~9的整数，代入得：   当时，， 当时，（舍去）， 第一次看到的数为，第二次为，第三次为， 30分钟（即0.5小时）行驶的距离为：千米，   则车速为：千米/小时． 故选：B． 【变式6-2】（2025·广东广州·一模）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据定义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是， 补全九宫格如下： x 6 20 22 y 4 18 ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【变式6-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 【变式6-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于、的方程，继而进行求解即可得答案． 【详解】根据题意可得： 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-6】（24-25九年级下·重庆万州·期中）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 9 8173 【分析】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程、数的整除，由题意可得，结合得出，，表示出，结合题意可得能被23整除，由，得出或或，再分情况计算即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，b，c，，且a，b，c，d均为整数， ∴， ∵为的倍数， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵能被23整除， ∴能被23整除， ∵， ∴或或， 当时，由于a，b，c，d均为整数，故此时没有符合题意的、的值； 当时，由于a，b，c，d均为整数，故此时没有符合题意的、的值； 当时，解得或， 当时，此时，，对应的， 当时，此时，，对应的， ∵， ∴满足条件的M的最大值为， 故答案为：，． 【变式6-7】（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 【答案】615 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个三位数为． 故答案为：． 【变式6-8】（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 【变式6-9】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 【变式6-10】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 【变式6-11】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 【变式6-12】（24-25七年级下·山东东营·期中）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 例题7（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·期末）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁． 【答案】 26 13 【解析】略 【变式7-2】（23-24七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【答案】29 【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【变式7-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 【变式7-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 例题8（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， 故选：C． 【变式8-1】（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 【变式8-2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 【详解】解：设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套， 列方程为， 故选B． 【变式8-3】（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 【变式8-4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【变式8-5】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【变式8-6】（24-25七年级下·河北邢台·期中）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 【变式8-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 【变式8-8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 【变式8-9】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】小客车35人，大客车55人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生235人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 依题意，得     解得： 答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生． 【变式8-10】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 【变式8-11】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 【变式8-12】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 例题9（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）文具店老板从厂家购进、两种笔记本，种笔记本每本进价为元，种笔记本每本进价为元，共购进本，花了元，且文具店种笔记本售价元，种笔记本售价元． (1)该文具店购进、两种笔记本各多少本? (2)将购进的本笔记本全部售完可获利多少元? 【答案】(1)该文具店购进、两种笔记本各本，本； (2)将购进的本笔记本全部售完可获利元． 【详解】（1）解：设该文具店购进、两种笔记本各本，本， 由题意可得：， 解得， 答：该文具店购进、两种笔记本各本，本； （2）解：（元）， 答：将购进的本笔记本全部售完可获利元． 【变式9-1】（24-25七年级下·北京西城·期中）第届冬季奥运会于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买个小套装比购买个大套装少用元；购买个小套装和个大套装，共需元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某校计划正好用元的资金购买这种陶制品小套装和大套装作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【答案】(1)小套装的单价为元，大套装的单价为元 (2)最多可以购买大套装个 【分析】本题考查二元一次方程组，二元一次方程，根据题意列方程是解题的关键； （1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，列方程求解即可； （2）设购买小套装个，大套装个，得，进而求解； 【详解】（1）解：设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元． 依题意得； 解得； 答：小套装的单价为元，大套装的单价为元． （2）解：设购买小套装个，大套装个． 得， ， 所以方程得非负整数解为，，． 答：最多可以购买大套装个． 【变式9-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人某纪念品店购进了一批吉祥物，其中“宸宸”、“莲莲””共个，花费元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 宸宸 莲莲 进价（元个） 售价（元个） (1)该纪念品店购进“宸宸”和“莲莲”各多少个？ (2)龙老师有幸能参加本次亚运会，他想买个“宸宸”，个“莲莲”送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问龙老师会选择到哪个商店买更优惠？ 【答案】(1)该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个(2)甲商店 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的列出方程组，是解题的关键． （1）设该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种优惠方案，列式计算出各个方案所需的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个， 由题意知： 解得： 答：该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个． （2）龙老师在甲商店购买需要的费用为：元， 在乙商店购买需要的费用为：(元)， 3000， 龙老师会选择到甲商店买更优惠． 