课时检测训练67 二项分布与正态分布-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

课时检测训练67 二项分布与正态分布 对应答案P565 应A级·基础巩固 1.甲，乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比 BPX=)=若 赛甲获胜的概率为号，乙获胜的概率为子，采用 C.X的期望E(X)=令 三局两胜制，则甲以2：1获胜的概率为( ) D.X的方差D(X)= 25 A c号 n号 7.某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位： 分)服从正态分布N(100,102),从中抽取一个同 2.(2024·湖南长沙三模)已知随机变量X服从正 学的数学成绩X,记该同学的成绩80≤X≤100 态分布N(,)且P(X<2-k)=P(X>2+b) 为事件A,记该同学的成绩70≤X≤90为事件 =0.3,>0,则P(2<X≤2十k)= () B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 P(BIA)= .(结果精确到0.01) 3.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公 附：P(4-a≤X≤u十a)≈0.6827，P(u-2a≤X 共卫生干预措施.根据实验数据，人在接种某种 ≤十2a)≈0.9545，P(4-3a≤X≤十3a)≈ 病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4 0.9973. 人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为 ( 8,已知随机变量~B(5,号)则P(=3)= A器 B需 c器 D.625 9.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其 4.(多选)下列命题中，真命题有 中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均 A.数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的70%分位数是8.5 为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格 B若随机变量X~B(6,专），则D(X)=号 的概率为 10.从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量 C.若事件A,B满足0<P(A)<1,0<P(B)<1 这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成 且P(AB)=P(A)·[1-P(B)],则A与B 如图所示的频率分布直方图. 独立 (1)求这100件产品质量指标值的样本平均数 D.若随机变量X~N(2,c),P(X>1)=0.68, x(同一组数据用该区间的中点值作代表)： 则P(2≤x<3)=0.18 (2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用 5.(2023·山西运城·模拟)某地区拟建立一个艺 X表示这3件产品中质量指标值位于[35,45] 术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选 内的产品件数，用频率代替概率，求X的分 取一家建筑公司，经过层层筛选，甲，乙两家建筑 布列。 公司进入最后的招标.，现从建筑设计院聘请专家 频率 设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题 组距 0.040 中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问 题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙 0.025 0.02( 0.015 公司能正确回答每道题目的概率均为子，甲、乙 两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、 515253545质量指标值 乙两家公司共答对2道题目的概率为 () A若 B吉 c品 D希 6.(多选)(2023·海南·联考)若袋子中有2个白 11.为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所 球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4 有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训， 次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记 并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试 0分，记4次取球的总分数为X,则 成绩中随机抽取样本，以[70,5)，[75,80)， AXB4,号) [80,85),[85,90),[90,95]分组绘制的频率分 布直方图如图所示。 课时检测训练·数学·RJA 348 (1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考 D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为 试成绩的平均数：（同一组中的数据用该组区 4.7士0.1，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标 间的中点值作代表)； 准的概率约为乙生产线的2倍 (2)取(1)中：的值，假设本次考试成绩X服从 14.北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日 正态分布N(u,G),且P(79<X<88)=0.6.