期末必刷题02 热考题与压轴题（29题型77题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

期末必刷题02 热考题与压轴题（29题型77题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形的性质与判定 题型二 菱形的性质与判定 题型三 正方形的性质与判定 题型四 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型五 求特殊四边形在坐标系中的坐标 题型六 四边形综合 题型七 与特殊平行四边形有关的动点问题 题型八 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型九 中点四边形 题型十 十字架模型 题型十一 半角模型 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 分母有理化 题型十四 比较二次根式的大小 题型十五 与二次根式有关的新定义问题 题型十六 与二次根式有关的规律探究问题 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 题型十八 换元法解一元二次方程 题型十九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型二十 一元二次方程的应用 题型二十一 与一元二次方程有关的新定义问题 题型二十二 相似三角形性质与判定综合 题型二十三 相似三角形与实际问题 题型二十四 黄金分割 题型二十五 与相似三角形有关的动点问题 题型二十六 一线三等角模型 题型二十七 手拉手模型 题型二十八 对角互补模型 题型二十九 其它模型 题型一 矩形的性质与判定 1．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 2．如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点． (1)求证：． (2)连接，取中点M，连接、，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）先证明，得到． 结合即可． （2）连接，取中点M，连接、，证明四边形为矩形． 再利用勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵F、G、H分别是、、的中点， ∴． ∴． ∴， ∴． （2）解：连接、，， ∵M、H分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴ ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵G、H、M，F分别是、、、的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性，勾股定理是解题的关键． 3．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 题型二 菱形的性质与判定 4．如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）根据平分，得到，结合四边形是平行四边形，证出，，得出四边形是菱形，即可得． （2）根据四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得出，设，则，即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 设，则， 解得：， ． 5．如图，在四边形中，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明结论； （2）连接交于点O，，根据三角形中位线定理，得到，由菱形的性质和勾股定理得出，即可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点O，如图： ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴， ∵、是菱形的对角线，且，， ∴，，． 在中，，． ∴， ∴菱形的周长为：． 6．如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． (1)判断四边形的形状，并证明． (2)若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理， （1）如图，连接、，过点分别作于点，作于点，证明四边形是平行四边形，再根据等积法即可得证； （2）由（1）知是菱形，求出的长，再根据勾股定理即可求出的长， 正确作出辅助线，证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：如图，连接、，过点分别作于点，作于点， ∵两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴边的长为． 题型三 正方形的性质与判定 7．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 8．如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，勾股定理等，灵活的选择判定定理是解题的关键． （1）连接，交于点O，根据菱形的性质，再结合，说明四边形是菱形，然后根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据正方形的性质求出 ，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直且互相平分， ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形； （2）解：∵菱形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 9．已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作，交的延长线于点M，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴矩形是正方形 ∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型四 与特殊平行四边形有关的折叠问题 10．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 11．如图，把矩形纸片进行折叠． (1)如图1，若折叠后C点和A点重合，折痕交边，分别于点E，F，连接，交于点O．求证：四边形为菱形； (2)如图2，若折叠后C点落在边上的N点处，折痕交边于点M．已知该矩形纸片的长为，宽为．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （1）令、相交于点O，根据折叠的性质得出，，，通过证明，得出，即可求证四边形为菱形； （2根据勾股定理求出，则，进而得出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，令、相交于点O， ∵矩形折叠使A，C重合，折痕为 ，，， ∵， ， 在和中， ， ∵，， 四边形为菱形； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为， ∴，， 由折叠可得：， 在中， ，， 在中，， 解得， 故的长是． 12．追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）． （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．请问与之间有怎样的关系？请说明理由． 方法应用： （2）如图2，将边长为24的正方形沿着折叠，点的对应点恰在边上，已知，求折痕的长． 【答案】（1），理由见解析  （2） 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用证明即可解题； （2）连接，过点作于点，则是矩形，然后根据勾股定理求出，然后根据证明即可解题． 【详解】（1），理由为： ∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点， ∵正方形的边长为24， ∴，是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 求特殊四边形在坐标系中的坐标 13．如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的负半轴上，点A在y轴的正半轴上，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点A落在边上的点E处，求D，E两点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠结合勾股定理得，故，在中由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 由折叠得：，， ∴在中， ∴ ∴， 在中，， 又∵， ∴ 即 ∴ ∴． 14．如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， (4)Q的坐标是或 【分析】（1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，先证明矩形是正方形，即有，再根据，即可作答； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （4）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，如图， ∵点P在平分线上， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴平分，轴，轴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）设， ， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为： 或； （4）当四边形是菱形时，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵P的纵坐标是3，把代入， 得， 解得：， 则P的坐标是， ∴Q的坐标是； 当四边形是菱形时，如图 ∵四边形是菱形， ∴，， 设P的横坐标是n，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）， 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是， ∴Q的坐标是， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P；存在，P 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到的坐标，再由角平分线以及平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； （3）要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 四边形为矩形， ，，，， ， ，， ，， ， 为的平分线， ， ， ， 为中点， ， ， 由勾股定理可得， ， ． （2）解：①四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， ，． ②存在， 点是射线上的动点， 设， ，， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得， ，． 