12.4 定理 同步练习 2024—2025学年苏科版数学七年级下册

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )12.4 定理 第一课时：三角形内角和 1．（2025春•梅江区校级期中）将一副直角三角板如图放置．已知∠B=60°，∠D=45°， 当DE⊥AB时，∠AGF的度数为 ． 第1题图 第3题图 2.（2025春•崇明区期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为 “友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为48°，那么这个“友好三角形”的 “友好角α”的度数为 3.（2025春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AB＜AC，AD平分∠BAC，过点B作BD⊥ AD于点D，若∠C=50°，∠CBD=15°，则∠ABD的度数为 ． 4.（2025春•浦东新区校级期中）若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是 5.（2025春•张店区期中）△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在 △ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB= ． 第5题图 第6题图 6.（2025春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，如果 ∠B=35°，∠C=65°，那么∠DAE= ． 7.（2025春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，点E在AC上， 且∠ADE=∠AED，∠BAC=80°． （1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小； （2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )8.（2025春•张店区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于 点O，∠C=70°． （1） 若∠ABC=60°，求∠DAE的度数； （2）求∠AOB的度数． 9.（2024秋•襄城县期末）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点 F，∠BCD=10°，∠AEB=75°． （1）求∠BAE的度数； （2）若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数． 10.（2025春•济南期中）如图，在△ABC中，AB∥DG，∠1+∠2=180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=150°，求∠B的度数． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第二课时：多边形内角和与外角和 1.（2025春•南湖区期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 2.（2025春•招远市期中）综合与实践筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我 们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加 灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学 实践活动． （1）图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，AB交CD于点O，EF⊥AB，垂足为点O， ∠BOC=160°．则∠FOD的度数为 70°． （2）图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，AB∥CD∥GH，F为AB上一点，射线HI与AB 交于点I，射线FE交CD于点E． ①∠DEF+∠EFG+∠G= °； ②若∠H=∠DEF，EF与HI所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． （3）图3为“丁字型”抓法及示意图，AB∥CD，射线FE交AB于点M，交CD于点E，FG与 AB交于点G，射线GH交CD于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180°） ①若∠CEF=115°，∠AGF=30°，则∠EFG= °； ②若∠CEF=x,∠EFG=y,∠GHD=z,当FG⊥GH，垂足为点G时，请直接写出x,y,z的数量关系． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )3.（2024秋•城厢区校级期中）（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆， 圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为S，求S的值 （结果保留π）． （2）如图2，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明． 4.（2024秋•市北区期末）【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP， 求证：∠P=∠1+∠A+∠2； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度 数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 度． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第三课时：反证法 1.求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交． 2.求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 3.（2025春•江宁区月考）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC． 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角． 4.（2025春•松江区期中）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截， ∠1+∠2≠180°． 求证：a与b不平行． 证明：假设 ，则根据 ，可得∠1+∠2=180°． 这与 矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 5.（1）已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．求证：∠1=∠2． （2）上述证明过程中提到的基本事实是 ．（填序号） ①两点确定一条直线； ②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 第一课时：三角形内角和 参考答案 1.解：如图， ∵DE⊥AB， ∴∠DHJ=90°， ∴∠D=∠DJH=∠AJG=45°， ∵∠B=60°，∠C=90°， ∴∠A=30°， ∴∠AGF=∠A+∠AJG=30°+45°=75°． 故答案为：75°． 2.解：当∠β=48°时，∠α=2∠β=96°， ∵48°+96°=144°＜180°，符合题意， ∴∠α=96°； 当∠α=48°时，∠β=∠α=24°， ∵48°+24°=72°＜180°，符合题意， ∴∠α=48°； 当∠α，∠β均不为48°时，∠α+∠β+48°=180°，∠β=∠α， ∴∠α=×（180°-48°）=88°． 综上所述，这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为48°或88°或96°． 故答案为：48°或88°或96°． 3.解：设∠ABD=x°，则∠BAD=∠CAD=（90-x）°， 根据题意得：∠ABD+∠CBD+∠C+∠CAD+∠BAD=180°， 即x+15+50+（90-x）+（90-x）=180， 解得：x=65， ∴∠ABD的度数为65°． 故答案为：65°． 4.解：∵△ABC的三个内角的比为2：5：3， ∴△ABC中，最大的内角=×180°=90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5.解：∵△ABC中，∠A=55°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°， ∵∠CDA=20°， ∴∠CDE=80°， ∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=180°-50°-80°=50°， ∴∠CEB=180°-2∠CED=180°-2×50°=80°， 故答案为：80°． 6.解：∵∠B=35°，∠C=65°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAC=40°， ∵AE是BC边上的高， ∴∠AEC=90°， ∴∠CAE=90°-∠C=90°-65°=25°， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=40°-25°=15°． 故答案为：15． 7.