从 顺利举行，这是中国继北京奥运会、南京青奥会 所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记 后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进 考试成绩在(83.5,88)范围内的人数为Y,求Y 步增强群众的法治意识，提高群众奥运法律知 的分布列及数学期望E(Y). 识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进 援率 千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了 组理 “迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活 0.08 动，该活动采取线上线下相结合的方式，线上有 0.06 “知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题， 线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥十普 0.02 法”的全新模式，其中线上“知识大闯关”答题环 0707580859095分数 节共计30个题目，每个题目2分，满分60分， 现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随 机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6 组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)， [40,50),[50,60].并绘制了如图所示的频率分 B级·能力提升 布直方图. 12.(多选)(2025·哈尔滨模拟)已知离散型随机变 1率 距 量X服从二项分布B(n,p),其中n∈N',0<p 0.030- <1,记X为奇数的概率为a,X为偶数的概率 0.025 为b,则下列说法中正确的有 0.020 A.a+b=1 B.当p=时，a=6 0.010 0.005 C.当0<p<时，a随着n的增大而增大 0102030405060成绩/分 D.当2<p<I时，a随着n的增大而减小 (1)请估计被抽取的1000名市民作答成绩的 平均数和中位数： 13.(多选)(2023·吉林白山·跳考二模)装疫苗的 (2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关” 玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃， 活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬 这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀 奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在[40， 系数)，某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其 60]的概率为P(X=k),k=0,1,2,…,20.请估 中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X,一 计这20名市民的作答成绩在[40,60]的人数为 N(4.7,0.01),乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀 多少时P(X=k)最大？并说明理由. 系数X2~N(4.6,0.04),则下列选项正确的是 (附：若X~N(r,G),则P(H-a≤X≤+a)≈ 0.6826,P(u-2a≤X≤+2c)≈0.9544，P(u -3a≤X≤H十3a)≈0.9974) A,甲生产线所产丽硅玻璃的膨张系数范围在 (4.5,4.8)的概率约为0.7685 B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产 线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中 C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能 超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准 的概率更大 349 课时检测训练·数学·RJA(2)(i)设ξ为赔付金额，则∈可取0,0.8,1.6,2.4,3, P(E=0)=18000=4,P(E=由题设中的统计数据可得 13.BC 解析 因为E(X)=np,E(Y)=n(1-p),即A错误； 因为D(X)=np(1-p),D(Y)=n(1-p)p,即B正确；因为 0.8)=1000-10, A,B独立，所以P(AB)=p(1-p),所以E(Z)=np(1-p) =D(X),即C正确； P(E=1.6)=160=530,P(ξ=2.4)=1300-100, 因为n·D(Z)=n2p(1-p)[1-p(1-p)],D(X)·D(Y) =n2p2(1-p)2,所以n·D(Z)≠D(X)·D(Y),即D错误. P(ξ=3)=1000-100, 14.解(1)由频率估计概率，可得 E(=0×4+0.8×1+1.6×3+2.4×品+3×0故1 甲获得优秀奖的概率为0.4,乙获得优秀奖的概率为0.5, 丙获得优秀奖的概率为0.5,故答案为0.4. =0.278, (2)设甲获得优秀奖为事件A?,乙获得优秀奖为事件A?,丙 获得优秀奖为事件A?,则X的所有可能取值为0,1,2,3, 故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元). P(X=0)=P(A?A?A?)=0.6×0.5×0.5=20, 0.4×4×96?.4×5×1.2(ii)由题设保费的变化为( P(X=1)=P(A?A?A?)+P(A?A?A?)+P(A?A?A?) =0.4032, 故E(Y)=0.122+0.403 2-0.4=0.125 2(万元). =0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=20, 11.解(1)设选手甲在A区发2次球得分的次数为X,则X~ P(X=2)=P(A?A?A?)+P(A?A?A?)+P(A?A?A?)