题型六 四边形综合 16．【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． （1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； ②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果； ③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是正方形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，． ， 四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ； ，， 设，，则，． 在中，， 在中，， ． 在中，， ． ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ． 17．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 18．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点Q，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①当点P运动到何处时，四边形是矩形？写出理由； ②当点P运动到何处时，四边形是菱形？写出理由； ③点P在运动过程中，是否会存在某个位置，使得四边形是正方形？ ．（填“存在”或“不存在”） 【答案】(1)见解析 (2)①的中点，理由见解析；②点P与点B重合，理由见解析；③不存在 【分析】（1）根据菱形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由平行四边形的判定证明即可； （2）①当点P运动到的中点时，利用等边三角形的判定和性质及矩形的判定证明即可；②当点P与点B重合时，利用等边三角形的判定和性质及菱形的判定证明即可；③由①②得，不存在点P，使得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵ ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）①当点P运动到的中点时，如图，连接， ∵点P为的中点， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵点P为的中点， ∴． ∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． ②当点P与点B重合时，如图所示： 同①可证为等边三角形 ∴． ∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ③由①②得，不存在点P，使得四边形是正方形， 故答案为：不存在． 【点睛】题目主要考查特殊四边形的判定和性子，熟练掌握全等三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质是解题关键． 题型七 与特殊平行四边形有关的动点问题 19．在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点． (1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接． 求证：①； ②． (2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点； (3)若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析； (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质证，根据证即可；②根据全等三角形的性质和直角三角形的性质，证即可； （2）根据，证得，由证得， 通过证，得到，，再根据等角的余角相等证得，最后证得问题得证； （3）分情况讨论：当点在上或点在的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形 ， 又， ； ②， ， 是EF的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在正方形中，, , , ， ， ， . ， ， ， ， 在中， ， ， 点是EF的中点； （3）解：如图①，当点在BC边上时， ，要使是等腰三角形，必须， ， ， ， ， ， ； 如图②，当点在BC的延长线上时，同法可知， ． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确理解图形的性质及分类讨论思想是解题的关键． 20．如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，在解题时与全等三角形结合是解本题的关键． （1）根据四边形是矩形可得，，再根据O为的中点得出，即可证出． （2）根据，，得出和的长，再根据四边形是菱形列方程求出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， 又∵O为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）由题意得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即运动时间为时，四边形是菱形． 21．如图，在中，，过点D作，垂足为E．动点P从点A出发沿方向以的速度向点D运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)当时，求出t的值，并判断此时四边形是什么特殊的四边形？说明理由． 【答案】(1)； (2)，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，求出，四边形是平行四边形，推出，得到，求解即可； （2）先求出，因此，得出，得到，进一步求出，得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过Q作于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 在中，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． 题型八 与特殊平行四边形有关的最值问题 22．如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． (1)若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 【答案】(1)中点四边形是矩形，见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据中位线定理，得出，，，进而得出，，结合推出，即可得出结论； （2）过点D作，且，连接，则四边形是平行四边形，可得，可推出当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，再证明，则由勾股定理得到，则的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下， 如图所示，连接，， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴，分别是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，过点D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 23．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 24．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由； (3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后求出，再根据等角的余角相等求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）连接，连接，设它们交于点，利用已知条件和（1）的结论得到，则点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大；过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质和等底等高的三角形的面积相等可得：三角形的面积四边形的面积，利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：、、的数量关系为：．理由： 如图，过点作交于点，    在和中， ， ， ， 由（1）知：， ， ． ，， ． ∵， ， ． 在和中， ， ， ， 由（1）知：是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ； （3）解：四边形面积的最大值为．理由： 连接，连接，设它们交于点，如图，   正方形的边长为2， ，， ． 是等腰直角三角形， ， ， ． 点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上， 当点运动弧的中点时，点到的距离最大．如图， 则， 由（1）知：，， ， ， ， ， 过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ∴， 三角形的面积四边形的面积， 由题意：，， ． 三角形的最大面积为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型九 中点四边形 25．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 26．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形    27．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） (2)答案不唯一，见解析 (3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可； （2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可； （3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论． 