安徽省太和中学2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题

太和中学高二年级教学质量检测试卷 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册一选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|x2-x一6<0}，B={-2,一1,0,1,3,5}，则A∩B= A.{-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,3} C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1} 2.为了解某地区某种水果的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：万元/吨)的影响，对近五年该水 果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为y=一0.0034x十a,则a= A.2.82 B.2.86 C.2.88 D.2.92 &二项式(2x-) 的展开式中的常数项为 A.240 B.-240 C.60 D.-60 4,已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，过F的直线交C于A,B两点，若弦AB的中点的横坐标 为4，则|AB引= A.8 B.10 C.12 D.16 5.在△ABC中，AB=4,BC=2,且BA.C克=AC.C克，则AB,B元+AB.CA+BC.CA的 值为 A.-18 B.-16 C.-14 D.-12 【高二年级教学质量检测试卷·数学第1页（共4页）】 25-T-7738 6.已知函数f(x)=lg(x2一ax十2)在（一∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为 A.[2,+∞) B.[2,3) C.(-∞，2] D.(2,3] 7.已知高为9的正三棱台ABC-A,B1C1的外接球的表面积为112π，且AB=2A1B1,则正三棱 台ABC-A1BC1的体积为 A婴 B.63/3 D.1893 4 c 4 8.已知函数f(x)=x3一x,过点（一2，a)可向曲线y=f(x)引3条切线，则实数a的取值范围为 A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-3,5) D.(-5,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数名，2，则下列命题正确的有 A若好十好=0，则名1=2=0 B.若名=z2,则|名|=|2 C.若=，则2=|名|2 D若引|=||，则对=好 10:已知椭圆C:苦+号-1的左，右焦点分别为R,5,M为椭圆C上任意一点，则下列说法正 确的是 A.△MFF2的周长为6 B.△MFF2面积的最大值为√3 C.|MFz|的取值范围为[1,3] D.|MF|-|MF2的最小值为一1 11.已知函数f(x)=2sim(2x+晋)-2cos(2x+晋），则 A.π是f(x)的周期 B.f(x)的最大值为4 C.f(x)没有对称中心 D.f()在[，]上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X的概率分布密度函数f(x)=1e“,若P(X>3)=0.2,则 g√2π P(-1≤X≤3)= 13.已知等差数列(e,)的前n项和为S,且S,=号，2(a十a)=4a:十3，则a= 14.设P为函数f(x)=。x的导函数f(x)的图象上一点，Q为函数g(x)=nx的图象上一 点，当P,Q关于直线y=x对称时，称(P,Q)是一组对称点.若恰有3组对称点，则a的取值 范围是 【高二年级教学质址检测试卷·数学第2页（共4页）】 25-T-773B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球，从中不放回地依 次摸出3个小球， (1)求前两次摸出的球均为黑球的概率； (2)记X表示摸出的小球中红球的数量，求X的分布列及其数学期望， 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=2,BB1=BC,D为BC的中点. (1)求证：直线AC∥平面ABD; (2)求直线B1D与平面A1BC所成角的正弦值 17.(本小题满分15分) 在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且inA+sinB=3sinC cos A'cos B sin Bcos A' (1)求角B的值； (②)求告兰的取值范围. 【高二年级教学质量检测试卷·数学第3页（共4页）】 25-T-773B 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=kx一lnx(k∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当k=1时，若g(x)=f(x十1)一a存在零点，求实数a的取值范围； (3)证明：(1+是)(1+是)(1+是)(1+)<WE)1片(m∈N). 