专题07 二元一次方程组的应用（9大题型52题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题07 二元一次方程组的应用 ( 题型概览 01鸡兔同笼问题 02 分配问题 03 销售利润问题 04 方案问题 05 配套问题 06 工程问题 07 面积问题 08 数字问题 09 其他问题 ) ( 题型01 ) 鸡兔同笼问题 1．（2024春•固始县期末）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”（斛：古量器名，容量单位）其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 2．（2024春•顺河区校级期末）如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图，可以表述为 　　 ． 【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 3．（2024春•开封期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元，可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． ( 题型0 2 ) 分配问题 4．（2024春•滑县校级期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若他已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】由给出的方程，可找出x，y的含义，再根据“如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，即可列出符合题意的另一个方程． 【解答】解：∵如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，且所列方程为xy＝50， ∴x表示甲带的钱数，y表示乙带的钱数． 又∵如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50， ∴符合题意的另一个方程是yx＝50． 故选：B． 5．（2023秋•宝丰县期末）我国民间流传一道数学名题．其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个．请问君子知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】题意中涉及两个未知数：几个老头几个梨．两组条件：一人一个多一梨，一人两个少二梨，可列出二元一次方程组． 【解答】解：依题意得． 故选：B． 6．（2023秋•中原区期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组　　 ． 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：． 7．（2024春•新乡期末）为纪念五四运动105周年，弘扬五四精神，某校团委计划组织全校共青团员到南阳市镇平县彭雪枫革命烈士纪念馆开展红色研学之旅．该校计划统一乘车前往，若调配29座客车若干辆，则有7人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1辆，并空出12个座位．设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，根据“若调配29座客车若干辆，则有7人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1辆，并空出12个座位”列出方程． 【解答】解：设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人． 根据题意，得． 故选：B． 8．（2023秋•中原区期末）数学小故事：在一个小山上，有两只猴子在做游戏，其中一只猴子对另一只猴子说：“如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住；如果每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞”．你能帮他们算出该小山有多少个山洞，多少只猴？设山洞x个、猴子y只，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住，可得6x+5＝y；根据这每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞，可得7（x+1）＝y，即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 9．（2024春•郾城区期末）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，因为第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，则x+5＝y；第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则x﹣5． 【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5，那么方程组是． 故选：A． 10．（2024春•许昌期末）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.5尺；将绳子对折再量长术，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝3.5，则符合题意的另一个方程是（　　） A．2x﹣1＝y B．2x+1＝y C． D． 【分析】找到题中的等量关系，据此可列方程组即可解答． 【解答】解：设绳长x尺，木长为y尺， 依题意得：， 则符合题意的另一个方程是， 故选：D． 11．（2024春•周口期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， ． 故选：A． 12．（2024春•镇平县期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行；若3人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为 　　 ． 【分析】设有x辆车，人数为y，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设有x辆车，人数为y， 依题意得：． 故答案为：． 13．（2023秋•二七区期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位． （2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【分析】（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，根据“如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，根据座位数正好为300，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：45m+60n＝300， ∴n＝5m． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 14．（2024春•平舆县期末）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【分析】设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据“该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满”，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出x，y的值，再将其代入x+y中，取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱， 根据题意得：4x+3y＝32， ∴x＝8y， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴x+y＝9或10， ∴所装的箱数最多为10箱． 故选：C． 15．（2024春•长葛市期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足二尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，． 故选：C． 16．