【变式9-3】（2025·安徽铜陵·三模）独具徽味特色的合肥卤菜深受全国吃货们的喜爱．“徽徽卤味食品”的老板将本店的卤肉技术处理后销往外地，外地的食客需付费用（包含卤肉费和快递费），其中卤肉每千克元．若购买卤肉数量在及以内（包含）一次性支付快递费30元；若超出，超出的部分每千克支付元．外地某食客两次购买卤肉、，分别支付各种费用265元和435元．根据以上条件求，的值． 【答案】，的值分别是75和10． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据不同购买量对应的费用情况列出方程组． 根据两次购买卤肉的重量和支付费用列出关于、的二元一次方程组，然后求解方程组得到、的值． 【详解】解：由题意得，， 解得， ，的值分别是75和10． 【变式9-4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）为了激励学习表现好的学生，班主任去奶茶店购买两种款式的奶茶作为奖品，下表是班主任两次去购买奶茶的情况： 购买数量 花费总额 A种款式 B种款式 第一次 2杯 5杯 80元 第二次 4杯 2杯 64元 （1）求两种款式奶茶的销售单价？ （2）在奶茶售价不变的情况下，班主任准备购买奶茶共15杯，共花费174元，则两种款式奶茶各购买了多少杯？ 【答案】（1）两种款式奶茶的销售单价分别为元、元；（2）两种款式奶茶各购买了杯、杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． （1）设两种款式奶茶的销售单价分别为元、元，根据题意得到，解方程组即可得到答案； （2）设购买两种款式奶茶分别为杯、杯，根据题意得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）设两种款式奶茶的销售单价分别为元、元， 根据题意得， 解得：， 答：两种款式奶茶的销售单价分别为元、元； （2）设购买两种款式奶茶分别为杯、杯， 根据题意得， 解得， 答：两种款式奶茶各购买了杯、杯． 【变式9-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； (2)若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)2，10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 即购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大． 故答案为：2，10 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元 (2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． 【变式9-7】（24-25七年级下·北京·期中）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完． (1)求，两种笔记本的单价； (2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本． 【答案】(1)种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为2元 (2)A种笔记本购买了本或本或本或本． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． （1）设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元． （2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本， 依题意，得：， ∴，则， ∵，均为正整数， ∴，或，或，或，， 答：A种笔记本购买了本或本或本或本． 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 例题10（23-24七年级下·全国·期末）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为；(2) 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 【变式10-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为（平方厘米） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据图形列出方程组，解出x和y的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去8个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米， 由题意，得， 解得： ， 故阴影部分的面积为（平方厘米）． 【变式10-2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个长方形的宽为，长为，据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的宽为，长为．根据题意，得 解得 ∴面积为， 答：每个小长方形的面积为． 【变式10-3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了制作甲、乙两种小盒所需的长方形和正方形纸片（如图丙），其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等． 现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这种小盒（不计算连接部分），问可以制作甲、乙两种小盒各多少个？ 【答案】可以恰好制作30个甲种盒子，60个乙种盒子． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，根据正方形纸片及长方形纸片的张数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子， 依题意，得：， 解得：． 答：可以恰好制作30个甲种盒子，60个乙种盒子． 【变式10-4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）列二元一次方程组解应用题． 小刚在游览雕塑公园时，发现平地上有刚好用6块完全相同的长方形石材铺成周长为的大长方形（如图所示），求每块小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每块小长方形的长为，宽为，根据长方形周长计算公式可得，根据图形可知小长方形的长的2倍等于长加上宽的2倍，即，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴每块小长方形的长为，宽为， ∴每块小长方形的面积为． 【变式10-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可. 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， 经检验， 符合题意． 答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【变式10-6】（24-25七年级下·浙江·期中）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为，宽为(2) 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为； ∴ ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【变式10-7】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 例题11（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 【变式11-1】（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 【变式11-2】（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两。 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量等于11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得， 解得， 答：每枚黄金重两，每枚白银重两。 【变式11-3】（24-25七年级下·河南信阳·期中）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【答案】购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的除法运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组成为解题的关键． 设购买甜果、苦果的个数分别为个，然后根据题意列二元一次方程组即可求得购买甜果、苦果的个数，然后再根据题意求得每个甜果、苦果的价格即可． 