19.(本小题满分17分) 我们把等轴双曲线的一部分E:苦-三=1a>0,>0)与半圆E:十y-公(x<0)合成 的曲线称作“羽毛球型”曲线E,其中E是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示 (1)求E1与E2的方程； (2)已知M(m,0)(m>0),N为“羽毛球型”曲线E上的动点，求线段 MN长度的最小值； (3)若直线l:y=k(x十22)与“羽毛球型”曲线E有3个公共点，求k 的取值范围. 【高二年级教学质量检测试卷·数学第4页（共4页）】 25-T-773B太和中学高二年级教学质量检测试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由x2-x-6<0,得-2<x<3,所以A=(-2,3),所以A∩B={-1,0,1}.故选D. 2.B由题意，得五=号×(30+350+400+450+50)=40，了=号×1.8+1.7+1.5+14+1.1D=1.5.所 以1.5=-0.0034×400+a,解得a=2.86.故选B. 的展开式中的常数项为C×2×(一1)=60.故选C 4.C设A,B的横坐标分别为.x1,所以西=4，所以m十2=8，因为AB过焦点，所以AB=4十十 2 x2=4+8=12.故选C 5.A因为BA.CB=AC.CB,所以Bi.CB-AC.Ci=CB·(BA-AC)=(AB-AC)·(-AB-AC)= AC-A=0,所以|AC=|AB=4,因为AB+BC+CA=0,所以(AB+BC+CA):=AB+BC心+Ci +2(AB.BC+AB.CA+BC.CA)=4+2+4+2(AB.BC+AB.CA+BC.CA)=0.AB.BC +AB.Ci+BC.CA=-18.故选A. 6.B因为y=lgt在(0，十∞)上单调递增.f(x)在(-oo,1]上单调递减，所以t=x2-a.x+2在（一∞，1]上 单调递减，且在(-o∞，1门上，1=x2-ax+2>0恒成立，所以号≥1，且12-a十2>0，所以2<a<3,即实数 的取值范围为[2,3).故选B. 7.D设△ABC,△ABC的中心分别为H,H,外接球的球心为O,则四边形AHHA为直角 梯形（如图所示），其中O在HH上，设AB=2AB,=2a,外接球的半径为R,则AH=2AH= 2 3a,AO=AO=R,因为高为9的正三棱台ABC-A,BG的外接球的表面积为112x,所以 HH1=9,4xR=112x,解得R=2√7，又OA=√/AH+OH开，OA, VAH+(HH-OH,所以27=√号d2+OF,27=√3a2+(9-OH)2,两式相 减并化简，得OF-240H+80=0,解得0H=4或0H=20(舍).所以a=3,S-×(2a)P=9v5。 S△A15S9 -。-只B,所以正三棱台ABC-A,BG的体积V=专(95+号3+V√9W3×5)×9 1893,故选D, 4 8.B设切点P(m,m-一m),因为f(x)=3x2一1，故过点P的切线斜率k=f(m)=3mm2一1，所以切线方程为 y-(m2一m)=(3m2-1)(.x-m).将(-2，a)代入，得a-(m2一m)=(3m2-1)(-2-m),化简得2n2+6m +a-2=0,由题意知该方程有3个不同的解，令g(m)=2nm十6m十a一2，则g(m)=6m2+121,令g(m) =62十12n=0,解得m=0或m=一2，易得g(m)在（一∞，一2）和(0，十∞)上单调递增，在（一2,0）上单调 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第1贞（共6贞）】 25-T-773B 递诚，要使g(m)有3个零点，必有g(m)做大值=g(一2)=a十6>0，且g(m)板小值=g(0)=a一2<0，解得一6< m<2.故选B. 9.BC对于A,取1=1,2=i,显然满足号十=0，但刘≠0,2≠0，故A错误：对于B,因为=i,所以 ||=|i|=|2|,故B正确；对于C,因为=，所以2=刘=||2，故C正确；对于D,取= 1,2=i,满足1|=|2，但号=1，=一1，所以≠，故D错误.故选BC. 10,AC对于A:因为椭圆C的方程为号+苦=1.M为椭圆C上任意一点，所以MF,+MF=2a=4, |FF2|=2c=2,则△MFFg的周长为6，故A正确：对于B:当M为椭圆C的上顶点或下顶点时， △MF,F2的面积最大，此时面积为3，故B正确：对于C:因为|MF2|∈[a一c,a十c],所以|MF:|的取值 范围为[1,3]，故C正确；对于D:因为|MF,|+|MF|=2a=4,所以|MF,|一|MF|=2a-2|MF2|= 4-2|MF2|,又|MF∈C1,3],所以|MF|-|MF2|=4-2|MF2|∈C-2,2],故D错误.