=0.4 B(2,3),所以E(X)=2x3=季， ×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=20, 所以甲在A区发球得分的期望为E(2X)=2E(X)=2×4 =3 P(X=3)=P(A,A?A?)=0.4×0.5×0.5=20. ∴X的分布列为 设选 手甲在B区发3次球得分的次数为Y,则 Y~B(3,3),所以E(Y)=3×÷=1, 所以甲在B区发球得分的期望为E(3Y)=3E(Y)=3×1 =3. ∴E(X)=0×20+1×0+2×20+3×20=5. (3)丙夺冠概率估计值最大. 3>3,由于 ,所以选手甲应该选择在B区发球. ∵铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得 D(X)=2×3×3=9,(2)因为 DY)=3×3×3=3, 所以D(2X)=4D(X)=4×4=96, D(3Y)=9D(Y)=9×3=6, 4, 1 9.85的概率为 ,甲获得9.80的概率为0,乙获得9.78 10 的概率为- 并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛 次数越多，对丙越有利. 课时检测训练67 二项分布与正态分布 [A级·基础巩固] 6<6,由于 ,所以选手甲应该选择在A区发球. 1.A 解析 甲以2:1获胜指前两局甲胜一局，第三局甲胜， 则概率为C×3×(3)2=27· [B级·能力提升] 12.D 解析 记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数， 则Y的可能取值为12,13,14,15,16, 2.A 解析 根据正态曲线的对称性，由P(X<2-k)=P(X μ=2-k22+k=2,>2+k),得 P(Y=12)=0.42=0.16, 因为P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.3,k>0, P(Y=13)=2×0.4×0.5=0.4, 所以P(2<X≤2+k)=0.5-0.3=0.2. P(Y=14)=0.52+2×0.4×0.1=0.33, P(Y=15)=2×0.5×0.1=0.1, c(号)+3.A 解析 由题得最多1人被感染的概率为 P(Y=16)=0.12=0.01. c:(号)(告)°=256256-625 若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间， 记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元， 4.CD 解析 对于A,对数据排序得到1,2,3,4,5,6,7,8,9, 则Z的可能取值为0,280,560,840, P(Z=0)=P(Y≤13)=0.16+0.4=0.56, 7t?=7.5,故A10,由10×70?,所以70?位数是 错误； P(Z=280)=P(Y=14)=0.33, P(Z=560)=P(Y=15)=0.1, x~B(6,3)知D(X)=6×3×(1-3)=3,对于B,由 故B错误； 对于C,因为P(AB)+P(AB)=P(A),即P(AB)=P(A)一 高考一轮总复习·数学·RJA· 565· X 0 1 2 3 P 32 82 20 2a P(Z=840)=P(Y=16)=0.01, E(Z)=280×0.33+560×0.1+840×0.01=156.8. P(AB). 又P(AB)=P(A)·[1-P(B)],即P(A)P(B)=P(A)- P(AB),所以P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立，故C 正确； 对于D,由题设，对应正态曲线关于x=2对称， 所以P(2≤x<3)=P(1<x≤2)=0.68-0.5=0.18,故D 正确。 5.B 解析 由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道 题、乙答对0道题， P=C×c;(3)(1-3)+×所以所求概率 (1-3)°=1 6.CD 解析 由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每 25次取到白球的概率为 ,取到白球记1分，取到黑球的概率 3写为 ,取到黑球记0分，则记4次取球的总分数为X,即为4 x~B(4,号),A错误；次取球取到白球的个数，则知 P(X=3)=c(号)×3=695,B错误； X的期望E(X)=4×亏=5,C正确； X的方差D(X)=4×3×3=24,D正确。故选CD. 7.0.28 解析 由题知，事件AB为“该同学的成绩80≤X≤ 90”, 因为μ-2o=100-20=80,μ-σ=100-10=90, 所以P(AB)=P(μ-2o≤X≤u-o)~°-9545-0.6827= 0.135 9. 又P(A)=P(μ-2o≤X≤u)≈0.9245=0.477 25, P(B|A)=P(AB)=0.477525≈0.28.所以 e~B(5,3),所以P(=3)=c·(3)8.243 解析 因为ξ ·(3)2=243 569. 解析 某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满 x~B(4,2),足二项分布 所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=c×(2)+ (2)'=56 10.解(1)由已知得x=10×0.015×10+20×0.040×10+ 30×0.025×10+40×0.020×10=25. (2)因为购买1件产品，其质量指标值位于[35,45]内的概 率为0.2, 所以X~B(3,0.2),所以X=0,1,2,3. P(X=0)=(1-0.2)3=0.512, P(X=1)=C3×0.2×(1-0.2)2=0.384, P(X=2)=C3×0.22×(1-0.2)=0.096, P(X=3)=0.23=0.008, 所以X的分布列为 所以E(Y)=3×0.3=0.9. X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 11.解(1)依题意可得 p=(72.5×0.02+77.5×0.02+82.5×0.08+87.5×0.06 +92.5×0.02)×5=83.5. (2)由(1)可知X~N(83.5,c2),且P(79<X<88)=0.6, 所以P(83.5<X<88)=2P(79<X<88)=0.3, 所以Y~B(3,0.3),则Y的可能取值为0,1,2,3, 所以P(Y=0)=(1-0.3)3=1300, PY=1)=C×0.3×(1-0.3)2=14000, PY=2)=C2×0.32×(1-0.3)=1090, PY=3)=C×0.3?