第6讲 均值不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

均值不等式 1．均值不等式： (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：(a，b∈R)：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况． (2)(a，b∈R)：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况． (3)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． (5)重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 4．利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数．如果有负数则考虑变形或使用其它方法． （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量． ① 求和的式子→乘积为定值．例如：的最小值．则．当时取等，即当时，y有最小值为2． ② 乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值．则考虑变积为和后保证能够消掉，所以 （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围． 三元均值不等式（了解）：为了乘积消掉，则要将拆为两个， 则 5．常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 1．对均值不等式的理解（判断） (1)函数y＝x＋的最小值是2．(　×　) 【解析】当x小于0时，函数没有最小值，故错误． (2)ab≤()2成立的条件是ab>0．(　×　) 【解析】当a=b=0时，不等式也成立，故错误． (3)最小值为2．(　×　) 【解析】设，则，，，取等条件为， 又，故取不到最小值，故错误． (4)x>0且y>0是＋≥2的充要条件．(　×　) 【解析】当x与y同号时，＋≥2，原题忽略了x＜0且y＜0的情况，故错误． (5)若a>0，则a3＋的最小值为2．(　×　) 【解析】最小值应为确定的数值，与a无关． (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　√　) 考点一 基本不等式及其应用 【例1】1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（     ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时，当且仅当，即时等号成立， 故的用法有误，故错误；对：，当且仅当， 即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，，当且仅当， 即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：. 【训练1】1．已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，， 这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到， 所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号， 如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D． 2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b≥2 B．＋＞ C．＋≥2 D．a2＋b2＞2ab 【答案】C 【解析】因为ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2． 3．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，，所以，即，故选：C 考点二 基础型（直接均值） 【例2】1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 【答案】3 【解析】 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3．当且仅当＝时取等号． 2．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 【答案】36 【解析】f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号， 由题意知a＝4×32＝36 【训练2】1．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤．当且仅当a＝1，b＝时等号成立． 2．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． 【答案】1＋2 【解析】∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 ＝1＋2， 当且仅当x＝－时取等号，故y有最小值1＋2． 3．若，则（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【解析】∵，又，， 当且仅当即时等号成立，， 当且仅当时等号成立，故选：A． 4．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( ) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】C 【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 5．（18天津文理）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：． 当且仅当，即时等号成立．综上可得的最小值为． 小结：用基本不等式求最值（前提：“一正．二定．三相等”) 考点三 凑定值 【例3】1．（凑项）若，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5．当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 2．（凑系数）已知，则函数y＝的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】∵，∴x（1﹣2x）=•2x（1﹣2x）≤•[]2=， 当且仅当2x＝1﹣2x时，即x=时等号成立， 因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（）= 【训练3】1．已知，则的最小值是_______． 【答案】3 【解析】因为，所以， 所以（当且仅当时，等号成立）. 2．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( ) A．－3 B．2 C．3 D．8 【答案】C． 【解析】y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0， 所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1， 当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号， 所以a＝2，b＝1，a＋b＝3． 3．若函数f(x)＝()在处取最小值，则＝( ) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【答案】C． 【解析】∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． 4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号． 5．已知函数f(x)＝(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________． 【答案】 【解析】由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1， 当且仅当x＝＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2＋1＝4，解得p＝． 小结：对于原式进行简单的加减，进而求出最值。 考点四 型 【例4】1．当x＞1时，f（x）=的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为x＞1，故f（x）=，当且仅当，即x＝2时取等号， 故f（x）=的最大值为．故选：A． 【训练4】1．已知x＞1，则的最小值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】∵x＞1，∴t=x﹣1＞0．∴，（当且仅当，即时，等号成立）． 故选：A． 2．当时，函数的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，由于， 所以，当且仅当时，等号成立．故选B． 3．求函数y＝(x>－1)的最小值． 【答案】9 【解析】设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，∴y＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9. 当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，∴ymin＝9. 考点五 “1”逆代 【例5】1．已知且，则的最小值为________． 