故选ABC 11.ACD 因为∫(x十x)= 2sin[2(x+x)+吾]-2os[2x+x)+吾]=2sim(2x+晋)川 2cos(2x+)=f(x),可知x是f(x)的周期，故A正确：令2sin(2x+否)≥0，即sin(2x+)≥0，则 2kx≤2x+吾<2kx十元，k∈Z,解得m-≤x<kx+受k∈，令2sin(2x+晋）<0.即sin(2x+吾)< 0,则2x十<2x+吾<2x十2x,k∈2.解得kx+登<r<k红十，k∈Z:结合周期性可取-吾<< 和管<费若一意<<爱则fx)=2sim(2x+晋）一2os(2xr+晋)=2Esm(2r-):诺晋 <7,则∫(x)=-2sin(2x+吾）-20os(2x+晋)=-2Esim(2z+):综上所述：(x)= 2ism(2x-8),-<r<0, 可得f(.x)一个周期的图象如图1所示，结合周期性可得：f(x)的图象 -2sm(2r+).登<< 如图2所示， 22 32 =f几r) v-2 1-2 7m5π13π 24224 12 yf(c) 21 图1 图2 对于选项B:由f(x)的图象可知，f(x)的最大值为2√2，故B错误：对于选项C:由f(x)的图象可知，f(x) 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第2贞（共6贞）】 25-T-773B 没有对称中心，故C正确：对于选项D,由图1可知)在[，吾]上单调递减，故D正确故选ACD 12.0.6由题意得X~N,),又P(X>3)=0.2,所以P(X<-1)=P(X>3)=0.2,所以P(-1≤X≤3) 1-P(X<-1)-P(X>3)=1-0.2-0.2=0.6. 184由等差数列的性质可知S=3a=号，即a=多，由2a,十a)=4a:十3，得4a,=a:十3，即a=号，又 a4十a2=2aa,所以a1=4. 14(o号) 8x)=hx关于直线y=x对称的函数为y=心，x)=石r的号 函数f()=是，由题意可知，函数y-名：与函数y=。的图象恰有3个 交点，即方程a=芒恰有3个不相等的实数根，即直线)y=a与函数y=芒的 图象拾有3个交点，令h(x)=3芒，M()=63严-3x2卫，令N(x)> 0,得0x<2,令h'(x)<0,得x<0或x>2.所以函数h(x)在（一o∞，0）上单调递减，在(0,2)上单调递增， 在2，+∞)上单调递减，所以h6)的极小值为(0)=0.极大值为A2)=号.当一十e时，h(r)0.故函 数A()兰的图象如图所示，所以ú的取值范周是(0，号)】 15.解：(1)记前两次摸出的球均为黑球为事件A,则P(A)= A号A-5 A 14 …5分 (2)X的取值有0,1,2,3，…………6分 C28 …8分 PX=2)-C9-最PX=8)- C 56' 10分 故X的分布列为： 0 1 2 3 15 15 2 2 56 所以E(X0=0x是+1×是+2×亮+3X编- 9 0000g000000004040940101 56 13分 16.(1)证明：设AB∩AB=E,连接DE, 在直三棱柱ABC-A1BC中，四边形AABB是平行四边形，所以E是A,B的 B 中点，又D为BC的中点，所以DE∥AC.…3分 又DEC平面ABD,AC过平面ABD,所以直线AC∥平面ABD.…6分 (2)解：在直三棱柱ABC-ABC中，AA,⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC, 所以AA⊥AB,AA⊥AC,又AB⊥AC,所以以A为原点，AB.AC,AA所在直线 分别为x轴，y轴，之轴，可以建立空间直角坐标系。…8分 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第3贞（共6贞）】 25-T-773B 因为AB⊥AC,AB=AC=2,BB1=BC,所以BB1=BC=22,则B(2,0,0),C(0,2,0),D1,1,0),A(0,0, 22),B1(2,0,2√2)，…10分 BC=(一2,2,0)，BA=(一2,0,22)，设平面ABC的法向量为m=(x,y,),则 m·BC=-2.x+2y=0, 令x=1,得x=√2，y=√2，所以平面ABC的一个法向量为m=(W2,w2,1). m·BA1=-2.x+22x=0, …12分 又BD-=(-1,1,-2√2)，设直线BD与平面A1BC所成角为0， 则sin0=|cos(B,D,m)1= BD·mL=-2+2-2②1=2 B,D1·m V5×√/10 即直线BD与平面A,BC所成角的正弦值为号 15分 17.解：(1)因为nA+sinB3sinC cos A cos B sin Bcos A' 所以sin Acos B十cos Asin B_sin(A+B)-sim(r-C_sinC 3sinC cos Acos B cos Acos B cos Acos B cos Acos B sin Bcos A' …3分 又A,B,C∈(0,5)，所以cosA≠0且sinC≠0， 所以由心SB热S得热君-原.