=1200 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 343 40 1890 120 [B级·能力提升] 12.ABC 解析 对于A选项，由概率的基本性质可知，a+b =1,故A正确； p=2对于B选项，当 时，离散型随机变量X服从二项分 布B(n,2), 则P(X=k)=c:(2)'(1-2)"(k=0,1,2,3,⋯,m), 所以a=(去)"(C.+c+C+⋯)=(2)"×2?1=2, b=(去)"(C°+C°+C?+⋯)=(2)"×2?1=2,所以a= b,故B正确； 对于 C,D选项，a=[1-D]+pJ"-[1-D-p]" =1-(1-2D)°, 令f(n)=1-(1-2D)°,neN°,当O<p<会时，易知f(n) 在定义域内单调递增， 故a随着n的增大而增大，故C正确； <p<1当- 1时，令g(n)=(1-2p)”,n∈N",易知g(n)的 值正负交替，故D不正确. 13.BD 解析 因为X?～N(4.7,0.01),所以μ?=4.7,a?= 0.1.因为X?~N(4.6,0.04),所以μ?=4.6,a2=0.2. 因为P(4.5<X?<4.8)=P(μ-2o?<X?<μ?+o?)≈ 0.8185,A错误； 因为σ?=0.1<o?=0.2,所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨 胀系数数值更集中，故B正确； 高考一轮总复习·数学·RJA · 566· 因为P(X?≤5)=P(X?≤M+3a?),P(X?≤5)=P(X?≤μ2 +2o?),所以P(X?≤5)>P(X?≤5),所以甲生产线所产硼 硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误； 所以E(X)=5×号+7×4+9×125+12×925=127 因为P(4.6<X?<4.8)=P(μ-?<X?<μ+a?)≈ 0.6826,P(4.6<X?<4.8)=P(μ?<X?<μ?+c?)≈ 0.3413,所以D正确. 14.解(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民作答 成绩的平均数 =5×0.05+15×0.1+25×0.2+35×0.3+45×0.25+ 100--0,则从2.解(1)抽取的100件产品中一级品的频率是 D生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是 设从生产的所有产品中随机选2件，至少有1件是一级品的 事件为A,则P(A)=1-(1--0)2=0, 100所以至少有1件产品是一级品的概率是： 55×0.1=34(分). 设1000名市民作答成绩的中位数为x,则0.05+0.1+0.2 +0.03×(x-30)=0.5,所以x=35, (2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1 件，ξ的可能取值是0,1,2, 所以这1 000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为 35分. P(=0=G=号，P(=1)=C=5, (2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时 概率最大. PG=2)=CC=5 所以ξ的分布列为 由已知得X~B(20,0.35), 所以P(X=k)=C(0.35)°(1-0.35)2?-,k=0,1,⋯,20, PX=)≥P(X=k+D.k=1.2,⋯,19,即令 -0 13(A+L)≥7(20A)?解得6.35≤k≤7.35,即 因为k∈N*,所以k=7, E(E)=o×5+1×75+2×5=3 (3)今年利润为80×(0×500-20×200-100×1 200) =15 200(万元), 所以这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时， P(X=k)最大. 70×(8×500-2×200)-2000=明年预计利润为 课时检测训练68 概率统计 23 200(万元),显然有23 200>15 200, 所以该次升级方案合理. [A级·基础巩固] 1.解(1)将y=ae两边取自然对数可得In y=In(ae")=In a +In e",即 In y=In a+bx. 令u=In y,,则u=bx+In a, 3.解(1)男性有100×9+11=45(人),女性有100-45=55 (人),然后可得下表： 又u=6u=4.75, =6×(1+2+3+4+5+6)=3.5, x2=I2+22+32+42+52+62=91, 3×47-03所以 又u=bx+Ina,即4.75=0.36×3.5+Ina, (2)零假设为H。:性别因素与评价结果无关. x2=004515520503×05×352=10≈9.091, 因为x2>7.879=x0.0o, 所以Ina=3.49,所以a=e349,所以y关于x的回归方程为 y=e°-384+3.49. 所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断零假 设H。不成立，即认为评价结果与性别有关系. (2)由题意知，甲获得的积分X的所有可能取值为5,7, 9,12, P(X=5)=亏，P(X=7)=4×亏-5,所以 (3)由题意得选取的3人中，评价结果为“喜欢”的有1人， “不喜欢”的有2人， 所以X的所有可能取值为150,200,250,300, P(X=9)=(号)×亏=1,P(X=12)=(号)=124, 所以X的分布列为 则P(X=150)=3×3×3=24, P(X=200)=3×(3)°+2×3×3×3=9, X 5 7 9 12 P(X=250)=2×3×3×3+3×(3)=3, P 15 f2 15 选 P(X=300)=3×3×3=27, · 567· ξ 0 1 2 P 71 71 11 性别 评价 合计 喜欢 不喜欢 男性 15 30 45 女性 35 20 55 合计 50 50 100 高考一轮总复习·数学·RJA