【详解】解：设购买甜果、苦果的个数分别为个， 由题意可得：，解得：． ∴购买甜果、苦果的个数分别为个， ∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果， ∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 答：购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 【变式11-4】（2025·安徽阜阳·一模）《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设绳子x尺，长木y尺． 由题意可得 解得 答：长木为6.5尺． 【变式11-5】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 【变式11-6】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 【答案】大和尚有人，小和尚有人 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键； 根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可． 【详解】（方法一） 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意得：， 解这个方程组，得． 答：大和尚有人，小和尚有人． （方法二）设大和尚有人， 根据题意得： 解得； ； 答：大和尚有人，小和尚有人； 【变式11-7】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】个客人，个盘子 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得 ， 解得 ， 答∶有个客人，个盘子． 【变式11-8】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 【变式11-9】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 例题12（24-25七年级下·北京·期中）列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【答案】，，或，，， 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 【变式12-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 【答案】(1)，，(2)(3) (4)调整后一等奖的平均分比二等奖平均分高5分 【分析】本题考查代数式表示式，二元一次方程的实际应用，三元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出其等量关系． （1）根据“调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．”分别表示出原定一、二、三等奖的平均分，即可解题； （2）根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”列式整理，即可解题； （3）根据调整前后60名学生的总分是相等的，得到进行整理，即可解题； （4）结合（2）、（3）中的方程，建立方程组，整理得到的值，即可解题． 【详解】（1）解：调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．且调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分）， 原定一等奖平均分为分，二等奖平均分降低分，三等奖平均分， 故答案为：，，． （2）解：根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为， 整理得， 故答案为：； （3）解：根据调整前后60名学生的总分是相等的， 最后整理得， 故答案为：； （4）解：， 由②①得：， 调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高5分． 【变式12-2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5(2)购买这批防疫物资共需6700元(3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者(2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 【变式12-4】（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【答案】(1)(2)(3)164斗米 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，以及三元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知等式求出的值，原式变形后整体代入计算即可求出值； （3）根据题意列出三元一次方程组，利用整体代入法求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾的米即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ； （3）解：根据题意得： ， 由得，， 答：优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾164斗米． 【变式12-5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19(2)30元(3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 【变式12-6】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）100；（2）元；（3）， 【分析】（1）由关于m，n的方程组，利用可求出，进而可得出，此问得解； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，根据“买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元：买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，将其拆解换元后可得出关于m，n的二元一次方程组，利用可求出m的值，及的值，此题得解． （3）先求出，把代入②求出，把代入③求出，把，代入②求出，把，，代入①求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴得：， 解得：，即， 答：第三次购买红、黄、蓝啦啦球各一个共需100元； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 设，，上述方程组又可化为：， 得：， 即， 答：只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本共需元． （3）关于m，n的方程组的解与有相同的解， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 把，，代入①得：， 解得：． 【变式12-7】（24-25七年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 【答案】(1)(2)此包装盒的容积为 【分析】本题考查简单几何体的表面展开图，列代数式，三元一次方程组的应用，掌握常见的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据三棱柱的展开图特征即可判断，再根据三棱柱侧面都是长方形即可求侧面积； （2）根据长方体容积公式代入数据计算即可． 【详解】（1）解：如图，这个包装盒的立体图形是三棱柱， ∵三棱柱的侧面积为， ∴这个包装盒的侧面积为； （2） 解：如图，根据题意：， 解得：， ∴长方体的体积为， ∴此包装盒的容积为． 【变式12-8】（24-25七年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【答案】(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆 (2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆 (3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆． 根据题意，得 解得 故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆． （2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆． 根据题意，得 ，得，即． 均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货， ，且， 的取值可以为3，4，5， 解得或或 ∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆． （3）解：三种方案的运费分别是①（元）； ②（元）； ③（元）． ， ∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元． 