【答案】3＋2 【解析】∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2．当且仅当＝时，取等号． 2．若， ，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【训练5】1．若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为 ． 【答案】8 2．若正数x，y满足则的最小值是( ) A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】由x＋3y＝5xy可得＋＝1， 所以3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝5， 当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5． 3．已知正实数，满足，则的最小值为( ) A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【解析】∵，，，∴， 当且仅当时，即时取“”.故答案选C 4．若正数满足，，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】由得，所以，当且仅当，即时，取得最大值为．故答案为：． 5．（多选）已知，，且，则下列结论中不正确的是（ ） A．有最小值4 B．有最小值1 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】BCD 【解析】，，且， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，故选：BCD 小结：利用题中已知转化为等于一的等式，再代入所求的未知中。 考点六 “”与“”互消型（求谁保留谁）（万能K法、双换元均可） 【例6】1．已知，且，则的最小值为( ) A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B[来源:学科网] 【解析】，当且仅当时等号成立．令， 则，故，即最小值为32．故选B． 【训练6】1．设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( ) A．4 B．4 C．9 D．16 【答案】D　 【解析】由＋＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数， ∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0， 解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16． 2．已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 方程变形为： 解得：答案：的最小值为 3．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为　 　． 【答案】． 【解析】已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2即：xy＝2﹣（x+y）， 利用基本不等式：xy≤（）2．∴2﹣（x+y）≤（）2． 解之得：x+y≥，则x+y的最小值为．故答案为． 4．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为　 　． 【答案】4． 【解析】x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x＝2y时取等号） 整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0， 所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4． 考点七 分子含参（代换+均值） 【例7】1．设实数x，y满足x+y＝1，则的取值范围是　 　． 【答案】（﹣∞，0]∪[8，+∞）． 【解析】∵x+y＝1，∴x＝1﹣y，∴；均值；故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）． 【训练7】1．已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）最大值为；（2）最小值为5. 【解析】（1）因为所以，即 当且仅当取等号.又，所以当时，的最大值为 （2）因为且. 当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5. 2．（20天津）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】，, ，当且仅当=4时取等号，结合, 解得，或时，等号成立.故答案为： 考点八 分离常数+均值 【例8】1．已知，则的最小值为（ ） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【解析】， 当 时等号成立，即的最小值为. 【训练8】1．设，求函数的最小值为_______________． 【答案】9 【解析】考虑将分式进行分离常数，， 使用均值不等式可得：， 等号成立条件为，所以最小值为． 2．（19天津理）设，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 ，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为． 3．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】 4．已知为正实数，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 考点九 构造齐次式 【例9】1．已知,则的最大值是_______． 【答案】1 【解析】 【训练9】1．已知,则，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】原式 2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1， 当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2， 所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1. 考点十 二次均值(注意取等条件) 【例10】1．（21天津）若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】，， 当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为. 【训练10】1．已知x,y都为正实数，则的最小值为____________． 【答案】8 【解析】原式=， 考点十一 双换元法 【例11】1．若，则的最小值是　 　． 【答案】 【解析】对已知条件因式分解：，令， 则，则题意即为：， 当，即时取等． 2．若，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】；， =，则 【训练11】1．为实数，，求的最小值是　 　． 【答案】 【解析】令，则， 2．若均为正数，且，则的最小值是　 　． 【答案】 【解析】已知条件化为：，令，则， ，验证取等条件． 3．已知实数a,b，满足，则的最大值是　 　． 【答案】 【解析】令，则，则原式 ，验证取等条件． 4．若，且，则的最小值为__________． 【答案】 5．（多选）已知且，则下列判断正确的是（ ） A．的最小值为12 B．的最小值为 C．若不等式恒成立，则 D．的最大值为8 【答案】BCD 考点十二 万能K法 ①求什么设什么为k； ②带入整理成某个变量的一元二次方程； 【例12】1．正数a、b满足a+b+1＝ab，则3a+2b的最小值是　 　． 【答案】 【解析】由a+b+1＝ab可得，再由a、b为正数得b＞1， 所以3a+2b= 当且仅当，即时“＝”成立，所以3a+2b的最小值是． 【训练12】1．已知实数x，y满足4x2﹣xy+y2＝1，则2x+y的最大值为　 　． 【答案】． 【解析】要使2x+y取最大值，则x＞0，y＞0，∵4x2﹣xy+y2＝1， ∴（2x+y）2＝1+5xy， 当且仅当2x＝y且4x2﹣xy+y2＝1，即x，y时取等号， 解得，x，y时取等号，则2x+y的最大值． 2． 已知实数满足，，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】设带入整理， ；，∴最大值为 3．（20江苏）已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵∴且∴， 当且仅当，即时取等号.∴的最小值为. 4．（22新高考Ⅱ）（三角换元）对任意x，y，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由 可变形为，，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设， 所以，因此=，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC． 考点十三 恒成立求参数问题 【例13】1．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．9 B．12 C．16 D．10 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以不等式恒成立， 即可转化为恒成立，即，因为，当且仅当时取等号， 所以，即m的最大值为16，故选C． 【训练13】1．