（2024春•新乡期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（　　） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【分析】根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 【解答】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得：， 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． ( 题型0 3 ) 销售利润问题 17．（2024春•洛宁县期末）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg． （1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 【分析】（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克，根据采摘的两种蔬菜共40千克且这些蔬菜的种植成本共42元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝每千克的利润×采摘数量，即可求出结论． 【解答】解：（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克， 依题意，得：， 解得：． 答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克． （2）（1.5﹣1）×30+（2﹣1.2）×10＝23（元）． 答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元． 18．（2024春•项城市期末）元宵节是中国传统节日，百盛超市对甲乙两件童装分别打八折和七五折销售，没有打折之前，6件甲衣服和3件乙衣服需要660元，打折后50件甲衣服和40件乙衣服需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌的单价分别是多少元？ （2）某儿童福利院需要购买20件甲衣服，30件乙衣服，问打折后比打折前优惠多少元？ 【分析】（1）设打折前甲、乙两种品牌的单价分别是x，y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）分别计算打折前后所需的费用，求其差即可求解． 【解答】解：（1）设打折前甲、乙两种品牌的单价分别是x，y元，根据题意得， ， 解得：， 答：打折前甲、乙两种品牌的单价分别是70，80元； （2）打折前：70×20+80×30＝3800（元）； 打折后：70×0.8×20+80×0.75×30＝2920（元）， 3800﹣2920＝880（元） 答：打折后比打折前优惠880元． 19．（2024春•扶沟县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3 把x＝1代入②得：y＝0 所以方程组的解为 （2）已知，求x+y+z的值． 解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③ ③÷4得x+y+z＝4 [类比迁移] （1）直接写出方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． [实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①﹣②即可得出答案； [实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得45x+15y＝1200，用原价减现价即可得少花钱数． 【解答】解：（1），把②代入①中，得： 3×2+4＝2a，解得：a＝5， 把a＝5代入②中，得b＝3， ∴方程组的解为． （2），①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1． [实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元， 根据题意得：36x+12y＝960， 两边同时乘以，得：45x+15y＝1200， 1200﹣1100＝100（元）， 答：比不打折少花了100元． 20．（2024春•汝南县期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【分析】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180﹣m）件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润＝销售每件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件， 依题意得：， 解得：． 答：购进甲种用品100件，乙种用品80件． （2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180﹣m）件， 依题意得：， 解得：60＜m≤63， 又∵m为正整数， ∴m可以取61，62，63， ∴共有3种购货方案， 方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件； 方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件； 方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件． 方案1可获得的利润为（20﹣14）×61+（43﹣35）×119＝1318（元）； 方案2可获得的利润为（20﹣14）×62+（43﹣35）×118＝1316（元）； 方案3可获得的利润为（20﹣14）×63+（43﹣35）×117＝1314（元）． ∵1318＞1316＞1314， ∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件． 21．（2023秋•叶县期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元/个） 60 70 售价（元/个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？ 【分析】（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，利用总价＝单价×数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用该玩具店捐赠钱数＝每个吉祥物的销售利润×销售数量×20%，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个， 根据题意得：， 解得：． 答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个； （2）根据题意得：[（80﹣60）×40+（100﹣70）×60+（90﹣60）×50]×20% ＝（20×40+30×60+30×50）×20% ＝（800+1800+1500）×20% ＝4100×20% ＝820（元）． 答：该玩具店捐赠了820元． 22．（2024秋•文峰区期末）某网店直接从工厂购进A，B两款殷墟文创纪念品，已知A，B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个． （1）网店第一次用2800元购进A，B两款纪念品共100个，求A款纪念品购进个数； （2）网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额1600元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价． 【分析】（1）设购进A款纪念品x个，购进B款纪念品y个，利用纪念品的总数和总价＝单价×数量，可列出二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则降价后的售价为（1﹣20%）m＝0.8m元，利用数量＝总价÷单价，结合“降价后销售A款纪念品要获得销售额1600元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额”，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进A款纪念品x个，购进B款纪念品y个，根据题意可得： ， 解二元一次方程组得， 答：A款纪念品购进的个数为60个； （2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则降价后的售价为（1﹣20%）m＝0.8m元， 根据题意得， 去分母得：1600×0.8+3.2m＝1600， 整理得3.2m＝320， 解得m＝100， 经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意， 答：A款纪念品降价以前的售价100元． 