【培优题型十三】二元一次方程实际应用中实践探究 例题13（24-25七年级下·山西临汾·期中）项目式学习 【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 旧报纸/张 总数 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了36本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（直接写出所有整数解）． 【答案】(1)46本(2)第二周收集的易拉罐为100个，旧报纸为64张(3)见解析 【详解】（1）解： （本）． 答：第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，可兑换46本． （2）设第二周收集的易拉罐为个，旧报纸为张． 由题得， 解得 答：第二周收集的易拉罐为100个，旧报纸为64张． （3）人本/人 本．前两周已兑换本，第三周需兑换本．该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，则需要个易拉罐 剩余回收物需兑换个大环保袋，设剩余易拉罐为个、旧报纸为张（且，）． 第一种：当时，第三周收集易拉罐140个，旧报纸20张． 第二种：当时，第三周收集易拉罐115个，旧报纸40张． 第三种：当时，第三周收集易拉罐90个，旧报纸60张． 第四种：当时，第三周收集易拉罐65个，旧报纸80张． 【变式13-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人 (2)①见解析；②最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元 【分析】（）设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆，由题意得，即得，可得一定是的倍数，据此即可求解；②根据①的结果求出每一种方案的租金即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人； （2）解：①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆， 由题意得，， 整理得，， ， ∵为正整数， ∴一定是正整数， ∴一定是的倍数， ∴或， ∴租车方案有两种： 方案一：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆； 方案二：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆． ②方案一的费用为（元）， 方案二的费用为1（元）， ∵， ∴最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元． 【变式13-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 【答案】任务1：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元；任务2：82；株任务3：有4张兑换券用于兑换A款升级． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株，根据题意列出一元一次方程，即可求解； 任务3：设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元， 由题意得： 解得： 答：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株， 由题意可得：， 解得， ∴共有株； 任务3：1650元最多可兑换8张兑换券， A款不升级与B款升级的总株数为：株， 设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级， 张兑换B款升级， 由题意可得： ， ∴， ∴， ∵a，b为自然数且b是2的倍数 ∴(舍去)，(舍去)，． ∴有4张兑换券用于兑换A款升级． 【变式13-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案． 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，江门广雅中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共485人． ②某出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)学校本次研学准备租用该租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）问求出的方案中，应选择哪种方案，才能使租车费用最少，并说明理由． 【答案】(1)每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； (2)共有2种租车方案，方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； (3)方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，理由见详解 【分析】（1）设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485 人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， 当时，则； 当时，则； ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车； 方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； （3）解：方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，理由如下： 当租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， ∵ ∴应选择方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，费用最少． 【变式13-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 【变式13-6】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用，解题的关键是根据题干中的素材，理解题意，列出正确的代数式．问题1，根据素材中“设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）”即可解答；问题2，根据图示，列出第2圈周长为，第1圈周长为，即可解答；问题3：根据前面分析，得出第圈周长为， ，当米，即可求出的值． 【详解】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 【变式13-7】（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 【答案】(1)牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元 (2)①第二次购买咖啡35箱；②11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，再列出正确的方程组，然后解得，即可作答． （2）①先理解某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，再设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，，进行分类讨论，并列出相应的方程组，即可作答． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为，再算出打折牛奶价格以及打折咖啡价格，即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，再列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得， 解得， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； （2）解：①∵某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量， ∴设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，， ∴当时，则， ∴（元） 有 解得：（不合题意，舍去）， 当时，则， ∴（元） 有 解得：， 当时，则， 有， 方程组无解． ∴第二次购买咖啡35箱． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得： 整理得：， ∵a、b均为正整数，得或 ∵， ∴，， 即此次按原价采购的咖啡有11箱 故答案为：11． 【变式13-8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 1．（2025·山东淄博·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绳长x尺，井深y尺，根据将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺可得方程，根据将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意、结合图形可以得到方程组，解出，的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 大长方形的宽为， ， 根据图③可得， 组成方程组， 解得， 阴影面积为，整个图形的面积为：， 阴影部分面积与整个图形的面积之比为， 故选：C． 