解：（1）∵∠BAC=80°． ∴∠B=∠C=×（180°-80°）=50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°， ∴∠ADE=∠AED=×（180°-40°）=70°， ∵∠AED=∠EDC+∠C， ∴∠EDC=70°-50°=20°； （2）设∠EDC=x,则∠BAD=90°-x, ∵∠AED=∠EDC+∠C=x+50°， ∴∠ADE=∠AED=x+50°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°， ∴∠CAD=180°-2（x+50°）=80°-2x, ∵∠BAD+∠CAD=∠BAC， ∴90-x+80°-2x=80°， 解得x=30°， ∴∠CAD=80°-2×30°=20°． 8.解：（1）在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-70°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAC=×50°=25°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°， ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°； （2）在△ABC中，∠C=70°， ∴∠ABC+∠BAC=180°-∠C=180°-70°=110°， ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC， ∴∠BAO=∠BAC，∠ABO=∠ABC， ∴∠BAO+∠ABO=∠BAC+∠ABC=（∠ABC+∠BAC）=×110°=55°， ∴∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABO）=180°-55°=125°． 9.解：（1）∵∠BCD=10°，∠AEB=75°，∠AEB=∠BCD+∠CFE， ∴∠CFE=75°-10°=65°， ∴∠AFD=∠CFE=65°， ∵CD是△ABC的高线， ∴∠ADC=90°， ∴∠BAE+∠AFD=90°， ∴∠BAE=90°-65°=25°； （2） ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=50°， ∴∠ACD=90°-∠DAC=40°． 10.（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD=∠1， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠2+∠BAD=180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=150°， ∴∠1=30°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠GDC=∠1=30°， ∵AB∥DG， ∴∠B=∠GDC=30°． 第二课时：多边形内角和与外角和 参考答案 1.解：（1）设这个多边形的边数是n,由题意得（n-2）×180°=360°×2-180°， 解得n=5， 答：这个多边形的边数是5； （2）∵剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． ∴截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6， ①当多边形为四边形时，其内角和为（4-2）×180°=360°； ②当多边形为五边形时，其内角和为（5-2）×180°=540°； ③当多边形为六边形时，其内角和为（6-2）×180°=720°； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为360°或540°或720°． 解：（1）∵EF⊥AB， ∴∠BOF=90°， ∵∠BOC=160°， ∴∠BOD=180°-∠BOC=20°， ∴∠FOD=∠BOF-∠BOD=70°， 故答案为：70°． （2） ①∵AB∥CD∥GH， ∴∠DEF+∠EFB=180°，∠G+∠GFB=180°， ∴∠DEF+∠EFB+∠G+∠GFB=360°，即∠DEF+∠EFG+∠G=360°， 故答案为：360°； ②EF∥HI； 证明：∵CD∥GH， ∴∠H+∠HIF=180°， ∵∠H=∠DEF， ∴∠DEF+∠HIF=180°， ∵∠DEF+∠EFB=180°， ∴∠EFB=∠HIF， ∴EF∥HI． （3） ①∵AB∥CD， ∴∠CEF+∠AME=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠CEF=115°， ∴∠EMA=∠FMG=65°， ∵∠AGF=30°， ∴∠EFG=180°-∠FMG-∠AGF=180°-65°-30°=85°， 故答案为：85°； ②∵∠CEF=x,∠EFG=y,∠GHD=z, 由①可知，∠EMA=∠FMG=180°-∠CEF=180°-x∠FGM=180°-∠EFG-∠GMF=180°-y-180°+x=x-y, ∵FG⊥GH， ∴∠FGH=90°，即∠FGM+∠HGM=90°， ∵AB∥CD， ∴∠DHG=∠AGH=z（两直线平行，内错角相等）， ∴x-y+z=90°，即x,y,z之间的关系为x-y+z=90°． 3.解：（1）由图可知，四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：π×12=π； （2） ∠1+∠2=∠3+∠4， 理由如下：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°， ∵∠1+∠2+∠5+∠6=360°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4． 4.【建立模型】证明：延长BP交AC于点M，如图1所示： 由三角形外角性质得：∠BPC=∠1+∠PMC，∠PMC=∠A+∠2， ∴∠BPC=∠1+∠A+∠2； 【尝试应用】解：设BD与CE相交于点N，如图2所示： 由【建立模型】得：∠CND=∠A+∠C+∠D， ∵∠BNE=∠CND， ∴∠BNE=∠A+∠C+∠D， 在△BEN中，∠BNE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°， 故答案为：180； 【拓展创新】解：延长CA与DG的延长线相交于点K，如图3所示： ∵∠CAG=180°-∠KAG，∠DGA=180°-∠KGA， ∴∠CAG+∠DGA=360°-（∠KAG+∠KGA），在△KAG中，∠KAG+∠KGA=180°-∠K， ∴∠CAG+∠DGA=360°-（180°-∠K）=180°+∠K， 由【尝试应用】得：∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， ∴∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠∠DGA=∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°=360°； 【提升思维】解：由【拓展创新】得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：180°+5×180°=1080°． 故答案为：1080． 第三课时：反证法 参考答案 1.已知：在同一平面内，直线a∥b,直线b与c相交， 求证：a与c相交． 证明：假设a与c不相交，则a∥c, ∵a∥b, ∴b∥c, 又∵已知直线b与c相交， ∴假设a与c不相交不成立， ∴a与c相交． 2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． 求证：∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°． 证明：假设原命题不成立，则∠A＞45°，∠B＞45°， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°． ∵这与“三角形内角和等于180°”相矛盾， ∴假设不成立． ∴∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°． 3.证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角， 不妨设∠A=∠B=90°， 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°， 这与三角形内角和为180°相矛盾， ∴∠A=∠B=90°不成立； ∴一个三角形中不能有两个直角． 4.解：证明：假设a∥b,则根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2=180°．这与已知矛盾，故假设不成立，a与b不平行， 故答案为：a∥b；两直线平行，同旁内角互补；已知． 5.解：（1）证明：假设∠1≠∠2． 如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB′=∠2． ∴A'B'∥CD（同位角相等，两直线平行）， 又∵AB∥CD，且直线AB经过点O， ∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行， 这与平行公理“过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，故假设不成立， ∴∠1=∠2． （2）上述证明过程中提到的基本事实是：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$