23．（2023秋•郑州期末）某商场去年的利润（总收入﹣总支出）为180万元，今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年减少了20%，今年的利润为320万元．设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有： （1）今年的总收入为 　（1+30%）x　 万元，今年的总支出为 　（1﹣20%）y　 万元； （2）请列出方程组，并求去年的总收入和总支出． 【分析】（1）根据“今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年减少了20%”列出代数式即可； （2）根据去年的利润（总收入总支出）为180万元，今年的利润为320万元，列出二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，今年的总收入为（1+30%）x万元，今年的总支出为（1﹣20%）y万元； 故答案为：（1+30%）x，（1﹣20%）y； （2）根据题意得：， 解得：， 答：去年的总收入为352万元，总支出为172万元． ( 题型0 4 ) 方案问题 24．（2024春•确山县期末）某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数，即可得出共有5种购买方案． 【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 根据题意得：150x+100y＝1800， ∴x＝12y． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴共有5种购买方案． 故选：A． 25．（2024春•河南期末）在初中数学项目式学习活动中，老师要将全班50名学生分成几个小组，每个小组由6人或8人组成，则正确的分组方案有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】根据“6人组的人数+8人组的人数＝50”列方程，再求出非负整数解． 【解答】解：设6人组有x个，8人组有y个， 则：6x+8y＝50， ∴y， ∴方程的非负整数解为：，， ∴分组方案有2种， 故选：B． 26．（2024春•西峡县期末）小明到商店要买两种作业本，一种每本3元，另一种每本1元．若小明恰好花完带的11元钱，则小聪购买的方案（　　） A．有无数种 B．只有1种 C．只有3种 D．只有4种 【分析】根据小明到商店要买两种作业本，一种每本3元，另一种每本1元．小明恰好花完带的11元钱，可以列出相应的方程，然后写出其正整数解即可． 【解答】解：设购买3元的作业本x本，购买1元的作业本y本， 由题意可得：3x+y＝11， ∴当x＝1时，y＝8； 当x＝2时，y＝5； 当x＝3时，y＝2； 当x＝4时，y＝﹣1； ∴小聪购买的方案只有3种， 故选：C． 27．（2024春•偃师区期末）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： （1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ （2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 景区票价 成人票：每张90元． 学生票：按成人票价5折优惠． 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上）． 【分析】（1）设这次参加游玩的家长为x人，学生为y人，根据图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）求出团体购票需要购买10张花费的钱数，即可解决问题． 【解答】解：（1）设这次参加游玩的家长为x人，学生为y人， 由题意得：， 解得：， 答：这次参加游玩的家长5人，学生4人； （2）如果家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，理由如下： 购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人， ∴团体购票需要购买10张，花费的钱数为：10×0.75×90＝675（元）， ∵675＞630， ∴如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分别购票更省钱． 28.（2024春•卫东区校级期末）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【分析】（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送b吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于x，y的二元一次方程，根据x，y均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金＝每辆车的租金×租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送b吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨． （2）依题意得：3x+4y＝31， ∴x． 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． （3）方案1所需租车费为100×9+120×1＝1020（元）； 方案2所需租车费为100×5+120×4＝980（元）； 方案3所需租车费为100×1+120×7＝940（元）． ∵1020＞980＞940， ∴费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元． 29．（2024春•鼓楼区期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12得（x，y为正整数）， ∴则有0＜x＜6又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，x为3的倍数，从而x＝3， ∴， ∴2x+3y＝12的正整数解为． 任务： （1）请你写出方程3x+y＝5的正整数解 　　 ； （2）若为自然数，则满足条件的整数x有 　4　 个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，要求两种奖品都必须买，问共有几种购买方案，分别是什么？（要求读懂上面阅读材料，运用提供的方法去解决） 【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了x本，单价为每支5元的钢笔买了y支，根据题意得3x+5y＝35，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【解答】解：（1）由3x+y＝5，得y＝5﹣3x（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当x＝1时，y＝2， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）若为自然数， 则有：0＜x﹣3≤8，即3＜x≤11． 当x＝4时，； 当x＝5时，； 当x＝7时，； 当x＝11时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了x本，单价为每支5元的钢笔买了y支， 根据题意得3x+5y＝35， 解得，（x，y为正整数）， ∴，解得0＜y＜7， 又∵35﹣5y是3的倍数， ∴y的取值为1或4． ∴3x+5y＝35的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 30．（2024春•泌阳县期末）感悟思想： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①﹣②可得x﹣4y＝﹣2①+②×2可得7x+5y＝19． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　 ，x+y＝　5　 ． （2）解方程组：． （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【分析】（1）把两个方程相加可求x+y＝5，相减可求x﹣y＝﹣1； （2）把3个方程相加得x+y+z＝6，分别减三个方程可求解； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【解答】解：（1） ①+②得3x+3y＝15，解得x+y＝5， ①﹣②得x﹣y＝﹣1， 故答案为：﹣1，5． （2）， ①+②+③得，2x+2y+2z＝12，即x+y+z④， ④﹣①得，z＝1， ④﹣②得，y＝3， ④﹣③得，x＝2， 方程组的解为． （3）设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元， 根据题意列方程组得，． ①×2﹣②得，a+b+c＝6，则5a+5b+5c＝30； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 31．