【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和， 证明如下：∵点分别是边的中点， ∴． ∴． 同理． ∴四边形的周长． 即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 题型十 十字架模型 28．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由【模型呈现】知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 作于，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， 由【模型呈现】知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．在矩形中，，点E，F分别在线段上，且， (1)如图1，当时，试判断与是否等长，为什么？ (2)若，沿射线方向平移线段，得到线段． ①如图2，点G在的延长线上，点H在线段上，时，试求的长． ②如图3，点G，H分别在线段上，沿将四边形折叠，点A落在线段上的点F处，点B落在点M处，若，试求的值． 【答案】(1)等长，理由见解析 (2)①4② 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①平移得到，证明，列出比例式进行求解即可； ②证明四边形为平行四边形，得到，设设，则：，进而得到，相似三角形的性质，得到的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，比例关系求出的长，进而得到的长，求出的长，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：等长，理由如下： ∵， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，平行四边形的性质，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 30．华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）①根据题意作图即可；②过点作交 于点，交 于点，进而证明，从而求解； （3）根据题意判定，进而求解； 【详解】（1）证明：， ， 是正方形， ，， ， ， ， ； ； 故答案为： 该习题不添加辅线，只需证明，即可得到结论； （2）解：①根据题意，作图如下： ②∵四边形为正方形， ，，， 过点作交 于点，交 于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：根据题意，过点作交 于点，交 于点，作图如下： 四边形为矩形； ， 四边形为平行四边形； ， ， ， ； ， ， ， ； 题型十一 半角模型 31．【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 32．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【答案】（1）；（2）猜想：，见解析；（3） 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 题型十二 复合二次根式的化简 33．【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 34．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 题型十三 分母有理化 35．我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化” 例如： 请类比以上化简的方法：把进行分母有理化 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，根据分母有理化进行求解即可． 【详解】解： ． 36．在学习了二次根式的化简与运算后，解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值． (2)使用以上方法化简： 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了分母有理化，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题意过程得，再整理原式，代入进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，继续化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 故原式 当时 原式 ． （2）解：依题意，， ， …… 以此类推得，且为正整数， 题型十四 比较二次根式的大小 37．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 38．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 题型十五 与二次根式有关的新定义问题 39．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 40．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 41．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 题型十六 与二次根式有关的规律探究问题 42．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 43．阅读下列解题过程： ； ； ；… (1)化简； (2)观察上面的解题过程，请你猜想规律：直接写出式子 ； (3)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式应用，二次根式混合计算等． （1）先利用平方差公式分母分子同时乘以，再化简即可； （2）分子分母同时乘以，再进行化简即可； （3）先将每项利用平方差公式进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式， ， ， 故答案为：； （3）解：原式， ， ． 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 44．解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 45．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 题型十八 换元法解一元二次方程 46．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 题型十九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 47．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 48．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 49．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 题型二十 一元二次方程的应用 50．如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)8米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． （1）因为设的长为米，则米，即可解答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，（不合题意舍去）， 当时，， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 51．为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率 (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为； （2）解；（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 52．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 题型二十一 与一元二次方程有关的新定义问题 53．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 54．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 55．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 题型二十二 相似三角形性质与判定综合 56．如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质得出，证明，可得四边形ABFE是平行四边形，根据进而根据菱形的判定得出即可； （2）延长交于点，根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，进而得出，再根据菱形的性质求得面积，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的面积为 57．【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】 （3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）直接根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）延长至点F，使得，连接，根据等腰三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线的判定和性质得出为的中位线，，利用三角形三边关系即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，，转化为求线段DF的最小值，连接，继续利用相似三角形的判定和性质得出，确定点F的运动轨迹为以为直径的圆上，然后由勾股定理结合图形得出的最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长至点F，使得，连接，如图所示： 则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为； （3）∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是射线上的一个动点，点F在线段上， ∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上， ∴， 连接， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 58．如图，点在的边上，且，作，交于点，作，交于点． (1)如图1，若是等边三角形，且，求的大小； (2)如图2，作，交于点． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设的延长线交于点，若，，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据等边对等角可得，然后根据等边三角形的性质以得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解； （2）（ⅰ）根据平行四边形的性质可得，根据，得出，证明，，即可证明； （ⅱ）设，的延长线交于点，证明得出，即是等腰三角形，进而证明得出，则根据三线合一可得，即， 【详解】（1）解：∵，∴， 又，是等边三角形，， ∴， ∴， （2）（ⅰ）∵，， ∴四边形是平行四边形，则． ∵，①故， 又，，，② 且，故，故，③ 由①②③知， （ⅱ）设，的延长线交于点 由（ⅰ）知，∴， 由已知，和均为等腰三角形， ∴， 而， ∴， 又， ∴，即是等腰三角形， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． ∴，即， 题型二十三 相似三角形与实际问题 59．小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 【答案】12.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，连接并延长交于点H，易得四边形为矩形，四边形与四边形都为矩形，设，，证明，得到，证明，得到，解方程组求出的值，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：连接并延长交于点H ∵、、且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形与四边形都为矩形， ∴，， 设，，则，， ∵在与中， ， ∴ ∴，即，整理得：， ∵根据平面镜反射原理可推得， ∵在与中， ， ∴， ∴，即，整理得：， 联立得：，解之得： ∴米； 答：旗杆的高为12.6米． 60．如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 61．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)9.6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 题型二十四 黄金分割 62．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若cm，求的长． 【答案】cm 【分析】根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，cm， cm， cm， 的长为cm. 63．【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【答案】（1）小军选的高跟鞋送给妈妈是合适的；（2）；（3）小军的结论正确，见解析；（4）见解析 【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，可得答案； （2）由，可得，进一步可得答案； （3）证明，可得，，证明即可； （4）求解正方形的面积为，求解，可得矩形为，可得结论． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的性质，黄金矩形的含义，二次根式的混合运算，理解题意是关键． 题型二十五 与相似三角形有关的动点问题 64．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，即可求出点的坐标； （3）当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：作轴于，轴于， ，， ，， ，， ，， 的坐标为； （3）解：不能； 理由：当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 65．如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，或， 则同时出发，经过秒或秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 题型二十六 一线三等角模型 66．模型建立：（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，，求证：； 模型应用：（2）如图2，在中，，，于点D，点E在边上，，点F在边上，，则的值为_____________； 模型拓展：（3）如图3，在钝角中，，点D、E分别在边上，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）9 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （3）在上截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 67．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点N作于点M， ∵， ∴， ∴， 即， 即， 又∵， ∴， ∴ 设，则， ， 解得： ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二十七 手拉手模型 68．（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 69．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 70．【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…    【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上， ①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                    图2                            图3 【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②；③图见解析，115°；④ 【模型拓广：问题延伸】 【分析】【模型改编：问题解决】 ①先证明，可得，再证明，可得； ②由，可得，再结合三角形的外角可得答案； ③连接并延长交于，同理可得：，，再结合三角形的外角可得答案； ④先求解，结合③的思路可得答案； 【模型拓广：问题延伸】 连接、， 先证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】【模型改编：问题解决】 ①∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①知，， ∴， ∴ ③补图如下：连接并延长交于，    图2 同理可得： ∴， ∴， ④∵，， ∴， 同理③可得， 故答案为：； 【模型拓广：问题延伸】 连接、，    图3 ∵在矩形和矩形中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 题型二十八 对角互补模型 71．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)＝ (2)的结论不变，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：当点在点的右下方时： 过点H作于点J，作，交的延长线于点K， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 当点在点的左下方时：如图：过点H作于点J，作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 72．问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是等边三角形．理由见解析． 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）结论：是等边三角形．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，连接，，由题意得、、三点共线，、、三点共线， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴此时重叠部分的面积的面积正方形的面积， 如图，当与垂直时，，连接、， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∴重叠部分的面积正方形的面积； 一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为． 理由：如图，设交于点，交于点，过点作于点，于点．则， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 同上可得， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：如图中，结论：是等边三角形．理由： 过点作，连接、， ∵是正方形的中心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型二十九 其它模型 73．【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，则边上的高为_______________；根据“相似三角形性质”可以求得此时正方形的边长是_____________； 【问题解决】：若木板是面积为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考； （2）设，，边上的高，通过（1）的思路，最终求得，请你补充该小组的推导过程； （3）该小组发现若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．该小组令．则只需探索函数的图象和性质： ①在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 1 2 3 4 6 4 4 ②结合表格观察函数图象，以下说法正确的是______________； A．当时，随的增大而增大    B．该函数的图象可能与坐标轴相交 C．该函数图象关于直线对称    D．该函数在时有最小值 ③结合你所学过的知识，求出当底边长为多少时，内接正方形面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①见解析；②D；③当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，描点法画图，完全平方公式的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）过点作交于点，交于点，由三角形面积公式求出，再由勾股定理求出，进而求出即为边上的高，证明，根据相似三角形高之比等于相似比求解即可； （2）由三角形面积公式可得，由相似三角形的性质可得，即可作答； （3）①根据表格描点画图即可； ②结合表格观察函数图象，逐项判断即可； ③结合完全平方公式，求出，即当时，有最小值为，即可求出内接正方形面积最大值． 