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不等式化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1， ∴2（x﹣1）+≥2×=4，当且仅当x=2时取等号． ∵不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立， ∴﹣m﹣2＜4，解得m＞﹣6，故选：D． 2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 【答案】D 【解析】∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8， 当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8， 要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2． 3．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，)成立，则a的最小值是(　　) A．0 B．－2 C．－ D．－3 【答案】C 【解析】当x∈(0，)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋)恒成立． 又φ(x)＝x＋在(0，)上是减函数，∴φ(x)min＝φ()＝，∴[－(x＋)]max＝－，∴a≥－. 4．若x＞0，y＞0，x+y＝1，且恒成立，则实数m取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，又因为，所以，当且仅当即时，取等号， 因为恒成立，所以所以实数取值范围是故选：D. 5．已知，，，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_______． 【答案】5 【解析】，当且仅当， 即时，取等号，因为不等式对恒成立， 所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立， 又最小值为5，．故答案为5． 小结：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min． 考点十四 不等式证明 【例14】均值不等式的证明： （1）证明：（a，b，c∈R+）； （2）若a+b+c＝2，证明：（a，b，c∈R+）． 【证明】（1）因为a＞0,b＞0,c＞0,所以a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2, 所以(当且仅当a＝b＝c时，取得等号)； （2） 因为a＞0,b＞0,c＞0,a+b+c＝2，所以(a+b+c)(), 当且仅当a＝b＝c时，上式取得等号． 【训练14】均值不等式的证明： 1．设a＞0，b＞0，且．求证：a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 【证明】假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4， 即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6① 而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立． 2．已知a、b、c＞0，求证：． 【证明】∵a、b、c＞0，∴，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，， 当且仅当时等号成立，以上三式相加可得：， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴． 答案2证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即＋＋≥a＋b＋c. 3．已知a，b，c均为正实数．若a+b＝1，求证：． 【证明】∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴a+b≥2，即0＜ab，即 ∴（1+）（1+）＝1133+2+4＝9， 当且仅当a＝b时取等号，故． 4．已知a、b、c为正实数，且a+b+c＝1，求证（1）（1）（1）≥8． 【证明】∵a、b、c为正实数，且a+b+c＝1， ∴（1）（1）（1）， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 5．已知直角中，周长为，面积为，求证：. 【证明】设直角△ABC的两直角边为x，y，则斜边为， S=xy， ∴L=≥ ∴4S≤ 考点十五 均值不等式在实际问题中的应用 【例15】1．如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设草坪的长（东西方向）为，则宽为， 则道路占用面积为， 当且仅当，即时，等号成立．所以道路占地最小面积为．故选：D． 【训练15】1． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________． 【答案】20 【解析】设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝， 一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40， 当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 每次应购买该种货物20吨． 2．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　） A．30 B．36 C．40 D．50 【答案】C 【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有， 根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.[来源:学,科,网] 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 【答案】A 【解析】设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为＋，从而v＝＝. ∵0<a<b，∴<，>＝a，∴<，即<，∴a<v<. 4．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？ 【答案】80,280 【解析】设总费用为 则 当时等号成立， 满足条件，故最经济的车速是，总费用为280. 5．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元. 【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米 （2）设总造价为元，则：化简得： 因为，当且仅当，即时取等号 即当米时，最低造价是元[来源:学科网][来源:学+科+网Z+X+X+K] 6．设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为 (单位：元)． (1)写出楼房每平方米的平均综合费用关于建造层数的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 【答案】（1）y＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)；（2）该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元. 【解析】(1)依题意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)． (2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440， 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)． ∴当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元． 7．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【答案】(1) ，x∈[50，100];(2) 详见解析. 【解析】（1）设所用时间为，则， x∈[50，100]．所以这次行车总费用y关于x的表达式是 ，x∈[50，100]．（或，x∈[50，100]． （2），当且仅当，即时，等号成立． 故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 均值不等式 1．均值不等式： (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：(a，b∈R)：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况． (2)(a，b∈R)：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况． (3)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． (5)重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 4．利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数．如果有负数则考虑变形或使用其它方法． （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量． ① 求和的式子→乘积为定值．例如：的最小值．则．当时取等，即当时，y有最小值为2． ② 乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以． （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围． 