即mB=何，所以B=吾 sin C 3sin C 3· …6分 (②)油1)可得B=亭 由正弦定理品A品BC得a-m含-24--625C b sin B 3 sin B 3 ，…8分 所以g2+c (236sin4)）'+(25 sn C)】 3 3 4sin'A 4sin'C4 3 3 (sin2A+sin 2C)= 号[smA+m(-A)]=号[smA+((sincos A-cos经mA)门 …10分 -[sm+(停sA+方血)]-号（是+号A+受in Acs A)=[是+1-s2A +n2A]-号(1+9n24-7s2)小-号[1+号sm(2A晋)]-+号m(2A-晋)】， 12分 0<A<受， 由 得晋<A<受，所以晋<2A-晋<爱，所以号<sim(2A-晋)<1， 0<ξ-AK 所以号<号+号m(2A-吾)2，即去∈（停2] 15分 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第4页（共6页）】 25-T-773B 18.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，且(x)=k-1=虹-」 1分 因为x∈(0，十)，所以当k≤0时，(x)<0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递减：…3分 当>0时，令∫(x)>0,得x>:令f(x)<0,得0<r< 4分 所以f(x)在(0，)上单调递减，在（大，十∞）上单调递增。 综上所述，当k≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减： 当k>0时，x)在(0，)上单调递减在(，+∞）上单调递增。 6分 (2)解：当k=1时，f(x)=x-lnx,所以g(x)=x-n(x+1)十1-a, 所以g(x)的定义域为(-1，十o∞)g()=1一=千， …7分 令g'(x)<0,得-1<x<0.令g'(x)>0,得x>0. 所以g(x)在（一1,0）上单调递减，在(0，十○)上单调递增， 所以g(x)mn=g(0)=1一d,…9分 显然当x→十o∞时，g(x)→十∞， 又g(x)存在零点，所以1一a≤0，所以a≥1，即a的取值范围为[1，十∞). 10分 (3)证明：由(2)知当a=1时，g(x)=x一ln(x十1)≥0，当且仅当x=0时等号成立， 所以Hx∈(0，+oo),n(x+1)<x, 11分 取x=(i=1.2,3…,）,有n(1十）(i=1.2,3…,… 13分 所以n(1+2)+ln(1+是)+n(1+,是)+…+n(1+兴）<是+是+是+…+ ,…14分 2(n十1) 所以(1+号)1+是)1+是)-(1+0)]<出2+9士= =1+1 2n 所以(1+)(1+是)(1+是)…(1+”)<e岁=@). 17分 19.解：(1)因为E是焦距为8的等轴双曲线的一部分，所以2十a2=c2=4,解得a=2√2，…1分 所似E的方程为管-专=1>0，民的方程为十y=8<0.…3分 (2)设N(x,y),当x≤0时，|MN|=√/(x-m)2+y=√x2+y-2m.x+m=√8-2m+m, 因为一22≤2x<0,m>0,所以当x=0时，|MNmm=√8十2；…5分 当x>0时，|MN|=√(x-m)十y=√x+y-2mx十m=√2x-2m.x+m+8 V2(x-罗)+受+8 当r=罗时.MN-√受+8=2m+2 …7分 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第5贞（共6贞）】 25-T-773B 又y8+m>②于亚.所以1MN=V②中型 2 即线段MN长度的最小值为√②m+32 …8分 2 (3)易知直线l:y=k(x十2√2)与“羽毛球型”曲线E有公共点A(一2√2,0). y =1, x=0. x=0, 联立 88 解得 或 设B(0,2√2)，C(0,-2√2). x2+y2=8, y=-22y=2√2， ①当>1时，又k=25,。-1,所以直线1与E,有2个公共点， 0+2√2 又E的渐近线为y=士x,且E中x>0,所以1与E,没有公共点， 即k≥1时，直线l与“羽毛球型”曲线E有2个公共点，不符合题意.…10分 ②当0<k<1时，可知k<k出，则直线1与E2只有1个公共点， 联立 得(k2-1)x2+42kx十8k2-8=0,此时1-k2≠0， y=k(x+2√2)， 若4=(4/2P一4(2-1D(8k一8)=0.解得0=士号 又0<<1，所以-号，此时1与E,相切于第一象限，只有1个公共点： …12分 若4=4，②)P-4-D(8-8>0.解得kK号或>号. 又0<<1，所以号<1，此时1与E在第一象限有2个公共点. 所以k一号时，直线1与“羽毛球型”曲线E有2个公共点，不符合题意，号<k<1时，直线1与“羽毛球型” 2 曲线E有3个公共点，符合题意.… …14分 ③当k=0时，易知直线1与E1没有公共点，与E:只有1个公共点，所以直线1与“羽毛球型”曲线E有1个 公共点，不符合题意。…… …15分 根据"羽毛球型”曲线E的图象关于士轴对称.可知当-1<k<一号时，直线1与羽毛球型”曲线E有3个 公共点. 综上所述，实数的取值范围是(-1，-号)U(号，1) …17分 【高二年级教学质量检测试卷·数学参考答案第6贞（共6贞）】 25-T-773B