【详解】解：（1）如图，过点作交于点，交于点， 在直角中，，， ， ， ， ， 解得：，即边上的高为， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 解得：，即正方形的边长是， 故答案为：，； （2）设，，边上的高， 则， 锐角三角形的面积为， ， ， 由（1）可知，， ， ， ； （3）①如图即为所求作； ②结合表格观察函数图象， A．当时，随的增大先减小后增大，说法错误； B．该函数的图象不可能与坐标轴相交，说法错误； C．该函数图象没有对称轴，说法错误； D．该函数在时有最小值，说法正确； 故答案为：D； ③， ， ， 当，即时，有最小值为，此时， 当时，有最小值为， 有最大值， 有最大值为， 即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 74．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 【答案】(1)；小； (2)①；② 【分析】（1）根据所给的例题，应用配方法即可求出的最值； （2）①证明，根据相似三角形的相比等于高的比，可得，分别求出，，即可求矩形的面积的函数表达式； ②根据所给的例题，应用配方法即可求出矩形的面积的最大值． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即， ∴当，即时，有最小值，其最小值为， 故答案为：；小；； （2）解：①设交于， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴关于的函数关系式为； ②由①知：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当，即时，有最大值，其最大值为， ∴矩形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 75．【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）正方形边长为15 （3），理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可． （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图2，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15． （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 76．综合与实践 我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，下面是某两个小组的探究内容． 知识储备 由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，也是相似三角形的典型模型之一． 知识应用 （1）如图①，在中，，是边的中点，当时， ． 问题探究 （2）兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线、，与交于点，如图②，得到．请同学们结合所学证明这一结论． （3）兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图③，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有．请结合所学证明这一结论． 【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由，得，则，可得出，即可获得答案； （2）连接，根据三角形中位线定理得，，则，得，即可证明结论； （3）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，，再利用“”证明，得，进而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点是的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5； （2）证明：连接， ∵中线与交于点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理的运用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 77．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m $$期末必刷题02 热考题与压轴题（29题型77题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形的性质与判定 题型二 菱形的性质与判定 题型三 正方形的性质与判定 题型四 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型五 求特殊四边形在坐标系中的坐标 题型六 四边形综合 题型七 与特殊平行四边形有关的动点问题 题型八 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型九 中点四边形 题型十 十字架模型 题型十一 半角模型 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 分母有理化 题型十四 比较二次根式的大小 题型十五 与二次根式有关的新定义问题 题型十六 与二次根式有关的规律探究问题 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 题型十八 换元法解一元二次方程 题型十九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型二十 一元二次方程的应用 题型二十一 与一元二次方程有关的新定义问题 题型二十二 相似三角形性质与判定综合 题型二十三 相似三角形与实际问题 题型二十四 黄金分割 题型二十五 与相似三角形有关的动点问题 题型二十六 一线三等角模型 题型二十七 手拉手模型 题型二十八 对角互补模型 题型二十九 其它模型 题型一 矩形的性质与判定 1．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 2．如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点． (1)求证：． (2)连接，取中点M，连接、，若，求的长． 3．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 题型二 菱形的性质与判定 4．如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，在四边形中，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 6．如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． (1)判断四边形的形状，并证明． (2)若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 题型三 正方形的性质与判定 7．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 8．如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求菱形的周长． 9．已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型四 与特殊平行四边形有关的折叠问题 10．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 11．如图，把矩形纸片进行折叠． (1)如图1，若折叠后C点和A点重合，折痕交边，分别于点E，F，连接，交于点O．求证：四边形为菱形； (2)如图2，若折叠后C点落在边上的N点处，折痕交边于点M．已知该矩形纸片的长为，宽为．求的长． 12．追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）． （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．请问与之间有怎样的关系？请说明理由． 方法应用： （2）如图2，将边长为24的正方形沿着折叠，点的对应点恰在边上，已知，求折痕的长． 题型五 求特殊四边形在坐标系中的坐标 13．如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的负半轴上，点A在y轴的正半轴上，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点A落在边上的点E处，求D，E两点的坐标． 14．如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 四边形综合 16．【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 17．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 18．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点Q，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①当点P运动到何处时，四边形是矩形？写出理由； ②当点P运动到何处时，四边形是菱形？写出理由； ③点P在运动过程中，是否会存在某个位置，使得四边形是正方形？ ．（填“存在”或“不存在”） 题型七 与特殊平行四边形有关的动点问题 19．在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点． (1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接． 求证：①； ②． (2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点； (3)若是等腰三角形，求的度数． 20．如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 21．如图，在中，，过点D作，垂足为E．动点P从点A出发沿方向以的速度向点D运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)当时，求出t的值，并判断此时四边形是什么特殊的四边形？说明理由． 题型八 与特殊平行四边形有关的最值问题 22．如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． (1)若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 23．