5．（24-25七年级下·重庆江津·期中）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设道难题，道中档题，则有容易题，根据题意得到，求出即可． 【详解】解：设道难题，道中档题，则有容易题， 根据题意得，， ∴， ∴， ∴三人一共做出了道题． 故选：C． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查新定义整式，涉及整式运算、解方程组等知识，读懂题意，理解题中新定义的整式运算法则，根据不同说法，代值验证即可得到答案．理解题中新定义整式是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 和满足， 解得， ， 故①正确； 若，则， 即， ， 当时，， 即存在和的值，使， 故②错误； 若时，满足条件的所有整式的和为， 由可知，只能取或， 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 即或； 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 当时，则，方程组无满足条件的解； 当时，则，即； ； 满足条件的所有整式的和为， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①，共1个， 故选：C． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块， 由题意得． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京·期中）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”．若下图也是一个“幻方”，则的值为 ． 4 5 8 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和算术平方根，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：9． 10．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 【答案】46 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为， 由题意得：， 解得， 则原来的两位数是， 故答案为：46． 11．（23-24七年级下·全国·期末）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，根据“甲、乙两种商品原来的单价之和为元，调价后两种商品的单价的和为元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）端午节即将来临，甲、乙两人相约一起包粽子送亲朋好友．已知甲、乙两人一小时共包个粽子，甲每小时包粽子的个数比乙每小时包粽子的个数多个． (1)问甲、乙两人每小时各包多少个粽子？ (2)现在两人共计划包个粽子，先由两人一起包一段时间，剩下的全部由甲单独包完，恰好共用了个小时全部完成，求两人合作的时间． 【答案】(1)甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子 (2)小时 【分析】（）设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设两人合作了小时，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意，得， 解得， 答：甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子； （2）解：设两人合作了小时， 根据题意，得， 解得， 答：两人合作了小时． 13．（2025·安徽合肥·二模）乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价40元/千克，苹果的售价20元/千克，这两种农产品的销售总额达到20000元．十月份时，山核桃售价单价保持不变，销量比九月份增加了，苹果的销售单价降价，销量却比九月份增加了． (1)设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克，请用含x，y的代数式填表（填化简后的结果）： 月份 山核桃销售额/元 苹果销售额/元 销售总额/元 九月份 20000 十月份 _______ _______ (2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，二元一次方程组的应用； （1）由销售额等于单价乘以数量分别计算即可；再由销售总额等于两种农产品的销售额之和可得答案； （2）根据九月份两种农产品的销售总额达到20000元，十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：九月份山核桃销售额为元， 十月份苹果销售额为元， ∴销售总额为元， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：． 14．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 【答案】总利润为42万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是∶找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，根据、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，可列方程组；设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，根据表格中的数据可列方程组，再根据题意计算总利润即可． 【详解】解：设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                  解得：                     设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                    解得：            总利润：             答：生产、两种太阳能光伏板的预计总利润为42万元． 15．（2025·北京海淀·一模）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可． 【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品． 理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分． 依题意，得 解得 ∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分． ∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分． ∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分． 答：小明可以获得校园文创奖品． 16．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 【答案】(1)， (2)设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时，根据“主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换”建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换， ∴由题意得，设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为，辅助电池每使用1小时的消耗量为， 故答案为：，； （2）解：设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时， 由题意得：， 解得：， 答：设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得 解得 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 18．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完． (1)炼制A丹药与B丹药各多少颗？（请列二元一次方程组来解决这个实际问题） (2)已知炼制出的 A 丹药每颗能提升角色 3 点防御力，B 丹药每颗能提升角色 5 点防御力 ． 哪吒在一场战斗前，有两种携带丹药方案可供选择： 方案一：携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药；   方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药． 请问选择哪种方案更适合提高哪吒的防御力？ 【答案】(1)炼制A丹药5颗，炼制B丹药6颗 (2)方案二更适合提高哪吒的防御力 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设炼制A丹药x颗，炼制B丹药y颗，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）分别求出两种方案提升的防御力，判断即可． 