（2023秋•郑州期末）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？ 【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：，即可解得答案； （2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，可得x≤5，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元， 根据题意得：， 解得：， ∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元； （2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（70﹣x）顶， ∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的， ∴x（70﹣x）， 解得x≤17.5， 根据题意得：w＝600x+1000（70﹣x）＝﹣400x+70000， ∵﹣400＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝17时，w取最小值，最小值为﹣400×17+70000＝63200（元）， ∴70﹣x＝70﹣17＝53， 答：购买A种型号帐篷17顶，购买B种型号帐篷53顶． 32．（2024春•桐柏县期末）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【分析】（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求可得方程20x+45y＝340，求出方程的非负整数解即可得到答案；②求出两种方案的花费即可得到答案． 【解答】解：（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得，， 解得， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生； （2）①由题意得，20x+45y＝340， ∴， ∵x，y都是整数， ∴一定是整数， ∴y一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； ②方案一的费用为4000×17＝68000（元）， 方案二的费用为4000×8+4×8000＝64000（元）， ∵68000＞64000， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 33．（2024春•光山县期末） 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材三 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【分析】（任务一）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务二）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案； （任务三）求出9辆B型客车的总载客量及总租金，将其与485人及9000元比较后，即可得出结论． 【解答】解：（任务一）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； （任务二）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车， 根据题意得：25m+55n＝485， ∴m， 又∵m，n均为非负整数， ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车； 方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； （任务三）有，租车方案为：租用9辆B型客车，理由如下： ∵55×9＝495＞485，1000×9＝9000， ∴存在租车费用不超过预算的租车方案，方案为：租用9辆B型客车． ( 题型0 5 ) 配套问题 34．（2024春•襄城县期末）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可． 【解答】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个， 根据题意得：， 整理得：m+n＝5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数， ∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数， ∴m+n的值可能是2020． 故选：A． 35．（2024春•南阳期末）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？ 【分析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨． 36．（2024春•郾城区期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 　8　 张和坐垫 　3　 张． 方法三：裁切靠背 　0　 张和坐垫 　6　 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成 　480　 张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+40n＝240，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得.，解方程组可得答案． 【解答】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， 15m+40n＝240， ∴， ∵m，n为非负整数， ∴或或， 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张， .， 解得：， ∵86+73＝159（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． ( 题型0 6 ) 工程问题 37．（2024春•平桥区期末）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（　　） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【分析】根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【解答】解：设A印刷机印制了xh，B印刷机印制了yh， ∵两台印刷机完成该任务共需6h， ∴x+y＝6， ∵总共印制1000份， ∴150x+200y＝1000， ∴， 设A印刷机印制了m份，B印刷机印制了n份， ∵总共印制1000份， ∴m+n＝1000， ∵A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h， ∴A印刷机印制小时，B印刷机印制小时， ∴， ∴， 故选：C． 38．（2024春•平舆县期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【分析】设乙、丙两队合作做了x天，甲队加入后又做了y天，根据按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设乙、丙两队合作做了x天，甲队加入后又做了y天， 由题意得：， 解得：， 答：乙、丙两队合作做了4天，甲队加入后又做了2天． 39．（2024春•襄城县期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 　甲队修建的时间　 ，y表示 　乙队修建的时间　 ；并写出该方程组中△处的数应是 　18　 ，□处的数应是 　4000　 ； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【分析】（1）由两队共用18天完成修建任务，可得出△处的数，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率及公路的总长，可得出x，y的含义及□处的数； （2）利用公路的总长及工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用乙队的工作时间＝乙队的工作总量÷乙队的工作效率，即可求出乙队的工作时间． 【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务， ∴x+y＝18， ∴△处的数应是18； ∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米， ∴200x+250y＝4000， ∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，□处的数应是4000． 故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000； （2）根据题意得：， 解得：， ∴8（天）． 答：乙队修建了8天． 40．（2024春•龙亭区校级期末）今年，新型冠状病毒来势汹汹，疫情刻不容缓．某医用材料厂紧急召回放假的工人生产防病毒口罩，已知甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只． （1）求甲车间和乙车间每天各生产防病毒口罩多少万只？ （2）甲车间和乙车间准备共同完成840万只防病毒口罩的任务，在甲、乙车间合作生产了2天后，为了应对疫情的发展，医用材料厂的领导决定加快速度生产，结果余下的任务恰好用了5天完成，求该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多多少万只？ 【分析】（1）设甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩x万只、y万只，由题意：甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只，列出方程组，解方程组即可； （2）设该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多m万只，由题意：甲、乙车间合作生产了2天后，医用材料厂的领导决定加快速度生产，结果余下的任务恰好用了5天完成，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩x万只、y万只， 由题意得：， 解得：， 答：甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩28万只、84万只； （2）设该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多m万只， 由题意得：2×（28+84）+5×（28+84+m）＝840， 解得：m＝11.2， 答：该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多11.2万只． ( 题型0 7 ) 面积问题 41．（2024春•周口期末）如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形． （1）求出小长方形的长和宽； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形列方程求出小长方形的长与宽即可； （2）利用总面积减去各小长方形的面积即可． 【解答】解：（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得， 答：小长方形的长是7cm，宽是2cm． （2）， 答：阴影部分的面积为39cm2． 42．（2024春•正阳县期末）在长方形ABCD中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 　44　 cm2． 【分析】设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm， ∴S阴影＝S四边形ABCD﹣6×S小长方形， ＝14×10﹣6×2×8 ＝44（cm2）． 故答案为：44． 43．（2024春•濮阳期末）如图，10块形状，大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则下列方程中，不符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据大长方形的宽、长方形的对边相等以及平行线间的距离处处相等，即可列出关于x，y的二元一次方程组，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵大长方形的宽为50cm， ∴x+y＝50或5y＝50； ∵长方形的对边相等， ∴2x＝x+4y，即x＝4y． ∴根据题意可列出方程组或或或． 故选：D． 44．（2024春•扶沟县期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2 【分析】设小长方形花圃的长为x m，宽为y m，根据小长方形的2个长+一个宽＝18m，小长方形的一个长+2个宽＝15m，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝7×4＝28， 即一个小长方形花圃的面积为28m2， 故选：D． ( 题型0 8 ) 数字问题 45．（2023秋•驿城区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数与个位上的数之和为15，则这个两位数是 　69　 ． 【分析】设十位数为x，则个位数为x+3，根据十位上的数与个位上的数之和为15列出方程，解方程即可． 【解答】解：设十位数为x，则个位数为x+3， 根据题意得：x+x+3＝15， 解得x＝6， ∴x+3＝9， 这个两位数为69， 故答案为：69． ( 题型0 9 ) 其他问题 46．（2024春•开封期末）数学兴趣小组在进行跨学科探究时，发现放入小球、大球的多少与水面上升的高度有关系，请你从他们的研究中获取信息，回答问题：如果同时放入大小两种球（两种球均放），使水面上升到77cm，共有 　4　 种可能的情况． 【分析】先根据图形确定每个小球、大球使水面升高的高度，设放入x个小球，则放入y个大球，根据放入大球、小球后的水面高度为77cm列方程，找到方程的正整数解即可． 【解答】解：由图知：每个小球使水面升高 3（cm）， 每个大球使水面升高 4（cm）， 设放入x个小球，放入y个大球，得 26+3x+4y＝77， 即 ， ∵x和y均为正整数， ∴ 或 或 或 ， 共有4 种可能的情况， 故答案为：4． 47．（2024春•周口期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为20cm，下列说法： ①两根铁棒的长度和为340cm； ②其中一根铁棒长度为170cm； ③两根铁棒的长度和为440cm； ④其中一根铁棒露出水面的长度为60cm． 其中说法正确的个数为（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】设较长铁棒的长度为x cm，较短铁棒的长度为y cm，因为两根铁棒之差为20cm，故可得方程：x﹣y＝20，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可． 【解答】解：设较长铁棒的长度为x cm，较短铁棒的长度为y cm，由题意得： ， 解得，， ∴较长铁棒的长度为180cm，较短铁棒的长度为160cm，故②错误； ∴两根铁棒的长度和为180+160＝340cm，故①正确，③不正确； ∴较长铁棒露出水面的长度为18060cm，故④正确， 因此正确的结论是①④，共2个， 故选：C． 48．（2024春•虞城县期末）如图，大小相同的杯子叠放在一起．根据图中的信息，“□”处应填 　8　 ． 【分析】设杯高为x cm，每增加一个杯子高度增加y cm，据图，列出方程组进行求解即可． 【解答】解：设杯高为x cm，每增加一个杯子高度增加y cm，由图可得： ， 解得：； ∴“□”处应填x+y＝8； 故答案为：8． 49．（2024春•林州市期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣6，4） B．（） C．（﹣6，5） D．（） 【分析】本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽+一长＝|yA|；从水平方向看，两个长方形的长﹣一个长方形的长﹣一个长方形的宽＝|xA|，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，|xB|＝两个长方形的长，|yB|＝一个长方形的长+一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【解答】解：设长方形的长为x，宽为y， 则， 解得， 则|xB|＝2x，|yB|＝x+y； ∵点B在第二象限， ∴B（，）， 故选：D． 50．（2024春•唐河县期末）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（　　） A．20 B．22 C．23 D．25 【分析】设投中外环得x分，投中内环得y分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+4y）中即可求出结论． 【解答】解：设投中外环得x分，投中内环得y分， 依题意得：， 解得：， ∴x+4y＝23． 故选：C． 51．（2024春•民权县期末）如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4） 【分析】设相同的长方形的长为x，宽为y，由A（2，5）得：，解出x，y的值，即可求出B的坐标． 【解答】解：设相同的长方形的长为x，宽为y， 由A（2，5）得：， 解得， ∴B到y轴距离为x+2y＝3+2＝5，到x轴距离为x+y＝3+1＝4， ∴B的坐标为（﹣5，4）， 故选：D． 52．（2024春•南召县期末）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价・一马，二牛价不满一万，如半牛之价．问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格， ∴2x+y＝1x； ∵1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格， ∴x+2y＝1y． 联立两方程成方程组． 故选：D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二元一次方程组的应用 题型概览 01鸡兔同笼问题 02 分配问题 03 销售利润问题 04 方案问题 05 配套问题 06 工程问题 07 面积问题 08 数字问题 09 其他问题 鸡兔同笼问题题型01 1．（2024春•固始县期末）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”（斛：古量器名，容量单位）其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•顺河区校级期末）如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图，可以表述为 　 ． 3．（2024春•开封期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 分配问题题型02 4．（2024春•滑县校级期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若他已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•宝丰县期末）我国民间流传一道数学名题．其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个．请问君子知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•中原区期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组　 　 ． 7．（2024春•新乡期末）为纪念五四运动105周年，弘扬五四精神，某校团委计划组织全校共青团员到南阳市镇平县彭雪枫革命烈士纪念馆开展红色研学之旅．该校计划统一乘车前往，若调配29座客车若干辆，则有7人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1辆，并空出12个座位．设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（2023秋•中原区期末）数学小故事：在一个小山上，有两只猴子在做游戏，其中一只猴子对另一只猴子说：“如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住；如果每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞”．你能帮他们算出该小山有多少个山洞，多少只猴？设山洞x个、猴子y只，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024春•郾城区期末）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•许昌期末）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.5尺；将绳子对折再量长术，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝3.5，则符合题意的另一个方程是（　　） A．2x﹣1＝y B．2x+1＝y C． D． 11．（2024春•周口期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•镇平县期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行；若3人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为 　 ． 13．（2023秋•二七区期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位． （2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 14．（2024春•平舆县期末）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 15．（2024春•长葛市期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足二尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（　　） A． B． C． D． 16．（2024春•新乡期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（　　） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 销售利润问题题型03 17．（2024春•洛宁县期末）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg． （1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 18．（2024春•项城市期末）元宵节是中国传统节日，百盛超市对甲乙两件童装分别打八折和七五折销售，没有打折之前，6件甲衣服和3件乙衣服需要660元，打折后50件甲衣服和40件乙衣服需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌的单价分别是多少元？ （2）某儿童福利院需要购买20件甲衣服，30件乙衣服，问打折后比打折前优惠多少元？ 19．（2024春•扶沟县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3 把x＝1代入②得：y＝0 所以方程组的解为 （2）已知，求x+y+z的值． 解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③ ③÷4得x+y+z＝4 [类比迁移] （1）直接写出方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． [实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 20．（2024春•汝南县期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 21．（2023秋•叶县期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元/个） 60 70 售价（元/个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？ 22．（2024秋•文峰区期末）某网店直接从工厂购进A，B两款殷墟文创纪念品，已知A，B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个． （1）网店第一次用2800元购进A，B两款纪念品共100个，求A款纪念品购进个数； （2）网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额1600元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价． 23．（2023秋•郑州期末）某商场去年的利润（总收入﹣总支出）为180万元，今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年减少了20%，今年的利润为320万元．设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有： （1）今年的总收入为 　　 万元，今年的总支出为 　 　 万元； （2）请列出方程组，并求去年的总收入和总支出． 方案问题题型04 24．（2024春•确山县期末）某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 25．（2024春•河南期末）在初中数学项目式学习活动中，老师要将全班50名学生分成几个小组，每个小组由6人或8人组成，则正确的分组方案有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 26．（2024春•西峡县期末）小明到商店要买两种作业本，一种每本3元，另一种每本1元．若小明恰好花完带的11元钱，则小聪购买的方案（　　） A．有无数种 B．只有1种 C．只有3种 D．只有4种 27．（2024春•偃师区期末）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： （1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ （2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 景区票价 成人票：每张90元． 学生票：按成人票价5折优惠． 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上）． 28.（2024春•卫东区校级期末）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 29．（2024春•鼓楼区期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12得（x，y为正整数）， ∴则有0＜x＜6又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，x为3的倍数，从而x＝3， ∴， ∴2x+3y＝12的正整数解为． 任务： （1）请你写出方程3x+y＝5的正整数解 　 ； （2）若为自然数，则满足条件的整数x有 　　 个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，要求两种奖品都必须买，问共有几种购买方案，分别是什么？（要求读懂上面阅读材料，运用提供的方法去解决） 30．（2024春•泌阳县期末）感悟思想： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①﹣②可得x﹣4y＝﹣2①+②×2可得7x+5y＝19． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　　 ，x+y＝　　 ． （2）解方程组：． （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 31．（2023秋•郑州期末）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？ 32．（2024春•桐柏县期末）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 33．（2024春•光山县期末） 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材三 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 配套问题题型05 34．（2024春•襄城县期末）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 35．（2024春•南阳期末）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？ 36．（2024春•郾城区期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 　8　 张和坐垫 　3　 张． 方法三：裁切靠背 　0　 张和坐垫 　6　 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成 　480　 张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 工程问题题型06 37．（2024春•平桥区期末）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（　　） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 38．（2024春•平舆县期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 39．（2024春•襄城县期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 　　 ，y表示 　　 ；并写出该方程组中△处的数应是 　　 ，□处的数应是 　 ； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 40．（2024春•龙亭区校级期末）今年，新型冠状病毒来势汹汹，疫情刻不容缓．某医用材料厂紧急召回放假的工人生产防病毒口罩，已知甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只． （1）求甲车间和乙车间每天各生产防病毒口罩多少万只？ （2）甲车间和乙车间准备共同完成840万只防病毒口罩的任务，在甲、乙车间合作生产了2天后，为了应对疫情的发展，医用材料厂的领导决定加快速度生产，结果余下的任务恰好用了5天完成，求该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多多少万只？ 面积问题题型07 41．（2024春•周口期末）如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形． （1）求出小长方形的长和宽； （2）求图中阴影部分的面积． 42．（2024春•正阳县期末）在长方形ABCD中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 　　 cm2． 43．（2024春•濮阳期末）如图，10块形状，大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则下列方程中，不符合题意的是（　　） A． B． C． D． 44．（2024春•扶沟县期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2 数字问题题型08 45．（2023秋•驿城区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数与个位上的数之和为15，则这个两位数是 　　 ． 其他问题题型09 46．（2024春•开封期末）数学兴趣小组在进行跨学科探究时，发现放入小球、大球的多少与水面上升的高度有关系，请你从他们的研究中获取信息，回答问题：如果同时放入大小两种球（两种球均放），使水面上升到77cm，共有 　　 种可能的情况． 47．（2024春•周口期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为20cm，下列说法： ①两根铁棒的长度和为340cm； ②其中一根铁棒长度为170cm； ③两根铁棒的长度和为440cm； ④其中一根铁棒露出水面的长度为60cm． 其中说法正确的个数为（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 48．（2024春•虞城县期末）如图，大小相同的杯子叠放在一起．根据图中的信息，“□”处应填 　　 ． 49．（2024春•林州市期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣6，4） B．（） C．（﹣6，5） D．（） 50．（2024春•唐河县期末）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（　　） A．20 B．22 C．23 D．25 51．（2024春•民权县期末）如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4） 52．（2024春•南召县期末）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价・一马，二牛价不满一万，如半牛之价．问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$