三元均值不等式（了解）：为了乘积消掉，则要将拆为两个， 则 5．常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 1．对均值不等式的理解（判断） (1)函数y＝x＋的最小值是2．(　　) (2)ab≤()2成立的条件是ab>0．(　　) (3)最小值为2．(　　) (4)x>0且y>0是＋≥2的充要条件．(　　) (5)若a>0，则a3＋的最小值为2．(　　) (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　　) 考点一 基本不等式及其应用 【例1】1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（     ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练1】1．已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b≥2 B．＋＞ C．＋≥2 D．a2＋b2＞2ab 3．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（     ） A． B． C． D． 考点二 基础型（直接均值） 【例2】1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 2．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 【训练2】1．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) A． B．1 C．2 D．4 2．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． 3．若，则（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( ) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 5．（18天津文理）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则的最小值为__________． 小结：用基本不等式求最值（前提：“一正．二定．三相等”) 考点三 凑定值 【例3】1．（凑项）若，则的最小值为________． 2．（凑系数）已知，则函数y＝的最大值是( ) A． B． C． D． 【训练3】1．已知，则的最小值是_______． 2．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( ) A．－3 B．2 C．3 D．8 3．若函数f(x)＝()在处取最小值，则＝( ) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________． 小结：对于原式进行简单的加减，进而求出最值。 考点四 型 【例4】1．当x＞1时，f（x）=的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 【训练4】1．已知x＞1，则的最小值是(　　) A． B． C． D．2 2．当时，函数的最小值为(　　) A． B． C． D． 3．求函数y＝(x>－1)的最小值． 考点五 “1”逆代 【例5】1．已知且，则的最小值为________． 2．若， ，则的最小值为__________． 【训练5】1．若直线过点（1,2），则2a+b的最小值为 ． 2．若正数x，y满足，则的最小值是( ) A． B． C．5 D．6 3．已知正实数，满足，则的最小值为( ) A．4 B．6 C．9 D．10 4．若正数满足，，则的最大值为__________． 5．（多选）已知，，且，则下列结论中不正确的是（ ） A．有最小值4 B．有最小值1 C．有最大值4 D．有最小值4 小结：利用题中已知转化为等于一的等式，再代入所求的未知中。 考点六 “”与“”互消型（求谁保留谁）（万能K法、双换元均可） 【例6】1．已知，且，则的最小值为( ) A．16 B．32 C．64 D．128 【训练6】1．设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( ) A．4 B．4 C．9 D．16 2．已知正实数满足，则的最小值为__________． 3．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为_______． 4．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为_______． 考点七 分子含参（代换+均值） 【例7】1．设实数x，y满足x+y＝1，则的取值范围是　 　． 【训练7】1．已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 2．（20天津）已知，且，则的最小值为_________． 考点八 分离常数+均值 【例8】1．已知，则的最小值为（ ） A．3 B．2 C．4 D．1 【训练8】1．设，求函数的最小值为_________． 2．（19天津理）设，则的最小值为______． 3．已知，且，则的最小值是 ． 4．已知为正实数，且，则的最小值为________． 考点九 构造齐次式 【例9】1．已知,则的最大值是_______． 【训练9】1．已知,则，则的最小值是_______． 2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．1 C． D．3 考点十 二次均值(注意取等条件) 【例10】1．（21天津）若，则的最小值为____________． 【训练10】1．已知x,y都为正实数，则的最小值为____________． 考点十一 双换元法 【例11】1．若，则的最小值是　 　． 2．若，且，则的最小值为__________． 【训练11】1．为实数，，求的最小值是　 　． 2．若均为正数，且，则的最小值是　 　． 3．已知实数a,b，满足，则的最大值是　 　． 4．若，且，则的最小值为__________． 5．（多选）已知且，则下列判断正确的是（ ） A．的最小值为12 B．的最小值为 C．若不等式恒成立，则 D．的最大值为8 考点十二 万能K法 ①求什么设什么为k； ②带入整理成某个变量的一元二次方程； ③方程有解，△≥0，确定最值． 【例12】1．正数a、b满足a+b+1＝ab，则3a+2b的最小值是　 　． 【训练12】1．已知实数x，y满足4x2﹣xy+y2＝1，则2x+y的最大值为　 　． 2．已知实数满足，，则的最大值是___________． 3．（20江苏）已知，则的最小值是_______． 4．（22新高考Ⅱ）（三角换元）对任意x，y，，则（ ） A. B. C. D. 考点十三 恒成立求参数问题 【例13】1．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．9 B．12 C．16 D．10 【训练13】1．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 3．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，)成立，则a的最小值是(　　) A．0 B．－2 C．－ D．－3 4．若x＞0，y＞0，x+y＝1，且恒成立，则实数m取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_______． 小结：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min． 考点十四 不等式证明 【例14】均值不等式的证明： （1）证明：（a，b，c∈R+）； （2）若a+b+c＝2，证明：（a，b，c∈R+）． 【训练14】均值不等式的证明： 1．设a＞0，b＞0，且．求证：a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 2．已知a、b、c＞0，求证：． 答案2证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即＋＋≥a＋b＋c. 3．已知a，b，c均为正实数．若a+b＝1，求证：． 4．已知a、b、c为正实数，且a+b+c＝1，求证（1）（1）（1）≥8． 5．已知直角中，周长为，面积为，求证：. 考点十五 均值不等式在实际问题中的应用 【例15】1．如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（ ） A． B． C． D． 【训练15】1． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________． 2．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　） A．30 B．36 C．40 D．50 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 4．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？ 5．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 6．设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为 (单位：元)． (1)写出楼房每平方米的平均综合费用关于建造层数的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 7．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$