【详解】（1）解：设炼制A丹药x颗，炼制B丹药y颗，   根据题意得，                      解得，                                  答：炼制A丹药5颗，炼制B丹药6颗． （2）由题意，方案一：携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药，提升的防御力为（点）． 方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药，提升的防御力为（点）． 因为， 所以方案二更适合提高哪吒的防御力． 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题10 二元一次方程实际应用（人教2024） 【11个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 3 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 6 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 11 【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 13 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 15 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 18 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 19 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 23 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 26 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 29 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 33 【培优题型十三】二元一次方程实际应用中实践探究 37 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例题1（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子?多少个耧?（耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·湖北随州·一模）《孙子算法》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，辆车，那么可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·浙江温州·二模）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（2025·吉林长春·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今25位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 ． 【变式1-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 【变式1-8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货52吨，10辆小卡车和3辆大卡车一次能运货54吨．设每辆小卡车每次运货x吨，每辆大卡车每次运货y吨，列二元一次方程组是 ． 【变式1-9】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组： ． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·山东潍坊·期中）用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24七年级下·海南海口·期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-6】（23-24七年级上·北京石景山·期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，若的度数比的度数的三倍多，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-7】（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 【变式2-8】（24-25七年级下·山东烟台·期中）你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 ． 【变式2-9】（24-25八年级上·福建三明·期末）在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 【基础题型三】二元一次方程的实际应用之方案问题 例题3（24-25七年级下·河北邯郸·期中）根据以下素材，探索完成任务． 装卸新宠，来掌舵 随着技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作，装卸机器人是物流自动化的重要设备，广泛应用于港口和仓库，市面上原有型、型两款机器人，后来又新推出升级版型机器人． 素材1：一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物；一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物． 素材2：某大型仓库需要一小时内完成件货物的卸货工作． 素材3：三种机器人卸货的工作效率和耗电量如表所示： 三种机器人的工作效率和耗电量 型号 工作效率（件/小时） 耗电量（度小时） 【任务1】求和的值． 【任务2】仓库使用若干台两种型号机器人恰好一小时完成本次卸货任务，总共要耗电_______度． 【任务3】该仓库引进型机器人后，工作效率得到提高．若采用三种机器人同时进行卸货（每种型号机器人均投入使用），且型机器人的台数是型机器人台数的一半，刚好分钟完成该任务． ①请通过计算求出所有可行的安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为_______度． 【变式3-1】（2025·江苏宿迁·二模）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川自贡·期中）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 【变式3-3】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）根据以下素材，完成任务 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的型打印机与型打印机的购买清单，如表所示： 型数量（台） 型数量（台） 总费用（元） 2023年 10 20 26000 2024年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家咨询，得知今年型打印机单价不变，型打印机打八折优惠． 问题解决 任务一 计算商品单价 （1）若2023年与2024年购进的型与型打印机的单价不变，求购进型打印机与型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 （2）总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 【变式3-4】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题： (1)每辆大型客车和中型客车各载多少人？ (2)该校共有多少种租车方案？ (3)若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？ 【变式3-6】（24-25七年级下·河南新乡·期中）春季是进行植树造林的最好季节，我市政部门决定对道路两旁枯死树木进行补种．从某园林公司购进A种树苗3个和B种树苗4个共需345元，A种树苗4个和B种树苗3个共需390元． (1)求A，B两种树苗的单价各是多少元； (2)若市政部门计划正好用450元购进A，B两种树苗（A，B两种树苗均购买），补种1个A种树苗需支付工资35元，补种1个B种树苗需支付工资15元，求市政部门共有几种购买方案？假如这些树苗全部补种，最多需要支付多少元？ 【变式3-7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下： 型 型 型 满300减100 满180减50 满100减30 小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券． (1)若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”． (2)小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？ (3)小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量． 