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 24．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由； (3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值． 题型九 中点四边形 25．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 26．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．   27．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．      题型十 十字架模型 28．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 29．在矩形中，，点E，F分别在线段上，且， (1)如图1，当时，试判断与是否等长，为什么？ (2)若，沿射线方向平移线段，得到线段． ①如图2，点G在的延长线上，点H在线段上，时，试求的长． ②如图3，点G，H分别在线段上，沿将四边形折叠，点A落在线段上的点F处，点B落在点M处，若，试求的值． 30．华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 题型十一 半角模型 31．【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 32．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 题型十二 复合二次根式的化简 33．【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 34．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 题型十三 分母有理化 35．我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化” 例如： 请类比以上化简的方法：把进行分母有理化 36．在学习了二次根式的化简与运算后，解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值． (2)使用以上方法化简： 题型十四 比较二次根式的大小 37．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 38．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 题型十五 与二次根式有关的新定义问题 39．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 40．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 41．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 题型十六 与二次根式有关的规律探究问题 42．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 43．阅读下列解题过程： ； ； ；… (1)化简； (2)观察上面的解题过程，请你猜想规律：直接写出式子 ； (3)利用这一规律计算：的值． 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 44．解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 45．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 题型十八 换元法解一元二次方程 46．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 题型十九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 47．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 48．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 49．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型二十 一元二次方程的应用 50．如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 51．为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 52．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 题型二十一 与一元二次方程有关的新定义问题 53．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 54．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 55．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 题型二十二 相似三角形性质与判定综合 56．如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 57．【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】 （3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 58．如图，点在的边上，且，作，交于点，作，交于点． (1)如图1，若是等边三角形，且，求的大小； (2)如图2，作，交于点． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设的延长线交于点，若，，求证：． 题型二十三 相似三角形与实际问题 59．小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 60．如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 61．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 题型二十四 黄金分割 62．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若cm，求的长． 63．【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 题型二十五 与相似三角形有关的动点问题 64．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 65．如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 题型二十六 一线三等角模型 66．模型建立：（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，，求证：； 模型应用：（2）如图2，在中，，，于点D，点E在边上，，点F在边上，，则的值为_____________； 模型拓展：（3）如图3，在钝角中，，点D、E分别在边上，，若，，求的长． 67．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 题型二十七 手拉手模型 68．（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 69．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 70．【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…    【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上， ①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                    图2                            图3 题型二十八 对角互补模型 71．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 72．问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 题型二十九 其它模型 73．【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，则边上的高为_______________；根据“相似三角形性质”可以求得此时正方形的边长是_____________； 【问题解决】：若木板是面积为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考； （2）设，，边上的高，通过（1）的思路，最终求得，请你补充该小组的推导过程； （3）该小组发现若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．该小组令．则只需探索函数的图象和性质： ①在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 1 2 3 4 6 4 4 ②结合表格观察函数图象，以下说法正确的是______________； A．当时，随的增大而增大    B．该函数的图象可能与坐标轴相交 C．该函数图象关于直线对称    D．该函数在时有最小值 ③结合你所学过的知识，求出当底边长为多少时，内接正方形面积最大，最大值为多少？ 74．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 75．【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 76．综合与实践 我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，下面是某两个小组的探究内容． 知识储备 由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，也是相似三角形的典型模型之一． 知识应用 （1）如图①，在中，，是边的中点，当时， ． 问题探究 （2）兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线、，与交于点，如图②，得到．请同学们结合所学证明这一结论． （3）兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图③，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有．请结合所学证明这一结论． 77．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． $$