12.4 定理 同步练习 2024-2025学年苏科版七年级数学下册

12.4.1 定理（1） 三角形内角和及其推论 一、单选题 1．下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，，，则等于（   ）． A． B． C． D． 3．如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，，平分，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，三个内角度数之比为，则最大角的度数为 ． 7．如图，直线，直线，，则的度数为 ． 8．如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是 ． 9．如图，已知，则 10．如图，，交于，，，则 ． 11．如图，已知，点在线段上（不与点，点重合），连接．若，，则的度数是 ． 12．如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 三、解答题 13．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数． 14．如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 15．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 16．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 第4页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． C 2． 【详解】解∶两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 等角的补角相等，所以③可作为定理； 垂线段最短，所以④可作为定理． 故选∶ C． 3． B 4． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．C 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 4．C 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 5．B 【详解】解：∵平分， ∴ ∵， ∴ 又∵． ∴ 故选：B． 6．/度 【详解】解:设三个内角度数分别为,,,,由题意得: , 解得:, . 故答案为:. 7．/40度 【详解】因为，， 所以， 则的邻补角为， 所以． 故答案为：． 8．/度 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：． 9．/30度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 11．/27度 【详解】解：∵为的外角，且，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 12．/度 【详解】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 13．100°. 【详解】解：延长 BO 交 AC 于 E， ∵∠A＝50°，∠ABO＝20°， ∴∠1＝50°+20°＝70°， ∵∠ACO＝30°， ∴∠BOC＝∠1+∠ACO＝70°+30°＝100° 14．详见解析 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 15．(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 16．(1)； (2)，见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4.3 定理（3） 反证法 一、单选题 1．若用反证法证明“”，则应假设（   ） A． B． C． D． 2．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 3．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应该假设（    ） A．三角形的三个内角都大于或等于 B．三角形的三个内角都小于 C．三角形的三个内角都小于或等于 D．三角形中至多有一个内角大于或等于 4．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．用反证法证明一个命题的一般步骤： （1）先假设 ； （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出 ； （3）由矛盾判定 ，从而肯定原来的结论 ． 6．能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是： ， ． 7．用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设 ． 8．已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ． 三、解答题 9．判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 10．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 11．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设 ， （ ）． 这与 相矛盾，故 不成立． 与不平行． 12．已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 13．用反证法证明：如果，那么． 14．用反证法证明：如果a是整数，2能整除，那么2能整除a． 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：对于命题“”，它的反面情况是“不小于”， “不小于”用数学符号表示就是“”， 故选：． 2．C 【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设， 故选：C． 3．B 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设三角形的三个内角都小于． 故选B 4．B 【详解】解：A、，满足，但，选项不符合题意； B、，满足，但，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，选项正确，符合题意； C、，满足，但，选项不符合题意； D、，满足，但，选项不符合题意； 故选：B． 5． 命题的结论不成立 矛盾 假设不正确 成立 【详解】解：（1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来的结论成立． 故答案为：（1）命题的结论不成立，（2）矛盾，（3）假设不正确，成立 6． （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 7． 【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设．故答案为：． 8． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 9．(1)是真命题 (2)是假命题，反例见解析 【详解】（1）解：是真命题． 理由：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得“平行于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题． （2）解：是假命题． 理由：当，时，，， 满足，但是， 故“如果，那么”是假命题． 10． 负数 矛盾 假设不成立 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 11． 两直线平行，同位角相等 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 12．；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【详解】解：（1）证明：假设． 如图2，过点作直线，使． （同位角相等，两直线平行）， 又，且直线经过点， 过点存在两条直线、与直线平行， 这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立， ． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 13．见解析 【详解】证明：假设， ， ．这与已知条件矛盾， ∴假设不成立， ∴如果，那么成立． 14．见解析 【详解】解：假设2不能整除a． 是整数， 为奇数．设（n是整数）， ． ∴为奇数． ∴2不能整除，这与已知矛盾． ∴假设不成立． ∴a为整数，2能整除，则2能整除a成立． 答案第2页，共3页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4.2 定理（2） 多边形内角和、外角和 一、单选题 1．一个八边形的内角和等于（　　） A． B． C． D． 2．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．7 C．10 D．12 3．小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列4个答案：①，②，③，④．其中，计算正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．已知一个正边形的每个内角均为，则（   ） A． B． C． D． 5．若正多边形的一个外角是，则它的内角和是（    ） A． B． C． D． 6．如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 7．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．四边形外角和的度数是 ． 10．如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是 边形． 11．填空题： （1）每一个内角都是的多边形有 条边； （2）若一个多边形的内角和是，则它的边数是 ． 12．将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 13．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么 度． 三、解答题 14．已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 15． 小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 16．如图，在四边形中，，的平分线交于点E，且，求出的度数． 17．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 18．小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：， ∴一个八边形的内角和等于， 故选：B． 2．D 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故选：D． 3．B 【详解】解：多边形的内角和公式是， ∴多边形的内角和是的整数倍， ∵， ， ，不是整数， ， ∴计算正确的是①②④， 故选：B． 4．B 【详解】解：． ． 故选：B． 5．D 【详解】解：依题意可得：多边形的边数， ∴这个正多边形的内角和， 故选：D． 6．D 【详解】解：从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，要走12次才能回到出发点； ∴， ∴这个多边形是正十二边形，即走了12次， ∴， 故选：D ． 7．C 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 8．C 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．/360度 【详解】解：四边形外角和的度数是， 故答案为：． 10．八 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 11． 18 20 【详解】解：（1）设多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故答案为：18； （2）设多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故答案为：20． 12．/18度 【详解】解：在正五边形中，， ， 在正方形中，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上， ， ， 故答案为：． 13．132 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 14．(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，得： ， 解得：， 即的值为； （2）（2）依题意，得： ， 解得：， 即的值为． 15．， 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 16． 【详解】解：， ． ， ， 平分， ． ∴在四边形中，． 17．(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 18．13或14或15 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$