【变式3-8】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【变式3-9】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ (3)小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【基础题型四】二元一次方程的实际应用之行程问题 例题4（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【变式4-3】（23-24七年级下·福建福州·期中）列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【变式4-4】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【变式4-5】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【基础题型五】二元一次方程的实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·北京·期中）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【变式5-1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【变式5-4】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【变式5-5】（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【变式5-6】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【变式5-7】（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【变式5-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【变式5-9】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【基础题型六】二元一次方程的实际应用之数字问题 例题6（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则这辆汽车的速度是（   ） A．85千米/小时 B．90千米/小时 C．95千米/小时 D．100千米/小时 【变式6-2】（2025·广东广州·一模）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式6-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【变式6-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则 ． 【变式6-6】（24-25九年级下·重庆万州·期中）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【变式6-7】（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 【变式6-8】（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【变式6-9】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【变式6-10】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【变式6-11】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【变式6-12】（24-25七年级下·山东东营·期中）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【基础题型七】二元一次方程的实际应用之年龄问题 例题7（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·期末）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁． 【变式7-2】（23-24七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【变式7-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【变式7-4】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【基础题型八】二元一次方程的实际应用之分配问题 例题8（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A．B． C． D． 【变式8-2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【变式8-4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【变式8-5】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【变式8-6】（24-25七年级下·河北邢台·期中）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【变式8-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【变式8-8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【变式8-9】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【变式8-10】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【变式8-11】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【变式8-12】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【基础题型九】二元一次方程的实际应用之销售利润问题 例题9（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）文具店老板从厂家购进、两种笔记本，种笔记本每本进价为元，种笔记本每本进价为元，共购进本，花了元，且文具店种笔记本售价元，种笔记本售价元． (1)该文具店购进、两种笔记本各多少本? (2)将购进的本笔记本全部售完可获利多少元? 【变式9-1】（24-25七年级下·北京西城·期中）第届冬季奥运会于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买个小套装比购买个大套装少用元；购买个小套装和个大套装，共需元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某校计划正好用元的资金购买这种陶制品小套装和大套装作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【变式9-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人某纪念品店购进了一批吉祥物，其中“宸宸”、“莲莲””共个，花费元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 宸宸 莲莲 进价（元个） 售价（元个） (1)该纪念品店购进“宸宸”和“莲莲”各多少个？ (2)龙老师有幸能参加本次亚运会，他想买个“宸宸”，个“莲莲”送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问龙老师会选择到哪个商店买更优惠？ 【变式9-3】（2025·安徽铜陵·三模）独具徽味特色的合肥卤菜深受全国吃货们的喜爱．“徽徽卤味食品”的老板将本店的卤肉技术处理后销往外地，外地的食客需付费用（包含卤肉费和快递费），其中卤肉每千克元．若购买卤肉数量在及以内（包含）一次性支付快递费30元；若超出，超出的部分每千克支付元．外地某食客两次购买卤肉、，分别支付各种费用265元和435元．根据以上条件求，的值． 【变式9-4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）为了激励学习表现好的学生，班主任去奶茶店购买两种款式的奶茶作为奖品，下表是班主任两次去购买奶茶的情况： 购买数量 花费总额 A种款式 B种款式 第一次 2杯 5杯 80元 第二次 4杯 2杯 64元 （1）求两种款式奶茶的销售单价？ （2）在奶茶售价不变的情况下，班主任准备购买奶茶共15杯，共花费174元，则两种款式奶茶各购买了多少杯？ 【变式9-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； (2)若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【变式9-7】（24-25七年级下·北京·期中）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完． (1)求，两种笔记本的单价； (2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本． 【基础题型十】二元一次方程的实际应用之几何问题 例题10（23-24七年级下·全国·期末）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【变式10-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【变式10-2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 【变式10-3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了制作甲、乙两种小盒所需的长方形和正方形纸片（如图丙），其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等． 现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这种小盒（不计算连接部分），问可以制作甲、乙两种小盒各多少个？ 【变式10-4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）列二元一次方程组解应用题． 小刚在游览雕塑公园时，发现平地上有刚好用6块完全相同的长方形石材铺成周长为的大长方形（如图所示），求每块小长方形的面积． 【变式10-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【变式10-6】（24-25七年级下·浙江·期中）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【变式10-7】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【基础题型十一】二元一次方程的实际应用之古代问题 例题11（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【变式11-1】（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【变式11-2】（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【变式11-3】（24-25七年级下·河南信阳·期中）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【变式11-4】（2025·安徽阜阳·一模）《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【变式11-5】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【变式11-6】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 【变式11-7】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【变式11-8】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【变式11-9】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【培优题型十二】三元一次方程的实际应用 例题12（24-25七年级下·北京·期中）列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【变式12-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 【变式12-2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【变式12-4】（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【变式12-5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【变式12-6】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【变式12-7】（24-25七年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 【变式12-8】（24-25七年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【培优题型十三】二元一次方程实际应用中实践探究 例题13（24-25七年级下·山西临汾·期中）项目式学习 【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 旧报纸/张 总数 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了36本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（直接写出所有整数解）． 【变式13-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【变式13-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 【变式13-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案． 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，江门广雅中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共485人． ②某出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)学校本次研学准备租用该租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）问求出的方案中，应选择哪种方案，才能使租车费用最少，并说明理由． 【变式13-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【变式13-6】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【变式13-7】（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 【变式13-8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 1．（2025·山东淄博·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 4．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆江津·期中）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道，则三人一共做出题目总数为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ． 8．（24-25七年级下·北京·期中）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”．若下图也是一个“幻方”，则的值为 ． 4 5 8 10．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 11．（23-24七年级下·全国·期末）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）端午节即将来临，甲、乙两人相约一起包粽子送亲朋好友．已知甲、乙两人一小时共包个粽子，甲每小时包粽子的个数比乙每小时包粽子的个数多个． (1)问甲、乙两人每小时各包多少个粽子？ (2)现在两人共计划包个粽子，先由两人一起包一段时间，剩下的全部由甲单独包完，恰好共用了个小时全部完成，求两人合作的时间． 13．（2025·安徽合肥·二模）乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价40元/千克，苹果的售价20元/千克，这两种农产品的销售总额达到20000元．十月份时，山核桃售价单价保持不变，销量比九月份增加了，苹果的销售单价降价，销量却比九月份增加了． (1)设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克，请用含x，y的代数式填表（填化简后的结果）： 月份 山核桃销售额/元 苹果销售额/元 销售总额/元 九月份 20000 十月份 _______ _______ (2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，求x，y的值． 14．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 15．（2025·北京海淀·一模）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 16．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 18．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完． (1)炼制A丹药与B丹药各多少颗？（请列二元一次方程组来解决这个实际问题） (2)已知炼制出的 A 丹药每颗能提升角色 3 点防御力，B 丹药每颗能提升角色 5 点防御力 ． 哪吒在一场战斗前，有两种携带丹药方案可供选择： 方案一：携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药；   方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药． 请问选择哪种方案更适合提高哪吒的防御力？ 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $$